Zahlwort

Unter den Bedeutsamkeiten der Zahl 153 bleibt gelegentlich 153=3*51 nicht unerwähnt. Es ist also möglich, aus den Ziffern der Zahl 153 einen arithmetischen Ausdruck zu bilden, der wieder diese Zahl ergibt. Das mag zunächst als Allerweltseigenschaft angesehen werden, weil man doch aus drei oder gar noch mehr Ziffern sehr viele Ausdrücke bilden kann, von denen mit ansehnlicher Wahrscheinlichkeit einer treffen sollte.

Eine Zahl heißt Friedmanzahl, wenn man aus ihren Ziffern zwei oder mehr neue Zahlen bildet und diese unter einmaliger Verwendung durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung zu einem Ausdruck verbindet, dessen Wert wieder die Ausgangszahl ist. Die Friedmanzahlen unterhalb von 1000 sind:

 25 = 5^2 (5 hoch 2)
121 = 11^2
125 = 5^(1+2)
126 = 6*21
127 = (2^7)-1
128 = 2^(8-1)
153 = 3*51
216 = 6^(1+2)
289 = (8+9)^2
343 = (3+4)^3
347 = (7^3)+4
625 = 5^(6-2)
688 = 8*86
736 = 7+(3^6)

Es sind weniger als ich zunächst erwarten würde. Darunter sind nur drei, nämlich 126, 153 und 688, die auf das Potenzieren verzichten können. Und nur 127, 128, 343, 736 heißen "nice", weil der Ausdruck die Ziffern in der richtigen Reihenfolge enthalten kann, wobei ich 127=-1+2^7 eigentlich nicht mitzählen möchte, denn ein negatives Vorzeichen ist keine Subtraktion.

Zunächst könnte man denken, fast jede zweite oder dritte Zahl sei irgendwie durch ihre Ziffern darstellbar. Das mag für sehr große auch gelten, bis 100 ist es aber nur 25, und bis eine Million ändert sich kaum etwas an dieser Dichte. Die mit zunehmender Ziffernzahl stark anwachsenden Kombinationen nützen jedenfalls unterhalb einer Million nichts gegen die erhöhte Anforderung, diese Ziffern auch allesamt zu treffen. Es ist dennoch durchaus denkbar, daß sehr, sehr große Zahlen fast alle Friedmanzahlen sind.

Bei kleinen Zahlen handelt es sich vor allem um Zufallstreffer in der Nähe von Potenzen oder deren Vielfache:

25 = 5^2
121 = 11^2
216 = 6^(1+2)
127 = 2^7-1
347 = 7^3+4
1792 = 7*2^(9-1)

Divisionen werden erst später benötigt, um Werte zu verkleinern oder gar überschüssige Ziffern zu eliminieren:

1296 = 6^((9-1)/2)
2048 = (8^4)/2+0
15626 = 1+5^((6^2)/6)

Durch diese Divisionen sind Teilausdrücke möglicherweise keine ganzen Zahlen mehr, was die Bestimmung der Friedmanzahlen mit dem Computer nicht gerade erleichtert:

26244 = (2/6)^(-2*4)/4

In diesem Beispiel könnte man noch durch Umstellung des Ausdruckes negative Zwischenergebnisse vermeiden. Die verquere Darstellung soll zeigen, daß 26244 eine "nice Friedman number" ist, der Ausdruck also die Ziffern in der richtigen Reihenfolge enthält.

Klar ist, daß Nullen und Einsen zumeist von Vorteil sind, weil man sich ihrer bei Bedarf durch +0 bzw *1 entledigen kann kann. Auch andere Ziffern n sind zum Beispiel durch 1^n oder 0*n zu vernichten. So kommen auch gerne Ausdrücke wie n/n ins Spiel:

69984 = 6^((-9/9)+8)/4

Will man für sehr große Zahlen nachweisen, daß sie Friedmanzahlen sind, so scheidet eine vollständige Suche mit dem Computer aus. Dann muß man eine Konstruktion versuchen. Teilausdrücke wie

1 = n/n
10 = (nn-n)/n

helfen dabei. Damit können dann so schöne Friedmanzahlen wie

99999999 = (10^8)-1 = (9+9/9)^(9-9/9)-9/9

gebildet werden.

