Zahlwort

Reformbestrebungen im deutschen Sprachraum zielen weniger auf die Großgliederung (Tausend, Million, Milliarden) der Zahlen in Dreierblöcken (Großziffern), sondern auf eine analoge Gliederung der Großziffern (000-999) in drei normale Dezimalziffern. Auch hier wird man nicht einfach fünf-null-sechs für 506 sagen können, sondern an der menschlichen Positionsbezeichnung festhalten, also in der Form 5-h-0-z-6-e sprechen, wobei es wieder der jeweiligen Sprache überlassen bleibt, wie die Ziffern 0 bis 9 und die Positionen h, z und e benannt werden. Wegen der Übereinstimung mit der englischen Sprache wird eine deutsche Zahlsprechreform weiterhin h mit Hundert bezeichnen und e völlig entfallen lassen. Für z aber scheidet „zehn“ wegen Kollisionen mit der hergebrachten Sprechweise aus. Sonst wäre 30 als dreizehn zu sprechen. Das z durch die Silbe „zig“ zu ersetzen ist formal gut, doch wirkt es ein bißchen albern.

In beiden Gliederungsschriften (Dreierblöcke und Einzelziffern) soll natürlich von dem Vorteil der Positionsbezeichnung Gebrauch gemacht werden, Nullen und Einsen weitgehend zu unterdrücken, Ziffern 0 und Großziffern 000 entfallen beim Sprechen oder Ausschreiben samt der nachfolgenden Positionsangabe. Ziffern 1 und Großziffern 001 können ebenfalls weggelassen werden. So leitet sich aus der Zahl 10023000507001890, die übersichtlicher als 10.023.000.507.001.890 geschrieben wird, zunächst die Sprechweise 10-t5-023-t4-000-t3-507-t2-001-t1-890-t0 ab. Es entfallen t0, 000-t3 und 001, wodurch 10-t5-023-t4-507-t2-t1-890 entsteht. Die Gliederung der Großziffern führt auf 1z0e-t5-0h2z3e-t4-5h0z7e-t2-t1-8h9z0e und die Weglassung von 0e, 0z, 0h, e und 1 auf z-t5-2z3-t4-5h7-t2-t1-8h9z.

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Stellt man eine Zahl nicht zur Basis 10, sondern 1000 dar, so benötigt man nicht nur zehn Ziffern, sondern tausend sog. Großziffern. Rechenkünstler verbinden mit jeder dieser Großziffern eine anschauliche Vorstellung und kennen im Idealfall das zugehörige (kleine) Einmaleins aus tausend mal tausend Produkten auswendig. Stellt man die Großziffern aber als drei normale Ziffern dar, so unterscheidet die Darstellung in Großziffern sich nicht von der normalen Dezimalschreibweise, wenn man bei der führenden Großziffer auf die führenden Nullen verzichtet. So würde die Zahl 10203040506070809 in Großziffern 010.203.040.506.070.809 lauten. An den Menschen angepaßt auch 10.203.040.506.070.809, wodurch der Eindruck einer gegliederte Dezimalzahl entsteht. Wer sich an die Unart von IP-Adressen gewöhnt hat, mag auch 10.203.40.506.70.809 schreiben.

Auf diesen Großziffern oder der Gliederung in Dreierblöcken baut unsere Zahlbenennung auf. Jede Zahlwortreform wird darauf Rücksicht nehmen müssen. Da die Menschen der ganzen Welt auch nicht von der Bennennung der Ziffernpositionen abweichen werden, ist die obige Zahl 10203040506070809 also in der Form 10-t5-203-t4-040-t3-506-t2-070-t1-809-t0 auszusprechen, wobei es der jeweiligen Sprache überlassen bleibt, wie die Dreierblöcke und die Positionsangaben t0, t1, t2, ... auszusprechen sind. Wegen der Übereinstimmung mit der englischen Sprache wird eine deutsche Zahlwortreform weiterhin t2 mit Million und t1 mit Tausend bezeichnen und t0 völlig entfallen lassen. Ab t3 aber entsteht ein gewisses Problem.

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Solange Zahlen in der uns bekannten Weise geschrieben werden, halte ich zwei Positionen für deren Aussprache und ihre Schreibung als Zahlwörter für vernünftig. Die eine besteht einfach darin, es der Sprachevolution zu überlassen, an der sich Reformer und Kritiker durchaus offensiv bis aggressiv beteiligen können. So machen es ja auch die Jugendlichen (Alder), die Aktiengläubigen (aufstellen), die Christen (Zeitansage), die Informatiker (matchen), die Berater (handeln), die Internetspinner (dotcom) und auch das gemeine Volk (Navi). Meinetwegen können alle Sprachverbesserer gerne auch dreizigeins statt einunddreißig sprechen und schreiben, bis sich ihre Ausdrucksweise durchgesetzt hat und die heutige als veraltet gilt. Über die Jahrhunderte gesehen wäre das keine sehr gravierende Änderung.

