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Armstrongzahlen
wuerg, 17.07.2005 18:04
In einer stillen Stunde hatte ich einmal ermittelt, welche Zahlen Summe der k-ten Potenzen ihrer Ziffern sind. Mit k=7 habe ich aufgehört, und er ergab sich das folgende Ergebnis:
Wenn man einmal die trivialen einstelligen Zahlen (n=1) wegläßt, dann sind es vor allem die k-stelligen Zahlen, die Summe der k-ten Potenzen ihrer Ziffern sind. Maximal ist n=k+1 möglich, da für mehr selbst lauter Neuner nicht ausreichen. Auch Zahlen mit weniger Ziffern (n<k) sind dünn gesät. Das Gros aller Zahlen scheint auf der Diagonalen (n=k) zu liegen. Solche Zahlen heißen Armstrongzahlen.
Eine n-stellige Zahl heißt Armstrongzahl, wenn sie gleich der Summe der n-ten Potenzen ihrer Ziffern ist. Es gibt nur 88 solcher Armstrongzahlen, denn irgendwann kann selbst mit lauter Neunen keine genügend große Potenzsumme mehr erzielt werden. Hier eine Auszug aus der Liste:
...
153
370
371
407
1634
8208
9474
54748
92727
93084
548834
1741725
4210818
9800817
9926315
24678050
........
115132219018763992565095597973971522400
115132219018763992565095597973971522401
Die größte Armstrongzahl hat 39 Stellen, und die kleinste nicht-triviale lautet 153, denn zweistellige gibt es nicht und einstellige sind bedeutungslos.
Armstrongzahlen kann man natürlich auch zu anderen Zahldarstellungen in anderen Basen betrachten. Bis zur Basis 16 sind sie alle in einer Liste im Internet ausgeführt.
Liste
| n=1 | n=2 | n=3 | n=4 | n=5 | n=6 | n=7 | n=8 |
k=1 | 1-9 | | | | | | | |
k=2 | 1 | | | | | | | |
k=3 | 1 | | 153 370 371 407 | | | | | |
k=4 | 1 | | | 1634 8208 9474 | | | | |
k=5 | 1 | | | 4150 4151 | 54748 92727 93084 | 194979 | | |
k=6 | 1 | | | | | 548834 | | |
k=7 | 1 | | | | | | 1741725 4210818 9800817 9926315 | 14459929 |
Wenn man einmal die trivialen einstelligen Zahlen (n=1) wegläßt, dann sind es vor allem die k-stelligen Zahlen, die Summe der k-ten Potenzen ihrer Ziffern sind. Maximal ist n=k+1 möglich, da für mehr selbst lauter Neuner nicht ausreichen. Auch Zahlen mit weniger Ziffern (n<k) sind dünn gesät. Das Gros aller Zahlen scheint auf der Diagonalen (n=k) zu liegen. Solche Zahlen heißen Armstrongzahlen.
Eine n-stellige Zahl heißt Armstrongzahl, wenn sie gleich der Summe der n-ten Potenzen ihrer Ziffern ist. Es gibt nur 88 solcher Armstrongzahlen, denn irgendwann kann selbst mit lauter Neunen keine genügend große Potenzsumme mehr erzielt werden. Hier eine Auszug aus der Liste:
...
153
370
371
407
1634
8208
9474
54748
92727
93084
548834
1741725
4210818
9800817
9926315
24678050
........
115132219018763992565095597973971522400
115132219018763992565095597973971522401
Die größte Armstrongzahl hat 39 Stellen, und die kleinste nicht-triviale lautet 153, denn zweistellige gibt es nicht und einstellige sind bedeutungslos.
Armstrongzahlen kann man natürlich auch zu anderen Zahldarstellungen in anderen Basen betrachten. Bis zur Basis 16 sind sie alle in einer Liste im Internet ausgeführt.
Liste
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153
wuerg, 16.07.2005 23:46
Die Zahl 666 hält sicherlich den ersten Rang unter den Sammlern von allen möglichen Beziehungen und ist weitgehend bekannt. Im Gegensatz zur 153, die zumindest unter den dreistelligen Zahlen den zweiten Platz hält, gleichwohl sie in der Öffentlichkeit ein unauffälliges Leben führt. Dennoch ist auch zur 153 viel gesammelt worden.
