Zahlwort

Die Dreieckszahlen, Quadrat­zahlen, Fünfeck­zahlen, Sechseck­zahlen usw. werden nach griechi­schen Vorstel­lungen gebildet, indem man stets ein größeres Polygon hinzunimmt:

    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
              4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
                                             4   4
                                               4

Doch ab den Fünfeck­zahlen werden die Bilder löchrig, und schon bei den Sechseck­zahlen fragt man sich, warum sie nicht wie folgt aussehen:

                           4 4 4 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
1   2 1 2   3 2 1 2 3   4 3 2 1 2 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
                           4 4 4 4

Dieses Schema kann auf alle k‑Ecke ausgedehnt werden, sieht jedoch nur für Quadrate, Fünf- und Sechs­ecke gut aus:

      4         4---4---4---4          4             4 4 4 4
     /3\        | 3---3---3 |        4 3 4          4 3 3 3 4
    4/2\4       4 | 2---2 | 4      4 3 2 3 4       4 3 2 2 3 4
   /3/1\3\      | 3 | 1 | 3 |    4 3 2 1 2 3 4    4 3 2 1 2 3 4
  4/2---2\4     4 | 2---2 | 4     4 3 2 2 3 4      4 3 2 2 3 4
 /3---3---3\    | 3---3---3 |      4 3 3 3 4        4 3 3 3 4
4---4---4---4   4---4---4---4       4 4 4 4          4 4 4 4

Die solchen Gebilden zugeord­neten Punkte­zahlen heißen zen­trierte Poly­gonal­zahlen, die ich mit pᵏₙ für das k‑Eck mit jeweils n Punk­ten auf der äußeren Kante abkürzen will. Sie lassen sich dank

pkn = 1 + k + 2k +3k + ... + (n-1)k
    = 1 + k·(1+2+3+...+(n-1))
    = 1 + k·D(n-1)
    = 1 + k·n(n-1)/2

leichter berechnen als die (unzen­trierten, gewöhn­lichen, ein­fachen, nor­malen) Poly­gonal­zahlen

Pkn = 1 + (1+(k-2)) + (1+2(k-2) + (1+3(k-2)) + ... + (1+(n-1)(k-2))
    = n + (1+2+3+...+(n-1))·(k-2)
    = n + D(n-1)·(k-2)
    = n + (n(n-1)/2)·(k-2)
    = n·[(k-2)n-(k-4)]/2

In beiden Formeln ist Dₙ₋₁=P³ₙ₋₁=n(n−1)/2 die (n−1)‑te Drei­ecks­zahl. Wie man in geeig­neten Dar­stel­lungen der einfachen Poly­gonal­zahlen

B B B B A           B B B B A            B B B B A
 B B B A A         C B B B A A          C B B B A A
  B B A A A       C C B B A A A        C C B B A A A
   B A A A A     C C C B A A A A      C C C B A A A A
    1 2 3 4 5   C C C C 1 2 3 4 5    C C C C 1 2 3 4 5
                                     D D D D
       k=4             k=5            D D D     k=6
                                       D D
   in allen drei Bildern: n=5           D

die Formel Pᵏₙ=n+(k−2)·Dₙ₋₁ erken­nen kann, ist dies auch bei den zen­trierten

 k=3: C    k=4: D---C---C---C    k=5:  D        k=6: E D D D
     /C\        | D---C---C |        D D C          E E D D C
    C/C\B       D | D---C | B      D D D C C       E E E D C C
   /C/o\B\      | D | o | B |    E E E o C C C    F F F o C C C
  C/A---B\B     D | A---B | B     E E A B B B      F F A B B B
 /A---A---B\    | A---A---B |      E A A B B        F A A B B
A---A---A---B   A---A---A---B       A A A B   n=4    A A A B

mit der Formel pᵏₙ=1+k·Dₙ₋₁ der Fall. Andere Figuren verdeut­lichen weitere Bezie­hungen. So lassen sich Quadrate gemäß

              4---4---4---4     4---4---4---4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3   1   3  +  |   |   |   |  =  | 3 | 1 | 3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 | 
              4---4---4---4     4---4---4---4

zusammen­setzen. Deshalb ist qₙ=Qₙ+Qₙ₋₁=n²+(n−1)², worin qₙ=p⁴ₙ die n-te zen­trierte Quadrat­zahl und Qₙ=P⁴ₙ die normale Quadrat­zahl ist.

Die den Griechen so wichtige einfache Fünfeck­zahl Fₙ=P⁵ₙ=n(3n−1)/2 kann wie in der mitt­leren Figur der dritt­letzten Abbildung als halbes zen­trier­tes Sechseck gesehen werden. Das bedeutet hₙ=2·Fₙ−(2n−1), eine von vielen Bezie­hungen, die ich hier nicht aus­breiten kann und will.

