Summenfolge
wuerg, 18.06.2005 00:28
Zu jeder Zahlenfolge a(1), a(2), a(3), ... kann man eine Summenfolge s(1), s(2), s(3), ... bilden, deren n-tes Glied s(n) die ersten n Glieder der Folge a addiert.
s(n) = a(1)+a(2)+...+a(n), rekursiv s(1)=a(1), s(n)=s(n-1)+a(n) für n>1.
Definierte man die Differenzenfolge als d(n)=a(n)-a(n-1) mit a(0)=0, so wäre die Summenfolge s der Differenzenfolge d wieder die Ausgangsfolge a:
s(n) = d(1)+d(2)+...+d(n) = [a(1)-a(0)]+[a(2)-a(1)]+...+[a(n)-a(n-1)] = a(n)
Gleiches gälte auch für die Differenzenfolge d der Summenfolge s:
d(n) = s(n) - s(n-1) = [a(1)+a(2)+...a(n-1)+a(n)] - [a(1)+a(2)+...+a(n-1)] = a(n)
Definiert man dagegen wie üblich d(n)=a(n+1)-a(n), so ist die Differenzenfolge d der Summenfolge s leider die um eine Position verschobene Ausgangsfolge a, denn
d(n) = s(n+1) - s(n) = [a(1)+a(2)+...a(n)+a(n+1)] - [a(1)+a(2)+...+a(n)] = a(n+1)
Bei der Summenfolge s der Differenzenfolge d wird zudem noch das erste Folgeglied a(1) abgezogen:
s(n) = d(1)+d(2)+...+d(n) = [a(2)-a(1)]+[a(3)-a(2)]+...+[a(n+1)-a(n)] = a(n+1)-a(1)
Auf den ersten Blick scheint daher dier erste Variante die bessere zu sein. Es gibt aber gute Gründe, weshalb man normalerweise die zweite wählt. Das habe ich in meinem Beitrag zur Differenzenfolge erläutert.
Oberschüler mögen sich sich an das C in unbestimmten Integralen erinnern. Diese Rolle spielt hier -a(1). Die Verschiebung um eine Position entspricht dort nur einer von dx, ist also verschwunden.
Summenfolgen sind im allgemeinen interessanter als die der Differenzen, was man schon daran erkennt, daß vornehmlich mit ihrer Betrachtung gerne von Reihen gesprochen wird. Das hebt sprachlich die gundlegende Folge als Gesamtheit hervor, deren Glieder zugunsten der Partialsummen in den Hintergrund treten. Insbesondere dann, wenn es vor allem um die Gesamtsumme geht und man sich mit den Summanden nur abgibt, weil man keinen besseren Weg kennt. [1] Ein Beispiel: Die Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, .... heißt deshalb geometrische Reihe und weniger Folge, weil man an ihren Partialsummen und ganz besonders an der Gesamtsumme interessiert ist, die man in diesem einfachen Falle auch kennt, nämlich 2.
Neben der bekannten arithmetischen und der geometrischen Reihe sind die Polygonalzahlen ein gutes Beispiel, wo man an den Partialsummen interessiert ist, weniger an den Summanden. Die sind einfach Glieder einer auch Progression genannten arithmetischen Folge und spielen allenfalls in der Definition und am Anfang von Überlegungen eine Rolle. Für die n-te zentrierte k-Eckzahl p(k,n) fängt man mit einem Mittenpunkt an und umringt ihn mit k, 2k, 3k, ..., (n-1)k Punkten. Da s(n)=n·(a(1)+a(n))/2=k·n(n+1)/2 die Summenfolge zu a(n)=n·k ist, ergibt sich p(k,n)=1+s(n-1)=1+k·n(n-1)/2. Für die normalen k-Eckzahlen ist es im Prinzip das gleiche.
[1] Manchmal ist es auch umgekehrt, wenn man beeindruckt davon ist, welche Folgeglieder sich zu einer beliebten Zahl addieren, wie das in der Leibniz-Reihe π/4=1-1/3+1/5-1/7+... der Fall ist.
