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Kirchhoffsche Gesetze
wuerg, 11.09.2005 20:52
Die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden. So lautet das erste Kirchhoffsche Gesetz. [1] Im Beispiel
Auch für den Professor aus Heidelberg mit einem F weniger im Namen gelten diese Gesetze. Es kann nur das auf die Reichen (I1) und die Armen (I2) verteilt werden, was insgesamt (I) da ist. Etwas in der Hand hat er lediglich die Widerstände R1 und R2, die beide Volksgruppen dem Geld entgegenbringen. Im allgemeinen leiten die Reichen das Geld besser (R1 kleiner als R2). Deshalb bekommen sie auch mehr (I1 größer als I2).
Eine flat tax [3] muß ich nicht fürchten, denn im Spiegel vom kommenden Montag sehe ich eine Grafik, nach der mein Steuersatz gemessen am Bruttoeinkommen [4] am unteren Rand des obersten Einkommens-x‑tel liegt, meine Einkünfte aber deutlich dahinter zurückbleiben. [5]
Das bedeutet: Der Heidelberger Professor wird mir sehr viel Freude bereiten, vor allem wenn alles nicht nur über die Mehrwertsteuer, sondern auch durch den Subventions- und Abschreibungsabbau finanziert wird. Die Steuersenkung nehme ich gerne und freue mich über den Wegfall von Verlustabschreibungen, Pendlerpauschalen und Eigenheimzulagen.
Einzig treffen könnte mich der Wegfall des Steuervorteils für Mitgliedsbeiträge an meine Partei, der ich vierzig Jahre angehöre und für deren unwahrscheinlichen Wahlsieg ich auf Vergünstigungen der CDU verzichten würde. Somit geht die Wahl für mich immer gut aus. Gejammer höre ich mir hinterher nicht an, denn die Reichen haben auch nur eine Stimme.
[1] Wer eine politisch korrekte Formulierung der Kirchhoffschen Gesetze bevorzugt, muß sich in der Wikpedia oder ähnlichem sachkundig machen.
[2] Wer statt der Widerstände R* (*=1,2,leer) einfach die Leitwerte G*=1/R* und I*=U⋅G* betrachtet, kommt auch ohne große Rechnerei auf G=G1+G2. Doch damit kann kein Physiklehrer glänzen.
[3] Gilt nur im Zusammenhang mit einem Wahlsieg der CDU. Die dadurch entstehenden Belastungen sind in Büchern beschrieben, die in jeder Bahnhofsbuchhandlung zu erwerben sind.
[4] Für die Freunde des Unterschiedes zwischen Brutto und Netto: Das ist nicht die tarifliche Steuer gemessen am zu versteuernden Einkommen.
[5] Ich hatte mich sicherlich anhand der Grafik im Spiegel korrekt eingeordnet. Dennoch scheint mir mein damaliges Geschreibsel von Hundersteln und Zehnteln zu angeberisch, vielleicht auch falsch gewesen zu sein, weil ich die dargebotenen Daten fehlerhaft interpretierte oder sie einfach nicht stimmten.
[6] Die Wahl ging schlecht aus. Auf Schröder folgte Merkel, doch ohne die flat tax des Herrn Kirchhof. Von der Steuererklärung des Herrn Merz auf einem Bierdeckel ganz zu schweigen. Ich habe es überlebt und freue mich, auf meine nach zwei Ehen verbliebene Restrente noch Steuern zahlen zu dürfen.
+------+ I1
+------| R1 |------+
| +------+ |
I | | I
------+ A B +------
| |
| +------+ I2 |
+------| R1 |------+
+------+
bedeutet das I=I1+I2 an beiden Punkten A und B. Das zweite Kirchhoffsche Gesetz besagt, daß in einer Schleife sich die anliegenden Spannungen zu Null addieren. [1] Hier liegt also von A nach B gemessen am Widerstand R1 die gleiche Spannung U an wie an R2. Da beides einfache ohmsche Widerstände sind gilt I1=U/R1 und I2=U/R2. Damit fließt ein Gesamtstrom I=I1+I2=U(1/R1+1/R2), womit R=U/I=1/(1/R1+1/R2) der Gesamtwiderstand ist. Oder wie in der Schule für die Parallelschaltung auswendig gelernt: 1/R=1/R1+1/R2. [2]Auch für den Professor aus Heidelberg mit einem F weniger im Namen gelten diese Gesetze. Es kann nur das auf die Reichen (I1) und die Armen (I2) verteilt werden, was insgesamt (I) da ist. Etwas in der Hand hat er lediglich die Widerstände R1 und R2, die beide Volksgruppen dem Geld entgegenbringen. Im allgemeinen leiten die Reichen das Geld besser (R1 kleiner als R2). Deshalb bekommen sie auch mehr (I1 größer als I2).
