Differenzenfolge
Zu jeder Zahlenfolge a(1),a(2),a(3),... kann man die Folge der Differenzen d(1),d(2),d(3),... betrachten, die durch
d(1)=a(1) und d(n)=a(n)-a(n-1) für n>1
definiert ist. Diese Differenzen sind oftmals nützlich, um auf das in einer Folge versteckte Bildungsgesetz zu schließen. Hat man zum Beispiel das Anfangsstück 1,7,19,37,61,91,.. vorliegen und sucht eine geschlossene Formel, so kann man die Differenzen bilden und ggf. auch davon abermals die Differenzen
Folge a(n)           1     7    19    37    61    91    ...
Differenzen d(n)        6    12    18    24    30    ...
Diff. 2. Ordnung           6     6     6     6    ...
Man erkennt sofort, daß die Differenzen zweiter Ordnung konstant sind, die Differenzen erster Ordnung also linear anwachsen und die Originalfolge damit quadratisch. Ein Ansatz a(n)=x*n^2+y*n+z sollte also zum Erfolg führen. Man pickt sich einfach drei Werte heraus und erhält drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Der Einfachheit halber für die ersten drei Werte:
n=1     x +  y + z = 1
n=2    4x + 2y + z = 7
n=3    9x + 3y + z = 19
Die Lösung x=3, y=-3, z=1 führt auf die Formel a(n)=3*n^2-3*n+1=1+3n(n-1). Das ist die Formel für die zentrierten Sechseckzahlen.

Dieses Verfahren mag einem überzogen und nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen. In Variationen kann man aber möglicherweise aus einem mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein komplizierteres Bildungsgesetz geführt werden. Unter der Überschrift "20" habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1,3,4,8,10,16,20,29,35,..., die der Differenzenmethode zunächst wenig zugänglich erscheint:
1     3     4     8    10    16    20    29    35    ...
   2     1     4     2     6     4     9     6    ...
     -1     3    -2     4    -2     5    -3    ...
Betrachtet man aber nur die ungeraden Folgeglieder, so sieht die Welt schon besser aus.
1           4          10          20          35    ...
      3           6          10          15    ...
            3           4           5    ...
Das führt auf die für ungerade n vermutlich richtige Formel a(n)=(n+1)(n+3)(n+5)/48. Für gerade n muß man jedoch Korrekturen anbringen. Wieder hilft der gleiche Trick. Für gerade, doch nicht durch 4 teilbare (einfach gerade) n ergibt sich ein Zuschlag von (9n+21)/48. Wird auch er berücksichtigt, bleibt nur noch für alle durch 4 teilbaren (doppelt geraden) n ein Rest von 1/4. Die vermutete Formel lautet also
a(n) = (n+1)(n+3)(n+5)/48
     + (9n+21)/48         falls n einfach gerade
     + 12/48              falls n doppelt gerade
Ein Beispiel für n=8:
a(8)=[(8+1)(8+3)(8+5)+(9*8+21)+12]/48
    =[9*11*13+72+21+12]/48
    =[1287+105]/48=1392/48=29 (stimmt!)
Natürlich müßte diese vermutete Formel noch als wirklich für alle n gültig überprüft werden. Aber das kann man nur, wenn man sie auch hat.

In modernen Zeiten gibt es natürlich zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.

Sechseckzahlen | 20 | Sloane

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