Zahlwort

Die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenenden. So lautet das erste Kirchhoffsche Gesetz. Im Beispiel

             +------+  I1
      +------|  R1  |------+
      |      +------+      |
      |                    |  I
------+                    +------
      |                    |
      |      +------+  I2  |
      +------|  R1  |------+
             +------+

zweier paralleler Widerstände gilt also I=I1+I2. Und wer im Physikunterricht aufgepaßt hat, weiß auch daß I1:I2=R2:R1 gilt. Das ist das zweite Kirchhoffsche Gesetz: Die Ströme fließen umgekehrt proportional zu den Widerständen.

Auch für den Professor aus Heidelberg mit einem F weniger im Namen gelten diese Gesetze. Es kann nur das auf die Reichen (I1) und die Armen (I2) verteilt werden, was insgesamt (I) da ist. Etwas in der Hand hat er lediglich die Widerstände (R1 und R2), die beide Volksgruppen dem Geld entgegenbringen. Im allgemeinen leiten die Reichen das Geld besser (R1 kleiner als R2). Deshalb bekommen sie auch mehr (I1 größer als I2).

Eine flat tax^* muß ich nicht fürchten, denn im Spiegel vom kommenden Montag sehe ich eine Grafik, nach der mein Steuersatz gemessen am Bruttoeinkommen^** den Durchschnitt des obersten Einkommenhundertstels übersteigt, meine Einkünfte aber deutlich hinter dem Durchschnitt des obersten Einkommenzehntels zurückbleiben.

Das bedeutet: Der Heidelberger Professor wird mir sehr viel Freude bereiten, vor allem wenn alles nicht nur über die Mehrwertsteuer, sondern auch durch den Subventions- und Abschreibungsabbau finanziert wird. Die Steuersenkung nehme ich gerne und freue mich über den Wegfall von Verlustabschreibungen, Pendlerpauschalen und Eigenheimzulagen.

Einzig treffen könnte mich der Steuervorteil für Mitgliedsbeiträge an meine Partei, der ich vierzig Jahre angehöre und für deren unwahrscheinlichen Wahlsieg ich auf Vergünstigungen verzichten würde. Somit geht die Wahl für mich immer gut aus. Gejammer höre ich mir hinterher nicht an, denn die Reichen haben auch nur eine Stimme.

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^* Gilt nur im Zusammenhang mit einem Wahlsieg der CDU. Die dadurch entstehenden Belastungen sind in Büchern beschrieben, die in jeder Bahnhofsbuchhandlung zu erwerben sind.

^** Für die Freunde des Unterschiedes zwischen Brutto und Netto: Das ist nicht die tarifliche Steuer gemessen am zu versteuernden Einkommen.

Gestern startete in Deutschland die Kriminalfilmserie Numb3rs, in der ein Ermittler durch die genialen mathematischen Methoden seines mathematisch höchstbegabten Bruders seine Fälle löst. Natürlich lassen sich die Produzenten auch billiger Filme fachlich beraten, weshalb die präsentierte Mathematik nicht unbedingt weiter von der Realität entfernt ist als der ganze Rest. Nur interessiert es mich mehr. Und deshalb zwei Bemerkungen :

Zum einen werden allgemeine Versatzstücke mit dem Klischee vom genialen Mathematiker vermengt. Er ist in jungen Jahren Professor, seine Doktorandin streichelt seine Formeln, doch er bemerkt oder würdigt es nicht und steht stundenlang mit Kopfhörers vor der Tafel und löst Probleme durch das Anschreiben von Formeln. Er hat keinen Führerschein und steigt aus einer Seifenkiste, deren aerodynamische Form er eigenhändig berechnet hat. Natürlich besser als alle anderen zusammen mit Computern und teuren Experimenten im Windkanal. Mit Baseball kennt er sich als Amerikaner natürlich auch aus.

Meine zweite Bemerkung bezieht sich auf die dargestellte mathematische Methode, aus den Tatorten eines Serientäters auf seinen Wohnort oder Ausgangspunkt zu schließen. Gewiß kann man mit zunehmender Anzahl der Delikte das Gebiet einkreisen, wenn der Täter den gemachten Annahmen über deren Verteilung folgt. Sicherlich kann man vor allem unter Berücksichtigung der Topographie und mit Computereinsatz etwas besser sein, als wenn man einfach nur den Schwerpunkt der Tatorte ermittelt. Es wäre also alles im Rahmen geblieben, wenn man im Film nicht hätte Glauben machen wollen, aus zwölf Tatorten ableiten zu können, daß der Täter aus zwei recht kleinen Gebieten heraus handelte.