Eine flat tax [3] muß ich nicht fürchten, denn im Spiegel vom kommenden Montag sehe ich eine Grafik, nach der mein Steuersatz gemessen am Bruttoeinkommen [4] am unteren Rand des obersten Einkommens-x‑tel liegt, meine Einkünfte aber deutlich dahinter zurückbleiben. [5]
Das bedeutet: Der Heidelberger Professor wird mir sehr viel Freude bereiten, vor allem wenn alles nicht nur über die Mehrwertsteuer, sondern auch durch den Subventions- und Abschreibungsabbau finanziert wird. Die Steuersenkung nehme ich gerne und freue mich über den Wegfall von Verlustabschreibungen, Pendlerpauschalen und Eigenheimzulagen.
Einzig treffen könnte mich der Wegfall des Steuervorteils für Mitgliedsbeiträge an meine Partei, der ich vierzig Jahre angehöre und für deren unwahrscheinlichen Wahlsieg ich auf Vergünstigungen der CDU verzichten würde. Somit geht die Wahl für mich immer gut aus. Gejammer höre ich mir hinterher nicht an, denn die Reichen haben auch nur eine Stimme.
[1] Wer eine politisch korrekte Formulierung der Kirchhoffschen Gesetze bevorzugt, muß sich in der Wikpedia oder ähnlichem sachkundig machen.
[2] Wer statt der Widerstände R* (*=1,2,leer) einfach die Leitwerte G*=1/R* und I*=U⋅G* betrachtet, kommt auch ohne große Rechnerei auf G=G1+G2. Doch damit kann kein Physiklehrer glänzen.
[3] Gilt nur im Zusammenhang mit einem Wahlsieg der CDU. Die dadurch entstehenden Belastungen sind in Büchern beschrieben, die in jeder Bahnhofsbuchhandlung zu erwerben sind.
[4] Für die Freunde des Unterschiedes zwischen Brutto und Netto: Das ist nicht die tarifliche Steuer gemessen am zu versteuernden Einkommen.
[5] Ich hatte mich sicherlich anhand der Grafik im Spiegel korrekt eingeordnet. Dennoch scheint mir mein damaliges Geschreibsel von Hundersteln und Zehnteln zu angeberisch, vielleicht auch falsch gewesen zu sein, weil ich die dargebotenen Daten fehlerhaft interpretierte oder sie einfach nicht stimmten.
[6] Die Wahl ging schlecht aus. Auf Schröder folgte Merkel, doch ohne die flat tax des Herrn Kirchhof. Von der Steuererklärung des Herrn Merz auf einem Bierdeckel ganz zu schweigen. Ich habe es überlebt und freue mich, auf meine nach zwei Ehen verbliebene Restrente noch Steuern zahlen zu dürfen.
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NUMB3RS
wuerg, 07.09.2005 01:42
Gestern startete in Deutschland die Kriminalfilmserie NUMB3RS, in der ein Ermittler durch die genialen mathematischen Methoden seines höchstbegabten Bruders seine Fälle löst. Natürlich lassen sich die Produzenten auch billiger Filme fachlich beraten, weshalb die präsentierte Mathematik nicht unbedingt weiter von der Realität entfernt ist als der ganze Rest. Nur interessiert es mich mehr. Und deshalb zwei Bemerkungen:
Zum einen werden allgemeine Versatzstücke mit dem Klischee vom genialen Mathematiker vermengt. Er ist in jungen Jahren Professor, seine Doktorandin streichelt seine Formeln, doch er bemerkt oder würdigt es nicht und steht stundenlang mit Kopfhörern vor der Tafel und löst Probleme durch das Anschreiben von Formeln. Er hat keinen Führerschein und steigt aus einer Seifenkiste, deren aerodynamische Form er eigenhändig berechnet hat. Natürlich besser als alle anderen zusammen mit Computern und teuren Experimenten im Windkanal. Mit Baseball kennt er sich als Amerikaner natürlich auch aus.
