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Zwölf
wuerg, 07.02.2005 01:14
Die Zwölf ist sicherlich bedeutend, nicht nur als Produkt der beiden heiligen Zahlen drei und vier, zu deren Summe 7=3+4 die bekannte musikalische Beziehung besteht, daß zwölf Quinten recht genau sieben Oktaven umfassen. Das liegt daran, daß 3¹²=531441 nur knapp über 2¹²⁺⁷=524288 liegt, weshalb die gleichstufige Quinte gegenüber der reinen nur um einen hundertstel Ganzton zu klein ist.
Duodezimalzahlen zur Basis zwölf wären zu unseren Dezimalzahlen eine ernsthafte Alternative gewesen, weil zwölf viele Teiler hat. Es gab eine Zeit, da man sich von der 16 verabschiedete und der 12 zuwandte, den Fuß nicht mehr in 16 Finger, sondern in 12 Zoll teilte. Jahrhunderte hielt sich auch das £sd-System [1] mit einer Libra (Pfund) zu 20 Solidi (Schilling), jeder geteilt in 12 Denari (Pence), wie ich es noch aus England kenne. Von wenigen rückständigen Staaten abgesehen hat sich aber das Dezimalsystem nicht nur bei den Zahlen, sondern im gesamten Leben durchgesetzt. Geblieben sind die zwölf Sterne auf der Europaflagge, die zwölf Stunden der Uhr und das Dutzend. [2]
Wie kam es parallel zum Dezimalsystem zu den vielen Zwölfteilungen, nicht nur des Tages, auch der Himmelsrichtungen und Israelis? Ich glaube nicht, daß es an 36 Sternen lag, die den Ägyptern zur Zeit- oder Winkelmessung gedient haben sollen. Plausibler finde ich die Herleitung aus den natürlich vorhandenen zwölf Monaten im Jahr, die zu zwölf Tierkreiszeichen Anlaß gaben. Wenn man sie des nachts zur Zeitmessung verwendete, lagen zwölf Stunden pro Tag nahe, die babylonischen Doppelstunden. [3] Halbierung ergab 24 Stunden. Es hätten aber auch 48 werden können. Die Teilung von Tag und Nacht in jeweils zwölf zunächst nach Jahreszeit ungleiche Stunden führte letztlich zur sog. kleinen Uhr mit zwei Umdrehungen des Stundenzeigers pro Tag. [4]
Zwölf ist die dreidimensionale Kußzahl, denn es lassen sich an eine Kugel bis zu zwölf gleicher Größe anlegen, eine dreizehnte geht nicht, soviel es auch probiert wurde. Anders als in zwei Dimensionen, wo sechs Kreise an einem ohne zu wackeln anliegen und sieben offensichtlich zuviel sind, lassen die zwölf Kugeln genügend Luft für eine dreizehnte. Daß es bei 12 bleibt, bewiesen erst 1953 Kurt Schütte und Bartel Leendert van der Waerden, dessen berühmte Lehrbücher der Algebra einfach „van der Waerden I und II“ heißen. [5]
Der Dodekaeder wird aus zwölf Fünfecken gebildet, entsprechend hat der Ikosaeder zwölf Ecken. Der Würfel hat zwölf Kanten, damit auch der Oktaeder. Die Wurzel aus zwei wird durch 17/12=1,417 besser genähert als durch 7/5 oder 10/7, kann aber gegen die 11‑glatte 99/70=1,41429 nicht anstinken. Bleiben die ziffernvertauschten Quadrate 144 und 441 der ziffernvertauschten 12 bzw. 21, was aber einfach den sehr kleinen Ziffern 1 und 2 geschuldet ist. Und nicht zu vergessen die durch Sheldon Cooper bekannte Tatsache, daß 37 und 73 die 12. bzw. 21. Primzahl sind.
