Zahlwort

Die 13 gilt ge­mein­hin als Unglücks­zahl, von vielen wird sie gemie­den, in ameri­kani­schen Hoch­häu­sern fehlt oft­mals das 13. Stock­werk, Freitag der 13. gilt als beson­derer Unglücks­tag. Bis zwölf haben wir eigen­stän­dige Zahl­wörter, ab 13 werden sie zusammen­gesetzt. Offen­sicht­lich ist 13 einer zuviel. Dabei könnte 13 auch als Erhö­hung der Zahl 12 gesehen werden, etwa Jesus und seine 12 Jünger. Welche posi­tive Bedeu­tung die Frei­maurer der 13 zumes­sen, möchte ich gar nicht wissen. [1] Das Bäcke­rdut­zend umfaßt 13 Bröt­chen, um nicht Gefahr zu laufen, aus Ver­sehen nur 11 einzu­packen. Gott soll 13 Eigen­schaf­ten haben, Paulus hat sich selbst zum 13. Apo­stel ernannt. Für die 13. Fee reichte das Geld nicht. Hinter jeder 12 kann eine geheime, mög­licher­weise gefähr­liche 13 ver­mu­tet werden. Das unter­stri­chene M von McDonald's ergibt um 90 Grad gedreht eine 13 und weist auf deren Schlech­tig­keit hin.

Der Kalender der Mayas kennt einen Zyklus von 13 Jahren. Im Luni­solar­kalender muß ab und zu ein 13. Monat einge­schoben werden. Und weil ein Monat etwas mehr als vier Wochen umfaßt, fällt in jedem Quar­tal eine 13. Woche an, weshalb Fernseh­serien oftmals 13 Folgen haben. Die zweite zen­trierte Zwölf­eck­zahl ist trivialer­weise 13=1+12 und wird hier nur erwähnt, weil sie des­halb zugleich zweite sechs­eckige Stern­zahl ist, auch wenn die Zacken wie auf dem ameri­kani­schen Dollar­schein nur aus einem Punkt beste­hen. Mirp-​Zahlen sind Prim­zah­len, die zif­fern­ver­tauscht eine andere Primzahl ergeben. [2] Damit schei­den 2, 3, 5, 7 und 11 aus und die 13 mit ihrer Umkeh­rung 31 ist die klein­ste Mirp-​Zahl. [3] Die beiden Zif­fern sind wie bei 12 und 21 so klein, daß 13·13=169 und 31·31=961 eben­falls zif­fern­ver­tauscht sind. Die 13. Mer­senne-​Zahl 2¹³−1=8191 ist prim, die 13 ist Teil des pytha­gorei­schen Tripels 12²+5²=13² und kommt in der Folge der Fibo­nacci­zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … an siebter Stelle vor. Und was die Teil­barkeit durch 13 betrifft, so gilt wegen 1001=7·11·13 die gleiche Regel wie für die 7: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn man die alter­nie­rende Quer­summe von Dreier­blöcken durch 13 teilen kann.

   ●        3. Generation:            0 +           1   2=1+1
● ● ● ●     4. Generation:       0    1 +           0   3=2+1
 ● ● ●      5. Generation:    0  1    0 +      0    1   5=3+2
● ● ● ●     6. Generation:  0 1  0  0 1 +   0  1    0   8=5+3
   ●        7. Generation: 01 0 01 01 0 + 0 1  0  0 1  13=8+5  

Sternzahl, Kaninchenvermehrung [4] und Bitketten (png)

Es ist mir keine Anwendung bekannt, in der mit Vorteil zur Basis 13 gerech­net wer­den kann, außer „Per Anhal­ter durch die Gala­xis“ von Douglas Adams, der zwar selbst gesagt hat, er mache keine Scherze zur Basis 13, doch sich gefal­len lassen muß, daß „Six by Nine. Forty two.“ als 6·9=42 zur Basis 13 inter­pre­tiert korrekt ist und mit „4 und 2“ (nicht 42) auch die Zahl 4·13+2=54=6·9 gemeint sein könnte. Ich bin wahr­schein­lich nicht der erste, der diesen Gedan­ken weiter­gespon­nen hat: Sehe ich auch 54 als eine Tre­dezi­mal­zahl, dann steht sie für 5·13+4=69. Und da sind sie wieder, 6 und 9! Deshalb habe ich mir den Spaß erlaubt, dieses Prinzip nach vorne und hinten fort­zuset­zen und kam so auf die Reihe 12, 15, 18, 21, 27, 33, 42, 54, 69, 87, 111, 183, 276, 435, 720, … mit den genann­ten Zahlen 42, 54 und 69, aber auch der belieb­ten 111=3·37 und der 23. Drei­ecks­zahl 276 der Bibel. Schön wäre 666 gewe­sen. Des ungeach­tet meine ich, mit „4 und 2“ sei viel­leicht 24 gemeint, die eher etwas mit dem Uni­versum und allem zu tun haben könnte.