Seinen Lauf nahm alles mit der Zahl der Fische, die sieben Jüngern ins Netz gingen, nachdem sie den Ratschlag Jesu annahmen. Johannes 21, Vers 11 lautet bei Luther: „Simon Petrus steig hin ein vnd zoch das Netze auff das land vol grosser Fische hundert und drey vnd funffzist. Vnd wievol jr so viel waren zureis doch das Netze nicht.“ Soviel zur Rechtschreibreform der letzten Jahrhunderte.
Das gab Anlaß zu einer ganzen Reihe von biblischen Interpretationen, die zunehmend numerologischer Natur wurden und sich auf die englische Sprache und Erlebniswelt des modernen auserwählten Volkes beziehen. Doch das wäre eine Übung geblieben, wie sie zu fast jeder Zahl angestellt wurde, wären da nicht ein paar sehr schöne mathematische Beziehungen, die sich nicht nur auf die Dezimalziffern 1, 5 und 3 beziehen.
Zunächst ist 153 die 17. Dreieckszahl, also 153=1+2+3+...+16+17. Und diese 17 hat es natürlich auch den biblischen Interpreten angetan, zumal 153=9·17 auch durch 17 teilbar ist. Das aber ist keine unabhängige Besonderheit, denn jede ungerade Zahl n ist Teiler der n-ten Dreieckszahl. Direkte Folge ist auch, daß 153 zugleich die 9. Sechseckzahl ist und die 9 den anderen Faktor bildet. Nichts damit zu tun hat und deshalb eigenständig ist 153=1!+2!+3!+4!+5!, ausgeschrieben:
1+1·2+1·2·3+1·2·3·4+1·2·3·4·5
= 1+2+6+24+120 = 153
Die Summe dreier Kubikzahlen zu sein, ist keine so seltene Eigenschaft, doch 153 ist die kleinste aller dreistelligen Zahlen, die Summe der dritten Potenzen ihrer Ziffern ist, denn
13 + 53 + 33 = 1+125+27 = 153
Außer der trivialen 1 gibt es mit dieser Eigenschaft nur noch 370, 371 und 407, was wiederum ein gefundenes Fressen für die 37-Fanatiker ist:
3·3·3 + 7·7·7 = 370
Die Quersumme 9 führt natürlich auf eine Palette von Beziehungen, die nicht so verblüffend sind. So teilt 1+5+3=9 natürlich die Zahl 153, und die Summe der drei Rotationen muß 999 ergeben. Also 153+315+531=999, was schon der 666 verdächtig auf den Pelz rückt und andere Taschenspielertricks ermöglicht, denn bekanntlich ist 1/999=0,001001… und damit 0,153153…=153/999=102/666. „Suchet, so werdet ihr finden“ ist deshalb das Motto vieler Beiträge im Internet.
[1] 153 fishes. Bible et Nombres
Seinen Lauf nahm alles mit der Zahl der Fische, die sieben Jüngern ins Netz gingen, nachdem sie den Ratschlag Jesu annahmen. Johannes 21, Vers 11 lautet bei Luther: „Simon Petrus steig hin ein vnd zoch das Netze auff das land vol grosser Fische hundert und drey vnd funffzist. Vnd wievol jr so viel waren zureis doch das Netze nicht.“ Soviel zur Rechtschreibreform der letzten Jahrhunderte.
Das gab Anlaß zu einer ganzen Reihe von biblischen Interpretationen, die zunehmend numerologischer Natur wurden und sich auf die englische Sprache und Erlebniswelt des modernen auserwählten Volkes beziehen. Doch das wäre eine Übung geblieben, wie sie zu fast jeder Zahl angestellt wurde, wären da nicht ein paar sehr schöne mathematische Beziehungen, die sich nicht nur auf die Dezimalziffern 1, 5 und 3 beziehen.