Zwölf ist der kleinste Teilerprotz, denn die Summe 1+2+3+4+6=16 ihrer Teiler ist größer als 12 selbst. [6] Sie ist auch die kleinste Zahl mit mehr als vier Teilern. Es sind sogar sechs. Und weil sowohl Teileranzahl 6 als auch Teilersumme 28 vollkommen sind, hat sich irgendwer dafür die Bezeichnung erhaben ausgedacht, um so an sehr seltene Zahlen zu kommen, von denen zwölf die kleinste ist. Eine weitere mit 76 Stellen ist bekannt, sonst nix.
Zwölf ist die dritte Fünfeckzahl. Die erste Figur des vorstehenden Bildes zeigt ihre Entstehung nach dem Bildungsgesetz 1+4+7=12. Die zweite formt dieses Gebilde zu einer kompakten Figur in Form eines Hauses, dem man in der dritten die für alle Fünfeckzahlen mögliche Zusammensetzung aus Quadrat und Dreieck entnehmen kann. Wem es gefällt, kann die ebenso allgemeine Zerlegung in ein großes und zwei kleinere Dreiecke bevorzugen.
Unter den vielen pythagoreischen Tripeln, also den Lösungen von x²+y²=z² gibt es nur eines mit aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, das allseits bekannte 3²+4²=5². Doch wie steht es mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen, mit drei links und zwei rechts vom Gleichheitszeichen? Auch diese einzige Lösung kann man schnell finden: 10²+11²+12²=13²+14². Die Summe ist übrigens so groß wie das Jahr Tage hat, nämlich 365. Ich erwähne diese Beziehung hier, weil 12 die mittlere der fünf Zahlen ist. Verallgemeinert man auf k+1 Summanden links und k rechts, so ergibt sich für die mittlere Zahl das Vierfache der k‑ten Dreieckszahl. Im Falle k=2 also 4·D(2)=4·3=12.
Ich verzichte hier darauf, die bis auf Drehung und Spiegelung 12 der insgesamt 92 Möglichkeiten darzustellen, acht Damen derart auf ein Schachbrett zu stellen, daß sie sich nicht gegenseitig schlagen. Ich lasse es als eine nette Aufgabe, die eine von den zwölfen zu finden, die unter Rotation um 180 Grad in sich selbst übergeht. Ihretwegen sind es insgesamt 11·8+1·4=92 und nicht 96 Lösungen. Ist es zu mühsam, einfach in der Wikipedia unter Damenproblem nachsehen.
Bleibt die Bibel. Gerhard Kringe [7] schreibt: „Die Zahl ‚12‘ spielt in Verbindung mit Israel eine große Rolle. Da diese Zahl für den Kosmos steht, ist es ein Hinweis, daß Israel seine Aufgaben im Kosmos, bzw. auf dieser Erde hat.“ Ohne gerade als Deutscher die Rolle Israels schmälern zu wollen, ist es doch eher umgekehrt: Zwölf war und ist den Juden wichtig und steht deshalb manchem für den Kosmos. Und weiter: „Diese Zahl zieht sich durch die ganze Bibel. Es ist die Zahl der Monate (Monde) und der Tierkreiszeichen […] Israel 12 Stämme hat, daß Jesus 12 Jünger […] im neuen Jerusalem sind die 12 Tore aus 12 Perlen gemacht. Die Bäume des Lebens tragen 12 mal Frucht im Jahr.“ Unbestritten spielt die Zwölf im Leben der Menschen noch heute eine große Rolle, doch wird sie einfach hingenommen, ohne einen Gedanken an ko(s)mische Beziehungen zu verschwenden: „In dieser Zahl 12 ist 2 mal die Zahl des Menschen enthalten (6) […] finden wir in den 24 Ältesten 2 mal die Zahl 12. Bei dieser Zahl 24 geht es um Vollmacht und Vollendung.“
[1] Natürlich kann man Libra-Solidus-Denarius als Lsd schreiben, doch gibt es im Unicode auch mehrere Pfundzeichen, nur nicht das deutsche. In £sd ist es das kursive aus dem ASCII-Code.
[2] Vergessen sind Stiege (20 oder 24), Schock (60), groß Hundert (120), Gros (144) und groß Gros (1728).
