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Zehn
wuerg, 06.02.2005 00:52
Die Zahl Zehn ist sicherlich bedeutend, doch im wesentlichen nur wegen eines einzigen Umstandes, nämlich der üblichen Darstellung der Zahlen mit zehn Ziffern, dem Dezimalsystem. Bevor man eine Zahl wegen einer Eigenschaft rühmt, die sich allein aus ihrer Dezimaldarstellung ergibt, sollte man sich immer fragen, ob vergleichbare Bedeutung nicht einer ganzen Reihe anderer Zahlen zu anderen Basen ebenfalls zukommt. Es ist sicherlich ein guter Sport, Besonderheiten der Basis 10 zu finden, um sie unter anderen herauszuheben. Nur sollten sie nicht konstruiert, sondern schlicht und einfach sein. Fünf Finger an jeder Hand sind allenfalls eine gute Erklärung für unsere Entscheidung, mehr nicht.
Der für Vollkommenheit stehenden Zahlen ist kein Ende. Nach acht und neun nun auch zehn. Nicht zuletzt wegen der zehn Gebote, wovon nach Luther die ersten drei auf der einen und die letzten sieben auf der anderen Tafel stehen sollen. Das bestärkt die Heiligkeit der 10=3+7 als Summe zweier anderer heiliger Zahlen, kann aber auch reininterpretiert sein, zumal Reihenfolge und Zusammenfassung sich nach Glaubensrichtung unterscheiden. Schon in der Bibel gibt es mehrere Versionen, die nicht durchnumeriert sind. Deshalb ist es wohl umgekehrt: Es gibt nicht zwölf Gebote gemäß den Stämmen Israels, sondern nur zehn, weil wir dezimal denken und uns ein Dekalog gut in den Kram paßt.
Als Summe der ersten vier Zahlen ist 1+2+3+4=10 die vierte Dreieckszahl, eine Tetraktys genannte Vierheit, die naturgemäß gerne wie die Kegel beim Bowling als Dreieck dargestellt wird. Das zeigt die zweite Figur im nachstehenden Bild. Die erste versucht eine Veranschaulichung von 10=1+3+6 als dritter zentrierter Dreieckszahl. Um den blauen Mittenpunkt herum liegt ein grünes Dreieck mit zwei Punkten auf der Kante, darum ein rotes mit dreien. Man kann darin auch einen Tetraeder mit blauer Spitze und roter Basis sehen. Deshalb ist zehn zugleich auch dritte Tetraederzahl. [1]
auf dem 5×5-Schachbrett und der 2-aus-5-Code (png)
Die beiden Schachbretter des nunmehr vorstehenden Bildes zeigen die zehn Möglichkeiten, fünf sich nicht schlagende Damen auf ein Schachbrett der Größe 5×5 zu stellen. [2] Das linke repräsentiert 8 durch Drehung und Spiegelung entstehende Möglichkeiten, das rechte ergibt unter reinen Rotationen keine neue Stellung, steht also nur für zwei Lösungen. Und die letzten beiden Spalten zeigen den 2‑aus‑5-Code, den Urvater vieler Strichcodes. Die angegebene Zuordnung der zehn Ziffern auf die Fünferketten ist zwar grundsätzlich beliebig, folgt hier jedoch der gängigen Vorstellung, daß den fünf Stellen die Gewichte 6, 3, 2, 1 und 0 zukommen. Nur auf die 0 trifft das nicht zu.
