Summenfolge
Zu jeder Zahlenfolge a(1),a(2),a(3),... kann man eine Summenfolge s(1),s(2),s(3),... bilden, deren n-tes Glied s(n) die ersten n Glieder der Folge a addiert. Die Definition ist einfach:
s(1)=a(1) und s(n)=s(n-1)+a(n) für n>1
Die Folge der Dreieckszahlen 1,3,6,10,15,21,... ist Summenfolge einer viel einfacheren, nämlich 1,2,3,4,5,6,..., die umgekehrt natürlich die Differenzenfolge der Dreieckszahlen ist. Ganz allgemein ist jede Folge von Zahlen die Summenfolge ihrer Differenzenfolge und auch umgekehrt Differenzenfolge ihrer Summenfolge. Der Begriff Differenzenfolge ist aber mehr oder minder erfunden, denn im allgemeinen betrachtet man allenfalls die Differenzen, ohne sie gleich als Folge zu benennen. Mit den Summenfolgen verhält es sich anders. Sie sind bedeutender, denn sie schaffen zumeist aus einfachen Folgen schwierigere und führen über
s(n) = a(1) + a(2) + ... + a(n)
möglicherweise zu interessanten Zerlegungen von Zahlen oder Ausdrücken s(n) bis hin zu dem Versuch, alle Folgeglieder zu
s = a(1) + a(2) + a(3) + ...
zu addieren, womit möglicherweise eine gute Vorschrift gegeben ist, wie man durch fortwährende Addition von Folgegliedern a(n) sich einer Zahl s nähert. Doch um dieses weite Gebiet soll es hier nicht gehen.

Zunächst sollen die bereits vor Tagen betrachteten Polygonalzahlen p(k,n) und P(k,n) als Summenfolgen von recht einfachen Differenzenfolgen erkannt werden. Es gilt ja
p(k,n) = 1+kn(n+1)/2 = 1 + k*D(n-1)   und
P(k,n) = n[(k-2)n-(k-4)]/2 = n + (k-2)*D(n-1)
weshalb die Folge der zentrierten k-Eckzahlen p(k,1),p(k,2),p(k,3),... Summenfolge von
1, k, 2k, 3k, 4k, 5k, ...
und die Folge der normalen k-Eckzahlen P(k,1),P(k,2),P(k,3),... Summenfolge von
1, 1+(k-2), 1+2(k-2), 1+3(k-2), ...
ist. Die zweite Folge sieht zwar wegen "k-2" und "1+" komplizierter aus als die erste, dafür weist sie aber zwischen allen Folgeliedern die gleiche Differenz k-2 auf. In der ersten Folge ist dies nicht der Fall, denn vom ersten zum zweiten Folgeglied ist es nur k-1 statt k. Deshalb sind die normalen k-Eckzahlen Summenfolge einer ganz normalen arithmetschen Progression, die zentrierten aber nicht. Sie liegen um 1 höher. Arithmetische Progression heißen Folgen
a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...
die in gleichmäßigen Abständen d voranschreiten. Das n-te Gliede der Folge ist also a(n)=a*(n-1)d. Die Glieder s(n) der zugehörigen Summenfolge berechnen sich leicht:
2*s(n) =  a+  0*d  +  a+   1*d + ...  a+(n-2)d +  a+(n-1)d
       +  a+(n-1)d +  a+(n-2)d + ...  a+   1*d +  a+   0*d
       = 2a+(n-1)d + 2a+(n-1)d + ... 2a+(n-1)d + 2a+(n-1)d
       = n*2*a + n(n-1)d      und somit
  s(n) = n*(a+(n-1)d/2) = n*a + d*D(n-1)
Mit den Dreieckszahlen hat man also nicht nur die Polygonalzahlen, sondern sogar die Summen aller arithmetischen Progressionen im Griff.

Dreieckszahlen | normale Polygonalzahlen | zentrierte Polygonalzahlen | Differenzenfolge

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