Differenzenfolge | normale und zentrierte Polygonalzahlen
s(n) = a(1)+a(2)+...+a(n), rekursiv s(1)=a(1), s(n)=s(n-1)+a(n) für n>1.
Definierte man die Differenzenfolge als d(n)=a(n)-a(n-1) mit a(0)=0, so wäre die Summenfolge s der Differenzenfolge d wieder die Ausgangsfolge a:
s(n) = d(1)+d(2)+...+d(n) = [a(1)-a(0)]+[a(2)-a(1)]+...+[a(n)-a(n-1)] = a(n)
Gleiches gälte auch für die Differenzenfolge d der Summenfolge s:
d(n) = s(n) - s(n-1) = [a(1)+a(2)+...a(n-1)+a(n)] - [a(1)+a(2)+...+a(n-1)] = a(n)
Definiert man dagegen wie üblich d(n)=a(n+1)-a(n), so ist die Differenzenfolge d der Summenfolge s leider die um eine Position verschobene Ausgangsfolge a, denn
d(n) = s(n+1) - s(n) = [a(1)+a(2)+...a(n)+a(n+1)] - [a(1)+a(2)+...+a(n)] = a(n+1)
Bei der Summenfolge s der Differenzenfolge d wird zudem noch das erste Folgeglied a(1) abgezogen:
s(n) = d(1)+d(2)+...+d(n) = [a(2)-a(1)]+[a(3)-a(2)]+...+[a(n+1)-a(n)] = a(n+1)-a(1)
Auf den ersten Blick scheint daher dier erste Variante die bessere zu sein. Es gibt aber gute Gründe, weshalb man normalerweise die zweite wählt. Das habe ich in meinem Beitrag zur Differenzenfolge erläutert.
Oberschüler mögen sich sich an das C in unbestimmten Integralen erinnern. Diese Rolle spielt hier -a(1). Die Verschiebung um eine Position entspricht dort nur einer von dx, ist also verschwunden.
Summenfolgen sind im allgemeinen interessanter als die der Differenzen, was man schon daran erkennt, daß vornehmlich mit ihrer Betrachtung gerne von Reihen gesprochen wird. Das hebt sprachlich die gundlegende Folge als Gesamtheit hervor, deren Glieder zugunsten der Partialsummen in den Hintergrund treten. Insbesondere dann, wenn es vor allem um die Gesamtsumme geht und man sich mit den Summanden nur abgibt, weil man keinen besseren Weg kennt. [1] Ein Beispiel: Die Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, .... heißt deshalb geometrische Reihe und weniger Folge, weil man an ihren Partialsummen und ganz besonders an der Gesamtsumme interessiert ist, die man in diesem einfachen Falle auch kennt, nämlich 2.
Neben der bekannten arithmetischen und der geometrischen Reihe sind die Polygonalzahlen ein gutes Beispiel, wo man an den Partialsummen interessiert ist, weniger an den Summanden. Die sind einfach Glieder einer auch Progression genannten arithmetischen Folge und spielen allenfalls in der Definition und am Anfang von Überlegungen eine Rolle. Für die n-te zentrierte k-Eckzahl p(k,n) fängt man mit einem Mittenpunkt an und umringt ihn mit k, 2k, 3k, ..., (n-1)k Punkten. Da s(n)=n·(a(1)+a(n))/2=k·n(n+1)/2 die Summenfolge zu a(n)=n·k ist, ergibt sich p(k,n)=1+s(n-1)=1+k·n(n-1)/2. Für die normalen k-Eckzahlen ist es im Prinzip das gleiche.
[1] Manchmal ist es auch umgekehrt, wenn man beeindruckt davon ist, welche Folgeglieder sich zu einer beliebten Zahl addieren, wie das in der Leibniz-Reihe π/4=1-1/3+1/5-1/7+... der Fall ist.
Differenzenfolge | normale und zentrierte Polygonalzahlen
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