Was gibt es sonst noch? Nicht nur zehn Gebote, auch zehn Plagen, zehn kleine Negerlein und die zehn Zweige des Lebensbaumes Sephirot, der die Zahlen von 1 bis 10 mit den 22 Buchstaben des hebräischen Alphabetes verwurstelt. Eigentlich nichts von eigenem Wert, nur Ausschmückung unseres Dezimalsystems, durch das es den Zehnten, Dezimeter für zehntel Meter [3] und für Österreicher auch Dekagramm gibt. Ein Dime zu 10 Cent umfaßt den zehnten Teil eines Dollars, Rennfahrer geben nicht 100 Prozent, sondern ten tenths, der englische Premierminister wohnt in Number Ten, mit zehn Jahren wird man Teenager, und das Zehnfache wird gerne eine Größenordnung oder Magnitude genannt. [4] Ein Bel bezeichnet eine solche Verzehnfachung. Fünf Dezibel, also die Wurzel aus 10 liegen mit 3,16 bemerkenswert nahe an der Kreiszahl 𝜋. [5]
[1] Doch Vorsicht! Die vierte zentrierte Dreieckszahl 1+3+6+9=19 bildet keinen Tetraeder 1+3+6+10=20, weil in der vierten Schicht ein Punkt unter dem blauen zu liegen kommt. Es kann ja auch nicht über n=1,2,3 hinaus für alle n Gleichheit herrschen, da die ebenen Dreieckszahlen nur quadratisch wachsen, das Volumen des Tetraeders aber mit der dritten Potenz zunimmt. Von Bedeutung sind die drei Schichten (blau, grün, rot) nicht nur beim Stapeln von Apfelsinen, sondern auch in Kristallen, in denen die Farben zwar von Schicht zu Schicht wechseln müssen, doch nicht unbedingt in stets der gleichen Abfolge.
[2] Ich weiß, es gibt 53130 (25 über 5) Möglichkeiten, weil nur Figuren fremder Farbe geschlagen werden können. Und ein Schachbrett hat nicht 5x5, sondern 8x8 Felder. Doch dafür muß auf die 12, wenn nicht 92 gewartet werden.
[3] Früher war man humaner und dezimierte nicht auf den zehnten Teil, sondern nur einen von Zehnen.
[4] Irgendwie hatte ich im Kleinhirn, daß der Logarithmus aus Magnitude vor und Mantisse nach dem Komma besteht. Zumindest letzteres ist richtig. Bei Erdbeben und Sternhelligkeiten steht eine Magnitude auch für einen solchen Zusammenhang, nur mit einem anderen Faktor als 10. Bei Beben wohl die etwa dreißigfache Energie, bei Sternen geht es sogar nach unten, etwa um den Faktor 2,51 in der Helligkeit.
[5] Da 𝜋2 im täglichen Leben kaum vorkommt, wäre das von wenig Nutzen, wenn es nicht auf guten Rechenschiebern auch 𝜋-versetzte Skalen gäbe, nicht (nur) um die Multiplikation mit und Division durch 𝜋 zu vereinfachen, sondern weil damit die Eins ziemlich genau in der Skalenmitte liegt. Das erweist sich als praktisch, weil durch diese Skalen möglicherweise ein starker Auszug oder ein Umsetzen der Zunge vermieden werden kann.
9 | 11 | Dreieckszahlen | Logarithmentafel | Rechenschieber
Der für Vollkommenheit stehenden Zahlen ist kein Ende. Nach acht und neun nun auch zehn. Nicht zuletzt wegen der zehn Gebote, wovon nach Luther die ersten drei auf der einen und die letzten sieben auf der anderen Tafel stehen sollen. Das bestärkt die Heiligkeit der 10=3+7 als Summe zweier anderer heiliger Zahlen, kann aber auch reininterpretiert sein, zumal Reihenfolge und Zusammenfassung sich nach Glaubensrichtung unterscheiden. Schon in der Bibel gibt es mehrere Versionen, die nicht durchnumeriert sind. Deshalb ist es wohl umgekehrt: Es gibt nicht zwölf Gebote gemäß den Stämmen Israels, sondern nur zehn, weil wir dezimal denken und uns ein Dekalog gut in den Kram paßt.
Als Summe der ersten vier Zahlen ist 1+2+3+4=10 die vierte Dreieckszahl, eine Tetraktys genannte Vierheit, die naturgemäß gerne wie die Kegel beim Bowling als Dreieck dargestellt wird. Das zeigt die zweite Figur im nachstehenden Bild. Die erste versucht eine Veranschaulichung von 10=1+3+6 als dritter zentrierter Dreieckszahl. Um den blauen Mittenpunkt herum liegt ein grünes Dreieck mit zwei Punkten auf der Kante, darum ein rotes mit dreien. Man kann darin auch einen Tetraeder mit blauer Spitze und roter Basis sehen. Deshalb ist zehn zugleich auch dritte Tetraederzahl. [1]
● ♛ • • • • • ♛ • • • 0 - 00110 5 01100
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● ● ● ● ● • • • • ♛ ♛ • • • • 3 - 01001 8 10100
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Zehn als Tetraeder- und Dreieckszahl, 8+2 Möglichkeiten für fünf Damenauf dem 5×5-Schachbrett und der 2-aus-5-Code (png)
Die beiden Schachbretter des nunmehr vorstehenden Bildes zeigen die zehn Möglichkeiten, fünf sich nicht schlagende Damen auf ein Schachbrett der Größe 5×5 zu stellen. [2] Das linke repräsentiert 8 durch Drehung und Spiegelung entstehende Möglichkeiten, das rechte ergibt unter reinen Rotationen keine neue Stellung, steht also nur für zwei Lösungen. Und die letzten beiden Spalten zeigen den 2‑aus‑5-Code, den Urvater vieler Strichcodes. Die angegebene Zuordnung der zehn Ziffern auf die Fünferketten ist zwar grundsätzlich beliebig, folgt hier jedoch der gängigen Vorstellung, daß den fünf Stellen die Gewichte 6, 3, 2, 1 und 0 zukommen. Nur auf die 0 trifft das nicht zu.