Und wenn ich schon die biblische 276 erwähne: Nach­dem Gerdhard Kringe im Inter­net die Zahl 12 geprie­sen hat, stimmt er nicht ein in eine Verdam­mung der 13 als Unglücks­zahl. [5] Er unter­stützt die andere Sicht von der Erhöhung der 12 um eins. Was jedem sofort ein­fällt, sind Jesus und seine Jünger, die zusammen (die wilde) 13 bilden. Das läßt er aus, schreibt aber: „Die Zahl der heraus­geru­fenen Erst­lings­ge­mein­de ist die "13". Für diese Heraus­geru­fene steht der 13. Apostel, Paulus. In dieser Zahl ver­birgt sich nicht mehr die Zahl des Kos­mos. 13 ist auch die Zahl der Liebe (1.Kor.13).“ Doch Ablei­tun­gen aus Vers­num­mern sind den meisten Men­schen so fremd wie kon­stru­ierte Addi­tio­nen: „13 ist auch 10+3; 10 = die Voll­zahl, die Fülle, die Verant­wor­tung und das Ziel. 3 = die Ganz­heit, die Drei­einig­keit, die Gottes­offen­ba­rung. Ohne diese Zah­len über­strapa­zieren zu wol­len …“ Und das will auch ich nicht.

[1] Manche sehen nicht nur auf dem Dollar­schein eine Unter­wande­rung der USA durch die Frei­maurer. Da passen die 13 Grün­dungs­staa­ten gut ins Bild.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mirp-​Zah­len (emirps) A006567.

[3] Diese Bezeichnung erinnert an die Spaß­frage: Was macht eine Biene im Rück­wärts­gang? Mus, mus!

[4] Eine junge Zibbe (0) gebiert eine wei­tere (0) und wird alt (1). Eine alte Zibbe (1) gebiert eine weitere Nach­kom­min (0) und stirbt. Die Über­gangs­regeln zur nächsten Genera­tion lauten also 0→01 und 1→0. Man beginnt in der ersten Generation mit einer einzigen alten Zibbe 1, die in 0 übergeht, die wiederum in 01, gefolgt von 010 und so weiter. Die n‑te Ge­ne­ra­tion besteht aus F(n) Zibben, davon F(n−1) jung und F(n−2) alt.

[5] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.

12 | 14 | 31 | 42 | Fr, 13. | Fibonaccizahlen | Teilbarkeitsregeln

So wie die Oktave (2:1) aus sieben, die Quinte (3:2) aus vier und die Quarte aus drei (4:3) Schritten einer Tonleiter oder im Notenliniensystem besteht, so sind es bei der Terz zwei. Während erstere nur ausnahmsweise stark von 12, 7 bzw. 5 Halbtönen abweichen, tritt die Terz regelmäßig in zwei Ausprägungen auf, was die Unvorteilhaftigkeit der herkömmlichen Intervall-Bezeichnungen deutlich macht. Die großen Terzen liegen normalerweise bei 4 Halbtönen, die natürliche große Terz (5:4) liegt mit 386 Cent deutlich darunter. Die kleinen Terzen liegen normalerweise bei 3 Halbtönen, die natürliche kleine Terz (6:5) mit 316 Cent noch weiter darüber.

Auf die Frage, wie man die Oktave gleichmäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Kettenbruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,...] die Antwort. Es ist günstig in n=3,28,59,146,... Intervalle zu teilen, wovon 1,9,19,47,... eine große Terz nähern. Die 9 im Kettenbruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also die drittel Oktave die große Terz gut nähert. Trotzdem sind das 14 Cent zuviel.

Die gleiche Überlegung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,...] und n=4,19,422,... mit 1,5,111,... Intervallen für die kleine Terz. Die 4 im Kettenbruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also die viertel Oktave die kleine Terz gut nähert. Doch sind das 16 Cent zuwenig. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Kettenbruch.

