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Elf
wuerg, 06.02.2005 01:12
Die Zahl Elf liegt ungünstig zwischen zehn und zwölf, eins zuviel oder eins zuwenig. Streicht man Judas, bleiben elf Jünger. Der Elferrat mag die spaßige Antwort auf sich wichtig machende Gremien aus zehn oder zwölf Personen gewesen sein. Sich für Freigeister haltende Jecken vereinnahmen auch Egalite, Liberte, Fraternite (ELF), obwohl es eigentlich LEF heißen müßte. In jedem Falle hat sich die Elf im Karneval festgefressen, weshalb die Kampagne am 11.11. um 11 Uhr 11 beginnt. Sie sollte mit dem Fastnachtsdienstag 47 Tage vor dem Osterfest enden. Im Jahre 1971 fiel das auf den 11. April, und 11, 22 und 33 Jahre später wieder, also auch letztes Jahr. Kein Wunder, denn der Abstand von elf Jahren im Osterdatum tritt häufig auf. Normalerweise gibt es alle vier Jahre ein Schaltjahr. Jedes Datum fällt dann in 28 Jahren viermal auf den gleichen Wochentag, im Abstand von 6, 11, 6 und 5 Jahren. Nach den drei Abständen 5+6, 11 und 6+5 liegt der Vollmond keine zwei Tage früher, daß bis zu viermal hintereinander der Osterabstand von 11 Jahren entstehen kann. Der fast exakte Zyklus von 235 Vollmonden innerhalb von 19 Jahren spielt keine Rolle, weil deren 6939 und ausnahmsweise 6938 Tage nicht durch sieben teilbar sind.
Eine Fußballmannschaft aus zehn Feldspielern und einem Torwart wird einfach Elf genannt. Unter dem Filenamen Busenelf habe ich zwei fast nackte Frauenmannschaften von vorne und hinten abgelegt, die Rudi Völler vor seinem Spiel gegen Tschechien 2004 motivieren sollten. In der allwissenden Müllhalde konnte ich sie 15 Jahre später nicht mehr finden. Das waren wohl gerade noch Zeiten, da man ungestraft solche Bilder zeigen und dazu von Mannschaften sprechen durfte. Ein Jahr später las ich: Zum Auftakt des Länderspiel-Jahres 2005 musste sich die Verlegenheitself von Jürgen Klinsmann mit einem 2:2 (2:1) gegen den zweifachen Weltmeister Argentinien begnügen. Da Fußball eine emotional aufreibende Sache ist, wird es viele weitere Elfen geben, auch Siegerelfen. Ich habe mich hier mit den einzigen begnügt, an die ich mich erinnern kann. Mein Interesse an Fußball ist nämlich sehr bescheiden. Ich weiß aber, daß der Elfmeterpunkt drei Zentimeter näher am Tor liegt, weil es nur 12 Yard sind.
Ins englische Maßsystem rutschte die Elf wohl durch 99/70 als Näherung der Wurzel aus 2 zur Messung der Fläche über die Diagonale. Deshalb gibt es die englische Rute (Rod) von etwa 5 Metern aus 11 halben Yard (Cubit). Eine Meile umfaßt 320 Rod, also 160·11=1760 Yard, etwa 1,6 Kilometer. Amerikanische Stadtblöcke halten sich gerne an dieses Rod-Maß. Ein kleines quadratisches Grundstück von 10 Rod Länge und Breite hat 2529,285 Quadratmeter. Das sind recht genau die 2529,346 des römischen Iugerum (Joch), wenn ich den metrologischen römischen Fuß zugrundelege. Es ist also durchaus plausibel, daß man sich mit dem Rod am römischen Maßsystem orientierte. Auch wenn damals die absoluten Maße nicht sehr genau waren, ging man dennoch davon aus, daß 36 pes genau 35 foot umfaßten. [1] Zusammen mit den 99/70 für die Wurzel aus 2 gelangte man so zu den 16,5 Fuß eines Rod und damit zu einem Faktor 11 nicht nur im angloamerikanischen Maßsystem.
Die Elf ist eine sog. Repunit, eine Schnapszahl aus lauter Einsen. [2] Für manche mag sie die kleinste sein, weil man einstellige nicht mitzählt, für andere ist sie gar keine, weil mindestens drei Ziffern erforderlich seien. Man kann aber noch brutaler denken und jede Zahl (10ⁿ−1)/9 Repunit nennen. Dann wäre die Null eine nullstellige Repunit. Diese unterschiedlichen Auffassungen sind kein Problem unter denkenden Menschen und Außerirdischen. Im Internet aber versammeln sich gerne Neunmalkluge und antworten auf die Frage, ob es prime Schnapszahlen gäbe: Ja, die Elf. Aber es gibt auch Vernünftige, die auf 19 und 23 Einsen in Folge aufmerksam machen, den beiden kürzesten der wenigen bekannten primen Repunit nach der Elf. [3]
Da man eine Pizza mit vier geraden Schnitten in 11 Stücke teilen kann, ist 11 die vierte Pizzazahl. [4] Ganz allgemein ist mit n Schnitten ein Stück mehr zu erzielen als die zugehörige Dreieckszahl angibt. Wer es elegant probieren will: Pentagramm-Stern auf die Pizza malen und vier der fünf Kanten zu Schnitten verlängern. Alle Schnitte kreuzen sich. Mehr Stücke gehen nicht, es sei denn, man kauft eine üblicherweise mit vier Schnitten geachtelte Pizza und teilt sie in den sozialen Medien. Manchmal kann man im Mittenmatsch noch die drei fehlenden Stücke erahnen.