Meine zweite Bemerkung bezieht sich auf die dargestellte mathematische Methode, aus den Tatorten eines Serientäters auf seinen Wohnort oder Ausgangspunkt zu schließen. Gewiß kann man mit zunehmender Anzahl der Delikte das Gebiet einkreisen, wenn der Täter den gemachten Annahmen über deren Verteilung folgt. Sicherlich kann man vor allem unter Berücksichtigung der Topographie und mit Computereinsatz etwas besser sein, als wenn man einfach nur den Schwerpunkt der Tatorte ermittelt. Es wäre also alles im Rahmen, wenn man im Film nicht hätte Glauben machen wollen, aus zwölf Tatorten ableiten zu können, daß der Täter aus zwei recht kleinen Gebieten heraus handelte.
Ohne großartig gerechnet zu haben, würde ich folgendes für realistisch halten: Wenn ein Triebtäter sieben Frauen in einer Stadt mit 100.000 Einwohnern und weitere sieben im Umland ermordet, dann hielte ich es für sehr gut, wenn man einen Stadtteil mit 5.000 Einwohnern ausmachen könnte, von wo aus er mit 70‑prozentiger Wahrscheinlichkeit operiert. Nimmt man andere Merkmale hinzu, so bleiben vielleicht 1.000 Personen übrig. Zwar sind dann 99 von 100 ausgeschieden, doch sind 1000 immer noch zuviel. Und wenn Mathematik noch eine Verbesserung bringen kann, dann ist es nicht eine einsame Formel in der Nacht, sondern die computergestützte Umsetzung einfacher Verfahren und guter heuristischer Ansätze.
Zum einen werden allgemeine Versatzstücke mit dem Klischee vom genialen Mathematiker vermengt. Er ist in jungen Jahren Professor, seine Doktorandin streichelt seine Formeln, doch er bemerkt oder würdigt es nicht und steht stundenlang mit Kopfhörern vor der Tafel und löst Probleme durch das Anschreiben von Formeln. Er hat keinen Führerschein und steigt aus einer Seifenkiste, deren aerodynamische Form er eigenhändig berechnet hat. Natürlich besser als alle anderen zusammen mit Computern und teuren Experimenten im Windkanal. Mit Baseball kennt er sich als Amerikaner natürlich auch aus.
Meine zweite Bemerkung bezieht sich auf die dargestellte mathematische Methode, aus den Tatorten eines Serientäters auf seinen Wohnort oder Ausgangspunkt zu schließen. Gewiß kann man mit zunehmender Anzahl der Delikte das Gebiet einkreisen, wenn der Täter den gemachten Annahmen über deren Verteilung folgt. Sicherlich kann man vor allem unter Berücksichtigung der Topographie und mit Computereinsatz etwas besser sein, als wenn man einfach nur den Schwerpunkt der Tatorte ermittelt. Es wäre also alles im Rahmen, wenn man im Film nicht hätte Glauben machen wollen, aus zwölf Tatorten ableiten zu können, daß der Täter aus zwei recht kleinen Gebieten heraus handelte.
Ohne großartig gerechnet zu haben, würde ich folgendes für realistisch halten: Wenn ein Triebtäter sieben Frauen in einer Stadt mit 100.000 Einwohnern und weitere sieben im Umland ermordet, dann hielte ich es für sehr gut, wenn man einen Stadtteil mit 5.000 Einwohnern ausmachen könnte, von wo aus er mit 70‑prozentiger Wahrscheinlichkeit operiert. Nimmt man andere Merkmale hinzu, so bleiben vielleicht 1.000 Personen übrig. Zwar sind dann 99 von 100 ausgeschieden, doch sind 1000 immer noch zuviel. Und wenn Mathematik noch eine Verbesserung bringen kann, dann ist es nicht eine einsame Formel in der Nacht, sondern die computergestützte Umsetzung einfacher Verfahren und guter heuristischer Ansätze.