Welche Teilungen sind jetzt also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natürlich die Teilung in 12 Intervalle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegenüber der Zwölftonleiter nicht verschlechtern, so kommt die 53-Tonleiter mit Intervall-Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natürlich sehr genau. Und glücklicherweise sind 17 und 14 Intervalle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.

Die 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53-Tonleiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbessern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19-Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Intervalle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz dargestellt. Die kleine Terz stimmt natürlich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompromiß, der auch nur eine musikalische Nische ausfüllt.

Quinte | Oktave | A028508

So wie die Oktave aus sieben Schritten einer Ton­leiter oder im Noten­linien­system besteht, so sind es bei der Quinte vier. Die reine Quinte hat das Schwin­gungs­verhält­nis 3:2 und ist mit 702 Cent nur wenig größer als sieben Halbtöne. Es wäre sinnvoll gewesen, die in der Nähe von 700 lie­genden Inter­valle mit einem Namen zu belegen, der auf sieben hin­deutet.

Wenn man wie die alten Griechen nur Inter­valle als harmonisch sieht, die sich aus Okta­ven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasten­instru­menten das Problem, nicht alle so entste­henden Töne vor­sehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Okta­ven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.

Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Inter­valle wird den Griechen einiger­maßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstel­lung von ld(3/2)=​[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Ketten­bruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,​41,​53,306,665,… Inter­valle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,​31,​179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] ent­schieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=​[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgen­den 5 im Ketten­bruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).

7 | 12 | Oktave

Oktave hat natürlich etwas mit acht zu tun und bezeichnet (ursprünglich) das von zwei Tönen einer Tonleiter gebildete Intervall, wenn es acht Töne umfaßt, so man beide Randtöne voll mitzählt. In den gängigen Tonleitern führt das immer auf ein Schwingungsverhältnis von 2:1, was sicherheitshalber als reine Oktave bezeichnet wird, denn es sind Abweichungen davon möglich. Zum einen könnten die Oktaven absichtlich verstimmt werden, etwa zur Anpassung an die Quinte oder das menschliche Gehör. Zum anderen könnten sieben Tonschritte durchaus weit neben 2:1 liegen. Das geht aber nicht soweit, daß sieben Halbtonschritte der Zwölftonleiter als Oktave bezeichnet werden, denn heutzutage orientiert man sich an der gängigen Notation. Eine Oktave ist immer das, was vier Notenlinien und vier Zwischenräume umfaßt.

Langer Rede kurzer Sinn: Jeder weiß, was eine Oktave sein soll, doch der Name ist nicht sehr günstig und seine Verwendung für weit von der reinen Oktave abweichende Intervalle auch. Besser wäre eine Bezeichnung auf der Basis der eingeschlossenen Halbtonschritte, für die halbwegs bei 2:1 liegenden Intervalle also irgendwas mit zwölf. Und unsere Urväter können sich nicht damit entschuldigen, die Zwölftonmusik nicht gekannt zu haben, denn sie wußten besser als wir heute, wie groß die einzelnen Intervalle sind und daß man sich das Leben mit additionstauglichen Namen erleichtert. Da Strafe sein muß, ist es lustig zu sehen, wenn zur Versetzung um zwei Oktaven eine 16 über oder unter dem Notenschlüssel steht, obwohl 15 richtig wäre. Mit den Wochen ist es umgekehrt, da sagen wir in 8 bzw. 14 Tagen. Zur Übung: Ein 10-bändiges Lexikon mit 1000 Seiten pro Band steht im Regal. Ein Bücherwurm frißt sich von der ersten Seite des ersten Bandes auf die letzte Seite des letzten durch. Wieviele Seiten hat er durchlöchert?