Dreieckszahlen | Quadratzahlen

Die kanonische Darstellung der n‑ten zen­trierten k‑Eck­zahl durch einen Mitten­punkt umgeben von n−1 Kreisen mit k, 2k, …, (n−1)k Punk­ten sieht allen­falls für k=4,5,6 einiger­maßen anspre­chend aus. Hier ein paar alter­native Muster auf der Basis von

p^k_n = 1 + k·D_n−1

durch einen einzelnen Punkt und k Drei­ecke. Für manche k geht es ganz gut. So kann man dem als ein Sechs­eck darge­stellten n‑ten Sechs­eckzahl

    3 2 2 2 2
   3 3 2 2 2 1
  3 3 3 2 2 1 1
 3 3 3 3 2 1 1 1
4 4 4 4 0 1 1 1 1
 4 4 4 5 6 6 6 6
  4 4 5 5 6 6 6
   4 5 5 5 6 6
    5 5 5 5 6

einfach weitere Dreiecke mit Dₙ₋₁ Punk­ten ankleben. Mit drei wei­te­ren (7-9) gelangt man zu den zen­trierten Neuneck­zahlen:

            7
           7 7
          7 7 7
         7 7 7 7 
        3 2 2 2 2
       3 3 2 2 2 1
      3 3 3 2 2 1 1
     3 3 3 3 2 1 1 1
    4 4 4 4 0 1 1 1 1
   8 4 4 4 5 6 6 6 6 9
  8 8 4 4 5 5 6 6 6 9 9
 8 8 8 4 5 5 5 6 6 9 9 9
8 8 8 8 5 5 5 5 6 9 9 9 9

Das Bild für n=5 mit 1+9·D₉=91=D₁₃ Punkten läßt ve­muten, daß es sich für alle n um die (3n−2)-te Drei­ecks­zahl handelt, was durch

p⁹_n = 1+9·D_n−1 = 1+9n(n−1)/2 = (3n−2)(3n−1)/2 = D_3n−2

bestätigt wird. Mit weiteren drei ange­klebten Drei­ecken gelangt man zu den zen­trierten Zwöl­feck­zahlen, die zugleich sechs­zackige Stern­zahlen sind:

            o
           o o
          o o o
         o o o o 
o o o o x x x x x o o o o
 o o o x x x x x x o o o
  o o x x x x x x x o o
   o x x x x x x x x o
    x x x x o x x x x
   o x x x x x x x x o
  o o x x x x x x x o o
 o o o x x x x x x o o o
o o o o x x x x x o o o o
         o o o o
          o o o
           o o
            o

Auch an Fünfecke kann man Dreiecke anfügen. So kommt man auf zen­trierte Zehneck­zahlen. Dazu kein Bild, da es mit ASCII-​Zei­chen kaum darzu­stellen möglich ist und ein fünf­zackiger Stern auch nicht viel anders aussieht als einer mit sechsen. [1] Es bleibt das Bild zu den zen­trierten Quadrat­zahlen:

   2   2   2   2   1 
     2   2   2   1
   3   2   2   1   1
     3   2   1   1
   3   3   0   1   1
     3   3   4   1
   3   3   4   4   1
     3   4   4   4
   3   4   4   4   4

dem man ebenfalls an den Seiten Drei­ecke ankle­ben kann. Eben­mäßig sieht es aus, wenn man es an allen vieren (5-8) macht:

                6
              6   6
            6   6   6
          6   6   6   6
        2   2   2   2   1 
      7   2   2   2   1   5
    7   3   2   2   1   1   5
  7   7   3   2   1   1   5   5
7   7   3   3   0   1   1   5   5
  7   7   3   3   4   1   5   5
    7   3   3   4   4   1   5
      7   3   4   4   4   5
        3   4   4   4   4
          8   8   8   8
            8   8   8
              8   8
                8

Zöge man die Spitzen in die Länge, sähe man einen vier­zackigen Stern. Die vorste­hende Abbil­dung dagegen legt glaub­wür­diger nahe, was durch

p⁸_n = 1+8·D_n = 1+4n(n−1) = (2n−1)²

belegt ist: Die n‑te zen­trierte Achteck­zahl ist die (2n−1)‑te normale Qua­drat­zahl.

Da sowohl die zentrierten Achteck­zahlen als die zen­trierten Neuneck­zahlen zugleich normale Poly­gonal­zahlen sind, liegt die Frage nahe, für welche anderen es ebenfalls eine Bezie­hung der Form

p^k_n = P^l_m   mit  m=αn+β

geben könnte. Bis mir eine Lösung über den Weg läuft, vertraue ich meiner eigenen Über­legung mit dem Ergebnis, daß für ganz­zahliges α das Produkt k(k-8) eine Quadrat­zahl sein muß. Das ist nur für k=8,9 der Fall und führt auf α=3,2 und β=−2,−1 nebst l=3,4.

[1] Bekanntlich hat der David­stern sechs Zacken. Dank der Evolu­tion des mensch­lichen Auges auch die Sterne am Himmel. Zum Troste für die Zukurz­gekom­menen: Das von den Griechen heißge­liebte Penta­gramm und fast alle Sterne auf Flaggen sind eben­falls fünf­zackig mit der Spitze nach oben. Da kaum noch mit der Hand geschrie­ben wird, setzt er sich auch im Schrift­bild zunehmend durch.