Ich kann es nur noch einmal wiederholen: Es ist verwunderlich, wie gering der Anteil der Friedmanzahlen zumindest unter denen mit wenig Stellen ist. So ist unterhalb von

99999999 = (10^8)-1 = (9+9/9)^(9-9/9)-9/9

keine Friedmanzahl aus lauter gleichen Ziffern bekannt, gleichwohl ab 25 Stellen alle Zahlen aus gleichen Ziffern Friedmanzahlen sind. Die Zahl aus n Ziffern a wird gemäß

aaa...a = ((10^n)-1)*(a/9)

konstruiert. Für 1=a/a, 10=(aa-a)/a, 9=(aa-a-a)/a und a selbst gehen 12 Ziffern drauf, daß zur Konstruktion von n noch n-12 bleiben. Da man gemäß (a+a+a...+a)/a jede Zahl k aus k+1 der Ziffern bilden kann, genügt es, irgendein m aus m-13 Ziffern zu bilden. Und das gelingt für m=24 durch

24 = ((a+a+a+a+a)/a)^((a+a)/a)-a/a

Die 12 Ziffern für 1, 10, 9 und a selbst zusammen mit den 11 für die Zahl 24 samt mindestens 2 für die Zahl k ergeben insgesamt 25 Stellen, ab der die Konstruktion möglich ist. Ein Beispiel für 36 Sechsen

666666666666666666666666666666666666 =
[[(66-6)/6]^[((6+6+6+6+6)/6)^((6+6)/6)-6/6+
(6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6)/6]-6/6]*[6*6/(66-6-6)]

Das ist zwar interessant, ergibt aber nicht besonders viele Friedmanzahlen. Eine wichtigere Idee ist eine Zerlegung der Zahl n=a*(10^n)+b gemäß dieser Formel. Dazu reicht es, aus den Ziffern von b neben der Zahl b selbst noch die 10 und ein n zu bilden, das die Stellenzahl von b nicht unterschreitet. Es liegt auf der Hand, es mit Quadratzahlen b zu versuchen. Tatsächlich ist

3548^2 = 12588304

Es bleiben also die Ziffern 1, 0 und 8 zur Bildung von 10 und n=8 übrig. Ein Beispiel:

471112588304 = 4711*(10^8)*(3548^2)

Etwas trickreicher geht es mit b=46656=6^6. Es bleiben 4, 5 und 6 übrig für 10=4+6 und n=5. Ein Beispiel:

471146656 = 4711*((4+6)^5)+(6^6)

Es ist also mindestens eine von 100000 Zahlen eine Friedmanzahl. Deren Dichte liegt also mit wachsender Stellenzahl stets über dieser unteren Schranke, die aber sicherlich weit hinter der wahren Rate zurückbleibt.

Ein weiteres b=19683 mit b=3^9 und n=6+8 trägt nicht viel zur Hebung der unteren Schranke bei, doch zur Frage nach den primen Friedmanzahlen. Wegen b=3^9 und n=6+8 bleibt zwar nur noch die 1, doch steht eine 0 zur Bildung der 10 zur Verfügung, weil n=14 größer als die Stellenzahl von b ist. Wieder ein Beispiel:

471100000000019683 =
4711*(10^(6+8))+0+0+0+0+0+0+0+0+(3^9)

Da b=3^9 und 10^14 keinen gemeinsamen Teiler haben, müssen unter den Friedmanzahlen a*10^14+19683 unendlich viele Primzahlen vorkommen. Damit ist nachgewiesen, daß es unendlich viele prime Friedmanzahlen gibt. Dieser Beweis geht auf Ron Kaminsky zurück. So schreibt es Erich Friedman, von dem ich die hier aufgeführten Ideen übernommen habe.

Friedman