7 | 12

Die Zahlen 4, 8 und 12 kommen dem naheliegende Bedürfnis des Menschen entgegen, einen periodischen Prozeß in vier Teile zu gliedern. Drei wären recht unpraktisch, weil ein dreigeteilter Kreis nicht in die rechteckige Welt paßt. Zwei sind zu wenig, denn sie wechseln sich nur ab, daß ihre Abfolge nicht mehr die Drehrichtung einer Kreisbewegung zu bezeichnen vermag. Diese Viertelung zeichnet natürlich die Zahl 4 aus und hebt deren Vielfache hervor. Dazu gehören die 4, 8 oder gar 16 Himmelsrichtungen. Auch sind 12 Monate im Jahr ein Glücksfall, der vier Jahreszeiten oder Quartale zu drei Monaten gestattet. Und die Woche mit ihren 7 Tagen wird nicht zufällig nur knapp unter der Zeit für eine Mondphase, dem Viertel des Mondumlaufes zurückbleiben. Das Bedürfnis der Vierteilung erfreut sich sogar dort großer Beliebtheit, wo es nicht um periodische Vorgänge geht und eigentlich sinnlos ist: Alle 25 Jahre feiern wir ein Jubiläum, mit 25 muß man heute eine Quarterlifecrisis haben und der 250. Todestag ist nicht irgendeiner. Die Zeit Jesu in der Wüste wird wohl nur deshalb mit 40 Tagen angesetzt sein, weil ein Viertel davon 10 Tage sind. Daß alle vier Jahre ein Schaltjahr ist, liegt weitgehend an der Jahreslänge mit fast einem viertel Tag über 365. Alle 400 Jahre aber das alle 100 Jahre ausgefallene Schaltjahr wieder einzusetzen, entspringt nicht allein dem Bedürfnis, den Frühlingsanfang nicht weglaufen zu lassen, sondern auch dem Denken in Viererzyklen, denn 500 Jahre wären einfacher und besser gewesen.

4

Die Zwölf ist sicherlich bedeu­tend, nicht nur als Pro­dukt der beiden hei­ligen Zahlen drei und vier, zu deren Summe 7=3+4 die bekannte musika­li­sche Bezie­hung besteht, daß zwölf Quin­ten recht genau sie­ben Okta­ven umfas­sen. Das liegt daran, daß 3¹²=531441 nur knapp über 2¹²⁺⁷=524288 liegt, wes­halb die gleich­stufige Quinte gegen­über der reinen nur um einen hun­dert­stel Ganz­ton zu klein ist.

Duodezimal­zahlen zur Basis zwölf wären zu unse­ren Dezimal­zah­len eine ernst­hafte Alter­na­tive gewe­sen, weil zwölf viele Teiler hat. Es gab eine Zeit, da man sich von der 16 verab­schie­dete und der 12 zuwandte, den Fuß nicht mehr in 16 Fin­ger, son­dern in 12 Zoll teilte. Jahr­hun­derte hielt sich auch das £sd-​System [1] mit einer Libra (Pfund) zu 20 So­lidi (Schil­ling), jeder geteilt in 12 De­nari (Pence), wie ich es noch aus Eng­land kenne. Von wenigen rück­stän­digen Staa­ten abge­sehen hat sich aber das Dezi­mal­system nicht nur bei den Zah­len, son­dern im gesam­ten Leben durch­gesetzt. Geblie­ben sind die zwölf Sterne auf der Europa­flagge, die zwölf Stunden der Uhr und das Dut­zend. [2]

Wie kam es parallel zum Dezimal­system zu den vielen Zwölf­tei­lun­gen, nicht nur des Tages, auch der Himmels­rich­tungen und Isra­elis? Ich glaube nicht, daß es an 36 Ster­nen lag, die den Ägyptern zur Zeit- oder Winkel­mes­sung gedient haben sollen. Plau­sibler finde ich die Herlei­tung aus den natür­lich vorhan­denen zwölf Mona­ten im Jahr, die zu zwölf Tier­kreis­zei­chen Anlaß gaben. Wenn man sie des nachts zur Zeit­mes­sung verwen­dete, lagen zwölf Stun­den pro Tag nahe, die baby­loni­schen Doppel­stun­den. [3] Halbie­rung ergab 24 Stun­den. Es hätten aber auch 48 werden können. Die Teilung von Tag und Nacht in jeweils zwölf zunächst nach Jahres­zeit unglei­che Stun­den führte letzt­lich zur sog. klei­nen Uhr mit zwei Umdre­hungen des Stunden­zeigers pro Tag. [4]

Zwölf ist die dreidimen­sio­nale Kuß­zahl, denn es lassen sich an eine Kugel bis zu zwölf glei­cher Größe anlegen, eine drei­zehnte geht nicht, soviel es auch pro­biert wurde. Anders als in zwei Dimen­sio­nen, wo sechs Kreise an einem ohne zu wackeln anlie­gen und sieben offen­sicht­lich zuviel sind, lassen die zwölf Kugeln genü­gend Luft für eine drei­zehnte. Daß es bei 12 bleibt, bewiesen erst 1953 Kurt Schütte und Bartel Leen­dert van der Waerden, dessen berühmte Lehr­bücher der Alge­bra einfach „van der Waerden I und II“ heißen. [5]