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Zufallsduell
wuerg, 05.09.2005 12:00
Manchmal frage ich mich, was unter Zufall verstanden wird. So mußte ich gestern in der ARD zwischen Tagesschau und Duell sinngemäß hören: „Herr Schröder beginnt und Frau Merkel hat das Schlußwort. So wurde durch Los entschieden. Bei diesem TV‑Duell wurde nichts dem Zufall überlassen.“
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33
wuerg, 04.09.2005 19:15
Die Zahl 33 ist wie 9=3⋅3 die Verdoppelung der 3 und damit heilige Schnapszahl. Numerologen beenden den Prozeß fortgesetzter Quersummenbildung gerne mit dem Auftreten von 11, 22 und 33. Letztere erreicht man mit Jahreszahlen in diesem Jahrtausend nicht mehr. Auch für Geburtstage muß bis zum 29. September 2029 gewartet werden. Im letzten Jahrtausend gab es sie reichlich. Zum Beispiel der 8. Februar 1949 mit 0+8+0+2+1+9+4+9=33.
Heilig ist die Zahl 33 auch wegen des Lebensalters Jesu, weshalb Antonio Gaudi an der Kathedrale Sagrada Familia in Barcelona ein magisches Quadrat mit der magischen Zahl 33 angebracht hat:
Der Prozeß der Ableitung des Quadrates von Antonio Gaudi aus dem von Dürer läßt vermuten, daß vier Zahlen doppelt vorkommen. In Wirklichkeit sind es aber nur zwei, denn 12 geht in 11 und 11 wieder in die 10. Ebenso 16 in 15 und 15 in 14. Damit sind nur 10 und 14 doppelt, wofür 12 und 16 fehlen.
32 | 34
Heilig ist die Zahl 33 auch wegen des Lebensalters Jesu, weshalb Antonio Gaudi an der Kathedrale Sagrada Familia in Barcelona ein magisches Quadrat mit der magischen Zahl 33 angebracht hat:
1 14 14 4 11 7 6 9 8 10 10 5 13 2 3 15Normalerweise ist 34 die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonalen. Um mit ganzen positiven Zahlen auf 33 zu kommen, müssen einige Zahlen doppelt vorkommen. Aus jedem normalen magischen Quadrat mit Summe 34 können mehrere mit 33 abgeleitet werden, wenn man vier der 16 Zahlen um eins erniedrigt. Diese vier Zahlen müssen bis auf Drehung und Spiegelung folgendes Muster
x o o o o o x o o o o x o x o obilden. Aus dem Dürer-Quadrat
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1ergibt sich damit
15 3 2 13 5 10 10 8 9 6 7 11 4 14 14 1Damit ist die 1514 verschleiert, an der sofort das Dürer-Quadrat zu erkennen wäre. Eine zusätzliche Drehung um 180 Grad liefert das Quadrat an der Kathedrale. Ich kann mir nicht vorstellen, daß Antonio Gaudi von Dürers Kupferstich abgekupfert hat. Vielmehr wollte er wohl nicht nur auf Jesus, sondern eben auch auf Dürer hinweisen.
Der Prozeß der Ableitung des Quadrates von Antonio Gaudi aus dem von Dürer läßt vermuten, daß vier Zahlen doppelt vorkommen. In Wirklichkeit sind es aber nur zwei, denn 12 geht in 11 und 11 wieder in die 10. Ebenso 16 in 15 und 15 in 14. Damit sind nur 10 und 14 doppelt, wofür 12 und 16 fehlen.
32 | 34
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34
wuerg, 29.08.2005 23:16
Die Zahl 34 heißt auch Jupiterzahl, denn sie ist die sog. magische Zahl des klassischen magischen Quadrates der Größe 4×4, das dem Jupiter zugeordnet wird. Warum das so ist, wissen die Gläubigen wahrscheinlich selbst nicht. Hier eine Übersicht:
Für den Jupiter mit n=4 ergibt sich die Jupiterzahl M₄=34, die natürlich nicht uninteressanter wäre, hätte man sie einem anderen oder gar keinem Gestirn zugeordnet. Nach dem trivialen magischen Quadrat der Größe 3×3 sind die mit 4×4 Zahlen die interessantesten. Sie sind überschaubar und doch nicht ohne weiteres zu konstruieren. Zählt man solche, die durch Drehung und Spiegelung auseinander hervorgehen nur einfach, so sind es immer noch 880. Das bekannteste ist das Dürer-Quadrat aus Melencolia I:
33 | 35
Gestirn n n2 Dn² Mn Saturn 3 9 45 15 Jupiter 4 16 136 34 Mars 5 25 325 65 Sonne 6 36 666 111 Venus 7 49 1225 175 Merkur 8 64 2080 260 Mond 9 81 3321 369Zu jedem der sieben Wandelsterne gehört ein magisches Quadrat der Größe n×n aus den Zahlen 1 bis n², die sich zu der Dreieckszahl n²(n²+1)/2 addieren, weshalb Zeilen, Spalten und Diagonalen jeweils die magische Zahl Mₙ=n(n²+1)/2 als Summe aufweisen.
