Zahlwort

Nach den Prim- und den Polygonal­zahlen sind die Fibo­nacci­zahlen von weit­reichen­dem Inter­esse. Die erste und zweite Fibo­nacci­zahl sind einfach F(1)=F(2)=1, jede weitere entsteht durch Addi­tion der beiden vorange­henden, also F(n)=F(n-1)+F(n-2). Das ergibt die Fibo­nacci-​Folge [1]

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Sehr gerne wird die Entstehung dieser Folge mit Kanin­chen verdeut­licht. Werfen sie an ihrem zweiten, dritten, vierten und jedem weiteren Geburts­tag ein kleines Häs­chen [2], ver­mehren sie sich wie folgt:

Beginn des 1. Jahres:   0
                        |
Beginn des 2. Jahres:   1--------------+
                        |              |
Beginn des 3. Jahres:   1--------+     0
                        |        |     |
Beginn des 4. Jahres:   1-----+  0     1-----+ 
                        |     |  |     |     |
Beginn des 5. Jahres:   1--+  0  1--+  1--+  0
                        |  |  |  |  |  |  |  |
Beginn des 6. Jahres:   1  0  1  1  0  1  0  1

Darin bezeichnet 0 einen neuge­borenen Hasen und 1 einen nach seinem ersten Ge­burts­tag. Ordnen sie sich wie darge­stellt an, entsteht die Fibo­nacci­folge 10110101 ..., für die man keine Kanin­chen benötigt: Mit 0 beginnend wird schritt­weise 0 durch 1 und 1 durch 10 ersetzt.

Obwohl die Fibo­nacci­zahlen gerne in der Natur vorkommen, ist mir ein genau­eres Beispiel aus dem Baube­reich doch lieber: Man will eine 20 cm hohe Mauer mit Ziegel­steinen der Größe 10 mal 20 cm ver­kleiden oder bauen. Diese Steine kann man waage­recht oder senk­recht ver­wenden. Wieviele Ziegelstein-Muster a(n) für eine Mauer von n Dezimetern sind möglich? Offensicht­lich gibt es 1, 2 und 3 Muster für Mauern der beschei­denen Länge von 10, 20 und 30 Zenti­metern.

+---+                   +---+---+   +-------+
|   |                   |   |   |   |       |
|   |                   |   |   |   +-------+
|   |                   |   |   |   |       |
+---+                   +---+---+   +-------+

+---+---+---+   +---+-------+   +-------+---+
|   |   |   |   |   |       |   |       |   |
|   |   |   |   |   +-------+   +-------+   |
|   |   |   |   |   |       |   |       |   |
+---+---+---+   +---+-------+   +-------+---+

Für größere n wähle ich eine kompaktere Darstel­lung mit | für einen senk­rechten und == für zwei waage­rechte Ziegel:

n=4:  ||||   ||==   |==|   ==||   ====

n=5:  |||||   |||==    ||==|    |==||
      
      ==|||   |====    ==|==    ====|

Damit ist Verdacht auf Fibonacci gegeben, und tatsäch­lich führt die folgende Über­legung auf a(n)=a(n-1)+a(n-2): Mauern der Länge n mit einem senk­rechten Ziegel am Ende gibt es soviele wie Mauern der Länge n-1, und Mauern der Länge n mit zwei waage­rechten Ziegeln am Ende soviele wie von der Länge n-2. Mit senk­rechtem Ziegel am Ende sind es demnach a(n-1) und mit waage­rechten a(n-2), insgesamt also a(n)=a(n-1)+a(n-2). Da zudem a(1)=1=F(2) und a(2)=2=F(3) ist, muß a(n)=F(n+1) sein.

Weitgehend bekannt ist das sich der goldenen Zahl nähernde Verhäl­tnis zweier aufein­ander­folgenden Fibonacci­zahlen:

  3/2  = 1,500000    5/3  = 1,666667
  8/5  = 1,600000   13/8  = 1,625000
 21/13 = 1,615385   34/21 = 1,619048
 55/34 = 1,617647   89/55 = 1,618182

Die Darstellung in zwei Spalten soll verdeut­lichen, daß die Nähe­rungen abwech­selnd unter und über der goldenen Zahl Φ≈1,618034 liegen. Mit einem kleinen Phi wird der goldene Schnitt φ=0,6180... bezeich­net. Es gilt:

Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 1,6180339887498948482...
φ = (√5-1)/2 = 1/Φ = Φ-1 = 0,6180339887498948482...

Mit diesen beiden an vielen Stellen vor­kommen­den Zahlen, kann auch die Binet­sche Formel für die Fibo­nacci­zahlen kompakt geschrie­ben werden:

F(n) = ( Φⁿ - (-φ)ⁿ ) / √5

Im wesentlichen wächst also F(n) in jedem Schritt um den Faktor Φ. Von der damit gege­benen Mittel­linie Φⁿ/√5 weicht F(n) um den immer kleiner werden­den Betrag φⁿ/√5 ab. [3]

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. A000203
[2] Ich weiß, Has*innen sind keine Kanin­chen, und auch die gebären­den unter ihnen werfen nicht beliebig lange genau ein Häs­chen­/elein pro Jahr. Haupt­sache es entstehen die Fibo­nacci­zahlen und die Fibo­nacci­folge.
[3] Mit dem Taschen­rechner berechnet sich zum Beispiel die 12. Fibo­nacci­zahl wie folgt: 1+√5=/2=^12=/√5 ergibt 144,001..., gerundet F(12)=144.

Goldener Schnitt