Zunächst ist 153 die 17. Dreieckszahl, also 153=1+2+3+...+16+17. Und diese 17 hat es natürlich auch den biblischen Interpreten angetan, zumal 153=9·17 auch durch 17 teilbar ist. Das aber ist keine unabhängige Besonderheit, denn jede ungerade Zahl n ist Teiler der n-ten Dreieckszahl. Direkte Folge ist auch, daß 153 zugleich die 9. Sechseckzahl ist und die 9 den anderen Faktor bildet. Nichts damit zu tun hat und deshalb eigenständig ist 153=1!+2!+3!+4!+5!, ausgeschrieben:
1+1·2+1·2·3+1·2·3·4+1·2·3·4·5
= 1+2+6+24+120 = 153
Die Summe dreier Kubikzahlen zu sein, ist keine so seltene Eigenschaft, doch 153 ist die kleinste aller dreistelligen Zahlen, die Summe der dritten Potenzen ihrer Ziffern ist, denn
13 + 53 + 33 = 1+125+27 = 153
Außer der trivialen 1 gibt es mit dieser Eigenschaft nur noch 370, 371 und 407, was wiederum ein gefundenes Fressen für die 37-Fanatiker ist:
3·3·3 + 7·7·7 = 370
Die Quersumme 9 führt natürlich auf eine Palette von Beziehungen, die nicht so verblüffend sind. So teilt 1+5+3=9 natürlich die Zahl 153, und die Summe der drei Rotationen muß 999 ergeben. Also 153+315+531=999, was schon der 666 verdächtig auf den Pelz rückt und andere Taschenspielertricks ermöglicht, denn bekanntlich ist 1/999=0,001001… und damit 0,153153…=153/999=102/666. „Suchet, so werdet ihr finden“ ist deshalb das Motto vieler Beiträge im Internet.
[1] 153 fishes. Bible et Nombres
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Moslemversteher
wuerg, 13.07.2005 00:43
Nachdem jemand über den Suchbegriff Moslemversteher auf meinen Blog kam, habe ich das bei Google überprüft und war entsetzt zu sehen, daß nur ich gefunden wurde, wenngleich es heute schon zwei Treffer gibt. Bisher ging ich davon aus, daß dieser Begriff stark verbreitet ist und Menschen bezeichnet, die analog zu den Frauenverstehern sich aus durchsichtigen Gründen anbiedern. Während jahrelang kaum einer den Fundamentalisten Aufmerksamkeit schenkte, haben die weltweiten Anschläge dazu geführt, sich intensiver mit der Welt des Islam zu beschäftigen.
So sehr es angebracht ist, daß Schüler Moscheen besuchen, die es nunmehr in Deutschland zahlreich gibt, und so sehr das Interesse der Bevölkerung für die Lebenswelt der Moslems hier und in der Welt sich verstärkt hat, so ist das Motiv doch großenteils einfach Angst. Es wird Verständnis gezeigt und versucht, sich aus den Weltkonflikten herauszuhalten, um selbst von gewalttätigen Übergriffen verschont zu bleiben. Bis eines Tages diese Rechnung nicht mehr aufgeht.
So sehr es angebracht ist, daß Schüler Moscheen besuchen, die es nunmehr in Deutschland zahlreich gibt, und so sehr das Interesse der Bevölkerung für die Lebenswelt der Moslems hier und in der Welt sich verstärkt hat, so ist das Motiv doch großenteils einfach Angst. Es wird Verständnis gezeigt und versucht, sich aus den Weltkonflikten herauszuhalten, um selbst von gewalttätigen Übergriffen verschont zu bleiben. Bis eines Tages diese Rechnung nicht mehr aufgeht.