Die andere (zweite!) Position ist eine in allen Aspekten systematische Benennung der Zahlen, deren Verwendung zumindest dann angebracht ist, wenn Verwechselungen ausgeschlossen werden sollen. So war es auf Schecks üblich, den Betrag nochmals zweifelsfrei auszuschreiben (eins-zwei-drei-vier bei 1234 DM). Auch sind wir daran gewöhnt, Nachkommastellen einfach aufzulisten und nur ausnahmsweise die Positionen (er lief in 9 Sekunden und 95 Hundertstel) zu benennen. Trotzdem werden wir nicht eine reine Aufzählung (eins-zwei-drei-vier) oder gar eine wissenschaftliche Notation (1.234e+3, deutsch eins-Komma-zwei-drei-vier Tausend) sprechen wollen. An der Benennung der Ziffernposition (Hundert, Tausend, Million) wird also festzuhalten sein, wodurch der weitgehende Wegfall der null und der eins in der Zahlaussprache weiterhin möglich bliebe. Auch auf die Gliederung in Dreiergruppen (Großziffern) wird ein neues System Rücksicht zu nehmen haben.

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Heute meldet mir der Google-Mathematik-Alert statt interessanter Forschungsergebnisse wieder einmal einen Zwanzigeins-Vorstoß. Es mag von Vorteil sein, wenn auch wir Deutschen unsere Zahlen gemäß der Ziffern-Reihenfolge benennen, doch die Pisa-Ergebnisse werden sich dadurch nur wenig bessern. Verordnen werden kann ein neues Zahlsprech so und so nicht. Allenfalls wird sich eine neue Bennenung nach einer langen Zeit der Koexistenz mit der alten durchsetzen. Nicht anders ergeht es der Rechtschreibreform. Eine Anpassung an die Angelsachsen wird so und so nicht ausbleiben, gleichwohl sie in keiner Weise Vorbild sind, solange Pfunde, Linksverkehr, Zoll, Gallonen und deren Billionen nicht abgeschafft sind. Die Schweden haben auf Rechtsverkehr umgestellt, die Norweger alternative Zahlbezeichnungen. Zusammen mit den Pisa-Finnen sollten sie eher Vorbild sein.

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Die Bedeutung der 14 besteht vor allem darin, das Dop­pelte der 7 zu sein, fällt jedoch hinter ande­ren Viel­fa­chen zurück: 4·7=28 ist voll­kommen, 6·7=42 erklärt die ganze Welt und 70 mal 7 mal soll man ver­geben. Zwar umfas­sen zwei Wochen 14 Tage, ein hal­ber Monat ist aber gut 15 Tage lang, und zur glei­chen Zeit Hoch­was­ser gibt es eben­falls fast alle 15 Tage. Im Gegen­satz zu Ostern wird Pas­sah immer ab dem 14. Nisan gefei­ert, was aber nur ein Vorteil ist, wenn alle nach dem jüdi­schen Kalen­der leben. Moder­nen Nazis steht die 14 für die schwach­sinni­gen 14 Wörter eines Spru­ches von David Eden Lane.

So bleibt im wesent­lichen die aus Daleth+Waw+​Daleth=​4+6+4=14 abge­lei­tete Davids­zahl. Sie findet sich in den 14 Ge­schlech­tern von Abra­ham bis David und den gemau­schel­ten zwei­mal 14 bis Jesus. Die glei­che Denk­weise gilt für Johann Seba­stian Bach, in dessen Musik B+A+C+H=2+1+3+8=14 nicht zufäl­lig vor­kommt.

Mathe­matisch gibt die 14 eben­falls wenig her. Sie ist aber dritte quadra­tische Pyra­miden­zahl, also 1·1+2·2+3·3=14. Fest­körper­physi­ker werden wissen, daß es 14 Bravais-​Gitter gibt. Würfel und Okta­eder haben jeweils 12 Kan­ten und somit 12+2=14 Ecken und Flä­chen. Durch Absägen der Ecken eines Würfels bzw. Okta­eders ent­stehen 8 Drei­ecke und 6 Qua­drate. Der entstande Kub­okta­eder hat also 14 Flä­chen.

Und noch eine kleine Spie­lerei: Eine k‑stel­lige Zahl n heißt Keith-​Zahl, wenn man ihre Zif­fern als die ersten k Glieder einer Folge nimmt, in Fibo­nacci-​Manier immer k Folge­glieder addiert und n in dieser Folge vor­kommt. [1] Unter den nicht tri­via­len mehr­stel­ligen Keith-​Zahlen ist 14 die kleinste.