Der Dodekaeder wird aus zwölf Fünf­ecken gebildet, entspre­chend hat der Iko­saeder zwölf Ecken. Der Würfel hat zwölf Kan­ten, damit auch der Okta­eder. Die Wurzel aus zwei wird durch 17/12=​1,417 besser genä­hert als durch 7/5 oder 10/7, kann aber gegen die 11‑glatte 99/70=​1,41429 nicht anstin­ken. Blei­ben die zif­fern­ver­tausch­ten Qua­drate 144 und 441 der ziffern­ver­tausch­ten 12 bzw. 21, was aber ein­fach den sehr klei­nen Zif­fern 1 und 2 geschul­det ist. Und nicht zu ver­ges­sen die durch Shel­don Coo­per bekannte Tat­sache, daß 37 und 73 die 12. bzw. 21. Prim­zahl sind.

Zwölf ist der kleinste Teiler­protz, denn die Summe 1+2+3+4+6=16 ihrer Teiler ist größer als 12 selbst. [6] Sie ist auch die klein­ste Zahl mit mehr als vier Tei­lern. Es sind sogar sechs. Und weil sowohl Teiler­anzahl 6 als auch Teiler­summe 28 voll­kommen sind, hat sich irgend­wer dafür die Bezeich­nung erha­ben ausge­dacht, um so an sehr sel­tene Zah­len zu kommen, von denen zwölf die klein­ste ist. Eine wei­tere mit 76 Stel­len ist bekannt, sonst nix.

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Zwölf als dritte Fünfeckzahl (png)

Zwölf ist die dritte Fünf­eck­zahl. Die erste Figur des vorste­henden Bil­des zeigt ihre Entste­hung nach dem Bil­dungs­gesetz 1+4+7=12. Die zweite formt dieses Gebilde zu einer kom­pak­ten Figur in Form eines Hau­ses, dem man in der drit­ten die für alle Fünf­eck­zahlen mög­liche Zusammen­set­zung aus Qua­drat und Drei­eck ent­nehmen kann. Wem es gefällt, kann die ebenso allge­meine Zerle­gung in ein gro­ßes und zwei klei­nere Drei­ecke bevor­zugen.

Unter den vielen pytha­gorei­schen Tri­peln, also den Lösungen von x²+y²=z² gibt es nur eines mit aufein­ander­fol­genden natür­lichen Zahlen, das all­seits bekannte 3²+4²=5². Doch wie steht es mit fünf auf­ein­ander­fol­genden Zah­len, mit drei links und zwei rechts vom Gleich­heits­zei­chen? Auch diese ein­zige Lösung kann man schnell finden: 10²+11²+12²=​13²+14². Die Summe ist übri­gens so groß wie das Jahr Tage hat, nämlich 365. Ich erwähne diese Bezie­hung hier, weil 12 die mitt­lere der fünf Zahlen ist. Verall­gemei­nert man auf k+1 Sum­man­den links und k rechts, so ergibt sich für die mitt­lere Zahl das Vier­fache der k‑ten Drei­ecks­zahl. Im Falle k=2 also 4·D(2)=4·3=12.

Ich verzichte hier darauf, die bis auf Drehung und Spiege­lung 12 der insge­samt 92 Mög­lich­keiten darzu­stellen, acht Damen derart auf ein Schach­brett zu stellen, daß sie sich nicht gegen­seitig schlagen. Ich lasse es als eine nette Aufgabe, die eine von den zwöl­fen zu finden, die unter Rota­tion um 180 Grad in sich selbst über­geht. Ihret­wegen sind es insge­samt 11·8+1·4=92 und nicht 96 Lö­sun­gen. Ist es zu mühsam, einfach in der Wiki­pedia unter Damen­problem nach­sehen.