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196
wuerg, 07.07.2005 20:02
Wenn man zu einer Dezimalzahl die in umgekehrter Ziffernfolge addiert und diesen Vorgang mit der Summe immer und immer wiederholt, so entsteht irgendwann ein Palindrom, also eine Zahl, die mit ihrer Umkehrung identisch ist, oder eben auch nicht. Die erste Zahl, bei der es nach heutigem Wissensstand zumindest sehr, sehr lange dauert, ist 196:
0. 1 9 6 1. 8 8 7 2. 1 6 7 5 3. 7 4 3 6 ... ......... 13. 1 1 1 5 8 9 5 1 1 14. 2 2 7 5 7 4 6 2 2 15. 4 5 4 0 5 0 3 4 4 16. 8 9 7 1 0 0 7 9 8 ... .................Da die ersten Schritte erfolglos blieben, ist die Summe bereits recht lang geworden, weshalb die Addition zumeist einen Übertrag aufweisen wird und nur schwer zu einem Palindrom führt. Eine gewisse Chance bestand aber nach dreizehn Schritten, denn es waren fünf Einsen entstanden, die dreimal ohne Übertrag addierbar sind.
13. 1 1 1 5 8 9 5 1 1 + 1 1 5 9 8 5 1 1 1 --------------------- 14. 2 2 7 5 7 4 6 2 2 + 2 2 6 4 7 5 7 2 2 ---------------------- 15. 4 5 4 0 5 0 3 4 4Doch die in der Mitte verbliebende Folge 5895 tat uns den Gefallen nicht und fraß zwei der fünf Einsen auf deren Übergang über die 2 zur 4 weg. Trotzdem sah es immer noch gut aus, da keine Ziffer oberhalb von 5 vorkam.
15. 4 5 4 0 5 0 3 4 4 + 4 4 3 0 5 0 4 5 4 ---------------------- 16. 8 9 7 1 0 0 7 9 8Doch leider entstand mit Hilfe der Fünfen eine 89 am Anfang und 98 am Schluß. Ausgerechnet die beiden, die stolze 24 Schritte bis zu einem Palindrom benötigen. Und so führt der Prozeß für die Zahl 196 auch nach vielen Millionen Schritten zu keinem Ende, wahrscheinlich nie.
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Mathematik und Rechnen
wuerg, 06.07.2005 09:36
Michael Schumacher hält seinen Rückstand von 29 Punkten nicht für hoffnungslos: Dafür gibt es noch keinen Grund. Es gibt mathematisch noch zu viele Möglichkeiten, und wer mich kennt, weiß, dass die Mathematik mir sehr wichtig ist. Doch Mathematik ist glücklicherweise mehr als Rechnen oder Zählen.
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Live 8
wuerg, 04.07.2005 21:07
Heute lese ich nur von zwei Milliarden Fernseh-Zuschauern der Live-8-Konzerte, vor Tagen wurden noch sechs erwartet. Das stimmt mich versöhnlich, gleich ob man mich als Nachrichtenseher schon dazu zählt oder nicht. Bei sechs Milliarden hätte ich gesagt: Ihr Armen, verkauft Eure Fernseher! Aber bei zweien gehe ich davon aus, daß es sich doch mehr um die Bewohner der Caipi-Welt handelt, mehr um Drogenkonsumenten, denn -produzenten. Die Dritte Welt hat sich mit mir solidarisch gezeigt und das Spektakel vorüberziehen lassen, dessen Echo umgehend verhallt ist und mich an den zwei Milliarden stark zweifeln läßt.
Caipi
Caipi
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88
wuerg, 04.07.2005 01:55
Vor ein paar Tagen hielt ich mich mit "1tr8 Frankfurt" noch mit Lästerungen über Sprachverhunzungen wie "be8lich", "gute n8", "es ist vollbr8" oder "interpol8" zurück. Heute bin ich von der Realität überholt. Da wird "Live Aid" zu "Live 8", in einen Gitarrenhals wird ein 8er-Knoten geschlungen wie früher in Penisse und Kanonenrohre. Noch einen drauf setzt das deutsche Bühnenbild mit zwei fetten Zusatz-Achten: "88" für "HH", "Hansestadt Hamburg" oder "Heil Hitler".
Blogtum, Kompetenzteam, 21.06.2005: gebr8, ob8
Thomas Jahn, Huszti und die "beschissene" Seite 88, Spox, 17.09.2012
Wer mit Glatze oder numerierten T-Shirts durch die Gegend stolziert, wird zumeist einen rechtsradikalen Zusammenhang von sich weisen, nimmt ihn oftmals aber billigend in Kauf, wenn dieser erste Eindruck nicht sofort durch weitere Merkmale entkräftet wird. So verwunderten mich anfangs Jacken mit dickem HH, bis ich irgendwann ganz klein Helly Hansen las. Als Rechtsradikaler würde ich mir sofort eine solche Jacke zulegen.