1,4,5,9,14      (1+4=5, 4+5=9, 5+9=14)
1,9,10,19            (1+9=10, 9+10=19)
2,8,10,18,28
4,7,11,18,29,47
6,1,7,8,15,23,38,61
7,5,12,17,29,46,75
1,9,7,17,33,57,107,197 (1+9+7=17, ...)

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Keith-​Zahlen A130010.

13 | 15 | 7 | 28 | 42

Die 13 gilt ge­mein­hin als Unglücks­zahl, von vielen wird sie gemie­den, in ameri­kani­schen Hoch­häu­sern fehlt oft­mals das 13. Stock­werk, Freitag der 13. gilt als beson­derer Unglücks­tag. Bis zwölf haben wir eigen­stän­dige Zahl­wörter, ab 13 werden sie zusammen­gesetzt. Offen­sicht­lich ist 13 einer zuviel. Dabei könnte 13 auch als Erhö­hung der Zahl 12 gesehen werden, etwa Jesus und seine 12 Jünger. Welche posi­tive Bedeu­tung die Frei­maurer der 13 zumes­sen, möchte ich gar nicht wissen. [1] Das Bäcke­rdut­zend umfaßt 13 Bröt­chen, um nicht Gefahr zu laufen, aus Ver­sehen nur 11 einzu­packen. Gott soll 13 Eigen­schaf­ten haben, Paulus hat sich selbst zum 13. Apo­stel ernannt. Für die 13. Fee reichte das Geld nicht. Hinter jeder 12 kann eine geheime, mög­licher­weise gefähr­liche 13 ver­mu­tet werden. Das unter­stri­chene M von McDonald's ergibt um 90 Grad gedreht eine 13 und weist auf deren Schlech­tig­keit hin.

Der Kalender der Mayas kennt einen Zyklus von 13 Jahren. Im Luni­solar­kalender muß ab und zu ein 13. Monat einge­schoben werden. Und weil ein Monat etwas mehr als vier Wochen umfaßt, fällt in jedem Quar­tal eine 13. Woche an, weshalb Fernseh­serien oftmals 13 Folgen haben. Die zweite zen­trierte Zwölf­eck­zahl ist trivialer­weise 13=1+12 und wird hier nur erwähnt, weil sie des­halb zugleich zweite sechs­eckige Stern­zahl ist, auch wenn die Zacken wie auf dem ameri­kani­schen Dollar­schein nur aus einem Punkt beste­hen. Mirp-​Zahlen sind Prim­zah­len, die zif­fern­ver­tauscht eine andere Primzahl ergeben. [2] Damit schei­den 2, 3, 5, 7 und 11 aus und die 13 mit ihrer Umkeh­rung 31 ist die klein­ste Mirp-​Zahl. [3] Die beiden Zif­fern sind wie bei 12 und 21 so klein, daß 13·13=169 und 31·31=961 eben­falls zif­fern­ver­tauscht sind. Die 13. Mer­senne-​Zahl 2¹³−1=8191 ist prim, die 13 ist Teil des pytha­gorei­schen Tripels 12²+5²=13² und kommt in der Folge der Fibo­nacci­zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … an siebter Stelle vor. Und was die Teil­barkeit durch 13 betrifft, so gilt wegen 1001=7·11·13 die gleiche Regel wie für die 7: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn man die alter­nie­rende Quer­summe von Dreier­blöcken durch 13 teilen kann.

   ●        3. Generation:            0 +           1   2=1+1
● ● ● ●     4. Generation:       0    1 +           0   3=2+1
 ● ● ●      5. Generation:    0  1    0 +      0    1   5=3+2
● ● ● ●     6. Generation:  0 1  0  0 1 +   0  1    0   8=5+3
   ●        7. Generation: 01 0 01 01 0 + 0 1  0  0 1  13=8+5  

Sternzahl, Kaninchenvermehrung [4] und Bitketten (png)

Es ist mir keine Anwendung bekannt, in der mit Vorteil zur Basis 13 gerech­net wer­den kann, außer „Per Anhal­ter durch die Gala­xis“ von Douglas Adams, der zwar selbst gesagt hat, er mache keine Scherze zur Basis 13, doch sich gefal­len lassen muß, daß „Six by Nine. Forty two.“ als 6·9=42 zur Basis 13 inter­pre­tiert korrekt ist und mit „4 und 2“ (nicht 42) auch die Zahl 4·13+2=54=6·9 gemeint sein könnte. Ich bin wahr­schein­lich nicht der erste, der diesen Gedan­ken weiter­gespon­nen hat: Sehe ich auch 54 als eine Tre­dezi­mal­zahl, dann steht sie für 5·13+4=69. Und da sind sie wieder, 6 und 9! Deshalb habe ich mir den Spaß erlaubt, dieses Prinzip nach vorne und hinten fort­zuset­zen und kam so auf die Reihe 12, 15, 18, 21, 27, 33, 42, 54, 69, 87, 111, 183, 276, 435, 720, … mit den genann­ten Zahlen 42, 54 und 69, aber auch der belieb­ten 111=3·37 und der 23. Drei­ecks­zahl 276 der Bibel. Schön wäre 666 gewe­sen. Des ungeach­tet meine ich, mit „4 und 2“ sei viel­leicht 24 gemeint, die eher etwas mit dem Uni­versum und allem zu tun haben könnte.