[3] Trotz des Sexagesimalsystems wurden die Doppelstunden in nur 30 ‚Minuten‘ gegliedert, was wohl dem Monat zu 30 Tagen nachempfunden war. Dadurch entsprach ein Tag im Jahr etwa einer ‚Minute‘ des Tages. Bei abermaliger Teilung in 360 ‚Sekunden‘ wären diese 2/3 heutige Sekunden lang. Ein Stabpendel von 0,6615 Metern benötigt auf dem 30. Breitengrad diese Zeit für eine Halbschwingung. Das sind genau zwei reale Gudeafuß. Es ist also plausibel, daß Gudea sein reales Längenmaß vom Sekundenpendel ableitete, ohne die moderne Sekunde zu kennen.
[4] Wenn man nur bis zwölf schlägt, ist es naheliegend und mechanisch von Vorteil, zweimal umlaufen zu lassen. Ein Nachteil besteht darin, daß Süden nicht ungefähr auf der Mittagszeit (in Deutschland etwa 12:30 im Winter und 13:30 im Sommer) liegt, wenn man den Stundenzeiger auf die Sonne richtet, sondern auf der Winkelhalbierenden zwischen Stundenzeiger und Mittagszeit. Das alles ist natürlich kein Grund, die Uhrzeit zweimal von 1:00 bis 12:59 durchzuzählen. Vor allem nicht 12:00pm auf 11:59am und 1:00am auf 12:59am folgen zu lassen. Und welcher Amerikaner weiß schon, daß noon mehrheitlich 12:00pm und nicht 12:00am ist? Man komme ihm nicht mit Plausibilität, weil eine Sekunde nach Mittag ja 12:00:01pm sei.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mindestkußzahlen A002336. Nur für Dimensionen 1, 2, 3, 4, 8 und 24 als exakt bekannt.
[6] Das klingt schöner als: Eine Zahl n heißt Teilerprotz, wenn die Summe ihrer Teiler größer als 2n ist. Alternativ könnte man sagen, die Summe der echten Teiler muß größer als n selbst sein, muß sich aber fragen lassen, warum 1 mitzählt.
[7] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
3 | 4 | 7 | 11 | 13 | 196560 | Fünfeckzahlen | heilige Zahlen | Quinte | Sekundenpendel
Duodezimalzahlen zur Basis zwölf wären zu unseren Dezimalzahlen eine ernsthafte Alternative gewesen, weil zwölf viele Teiler hat. Es gab eine Zeit, da man sich von der 16 verabschiedete und der 12 zuwandte, den Fuß nicht mehr in 16 Finger, sondern in 12 Zoll teilte. Jahrhunderte hielt sich auch das £sd-System [1] mit einer Libra (Pfund) zu 20 Solidi (Schilling), jeder geteilt in 12 Denari (Pence), wie ich es noch aus England kenne. Von wenigen rückständigen Staaten abgesehen hat sich aber das Dezimalsystem nicht nur bei den Zahlen, sondern im gesamten Leben durchgesetzt. Geblieben sind die zwölf Sterne auf der Europaflagge, die zwölf Stunden der Uhr und das Dutzend. [2]
Wie kam es parallel zum Dezimalsystem zu den vielen Zwölfteilungen, nicht nur des Tages, auch der Himmelsrichtungen und Israelis? Ich glaube nicht, daß es an 36 Sternen lag, die den Ägyptern zur Zeit- oder Winkelmessung gedient haben sollen. Plausibler finde ich die Herleitung aus den natürlich vorhandenen zwölf Monaten im Jahr, die zu zwölf Tierkreiszeichen Anlaß gaben. Wenn man sie des nachts zur Zeitmessung verwendete, lagen zwölf Stunden pro Tag nahe, die babylonischen Doppelstunden. [3] Halbierung ergab 24 Stunden. Es hätten aber auch 48 werden können. Die Teilung von Tag und Nacht in jeweils zwölf zunächst nach Jahreszeit ungleiche Stunden führte letztlich zur sog. kleinen Uhr mit zwei Umdrehungen des Stundenzeigers pro Tag. [4]