Makabere Berühmtheit färbt vom Terroranschlag am 11. September 2001 ab. Verschwörungstheoretiker finden immer etwas. So ist 9/11 mit der Quersumme 9+1+1=11 der 254. Tag im Jahre 2001 mit der gleichen Quersumme 2+5+4=11. In den beiden Flugzeugen sollen 92 bzw. 65 Passagiere mit 9+2=6+5=11 gesessen haben. Die Wikipedia nennt 155 statt 157. Dieser kleine Unterschied ist numerologisch so tödlich wie einer von einer Million. Aber dank 1+5+5=11 wäre noch etwas zu retten. Die Amerikaner schlugen einen Monat später am 07.10.2001 in Afghanistan zurück und töteten nach zehn Jahren am 02.05.2011 Osama Bin Laden. Wieder sind die Quersummen 11. Leicht findet man auch passende Begriffe mit elf Buchstaben: Afghanistan, New York City, The Pentagon. Wie gut, daß man einen Artikel voranstellen kann! Am besten ist aber die Darstellung der beiden Türme als 11, wobei pikanterweise nicht unerwähnt bleibt, daß die 1 für einen Phallus steht. Manche Menschen haben eben viel Phantasie.
Was bleibt mathematisch? Aus 11=10+1 ergibt sich die Regel, daß eine Zahl durch 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme es ist. Eine Mersenne-Zahl, also eine Zweierpotenz minus eins, kann nur prim sein, wenn auch der Exponent prim ist. Für 2, 3, 5 und 7 ist das der Fall, denn 3, 7, 31 und 127 sind prim. Für 11 wegen 2¹¹−1=2047=23·89 erstmalig nicht. [5] Das ist erwähnenswert, weil man sich auf der Suche nach sehr großen Primzahlen gerne an Mersenne-Zahlen hält. Schließlich kommt die Elf noch in verschiedenen Anzahlen vor, die ich aber nicht aufzähle, weil ich mich zu lange sachkundig machen müßte, um zu überprüfen, daß es nicht zehn oder zwölf sind und es neben der Elf nicht eine ganze Reihe von Zahlen mit ähnlichen Eigenschaften gibt.
[1] Hier ist eine gute Gelegenheit darauf hinzuweisen, daß Maßangaben im allgemeinen nicht dekliniert werden.
[2] Weil die Begriffsbildung in der Wissenschaft nicht mehr in deutscher, sondern in englischer Sprache erfolgt, gibt es gelegentlich keine schönen Übersetzungen. Durch die manchmal rigorose englische Wortbildung wird das noch befördert. Und so nehme ich hier Abstand von mir gekünstelt vorkommenden Bezeichnungen wie Einserkolonnen.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellenzahl primer Repunits A004023.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Pizzazahlen A000124.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Exponenten primer Mersenne-Zahlen A000043.
10 | 12 | Dreieckszahlen | Teilbarkeitsregeln
Eine Fußballmannschaft aus zehn Feldspielern und einem Torwart wird einfach Elf genannt. Unter dem Filenamen Busenelf habe ich zwei fast nackte Frauenmannschaften von vorne und hinten abgelegt, die Rudi Völler vor seinem Spiel gegen Tschechien 2004 motivieren sollten. In der allwissenden Müllhalde konnte ich sie 15 Jahre später nicht mehr finden. Das waren wohl gerade noch Zeiten, da man ungestraft solche Bilder zeigen und dazu von Mannschaften sprechen durfte. Ein Jahr später las ich: Zum Auftakt des Länderspiel-Jahres 2005 musste sich die Verlegenheitself von Jürgen Klinsmann mit einem 2:2 (2:1) gegen den zweifachen Weltmeister Argentinien begnügen. Da Fußball eine emotional aufreibende Sache ist, wird es viele weitere Elfen geben, auch Siegerelfen. Ich habe mich hier mit den einzigen begnügt, an die ich mich erinnern kann. Mein Interesse an Fußball ist nämlich sehr bescheiden. Ich weiß aber, daß der Elfmeterpunkt drei Zentimeter näher am Tor liegt, weil es nur 12 Yard sind.
