Sechseckzahlen
Die Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckzahlen, Sechseckzahlen usw. werden nach griechischen Vorstellungen gebildet, indem man an einer Ecke stets ein größeres Polygon hinzunimmt:
    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
              4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
                                             4   4
                                               4
Doch ab den Fünfeckzahlen werden die Bilder löchrig, und schon bei den Sechseckzahlen fragt man sich, warum sie nicht wie folgt gebildet werden:
                           4 4 4 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
1   2 1 2   3 2 1 2 3   4 3 2 1 2 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
                           4 4 4 4
Dieses Schema kann auf alle k-Ecke ausgedehnt werden, sieht jedoch nur für Quadrate und Sechsecke gut aus
      4         4---4---4---4          4             4 4 4 4
     /3\        | 3---3---3 |        4 3 4          4 3 3 3 4
    4/2\4       4 | 2---2 | 4      4 3 2 3 4       4 3 2 2 3 4
   /3/1\3\      | 3 | 1 | 3 |    4 3 2 1 2 3 4    4 3 2 1 2 3 4
  4/2---2\4     4 | 2---2 | 4     4 3 2 2 3 4      4 3 2 2 3 4
 /3---3---3\    | 3---3---3 |      4 3 3 3 4        4 3 3 3 4
4---4---4---4   4---4---4---4       4 4 4 4          4 4 4 4
Die solchen Gebilden zugeordneten Punktezahlen heißen zentrierte Polygonalzahlen, die ich mit p(k,n) für das k-Eck mit jeweils n Punkten auf der äußeren Kante abkürzen will. Sie lassen sich durch
p(k,n) = 1 + k + 2k +3k + ... + (n-1)k
       = 1 + k(1+2+3+...+(n-1))
       = 1 + k*D(n-1)
       = 1 + kn(n-1)/2
leichter berechnen als die (unzentrierten) Polygonalzahlen
P(k,n) = n + (k-2)*D(n-1)
       = n[(k-2)n-(k-4)]/2
In beiden Formel ist D(n-1) die (n-1)-te Dreieckszahl D(n-1)=P(3,n-1)=n(n-1)/2. Wie man in geeigneten Darstellungen der (unzentrierten) Polygonalzahlen
B B B B A           B B B B A            B B B B A
 B B B A A         C B B B A A          C B B B A A
  B B A A A       C C B B A A A        C C B B A A A
   B A A A A     C C C B A A A A      C C C B A A A A
    1 2 3 4 5   C C C C 1 2 3 4 5    C C C C 1 2 3 4 5
                                     D D D D
                                      D D D
                                       D D
                                        D
die Formel P(k,n)=n+(k-2)*D(n-1) sehen kann, ist dies auch bei den zentrierten
      C         D---C---C---C          D             E D D D
     /C\        | D---C---C |        D D C          E E D D C
    C/C\B       D | D---C | B      D D D C C       E E E D C C
   /C/1\B\      | D | 1 | B |    E E E 1 C C C    F F F 1 C C C
  C/A---B\B     D | A---B | B     E E A B B B      F F A B B B
 /A---A---B\    | A---A---B |      E A A B B        F A A B B
A---A---A---B   A---A---A---B       A A A B          A A A B
für die Formel p(k,n)=1+k*D(n-1) der Fall. Einzelne Figuren weisen auf Beziehungen zwischen den zentrierten und den einfachen Polygonalzahlen. So lassen sich Quadrate gemäß
              4---4---4---4     4---4---4---4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3   1   3  +  |   |   |   |  =  | 3 | 1 | 3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 | 
              4---4---4---4     4---4---4---4
zusammensetzen, womit q(n)=Q(n)+Q(n-1) ist, worin q(n)=p(4,n)=1+2n(n-1) die zentrierte Quadratzahl (besser: Viereckszahl) ist, wie Q(n)=P(4,n)=n*n die normale Quadratzahl vertritt.

Die den Griechen so wichtige Fünfeckzahl kann als halbes Sechseck dargestellt werden. Dies ist in der mittleren Figur der drittletzten Abbildung geschehen. Das ganze Sechseck bildet wie in der letzten Figur der vorletzten Abbildung eine zentrierte Sechseckzahl. Damit ist s(n)=2*F(n)-(2n-1), worin s(n)=p(6,n)=1+2n(n-1) die zentrierte Sechseckzahl ist, wie F(n)=P(5,n)=n(3n-1)/2 die normale Fünfeckzahl vertritt.

Die letzte Formel läßt sich verallgemeinern, und zahlreiche andere Beziehungen können errechnet werden, doch darum soll es hier nicht gehen, denn abschließend soll nur noch die Frage beantwortet werden, warum die zentrierten Polygonalzahlen in ihrer Bedeutung hinter den normalen zurückbleiben. Zum einen liegt es daran, daß Dreieckzahlen und Quadratzahlen normale Polygonalzahlen sind. Das Sechseck reißt da die zentrierten Zahlen nicht mehr raus. Zum anderen sind die zentrierten Polygonalzahlen nur die um eins vermehrten Vielfache der Dreieckszahlen. Und zum dritten stellt diese eins eine gewisse Unschönheit dar. Erst ohne Mittelpunkt (eins weniger) ergäbe sich eine bei 0 beginnende arithmetische Reihe, wie dies bei den normalen Polygonalzahlen der Fall ist.

Dreieckszahlen | Fünfeckzahlen | Sloane

... comment