Und wenn ich schon die biblische 276 erwähne: Nach­dem Gerdhard Kringe im Inter­net die Zahl 12 geprie­sen hat, stimmt er nicht ein in eine Verdam­mung der 13 als Unglücks­zahl. [5] Er unter­stützt die andere Sicht von der Erhöhung der 12 um eins. Was jedem sofort ein­fällt, sind Jesus und seine Jünger, die zusammen (die wilde) 13 bilden. Das läßt er aus, schreibt aber: „Die Zahl der heraus­geru­fenen Erst­lings­ge­mein­de ist die "13". Für diese Heraus­geru­fene steht der 13. Apostel, Paulus. In dieser Zahl ver­birgt sich nicht mehr die Zahl des Kos­mos. 13 ist auch die Zahl der Liebe (1.Kor.13).“ Doch Ablei­tun­gen aus Vers­num­mern sind den meisten Men­schen so fremd wie kon­stru­ierte Addi­tio­nen: „13 ist auch 10+3; 10 = die Voll­zahl, die Fülle, die Verant­wor­tung und das Ziel. 3 = die Ganz­heit, die Drei­einig­keit, die Gottes­offen­ba­rung. Ohne diese Zah­len über­strapa­zieren zu wol­len …“ Und das will auch ich nicht.

[1] Manche sehen nicht nur auf dem Dollar­schein eine Unter­wande­rung der USA durch die Frei­maurer. Da passen die 13 Grün­dungs­staa­ten gut ins Bild.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mirp-​Zah­len (emirps) A006567.

[3] Diese Bezeichnung erinnert an die Spaß­frage: Was macht eine Biene im Rück­wärts­gang? Mus, mus!

[4] Eine junge Zibbe (0) gebiert eine wei­tere (0) und wird alt (1). Eine alte Zibbe (1) gebiert eine weitere Nach­kom­min (0) und stirbt. Die Über­gangs­regeln zur nächsten Genera­tion lauten also 0→01 und 1→0. Man beginnt in der ersten Generation mit einer einzigen alten Zibbe 1, die in 0 übergeht, die wiederum in 01, gefolgt von 010 und so weiter. Die n‑te Ge­ne­ra­tion besteht aus F(n) Zibben, davon F(n−1) jung und F(n−2) alt.

[5] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.

12 | 14 | 31 | 42 | Fr, 13. | Fibonaccizahlen | Teilbarkeitsregeln

So wie die Oktave (2:1) aus sieben, die Quinte (3:2) aus vier und die Quarte aus drei (4:3) Schritten einer Tonleiter oder im Notenliniensystem besteht, so sind es bei der Terz zwei. Während erstere nur ausnahmsweise stark von 12, 7 bzw. 5 Halbtönen abweichen, tritt die Terz regelmäßig in zwei Ausprägungen auf, was die Unvorteilhaftigkeit der herkömmlichen Intervall-Bezeichnungen deutlich macht. Die großen Terzen liegen normalerweise bei 4 Halbtönen, die natürliche große Terz (5:4) liegt mit 386 Cent deutlich darunter. Die kleinen Terzen liegen normalerweise bei 3 Halbtönen, die natürliche kleine Terz (6:5) mit 316 Cent noch weiter darüber.

Auf die Frage, wie man die Oktave gleichmäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Kettenbruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,...] die Antwort. Es ist günstig in n=3,28,59,146,... Intervalle zu teilen, wovon 1,9,19,47,... eine große Terz nähern. Die 9 im Kettenbruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also die drittel Oktave die große Terz gut nähert. Trotzdem sind das 14 Cent zuviel.

Die gleiche Überlegung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,...] und n=4,19,422,... mit 1,5,111,... Intervallen für die kleine Terz. Die 4 im Kettenbruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also die viertel Oktave die kleine Terz gut nähert. Doch sind das 16 Cent zuwenig. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Kettenbruch.

Welche Teilungen sind jetzt also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natürlich die Teilung in 12 Intervalle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegenüber der Zwölftonleiter nicht verschlechtern, so kommt die 53-Tonleiter mit Intervall-Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natürlich sehr genau. Und glücklicherweise sind 17 und 14 Intervalle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.

Die 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53-Tonleiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbessern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19-Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Intervalle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz dargestellt. Die kleine Terz stimmt natürlich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompromiß, der auch nur eine musikalische Nische ausfüllt.

Quinte | Oktave | A028508