20
Ich hatte schon vor, nach der 19 die 20 auszu­lassen, weil mir zu ihr so gar nichts ein­fiel. Natür­lich kann man unter ihr den Ikosa­eder mit seinen 20 Drei­ecken oder den Dode­kaeder mit seinen 20 Ecken feiern. Aber was bleibt? Eine Liste mit heraus­ragenvden Eigen­schaf­ten von Zahlen vermerkt zur 20 nur, daß sie die Anzahl der gerich­teten Bäume mit sechs Knoten sei. Doch wie interes­sant ist eine solche Aus­sage, die noch nicht einmal ohne Vor­kennt­nisse zu verste­hen ist? [1]

In meinen Unter­lagen habe ich nur eine alte Über­legung zur Anzahl der Möglich­keiten gefunden, Zahlen mit vorge­gebener Summe n in die vier Ecken eines Qua­drates zu schrei­ben, wobei gedrehte und gespie­gelte nur einmal zählen und die 0 erlaubt ist. Für n=7 ergeben sich 20 Mög­lich­keiten. Zwischen­zeit­lich kann man bequem im Inter­net die ersten müh­sam ermit­telten Anzah­len einge­ben und bekommt sofort eine lange Liste mit wei­teren ange­zeigt. [2] Dazu noch wissens­werte Infor­mati­onen. Und so habe ich erfahren, daß es eine schö­nere Formu­lierung des Proble­mes gibt: Wie­viele ver­schie­dene Perlen­ketten (ohne Ver­schluß) kann ich aus 4 schwar­zen und n weißen Perlen bilden?

●●●●○○○○○○○ 00  ●●●○●○○○○○○ 00  ●●●○○●○○○○○ 00  ●●●○○○●○○○○ 00  ●●○●●○○○○○○ 01
            70              61              52              43              60

●●○○●●○○○○○ 02  ●●○○○●●○○○○ 03  ●●○●○●○○○○○ 01  ●●○●○○●○○○○ 01  ●●○●○○○●○○○ 01
            50              40              51              42              33

●●○●○○○○●○○ 01  ●●○●○○○○○●○ 01  ●●○○●○●○○○○ 02  ●●○○●○○●○○○ 02  ●●○○●○○○●○○ 02
            24              15              41              32              23

●●○○○●○●○○○ 03  ●○●○●○●○○○○ 11  ●○●○●○○●○○○ 11  ●○●○○●○●○○○ 12  ●○●○○●○○●○○ 12
            31              41              32              31              22
Entsprechung der Perlenketten und der Quadrate (png)

Man überlegt sich leicht, daß es sich um äqui­valente Auf­gaben han­delt. Hat man die Kette auf einem Gummi­band und klebt die schwar­zen Perlen auf den Seiten eines Qua­drates fest, so ver­teilen sich die weißen Perlen auf die vier Ecken. Außer­dem entspre­chen sich die Dre­hun­gen und Spie­gelun­gen der so präpa­rier­ten Kette und des Qua­drates. Es werden also die glei­chen Anzah­len gelie­fert.

Was gilt es nach mehr als zehn Jahren nach­zutragen? Über­sehen hatte ich, daß 20=1+3+6+10 die vierte Tetra­ederzahl ist. Man erhält eine solche Drei­ecks­pyra­mide mit vier Apfel­sinen auf jeder Kante, wenn man zehn Stück wie beim Bowling aus­legt, darauf sechs, darauf drei und ganz oben eine stapelt. Erwäh­nen will ich noch, daß es 20 off­ene Ket­ten aus sieben wei­ßen und schwar­zen Perlen gibt, die dreimal die Farbe wech­seln, was nur von Bedeu­tung ist, weil sie in den sieben Stri­chen einer jeden Stelle des EAN-​Codes zu fin­den sind. [3] Und nun, was erst seit 2010 bekannt ist und sehr viel Rechen­lei­stung erfor­derte: Jeder Rubik-​Würfel läßt sich in 20 Dreh­ungen lösen.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Wurzel­bäume A000081.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Perlen­ketten A005232.
[3] Eine offene Kette aus sieben Perlen hat sechs Stellen für die insge­samt drei Farb­wechsel. Das ergibt 6 über 3, also 20 Mög­lich­keiten. Man kann mit weiß oder schwarz begin­nen, also 40. Aber man kann jede Kette auch umdre­hen, womit es wieder 20 sind, weil es keine symme­tri­schen gibt, denn es ist immer ein Ende weiß und das andere schwarz, meinet­wegen auch das eine schwarz und das andere weiß.