Für den Jupiter mit n=4 ergibt sich die Jupiterzahl M₄=34, die natürlich nicht uninteressanter wäre, hätte man sie einem anderen oder gar keinem Gestirn zugeordnet. Nach dem trivialen magischen Quadrat der Größe 3×3 sind die mit 4×4 Zahlen die interessantesten. Sie sind überschaubar und doch nicht ohne weiteres zu konstruieren. Zählt man solche, die durch Drehung und Spiegelung auseinander hervorgehen nur einfach, so sind es immer noch 880. Das bekannteste ist das Dürer-Quadrat aus Melencolia I:
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1in dem unten das Entstehungsjahr des Kupferstiches, das Todesjahr 1514 der Mutter Albrecht Dürers zu sehen ist. Und es addieren sich nicht nur Zeilen, Spalten und Diagonalen zu 34, sondern auch weiter Teilfiguren. So alle vier Zahlen, die durch Rotation um 90 Grad verbunden sind.
33 | 35
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Star Quiz
wuerg, 26.08.2005 12:17
Für 50.000 Euro mußten gestern Reinhold Beckmann und eine mir unbekannte Frau im ersten Qualitätsfernsehen beim Star Quiz mit Jörg Pilawa die Frage beantworten, wieviele Ecken ein Oktaeder hat, der vom Moderator zunächst Oktäder genannt wurde. Alle Gäste bekannten in bewährter Bildungsbürgermanier sofort, in Mathematik nichts zustande gebracht zu haben. Und so wurden sie auch spontan geholfen mit dem Hinweis, daß ein Oktaeder aus zwei Pyramiden besteht, die an der Grundfläche zusammengefügt sind. Da hat wenigstens Beckmann räumliches Vorstellungsvermögen bewiesen und konnte die Ecken nachzählen.
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35
wuerg, 24.08.2005 19:41
Da 39 und 38 sich als nicht völlig uninteressant erwiesen und die Zahlen 37 und 36 von herausragender Bedeutung sind, wäre 35 ein Kandidat für die kleinste uninteressante Zahl. Das aber kann nicht sein. Für mich war 35 immer die zweistellige Beispielzahl, so wie es 4711 im vierstelligen Bereich ist. Hinter der 35 wird meine Vorstellung vom Zahlraum dunkler, bis 35 muß ich nicht rechnen. Und so habe ich die 35 zu meiner Lieblingszahl gemacht, ohne darüber nachzudenken, mit welchen objektiven Eigenschaften sie die anderen überragen könnte.
Eine schöne und wider Erwarten kaum ausgeschlachtete Eigenschaft ist 35=5⋅7. Einmal wegen der heiligen 7 und zum anderen wegen der beiden Primfaktoren. Damit ist für mich 35 das kleinste Produkt von Primzahlzwillingen, weil ich 6=2⋅3 und 15=3⋅5 nicht mitzähle, da ihre Faktoren nicht vom Typ 6n±1 sind. [1] Nach 35=5⋅7 kommen 143=11⋅13, 323=17⋅19 und 899=29⋅31.
Würden wir nicht zur Basis 10 rechnen und nicht an der Endziffer 5 sofort die Teilbarkeit durch 5 erkennen, könnte 35 als die kleinste Zahl durchgehen, die zusammengesetzt ist, aber dennoch wie eine Primzahl aussieht. Sie ist Produkt zweier verschiedener ungerader Primzahlen und damit Semiprimzahl. [2] Kleinere sind 15=3⋅5, 21=3⋅7 und 33=3⋅11, die auch nicht primer aussehen. Allenfalls 51=3⋅17 könnte als Primzahl durchgehen.
