Zahlwort

Auf der Suche nach der Zahl 666 bin ich auf einen Zusammen­hang zur Zahl 39 gestoßen, der von Eli Eshoh [1] gefunden oder kon­stru­iert wurde, weil ihm eine Bemer­kung von David Wells [2] nicht gefiel, 39 sei die kleinste uninter­essante Zahl. Er bemerkt, daß 39⋅39=1521 aus 15 und 21 zusammen­gesetzt ist, die in einer außer­ordent­lichen Beziehung zu 36 und 666 stehen:

15 + 21 = 36   und   15⋅15 + 21⋅21 =666

Ist das wirklich ein heraus­ragender Zusammen­hang? Ja und nein. Zunächst ist es eine Folge der allge­mein bekannten Tatsache, daß 666 die 36. Drei­ecks­zahl ist und 36 dazu eine Quadrat­zahl, denn für Dreiecks­zahlen Dₙ=n(n+1)/2 gilt

D_n−1 + D_n = n²   und   D_n−1² + D_n² = D_n²

was für die ersten n auf die Beziehungen

n=2:   1+3  =  4 = 2⋅2    1⋅1  +  3⋅3  =   10 = D4
n=3:   3+6  =  9 = 3⋅3    3⋅3  +  6⋅6  =   45 = D9
n=4:   6+10 = 16 = 4⋅4    6⋅6  + 10⋅10 =  136 = D16
n=5:  10+15 = 25 = 5⋅5   10⋅10 + 15⋅15 =  325 = D25
n=6:  15+21 = 36 = 6⋅6   15⋅15 + 21⋅21 =  666 = D36
n=7:  21+28 = 49 = 7⋅7   21⋅21 + 28⋅28 = 1225 = D49

führt. Für n=6 ergibt sich die Verbin­dung von 15 und 21 zu 36 und 666. Daß neben 666 auch 15 und 21 Dreiecks­zahlen sind, läßt Eli Eshoh unbe­merkt. Aber man muß ihm zuge­stehen, die Konka­tena­tion von 15 und 21 als Quadrat von 39 erkannt zu haben.

[1] Eli Eshoh: An Investi­gation into the Mystical Number 666. 1998.

[2] Wells: The Penguin Dictionary of Inter­esting and Curious Numbers.

38 | 40 | 666 | Dreiecks­zahlen

Will man überraschende Bezie­hungen zwischen Zahlen her­stellen, dann dürfen sie nicht so plump wie 1/6=0,1666666… oder so abwegig konstruiert wie 7/407=0,0171990171990… mit 017+199=216=6⋅6⋅6 sein. Ein gesundes Mittelmaß ist erforder­lich, und ein Ver­schwei­gen dessen, was auf eine mögliche schlichte Grund­lage oder andere bereits bekannte Tatsachen führen könnte. So hat Eli Eshoh nicht erwähnt, daß seine Zahlen 15 und 21 aus 15⋅15+21⋅21=666, 15⋅21=36 und 1521=39⋅39 wie 666 ebenfalls Dreiecks­zahlen sind. Und obwohl er die 39 zu glori­fizieren im Sinn hat, ver­schweigt er 39=3⋅13. Weil es simpel ist? Weil 39 durch 13 ent­weiht würde? Nein, weil 13 als bekannter Faktor von 1001=7⋅11⋅13 sofort die Grund­lage ent­hüllte, warum

1/39 = 0,0256410256410…   mit   256+410=666

ist. Damit 1/n eine Chance auf die Summe 666 hat, muß n das Drei­fache eines Tei­lers von 1001 sein, den man belie­big oft mit den Tei­lern von 10 multi­pli­zieren darf. Oftmal kommt auch eine genehme Zahl heraus:

1/21  = 1/(3⋅7)         = 0,0476190476190...       476+190=666
1/39  = 1/(3⋅13)        = 0,0256410256410...       256+410=666
1/42  = 1/(3⋅7⋅2)       = 0,0238095238095...       238+095=333
1/78  = 1/(3⋅13⋅2)      = 0,0128205128205...       128+205=333
1/84  = 1/(3⋅7⋅2⋅2)     = 0,01190476190476...      190+476=666
1/105 = 1/(3⋅7⋅5)       = 0,0095238095238095...    238+095=333
1/156 = 1/(3⋅13⋅2⋅2)    = 0,006410256410256...     410+256=666
1/195 = 1/(3⋅13⋅5)      = 0,005128205128205...     128+205=333
1/231 = 1/(3⋅7⋅11)      = 0,004329004329004...     329+004=333
1/273 = 1/(3⋅7⋅13)      = 0,00366300366300...      366+300=666
1/312 = 1/(3⋅13⋅2⋅2⋅2)  = 0,003205128205128...     205+128=333
1/336 = 1/(3⋅7⋅2⋅2⋅2⋅2) = 0,002976190476190476...  190+476=666
1/429 = 1/(3⋅11⋅13)     = 0,00233100233100...      233+100=333

Die schlichten Fälle n=3,6,11,12,15,24,30,33,66,132,165,… habe ich bereits weggelassen. In ihnen machen sich 3 als Teiler von 9 und 11 als Teiler von 99 zu sehr bemerk­bar.

Es ist nur teilweise Glück, daß 1/15=0,0666666… und 1/21=0,0476190476190… so schön passen, denn wo man 6 rein­steckt (36), kommt in Dreiecks­zahlen (15, 21 und 666) minde­stens 6/2=3 wieder raus. Den Faktor 3 haben 15 und 21 also nicht zufällig. Für die übrigen (5 und 7) bleiben wegen der Klein­heit der Zahlen nicht mehr viele Möglich­keiten.Ich nehme an, daß 1/15=0,0666666… und umge­kehrt 1/66=0,151515… trotz 151+515=666 Eli Eshoh etwas zu plump vorkamen, weshalb er zahl­reiche andere Summie­rungen auf 666, 777 oder 1998, dem seiner­zeit noch mög­lichen Welt­unter­gang, hervor­kramt.

Es ist gleichfalls reiner Buden­zauber, neben Dezimal­stellen auch ganze Zahlen zu finden, deren Dreier­blöcke addiert ein Vielfaches von 333 oder nur 111 bilden. Das liegt salopp gespro­chen daran, daß eine Zahl durch 999 teilbar ist, wenn es die Summe ihrer Dreier­blöcke eben­falls ist. Konkreter: Für jeden Teiler k von 999 und jede Zahl n mit Quer­summe Q(n) der Dreier­blöcke gilt: Q(n)=n modulo k. Besonders erfolg­verspre­chend ist k=333, weil dann 666 und 1998 als Quer­summe recht wahr­schein­lich sind.

Ein Beispiel: 666=Q(666)=0 mod 333. Also sind auch alle Potenzen von 666 und ihre Quer­summen Viel­fache von 333. Die Wahr­schein­lich­keit für gute Treffer ist also ansehn­lich:

666  =               666                     666=666
6662 =            443556                 443+556=999
6663 =         295408296             295+408+296=999
6664 =      196741925136         196+741+925+136=1998
6665 =   131030122140576     131+030+122+140+576=999
6666 = 87266061345623616  87+266+061+345+623+616=1998

Die vierte Potenz ist eigent­lich ein schöner Treffer: Die Jahres­zahl 1998, keine führen­den Nullen in den Summan­den und mit dem Taschen­rechner nach­voll­ziehb­bar. [1] Doch die sechste Potenz paßt besser ins Sechser-​Konzept.

Ich weiß, ich schweife von der 39 zur 666 ab. Doch das letzte Ergebnis konnte ich mir nach dem Studium der Ein­las­sungen von Eli Eshoh nicht ver­kneifen. Zum Ausgleich noch schnell ein Allein­stel­lungs­merkmal der 39. Sie ist die kleinste Zahl, die sich auf drei­fache Weise in drei Summan­den zerlegen läßt, deren Produkte alle drei gleich sind:

39 = 4 + 15 + 20     4 ⋅ 15 ⋅ 20 = 1200
39 = 5 + 10 + 24     5 ⋅ 10 ⋅ 24 = 1200
39 = 6 +  8 + 25     6 ⋅  8 ⋅ 25 = 1200

Mein Programm sagt, daß es keine weiteren mit drei und über­haupt keine mit mehr Summan­den gibt. Daß 39 die kleinste ist, glaube ich jetzt einmal.

[1] Meiner lieferte nicht die die letzten beiden Stellen. Doch die können aus den letzten beiden von 666³ und 666 ermit­telt werden: 96⋅66=6336, also End­zif­fern 36.