Was gibt es sonst noch? Nicht nur zehn Gebote, auch zehn Plagen, zehn kleine Negerlein und die zehn Zweige des Lebensbaumes Sephirot, der die Zahlen von 1 bis 10 mit den 22 Buchstaben des hebräischen Alphabetes verwurstelt. Eigentlich nichts von eigenem Wert, nur Ausschmückung unseres Dezimalsystems, durch das es den Zehnten, Dezimeter für zehntel Meter [3] und für Österreicher auch Dekagramm gibt. Ein Dime zu 10 Cent umfaßt den zehnten Teil eines Dollars, Rennfahrer geben nicht 100 Prozent, sondern ten tenths, der englische Premierminister wohnt in Number Ten, mit zehn Jahren wird man Teenager, und das Zehnfache wird gerne eine Größenordnung oder Magnitude genannt. [4] Ein Bel bezeichnet eine solche Verzehnfachung. Fünf Dezibel, also die Wurzel aus 10 liegen mit 3,16 bemerkenswert nahe an der Kreiszahl 𝜋. [5]
[1] Doch Vorsicht! Die vierte zentrierte Dreieckszahl 1+3+6+9=19 bildet keinen Tetraeder 1+3+6+10=20, weil in der vierten Schicht ein Punkt unter dem blauen zu liegen kommt. Es kann ja auch nicht über n=1,2,3 hinaus für alle n Gleichheit herrschen, da die ebenen Dreieckszahlen nur quadratisch wachsen, das Volumen des Tetraeders aber mit der dritten Potenz zunimmt. Von Bedeutung sind die drei Schichten (blau, grün, rot) nicht nur beim Stapeln von Apfelsinen, sondern auch in Kristallen, in denen die Farben zwar von Schicht zu Schicht wechseln müssen, doch nicht unbedingt in stets der gleichen Abfolge.
[2] Ich weiß, es gibt 53130 (25 über 5) Möglichkeiten, weil nur Figuren fremder Farbe geschlagen werden können. Und ein Schachbrett hat nicht 5x5, sondern 8x8 Felder. Doch dafür muß auf die 12, wenn nicht 92 gewartet werden.
[3] Früher war man humaner und dezimierte nicht auf den zehnten Teil, sondern nur einen von Zehnen.
[4] Irgendwie hatte ich im Kleinhirn, daß der Logarithmus aus Magnitude vor und Mantisse nach dem Komma besteht. Zumindest letzteres ist richtig. Bei Erdbeben und Sternhelligkeiten steht eine Magnitude auch für einen solchen Zusammenhang, nur mit einem anderen Faktor als 10. Bei Beben wohl die etwa dreißigfache Energie, bei Sternen geht es sogar nach unten, etwa um den Faktor 2,51 in der Helligkeit.
[5] Da 𝜋2 im täglichen Leben kaum vorkommt, wäre das von wenig Nutzen, wenn es nicht auf guten Rechenschiebern auch 𝜋-versetzte Skalen gäbe, nicht (nur) um die Multiplikation mit und Division durch 𝜋 zu vereinfachen, sondern weil damit die Eins ziemlich genau in der Skalenmitte liegt. Das erweist sich als praktisch, weil durch diese Skalen möglicherweise ein starker Auszug oder ein Umsetzen der Zunge vermieden werden kann.
9 | 11 | Dreieckszahlen | Logarithmentafel | Rechenschieber
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