Zwölf ist die dreidimensionale Kußzahl, denn es lassen sich an eine Kugel bis zu zwölf gleicher Größe anlegen, eine dreizehnte geht nicht, soviel es auch probiert wurde. Anders als in zwei Dimensionen, wo sechs Kreise an einem ohne zu wackeln anliegen und sieben offensichtlich zuviel sind, lassen die zwölf Kugeln genügend Luft für eine dreizehnte. Daß es bei 12 bleibt, bewiesen erst 1953 Kurt Schütte und Bartel Leendert van der Waerden, dessen berühmte Lehrbücher der Algebra einfach „van der Waerden I und II“ heißen. [5]
Der Dodekaeder wird aus zwölf Fünfecken gebildet, entsprechend hat der Ikosaeder zwölf Ecken. Der Würfel hat zwölf Kanten, damit auch der Oktaeder. Die Wurzel aus zwei wird durch 17/12=1,417 besser genähert als durch 7/5 oder 10/7, kann aber gegen die 11‑glatte 99/70=1,41429 nicht anstinken. Bleiben die ziffernvertauschten Quadrate 144 und 441 der ziffernvertauschten 12 bzw. 21, was aber einfach den sehr kleinen Ziffern 1 und 2 geschuldet ist. Und nicht zu vergessen die durch Sheldon Cooper bekannte Tatsache, daß 37 und 73 die 12. bzw. 21. Primzahl sind.
Zwölf ist der kleinste Teilerprotz, denn die Summe 1+2+3+4+6=16 ihrer Teiler ist größer als 12 selbst. [6] Sie ist auch die kleinste Zahl mit mehr als vier Teilern. Es sind sogar sechs. Und weil sowohl Teileranzahl 6 als auch Teilersumme 28 vollkommen sind, hat sich irgendwer dafür die Bezeichnung erhaben ausgedacht, um so an sehr seltene Zahlen zu kommen, von denen zwölf die kleinste ist. Eine weitere mit 76 Stellen ist bekannt, sonst nix.
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Zwölf als dritte Fünfeckzahl (png)Zwölf ist die dritte Fünfeckzahl. Die erste Figur des vorstehenden Bildes zeigt ihre Entstehung nach dem Bildungsgesetz 1+4+7=12. Die zweite formt dieses Gebilde zu einer kompakten Figur in Form eines Hauses, dem man in der dritten die für alle Fünfeckzahlen mögliche Zusammensetzung aus Quadrat und Dreieck entnehmen kann. Wem es gefällt, kann die ebenso allgemeine Zerlegung in ein großes und zwei kleinere Dreiecke bevorzugen.
Unter den vielen pythagoreischen Tripeln, also den Lösungen von x²+y²=z² gibt es nur eines mit aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, das allseits bekannte 3²+4²=5². Doch wie steht es mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen, mit drei links und zwei rechts vom Gleichheitszeichen? Auch diese einzige Lösung kann man schnell finden: 10²+11²+12²=13²+14². Die Summe ist übrigens so groß wie das Jahr Tage hat, nämlich 365. Ich erwähne diese Beziehung hier, weil 12 die mittlere der fünf Zahlen ist. Verallgemeinert man auf k+1 Summanden links und k rechts, so ergibt sich für die mittlere Zahl das Vierfache der k‑ten Dreieckszahl. Im Falle k=2 also 4·D(2)=4·3=12.
Ich verzichte hier darauf, die bis auf Drehung und Spiegelung 12 der insgesamt 92 Möglichkeiten darzustellen, acht Damen derart auf ein Schachbrett zu stellen, daß sie sich nicht gegenseitig schlagen. Ich lasse es als eine nette Aufgabe, die eine von den zwölfen zu finden, die unter Rotation um 180 Grad in sich selbst übergeht. Ihretwegen sind es insgesamt 11·8+1·4=92 und nicht 96 Lösungen. Ist es zu mühsam, einfach in der Wikipedia unter Damenproblem nachsehen.