19 | 21 | Score

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Vielleicht weiß ja einer meiner drei Leser, woher die Tabellenkalkulation 20/20 ihren Namen hat. Hoffentlich nicht aus der affengeilen Bezeichnung 20/20 für einen amerikanischen Normalsichtigen, der auf 20 Fuß Entfernung erkennen kann, was auf 20 Fuß gerade noch zu lesen sein sollte. Indianische Adleraugen sind dann wohl 40/20 oder mehr.

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Da muss ich passen
Vielleicht wissen die anderen beiden Leser mehr?

Darüber hinaus versuche ich mich krampfhaft zu erinnern, warum in der französischen Zählweise die 20 immerhin so prominent ist, dass 80 als quatre-vingt laufen. Ich hab nen Franzosen mal gefragt, warum 60 dann nicht triple-vingt heißt, aber der hat mich nur ganz entgeistert angeguckt...

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Ob die Franzosen deutlicher der 20 verfallen sind als andere, haben die Sprachwissenschaftler sicherlich geklärt. Ich glaube, sie sind der 60 verfallen, kamen damit bis 79 (wie wir ja auch ohne tausend bis neunzehnhundertneunundneunzig gekommen sind) und verfielen dann auf die Schnapsidee, die Lücke mit 4*20=80 zu schließen.

Daß Franzosen auf diese Unebenheit angesprochen den Kopf schütteln, ist durchaus verständlich. Jeder Muttersprachler verinnerlicht in früher Kindheit einfach zwei Zahlenreihen (1 bis 9 und 10 bis 90). Völlig willkürliche Bezeichnungen wären nach einiger Übung nicht schwerer.

zwo

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Es gibt ne archaische 20er-Signifikanz, von der ich mal in einem Buch über die Entstehung des Zahlensystems gelesen habe. Ist aber lang her, und leider habe ich's nicht mehr parat. Im älteren Englisch (siehe King-James-Bibel) wird ja auch noch mit three-score = 3*20 = 60 operiert. Vielleicht hilft Ihnen die etymologische Suche nach der Score-Zählweise weiter.

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Die 20 mag mit Händen und Füßen eine eigenständige Bedeutung haben, ist aber sicherlich auch ein Rest der 60, für die sich die Babylonier entschieden haben, damit 10/3 nicht 3,33333... sondern 3;20 ist. Die Darstellung von 60 als dreimal 20 ist also über Jahrtausende geläufig. Wollten die Babylonier durch drei teilen, haben sie mit 20 multipliziert. Eines Tages wird sich herausstellen, daß sie die sagenhaften Erfinder des Dartspieles sind.

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Einige Spezialisten werden wissen, ob das Dartspiel aus dem Teil der Welt kommt, da man gerne in Gruppen zu 20 zählt. Doch auch ihnen scheint nicht mehr bekannt zu sein, durch welchen evolutionären Vorgang die zyklische Dartboard-Folge 20,1,18,4,...,9,12,5 entstanden ist. Sicherlich war man bestrebt, neben einer großen Zahl zwei kleine zu haben. Doch gibt es bessere Lösungen. Ist D(p) die Summe der p-ten Potenzen der 20 Abstände je zwei benachbarter Zahlen, so ist für das real existierende Dartspiel D(1)=198 und D(2)=2374. Das ist nicht schlecht, doch liefern einfache alternierende Folgen das Optimum mit D(1)=200 und D(2)=2648.

Bisher hat noch keiner ein anderes vernünftiges Kriterium gefunden, das die "dartboard sequence" als optimale Lösung aufweist. Die Summen benachbarter Zahlen zu quadrieren, ist gleichbedeutend mit dem vorangehenden Fall p=2. Und das Quadrieren der Summen dreier benachbarter Zahlen führt für das Dartspiel mit 20.478 ebenfalls auf mehr als die 19.874 für eine bessere Lösung.

[1] Cohen und Tonkes: Dartboard Arrangements. The Electronic Journal of Combinatorics 8(2), 2001.
[2] Brown, K. S.: The Dartboard Sequence. Math Pages.

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