Ohne großartig gerechnet zu haben, würde ich folgendes für realistisch halten: Wenn ein Triebtäter sieben Frauen in einer Stadt mit 100.000 Einwohner und weitere sieben im Umland ermordet, dann hielte ich es für sehr gut, wenn man einen Stadtteil mit 5.000 Einwohner ausmachen könnte, von wo aus er mit 70 prozentiger Wahrscheinlichkeit operiert. Nimmt man andere Merkmale hinzu, so bleiben vielleicht 1.000 Personen übrig. Zwar sind dann 99 von 100 ausgeschieden, doch sind 1000 immer noch zuviel. Und wenn Mathematik noch eine Verbesserung bringen kann, dann ist es nicht eine einsame Formel in der Nacht, sondern die computergestützte Umsetzung einfacher Verfahren und guter heuristischer Ansätze.

Pro7

Manchmal frage ich mich, was unter Zufall verstanden wird. So mußte ich gestern in der ARD zwischen Tagesschau und Duell sinngemäß horen: Herr Schröder beginnt und Frau Merkel hat das Schlußwort. So wurde durch Los entschieden. - Bei diesem TV-Duell wurde nichts dem Zufall überlassen.

Die Zahl 33 ist wie 9=3*3 die Verdoppelung der 3 und damit heilige Schnapszahl. Numerologen beenden den Prozeß fortgesetzter Quersummenbildung gerne mit dem Auftreten von 11, 22 und 33. Letztere erreicht man mit Jahreszahlen in diesem Jahrtausend nicht mehr. Auch für Geburtstage muß bis zum 29. September 2029 gewartet werden. Im letzten Jahrtausend gab es sie reichlich. Zum Beispiel der 8. Februar 1949 mit 0+8+0+2+1+9+4+9=33.

Heilig ist die Zahl 33 auch wegen des Lebensalters Jesu, weshalb Antonio Gaudi an der Kathedrale Sagrada Familia in Barcelona ein magisches Quadrat mit der magischen Zahl 33 angebracht hat:

 1 14 14  4
11  7  6  9
 8 10 10  5
13  2  3 15

Normalerweise ist 34 die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonalen. Um mit ganzen positiven Zahlen auf 33 zu kommen, müssen einige Zahlen doppelt vorkommen. Aus jedem normalen magischen Quadrat mit Summe 34 können mehrere mit 33 abgeleitet werden, wenn man vier der 16 Zahlen um eins erniedrigt. Diese vier Zahlen müssen bis auf Drehung und Spiegelung folgendes Muster

 x  o  o  o
 o  o  x  o
 o  o  o  x
 o  x  o  o

bilden. Aus dem Dürer-Quadrat

16  3  2 13
 5 10 11  8
 9  6  7 12
 4 15 14  1

ergibt sich damit.

15  3  2 13
 5 10 10  8
 9  6  7 11
 4 14 14  1

Damit ist die 1514 verschleiert, an der sofort das Dürer-Quadrat zu erkennen wäre. Eine zusätzliche Drehung um 180 Grad liefert das Quadrat an der Kathedrale. Ich kann mir nicht vorstellen, daß Antonio Gaudi von Dürers Kupferstich abgekupfert hat. Vielmehr wollte er wohl nicht nur auf Jesus, sondern eben auch auf Dürer hinweisen.

Der Prozeß der Ableitung des Quadrates von Antonio Gaudi aus dem von Dürer läßt vermuten, daß vier Zahlen doppelt vorkommen. In Wirklichkeit sind es aber nur zwei, denn 12 geht in 11 und 11 wieder in die 10. Ebenso 16 in 15 und 15 in 14. Damit sind nur 10 und 14 doppelt, wofür 12 und 16 fehlen.

34 | Kühl

Die Zahl 34 heißt auch Jupiterzahl, denn sie ist die sog. magische Zahl des klassischen magischen Quadrates der Größe 4 mal 4 das dem Jupiter zugeordnet wird. Warum das so ist, wissen die Gläubigen wahrscheinlich selbst nicht. Hier eine Übersicht:

Gestirn   n Q(n) D(Q(n)) M(n)
-----------------------------
Saturn    3    9     45    15
Jupiter   4   16    136    34
Mars      5   25    325    65
Sonne     6   36    666   111
Venus     7   49   1225   175
Merkur    8   64   2080   260
Mond      9   81   3321   369

Darin ist n eine (nicht die) Nummer des Gestirnes, dem ein magisches Quadrat der Größe n mal n zugeordnet wird. Die Zahl Q(n) ist das Quadrat von n. In dem magischen Quadrat kommen die Zahlen 1 bis Q(n) vor. Diese Q(n) Zahlen summieren sich zu D(Q(n)), der Q(n)-ten Dreieckszahl. Da alle Zeilen und Spalten sich auf den gleichen Wert, die magische Zahl M(n) addieren müssen, berechnet sich diese als

M(n) = D(Q(n))/n =  n(n^2+1)/2

Für den Jupiter mit n=4 ergibt sich die Jupiterzahl M(n)=34, die natürlich nicht uninteressanter wäre, hätte man sie einem anderen oder gar keinem Planeten zugeordnet. Nach dem trivialen magischen Quadrat der Größe 3 mal 3 sind die der Größe 4 mal 4 die interessantesten. Sie sind überschaubar und doch nicht ohne weiteres zu konstruieren, gleichwohl es 880 davon gibt, wobei solche die durch Drehung oder Spiegelung auseinander hervorgehen nur einfach gezählt sind. Das bekannteste ist das Dürer-Quadrat aus Melencolia I:

16  3  2 13
 5 10 11  8
 9  6  7 12
 4 15 14  1

in dem unten das Entstehungsjahr des Kupferstiches und das Todesjahr 1514 der Mutter Albrecht Dürers zu sehen ist. Selbstverständlich addieren sich neben Zeilen und Spalten auch die Diagonalen auf 34. Dazu noch andere Teilfiguren wie das Teilquadrat der Größe 2 mal 2 in der Mitte und die vier in den Ecken.

Für 50.000 Euro mußten gestern Reinhold Beckmann und eine mir unbekannte Frau im ersten Qualitätsfernsehen beim Star Quiz mit Jörg Pilawa die Frage beantworten, wieviele Ecken ein Oktaeder hat, der vom Moderator zunächst Oktäder genannt wurde. Alle Gäste bekannten in bewährter Bildungsbürgermanier sofort, in Mathematik nichts zustande gebracht zu haben. Und so wurden sie auch spontan geholfen mit dem Hinweis, daß ein Oktaeder aus zwei Pyramiden besteht, die an der Grundfläche zusammengefügt sind. Da hat wenigstens Beckmann räumliches Vorstellungsvermögen bewiesen und konnte die Ecken nachzählen.

Da 39 und 38 sich als nicht völlig uninteressant erwiesen haben und die Zahlen 37 und 36 von herausragender Bedeutung sind, wäre 35 ein Kandidat für die kleinste uninteressante Zahl. Das aber kann nicht sein. Für mich war 35 immer die zweistellige Beispielzahl, so wie es 4711 im vierstelligen Bereich ist. Hinter der 35 wird meine Vorstellung vom Zahlraum dunkler, bis 35 muß ich nicht rechnen. Und so habe ich die 35 zu meiner Lieblingszahl gemacht, ohne darüber nachzudenken, mit welchen objektiven Eigenschaften sie die anderen überragen könnte.

Eine schöne und wider Erwarten kaum ausgeschlachtete Eigenschaft ist 35=5*7. Einmal wegen der heiligen 7 und zum zweiten wegen der beiden Primfaktoren. Damit ist 35 das kleinste Produkt von Primzahlzwillingen, denn 6=2*3 und 15=3*5 zählen nicht mit. Es kommen nur Zahlen n=(6k-1)(6k+1)=(6k)^2-1 infrage. Nach 35=5*7 sind es 143=11*13, 323=17*19 und 899=29*31.

Würden wir nicht zur Basis 10 rechnen und nicht an der Endziffer 5 sofort die Teilbarkeit durch 5 erkennen, könnte 35 als die kleinste Zahl durchgehen, die zusammengesetzt ist, dennoch aber wie eine Primzahl aussieht. Wie alle zusammengesetzten Zahlen der Form n=(2k)^2-1 ist 35 (k=3) tatsächlich eine solche Pseudoprimzahl in einem mathematisch präzisierten Sinne.

Zu jeder Zahl lohnt sich ein Blick in die Liste der figurierten Zahlen. Nicht bei jeder wird man fündig, bei 35 jedoch mehrfach. Zunächst ist 35 die 5. Fünfeckzahl F(5)=Q(5)+D(4)=25+10=35

    5
   4 5
  3 4 5
 2 3 4 5
1 2 3 4 5                                                 1
2 2 3 4 5                                    1           2 2
3 3 3 4 5                         1         2 2         3 3 3
4 4 4 4 5               1        2 2       3 3 3       4 4 4 4
5 5 5 5 5        1  +  2 2  +   3 3 3  +  4 4 4 4  +  5 5 5 5 5

die ich hier in Form eines Hauses dargestellt habe. Sie ist auch die 5. Tetraederzahl, also die Zahl der Punkte in einem Tetraeder mit fünf Punkten auf jeder Kante. Da man den Tetraeder aus Dreiecken aufschichten kann, ist das die Summe der ersten 5 Dreieckszahlen

T(5) = D(1)+D(2)+D(3)+D(4)+D(5) = 1+3+6+10+15 = 35

Doch damit nicht genug. Die Zahl 35 ist nicht nur Summe zweier Kubikzahlen 8 und 27, sie folgen auch noch aufeinander. Damit ist 35 die dritte zentrierte Kubikzahl. Die dritte normale Kubikzahl 27=3^3 kann als Würfel mit drei Punkten auf jeder Kante der Länge 2 vorgestellt werden. Bringt man in der Mitte der 8=2^3 enthaltenen Einheitswürfeln mit Kantenlänge 1 einen weiteren Punkt unter, so erhält man die Darstellung der dritten zentrierten Kubikzahl 3^3+2^3=27+8=35.