Bleibt die Bibel. Gerhard Kringe [7] schreibt: „Die Zahl ‚12‘ spielt in Verbin­dung mit Israel eine große Rolle. Da diese Zahl für den Kosmos steht, ist es ein Hin­weis, daß Israel seine Auf­ga­ben im Kosmos, bzw. auf dieser Erde hat.“ Ohne gerade als Deut­scher die Rolle Isra­els schmä­lern zu wol­len, ist es doch eher umge­kehrt: Zwölf war und ist den Juden wich­tig und steht des­halb man­chem für den Kos­mos. Und weiter: „Diese Zahl zieht sich durch die ganze Bibel. Es ist die Zahl der Monate (Monde) und der Tier­kreis­zei­chen […] Israel 12 Stämme hat, daß Jesus 12 Jün­ger […] im neuen Jeru­salem sind die 12 Tore aus 12 Perlen gemacht. Die Bäume des Lebens tragen 12 mal Frucht im Jahr.“ Unbe­strit­ten spielt die Zwölf im Leben der Men­schen noch heute eine große Rolle, doch wird sie ein­fach hinge­nom­men, ohne einen Gedan­ken an ko(s)mi­sche Bezie­hun­gen zu ver­schwen­den: „In dieser Zahl 12 ist 2 mal die Zahl des Men­schen enthal­ten (6) […] finden wir in den 24 Äl­te­sten 2 mal die Zahl 12. Bei dieser Zahl 24 geht es um Voll­macht und Voll­en­dung.“

[1] Natürlich kann man Libra-​Solidus-​Denarius als Lsd schreiben, doch gibt es im Unicode auch mehrere Pfund­zeichen, nur nicht das deut­sche. In £sd ist es das kursive aus dem ASCII-Code.

[2] Vergessen sind Stiege (20 oder 24), Schock (60), groß Hun­dert (120), Gros (144) und groß Gros (1728).

[3] Trotz des Sexagesimal­systems wurden die Doppel­stun­den in nur 30 ‚Minuten‘ geglie­dert, was wohl dem Monat zu 30 Tagen nach­empfun­den war. Dadurch ent­sprach ein Tag im Jahr etwa einer ‚Minute‘ des Tages. Bei aber­maliger Tei­lung in 360 ‚Sekun­den‘ wären diese 2/3 heu­tige Sekun­den lang. Ein Stab­pen­del von 0,6615 Me­tern benö­tigt auf dem 30. Brei­ten­grad diese Zeit für eine Halb­schwin­gung. Das sind genau zwei reale Gudea­fuß. Es ist also plau­si­bel, daß Gudea sein reales Längen­maß vom Sekunden­pen­del ablei­tete, ohne die moderne Sekunde zu ken­nen.

[4] Wenn man nur bis zwölf schlägt, ist es nahe­liegend und mecha­nisch von Vorteil, zwei­mal umlau­fen zu lassen. Ein Nach­teil besteht darin, daß Süden nicht ungefähr auf der Mittags­zeit (in Deutsch­land etwa 12:30 im Winter und 13:30 im Sommer) liegt, wenn man den Stunden­zeiger auf die Sonne richtet, son­dern auf der Winkel­halbie­renden zwi­schen Stunden­zeiger und Mittags­zeit. Das alles ist natür­lich kein Grund, die Uhrzeit zweimal von 1:00 bis 12:59 durch­zuzäh­len. Vor allem nicht 12:00pm auf 11:59am und 1:00am auf 12:59am folgen zu lassen. Und wel­cher Ameri­kaner weiß schon, daß noon mehr­heitlich 12:00pm und nicht 12:00am ist? Man komme ihm nicht mit Plau­sibi­lität, weil eine Sekunde nach Mittag ja 12:00:01pm sei.

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mindestkußzahlen A002336. Nur für Dimen­sio­nen 1, 2, 3, 4, 8 und 24 als exakt bekannt.

[6] Das klingt schöner als: Eine Zahl n heißt Teiler­protz, wenn die Summe ihrer Teiler größer als 2n ist. Alter­nativ könnte man sagen, die Summe der echten Teiler muß größer als n selbst sein, muß sich aber fragen lassen, warum 1 mit­zählt.

[7] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.