Bleibt die Bibel. Gerhard Kringe [7] schreibt: „Die Zahl ‚12‘ spielt in Verbindung mit Israel eine große Rolle. Da diese Zahl für den Kosmos steht, ist es ein Hinweis, daß Israel seine Aufgaben im Kosmos, bzw. auf dieser Erde hat.“ Ohne gerade als Deutscher die Rolle Israels schmälern zu wollen, ist es doch eher umgekehrt: Zwölf war und ist den Juden wichtig und steht deshalb manchem für den Kosmos. Und weiter: „Diese Zahl zieht sich durch die ganze Bibel. Es ist die Zahl der Monate (Monde) und der Tierkreiszeichen […] Israel 12 Stämme hat, daß Jesus 12 Jünger […] im neuen Jerusalem sind die 12 Tore aus 12 Perlen gemacht. Die Bäume des Lebens tragen 12 mal Frucht im Jahr.“ Unbestritten spielt die Zwölf im Leben der Menschen noch heute eine große Rolle, doch wird sie einfach hingenommen, ohne einen Gedanken an ko(s)mische Beziehungen zu verschwenden: „In dieser Zahl 12 ist 2 mal die Zahl des Menschen enthalten (6) […] finden wir in den 24 Ältesten 2 mal die Zahl 12. Bei dieser Zahl 24 geht es um Vollmacht und Vollendung.“
[1] Natürlich kann man Libra-Solidus-Denarius als Lsd schreiben, doch gibt es im Unicode auch mehrere Pfundzeichen, nur nicht das deutsche. In £sd ist es das kursive aus dem ASCII-Code.
[2] Vergessen sind Stiege (20 oder 24), Schock (60), groß Hundert (120), Gros (144) und groß Gros (1728).
[3] Trotz des Sexagesimalsystems wurden die Doppelstunden in nur 30 ‚Minuten‘ gegliedert, was wohl dem Monat zu 30 Tagen nachempfunden war. Dadurch entsprach ein Tag im Jahr etwa einer ‚Minute‘ des Tages. Bei abermaliger Teilung in 360 ‚Sekunden‘ wären diese 2/3 heutige Sekunden lang. Ein Stabpendel von 0,6615 Metern benötigt auf dem 30. Breitengrad diese Zeit für eine Halbschwingung. Das sind genau zwei reale Gudeafuß. Es ist also plausibel, daß Gudea sein reales Längenmaß vom Sekundenpendel ableitete, ohne die moderne Sekunde zu kennen.
[4] Wenn man nur bis zwölf schlägt, ist es naheliegend und mechanisch von Vorteil, zweimal umlaufen zu lassen. Ein Nachteil besteht darin, daß Süden nicht ungefähr auf der Mittagszeit (in Deutschland etwa 12:30 im Winter und 13:30 im Sommer) liegt, wenn man den Stundenzeiger auf die Sonne richtet, sondern auf der Winkelhalbierenden zwischen Stundenzeiger und Mittagszeit. Das alles ist natürlich kein Grund, die Uhrzeit zweimal von 1:00 bis 12:59 durchzuzählen. Vor allem nicht 12:00pm auf 11:59am und 1:00am auf 12:59am folgen zu lassen. Und welcher Amerikaner weiß schon, daß noon mehrheitlich 12:00pm und nicht 12:00am ist? Man komme ihm nicht mit Plausibilität, weil eine Sekunde nach Mittag ja 12:00:01pm sei.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mindestkußzahlen A002336. Nur für Dimensionen 1, 2, 3, 4, 8 und 24 als exakt bekannt.
[6] Das klingt schöner als: Eine Zahl n heißt Teilerprotz, wenn die Summe ihrer Teiler größer als 2n ist. Alternativ könnte man sagen, die Summe der echten Teiler muß größer als n selbst sein, muß sich aber fragen lassen, warum 1 mitzählt.
[7] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
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