Und wenn Frauen ihre Möpse mit 28 verzieren, dann möchte ich gerne an diese vollkommene Zahl denken, doch leider steht 28=BH nicht für Büstenhalter, sondern für Blood and Honor. Die 18=AH für Adolf Hitler bleibt mehr den plumpen Rechten und ihren Kneipennamen vorbehalten. Sicherlich ist es auch nicht jedermanns Sache, bei 14 auf die 14 Wörter einer rassistischen Äußerung von David Lane zu kommen oder in 311 dreimal 11, also KKK für Ku Klux Klan und nicht Kinder, Küche, Kirche zu erkennen. So vorbereitet will ich 198 als Knobelaufgabe stehen lassen.
18 | 28 | 4/20
Wenn ich mein Blog nicht Zahlwort, sondern "Der Meister s8" genannt hätte, würde ich ihn nunmehr umbenennen. Bisher wäre ich nicht darauf gekommen, daß s8 nicht nur als Abkürzung einer Verhunzung "sacht" des Wortes "sagt" interpretierbar ist, sondern in Analogie zu 198 auch als S=19 und H=8: Sieg Heil! Das soll keine Angst vor Zahlen wie 1347 (MDG, Mit deutschen Gruß) machen, auch gibt es an Zahlen wie 14 (BACH=2+1+3+8=14, DAVID= Daleth+Waw+Daleth=4+6+4=14 ) ältere Rechte. Es schadet aber nicht, kurz nachzudenken, bevor man sie mit der Kleidung zur Schau stellt.
14
Blogtum, Kompetenzteam, 21.06.2005: gebr8, ob8
Thomas Jahn, Huszti und die "beschissene" Seite 88, Spox, 17.09.2012
Wer mit Glatze oder numerierten T-Shirts durch die Gegend stolziert, wird zumeist einen rechtsradikalen Zusammenhang von sich weisen, nimmt ihn oftmals aber billigend in Kauf, wenn dieser erste Eindruck nicht sofort durch weitere Merkmale entkräftet wird. So verwunderten mich anfangs Jacken mit dickem HH, bis ich irgendwann ganz klein Helly Hansen las. Als Rechtsradikaler würde ich mir sofort eine solche Jacke zulegen.
Und wenn Frauen ihre Möpse mit 28 verzieren, dann möchte ich gerne an diese vollkommene Zahl denken, doch leider steht 28=BH nicht für Büstenhalter, sondern für Blood and Honor. Die 18=AH für Adolf Hitler bleibt mehr den plumpen Rechten und ihren Kneipennamen vorbehalten. Sicherlich ist es auch nicht jedermanns Sache, bei 14 auf die 14 Wörter einer rassistischen Äußerung von David Lane zu kommen oder in 311 dreimal 11, also KKK für Ku Klux Klan und nicht Kinder, Küche, Kirche zu erkennen. So vorbereitet will ich 198 als Knobelaufgabe stehen lassen.
18 | 28 | 4/20
Wenn ich mein Blog nicht Zahlwort, sondern "Der Meister s8" genannt hätte, würde ich ihn nunmehr umbenennen. Bisher wäre ich nicht darauf gekommen, daß s8 nicht nur als Abkürzung einer Verhunzung "sacht" des Wortes "sagt" interpretierbar ist, sondern in Analogie zu 198 auch als S=19 und H=8: Sieg Heil! Das soll keine Angst vor Zahlen wie 1347 (MDG, Mit deutschen Gruß) machen, auch gibt es an Zahlen wie 14 (BACH=2+1+3+8=14, DAVID= Daleth+Waw+Daleth=4+6+4=14 ) ältere Rechte. Es schadet aber nicht, kurz nachzudenken, bevor man sie mit der Kleidung zur Schau stellt.
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