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Die Zahl Elf liegt ungün­stig zwi­schen zehn und zwölf, eins zuviel oder eins zuwe­nig. Streicht man Judas, blei­ben elf Jün­ger. Der Elfer­rat mag die spa­ßige Ant­wort auf sich wich­tig machen­de Gre­mien aus zehn oder zwölf Per­sonen gewe­sen sein. Sich für Frei­geister hal­tende Jecken verein­nah­men auch Ega­lite, Liberte, Frater­nite (ELF), obwohl es eigent­lich LEF hei­ßen müßte. In jedem Falle hat sich die Elf im Kar­neval festge­fres­sen, wes­halb die Kam­pagne am 11.11. um 11 Uhr 11 beginnt. Sie sollte mit dem Fast­nachts­dienstag 47 Tage vor dem Osterfest enden. Im Jahre 1971 fiel das auf den 11. April, und 11, 22 und 33 Jahre später wieder, also auch letz­tes Jahr. Kein Wunder, denn der Abstand von elf Jah­ren im Oster­datum tritt häufig auf. Nor­maler­weise gibt es alle vier Jahre ein Schalt­jahr. Jedes Datum fällt dann in 28 Jah­ren vier­mal auf den gleichen Wochen­tag, im Abstand von 6, 11, 6 und 5 Jahren. Nach den drei Abstän­den 5+6, 11 und 6+5 liegt der Voll­mond keine zwei Tage frü­her, daß bis zu vier­mal hinter­einander der Oster­abstand von 11 Jah­ren ent­ste­hen kann. Der fast exakte Zyklus von 235 Voll­mon­den inner­halb von 19 Jahren spielt keine Rolle, weil deren 6939 und aus­nahms­weise 6938 Tage nicht durch sie­ben teil­bar sind.

Eine Fußball­mann­schaft aus zehn Feld­spie­lern und einem Torwart wird ein­fach Elf genannt. Unter dem File­namen Busen­elf habe ich zwei fast nackte Frauen­mann­schaften von vorne und hinten abge­legt, die Rudi Völler vor seinem Spiel gegen Tsche­chien 2004 moti­vie­ren soll­ten. In der allwis­senden Müll­halde konnte ich sie 15 Jah­re später nicht mehr finden. Das waren wohl gerade noch Zeiten, da man unge­straft solche Bilder zeigen und dazu von Mann­schaften spre­chen durfte. Ein Jahr später las ich: Zum Auf­takt des Länder­­spiel-​Jahres 2005 musste sich die Ver­legen­­heits­elf von Jür­gen Klins­mann mit einem 2:2 (2:1) gegen den zwei­fachen Welt­mei­ster Argen­­ti­nien begnü­gen. Da Fuß­ball eine emo­tio­nal aufrei­bende Sache ist, wird es viele wei­tere Elfen geben, auch Sie­ger­el­fen. Ich habe mich hier mit den ein­zi­gen begnügt, an die ich mich erin­nern kann. Mein Inter­esse an Fuß­ball ist näm­lich sehr beschei­den. Ich weiß aber, daß der Elf­meter­punkt drei Zenti­meter näher am Tor liegt, weil es nur 12 Yard sind.

Ins engli­sche Maß­system rutschte die Elf wohl durch 99/70 als Nähe­rung der Wurzel aus 2 zur Mes­sung der Fläche über die Diago­nale. Deshalb gibt es die engli­sche Rute (Rod) von etwa 5 Metern aus 11 hal­ben Yard (Cubit). Eine Meile umfaßt 320 Rod, also 160·11=1760 Yard, etwa 1,6 Kilometer. Amerika­nische Stadt­blöcke halten sich gerne an dieses Rod-​Maß. Ein kleines quadra­ti­sches Grund­stück von 10 Rod Länge und Breite hat 2529,285 Qua­drat­meter. Das sind recht genau die 2529,346 des römi­schen Iuge­rum (Joch), wenn ich den metrolo­gi­schen römi­schen Fuß zu­grunde­lege. Es ist also durch­aus plau­sibel, daß man sich mit dem Rod am römi­schen Maß­system orien­tierte. Auch wenn damals die abso­luten Maße nicht sehr genau waren, ging man dennoch davon aus, daß 36 pes genau 35 foot umfaßten. [1] Zusammen mit den 99/70 für die Wurzel aus 2 gelangte man so zu den 16,5 Fuß eines Rod und damit zu einem Faktor 11 nicht nur im anglo­amerika­ni­schen Maß­system.

Die Elf ist eine sog. Repunit, eine Schnaps­zahl aus lau­ter Ein­sen. [2] Für manche mag sie die klein­ste sein, weil man einstel­lige nicht mit­zählt, für andere ist sie gar keine, weil minde­stens drei Ziffern erfor­der­lich seien. Man kann aber noch bru­taler denken und jede Zahl (10ⁿ−1)/9 Rep­unit nennen. Dann wäre die Null eine null­stel­lige Rep­unit. Diese unter­schied­lichen Auf­fas­sun­gen sind kein Pro­blem unter den­ken­den Menschen und Außer­irdi­schen. Im Inter­net aber versam­meln sich gerne Neun­mal­kluge und ant­wor­ten auf die Frage, ob es prime Schnaps­zah­len gäbe: Ja, die Elf. Aber es gibt auch Ver­nünf­tige, die auf 19 und 23 Ein­sen in Folge auf­merk­sam machen, den beiden kürze­sten der wenigen bekann­ten primen Rep­unit nach der Elf. [3]