Zu jeder Zahl lohnt sich ein Blick in die Liste der figurierten Zahlen. Nicht bei jeder wird man fündig, bei 35 jedoch mehrfach. Zunächst ist 35 die 5. Fünfeckzahl
F5 = 1+4+7+10+13 = Q5 + D4 = 25+10 = 35
T5 = D1+D2+D3+D4+D5 = 1+3+6+10+15 = 35
Doch damit nicht genug. Die Zahl 35 ist nicht nur Summe zweier Kubikzahlen 8 und 27, sie folgen auch noch aufeinander. Damit ist 35 nach 1 und 9 die dritte zentrierte Kubikzahl. Die dritte normale Kubikzahl 27=3³ kann als Würfel mit drei Punkten auf jeder Kante der Länge 2 vorgestellt werden. Bringt man in der Mitte der 8=2³ enthaltenen Einheitswürfel einen weiteren Punkt unter, so erhält man die Darstellung der dritten zentrierten Kubikzahl 35.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. In A037074 gehört zwar 15 zu den Produkten von Primzahlzwillingen, nicht aber die 6. Es zählen sozusagen nur die zweieiigen Zwillinge im Abstand 2, nicht 2 und 3 direkt nebeneinander.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A046388 nennt diese Semiprimzahlen ausdrücklich ungerade und quadratfrei.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005898.
34 | 36
Eine schöne und wider Erwarten kaum ausgeschlachtete Eigenschaft ist 35=5⋅7. Einmal wegen der heiligen 7 und zum anderen wegen der beiden Primfaktoren. Damit ist für mich 35 das kleinste Produkt von Primzahlzwillingen, weil ich 6=2⋅3 und 15=3⋅5 nicht mitzähle, da ihre Faktoren nicht vom Typ 6n±1 sind. [1] Nach 35=5⋅7 kommen 143=11⋅13, 323=17⋅19 und 899=29⋅31.
Würden wir nicht zur Basis 10 rechnen und nicht an der Endziffer 5 sofort die Teilbarkeit durch 5 erkennen, könnte 35 als die kleinste Zahl durchgehen, die zusammengesetzt ist, aber dennoch wie eine Primzahl aussieht. Sie ist Produkt zweier verschiedener ungerader Primzahlen und damit Semiprimzahl. [2] Kleinere sind 15=3⋅5, 21=3⋅7 und 33=3⋅11, die auch nicht primer aussehen. Allenfalls 51=3⋅17 könnte als Primzahl durchgehen.
Zu jeder Zahl lohnt sich ein Blick in die Liste der figurierten Zahlen. Nicht bei jeder wird man fündig, bei 35 jedoch mehrfach. Zunächst ist 35 die 5. Fünfeckzahl
F5 = 1+4+7+10+13 = Q5 + D4 = 25+10 = 35
5
4 5
3 4 5
2 3 4 5
1 2 3 4 5 1
2 2 3 4 5 1 2 2
3 3 3 4 5 1 2 2 3 3 3
4 4 4 4 5 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4
5 5 5 5 5 1 + 2 2 + 3 3 3 + 4 4 4 4 + 5 5 5 5 5
die ich im vorstehenden Bild links in Form eines Hauses dargestellt habe. Rechts sind die 5 Ebenen eines Tetraeders zu sehen, der längs jeder Kante 5 Punkte aufweist. Insgesamt sind esT5 = D1+D2+D3+D4+D5 = 1+3+6+10+15 = 35
Doch damit nicht genug. Die Zahl 35 ist nicht nur Summe zweier Kubikzahlen 8 und 27, sie folgen auch noch aufeinander. Damit ist 35 nach 1 und 9 die dritte zentrierte Kubikzahl. Die dritte normale Kubikzahl 27=3³ kann als Würfel mit drei Punkten auf jeder Kante der Länge 2 vorgestellt werden. Bringt man in der Mitte der 8=2³ enthaltenen Einheitswürfel einen weiteren Punkt unter, so erhält man die Darstellung der dritten zentrierten Kubikzahl 35.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. In A037074 gehört zwar 15 zu den Produkten von Primzahlzwillingen, nicht aber die 6. Es zählen sozusagen nur die zweieiigen Zwillinge im Abstand 2, nicht 2 und 3 direkt nebeneinander.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A046388 nennt diese Semiprimzahlen ausdrücklich ungerade und quadratfrei.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005898.
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