Ins englische Maßsystem rutschte die Elf wohl durch 99/70 als Näherung der Wurzel aus 2 zur Messung der Fläche über die Diagonale. Deshalb gibt es die englische Rute (Rod) von etwa 5 Metern aus 11 halben Yard (Cubit). Eine Meile umfaßt 320 Rod, also 160·11=1760 Yard, etwa 1,6 Kilometer. Amerikanische Stadtblöcke halten sich gerne an dieses Rod-Maß. Ein kleines quadratisches Grundstück von 10 Rod Länge und Breite hat 2529,285 Quadratmeter. Das sind recht genau die 2529,346 des römischen Iugerum (Joch), wenn ich den metrologischen römischen Fuß zugrundelege. Es ist also durchaus plausibel, daß man sich mit dem Rod am römischen Maßsystem orientierte. Auch wenn damals die absoluten Maße nicht sehr genau waren, ging man dennoch davon aus, daß 36 pes genau 35 foot umfaßten. [1] Zusammen mit den 99/70 für die Wurzel aus 2 gelangte man so zu den 16,5 Fuß eines Rod und damit zu einem Faktor 11 nicht nur im angloamerikanischen Maßsystem.
Die Elf ist eine sog. Repunit, eine Schnapszahl aus lauter Einsen. [2] Für manche mag sie die kleinste sein, weil man einstellige nicht mitzählt, für andere ist sie gar keine, weil mindestens drei Ziffern erforderlich seien. Man kann aber noch brutaler denken und jede Zahl (10ⁿ−1)/9 Repunit nennen. Dann wäre die Null eine nullstellige Repunit. Diese unterschiedlichen Auffassungen sind kein Problem unter denkenden Menschen und Außerirdischen. Im Internet aber versammeln sich gerne Neunmalkluge und antworten auf die Frage, ob es prime Schnapszahlen gäbe: Ja, die Elf. Aber es gibt auch Vernünftige, die auf 19 und 23 Einsen in Folge aufmerksam machen, den beiden kürzesten der wenigen bekannten primen Repunit nach der Elf. [3]
Da man eine Pizza mit vier geraden Schnitten in 11 Stücke teilen kann, ist 11 die vierte Pizzazahl. [4] Ganz allgemein ist mit n Schnitten ein Stück mehr zu erzielen als die zugehörige Dreieckszahl angibt. Wer es elegant probieren will: Pentagramm-Stern auf die Pizza malen und vier der fünf Kanten zu Schnitten verlängern. Alle Schnitte kreuzen sich. Mehr Stücke gehen nicht, es sei denn, man kauft eine üblicherweise mit vier Schnitten geachtelte Pizza und teilt sie in den sozialen Medien. Manchmal kann man im Mittenmatsch noch die drei fehlenden Stücke erahnen.
Makabere Berühmtheit färbt vom Terroranschlag am 11. September 2001 ab. Verschwörungstheoretiker finden immer etwas. So ist 9/11 mit der Quersumme 9+1+1=11 der 254. Tag im Jahre 2001 mit der gleichen Quersumme 2+5+4=11. In den beiden Flugzeugen sollen 92 bzw. 65 Passagiere mit 9+2=6+5=11 gesessen haben. Die Wikipedia nennt 155 statt 157. Dieser kleine Unterschied ist numerologisch so tödlich wie einer von einer Million. Aber dank 1+5+5=11 wäre noch etwas zu retten. Die Amerikaner schlugen einen Monat später am 07.10.2001 in Afghanistan zurück und töteten nach zehn Jahren am 02.05.2011 Osama Bin Laden. Wieder sind die Quersummen 11. Leicht findet man auch passende Begriffe mit elf Buchstaben: Afghanistan, New York City, The Pentagon. Wie gut, daß man einen Artikel voranstellen kann! Am besten ist aber die Darstellung der beiden Türme als 11, wobei pikanterweise nicht unerwähnt bleibt, daß die 1 für einen Phallus steht. Manche Menschen haben eben viel Phantasie.
Was bleibt mathematisch? Aus 11=10+1 ergibt sich die Regel, daß eine Zahl durch 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme es ist. Eine Mersenne-Zahl, also eine Zweierpotenz minus eins, kann nur prim sein, wenn auch der Exponent prim ist. Für 2, 3, 5 und 7 ist das der Fall, denn 3, 7, 31 und 127 sind prim. Für 11 wegen 2¹¹−1=2047=23·89 erstmalig nicht. [5] Das ist erwähnenswert, weil man sich auf der Suche nach sehr großen Primzahlen gerne an Mersenne-Zahlen hält. Schließlich kommt die Elf noch in verschiedenen Anzahlen vor, die ich aber nicht aufzähle, weil ich mich zu lange sachkundig machen müßte, um zu überprüfen, daß es nicht zehn oder zwölf sind und es neben der Elf nicht eine ganze Reihe von Zahlen mit ähnlichen Eigenschaften gibt.
[1] Hier ist eine gute Gelegenheit darauf hinzuweisen, daß Maßangaben im allgemeinen nicht dekliniert werden.
[2] Weil die Begriffsbildung in der Wissenschaft nicht mehr in deutscher, sondern in englischer Sprache erfolgt, gibt es gelegentlich keine schönen Übersetzungen. Durch die manchmal rigorose englische Wortbildung wird das noch befördert. Und so nehme ich hier Abstand von mir gekünstelt vorkommenden Bezeichnungen wie Einserkolonnen.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellenzahl primer Repunits A004023.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Pizzazahlen A000124.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Exponenten primer Mersenne-Zahlen A000043.
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