Da man eine Pizza mit vier geraden Schnit­ten in 11 Stücke tei­len kann, ist 11 die vierte Pizza­zahl. [4] Ganz allge­mein ist mit n Schnitten ein Stück mehr zu erzielen als die zuge­hörige Dreieckszahl angibt. Wer es elegant probieren will: Penta­gramm-​Stern auf die Pizza malen und vier der fünf Kan­ten zu Schnit­ten verlän­gern. Alle Schnitte kreu­zen sich. Mehr Stücke gehen nicht, es sei denn, man kauft eine übli­cher­weise mit vier Schnitten geach­telte Pizza und teilt sie in den sozi­alen Medien. Manch­mal kann man im Mitten­matsch noch die drei feh­len­den Stücke erah­nen.

Makabere Berühmtheit färbt vom Terror­anschlag am 11. Sep­tem­ber 2001 ab. Verschwö­rungs­theo­retiker finden immer etwas. So ist 9/11 mit der Quer­summe 9+1+1=11 der 254. Tag im Jahre 2001 mit der gleichen Quer­summe 2+5+4=11. In den beiden Flug­zeugen sollen 92 bzw. 65 Passa­giere mit 9+2=6+5=11 geses­sen haben. Die Wiki­pedia nennt 155 statt 157. Dieser kleine Unter­schied ist numero­logisch so tödlich wie einer von einer Mil­lion. Aber dank 1+5+5=11 wäre noch etwas zu ret­ten. Die Ameri­kaner schlu­gen einen Monat später am 07.10.2001 in Afgha­ni­stan zurück und töte­ten nach zehn Jahren am 02.05.2011 Osama Bin Laden. Wieder sind die Quer­summen 11. Leicht findet man auch pas­sende Begriffe mit elf Buch­sta­ben: Afgha­ni­stan, New York City, The Pen­ta­gon. Wie gut, daß man einen Arti­kel voran­stel­len kann! Am besten ist aber die Dar­stel­lung der bei­den Türme als 11, wobei pikan­ter­weise nicht uner­wähnt bleibt, daß die 1 für einen Phal­lus steht. Manche Men­schen haben eben viel Phan­tasie.

Was bleibt mathe­ma­tisch? Aus 11=10+1 ergibt sich die Regel, daß eine Zahl durch 11 teil­bar ist, wenn ihre alter­nie­rende Quer­summe es ist. Eine Mer­senne-​Zahl, also eine Zweier­po­tenz minus eins, kann nur prim sein, wenn auch der Expo­nent prim ist. Für 2, 3, 5 und 7 ist das der Fall, denn 3, 7, 31 und 127 sind prim. Für 11 wegen 2^11−1=​2047=​23·89 erst­malig nicht. [5] Das ist erwäh­nens­wert, weil man sich auf der Suche nach sehr großen Prim­zah­len gerne an Mer­senne-​Zah­len hält. Schließ­lich kommt die Elf noch in ver­schie­denen Anzah­len vor, die ich aber nicht auf­zähle, weil ich mich zu lange sach­kun­dig machen müßte, um zu über­prü­fen, daß es nicht zehn oder zwölf sind und es neben der Elf nicht eine ganze Reihe von Zahlen mit ähn­li­chen Eigen­schaf­ten gibt.

[1] Hier ist eine gute Gelegen­heit darauf hinzu­weisen, daß Maß­anga­ben im allge­mei­nen nicht dekli­niert wer­den.

[2] Weil die Begriffs­bil­dung in der Wissen­schaft nicht mehr in deut­scher, sondern in engli­scher Sprache erfolgt, gibt es gele­gent­lich keine schönen Über­set­zun­gen. Durch die man­chmal rigo­rose engli­sche Wort­bil­dung wird das noch beför­dert. Und so nehme ich hier Abstand von mir gekün­stelt vor­kom­men­den Bezeich­nun­gen wie Ein­ser­kolon­nen.

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellen­zahl primer Repunits A004023.

[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Pizza­zahlen A000124.

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Expo­nenten primer Mersenne-​Zahlen A000043.

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