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four twenty
wuerg, 26.01.2006 11:10
Erschienen alle dreistelligen Zahlen zu einem Wettkampf, wie gestern auf Pro 7 dreißig magere Mädchen zur Spitzen-Modell-Schau mit Heidi Klum, dann gehörte bisher die 420 zu den 234 Zahlen, die leider in der ersten Runde ausscheiden müssen. Doch vorgestern wurde diese 420 durch CSI:Miami an mich herangetragen. Nun weiß ich aus einer mir fernen Welt, daß sich Rauschgiftsüchtige an der 420 wie Nazis an der 18 erkennen. Und so fand auch die Umdeutung der 420 durch die jugendlichen Kriminellen bemerkenswert: Die 420 steht nicht mehr für eine Uhrzeit, zu der irgendwelche Schüler Marihuana rauchten und sowas wie den Fünf-Uhr-Tee für Rauschgiftsüchtige begründeten, sondern dank der amerikanischen Datumsschreib- und ‑sprechweise auch für Führers Geburtstag.
Ansonsten wäre 420 als eines der langweiligen Vielfachen von 60 an mir vorübergezogen. Ich hätte sie als Rechteckzahl (20⋅21) übersehen und nicht die wenigen Kleinigkeiten bemerkt, die über 420 als Zahl in der Wikipedia berichtet werden. Es ließe sich schon etwas mehr finden: So ist die längere Seite eines DIN‑A3-Blattes 420 mm lang und mit 3⋅420=1260 haben wir die Anzahl der Tage in 42 Monaten, die eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit währende halbe Danielwoche. Und neben der alles erklärenden 42 somit auch die Offenbarung des Johannes: „die heilige Stadt werden sie zertreten zweiundvierzig Monate. Und ich will meinen zwei Zeugen geben, daß sie sollen weissagen zwölfhundertundsechzig Tage.“ Bedenkt man nun noch die längere Seite eines DIN‑A2-Blattes von 594 mm, so ist mit 1260−594=666 das Ziel erreicht.
18 | DIN-A4
Ansonsten wäre 420 als eines der langweiligen Vielfachen von 60 an mir vorübergezogen. Ich hätte sie als Rechteckzahl (20⋅21) übersehen und nicht die wenigen Kleinigkeiten bemerkt, die über 420 als Zahl in der Wikipedia berichtet werden. Es ließe sich schon etwas mehr finden: So ist die längere Seite eines DIN‑A3-Blattes 420 mm lang und mit 3⋅420=1260 haben wir die Anzahl der Tage in 42 Monaten, die eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit währende halbe Danielwoche. Und neben der alles erklärenden 42 somit auch die Offenbarung des Johannes: „die heilige Stadt werden sie zertreten zweiundvierzig Monate. Und ich will meinen zwei Zeugen geben, daß sie sollen weissagen zwölfhundertundsechzig Tage.“ Bedenkt man nun noch die längere Seite eines DIN‑A2-Blattes von 594 mm, so ist mit 1260−594=666 das Ziel erreicht.
18 | DIN-A4
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739397
wuerg, 21.01.2006 19:02
Soll ein Mensch eine Farbe, ein Werkzeug und eine zweistellige Zahl nennen, die keine Schnapszahl oder ein Vielfaches von zehn ist, dann soll zumeist „rot, Hammer und 37“ geantwortet werden. Dabei wird sich kaum einer von den Beziehungen zur 73 und zur 666 leiten lassen, auch nicht von Sechsecken und Sternen aus 37 Punkten. Ich erkläre mir das wie folgt: Wann immer man um eine solche Zahl gebeten wird, droht die Gefahr eines Zahlentricks, dem man unwillkürlich durch die Auswahl einer schweren Zahl begegnen möchte. Diesen Eindruck erweckt die Primzahl 37, deren Ziffern beide wiederum Primzahlen sind.
Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbesondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Primzahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Fragestellungen heißt es durchaus „nicht zusammengesetzt“ oder „keinen echten Teiler“. Trotzdem scheiden 13 und 31 aus, denn die 1 gibt ihnen ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nachsehen hat.
Nach diesen Vorbemerkungen ist es nicht verwunderlich, wenn in Primzahlspielereien gerne die Ziffern 3 und 7 vorkommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:
2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397
Bemerkenswert ist, daß es zwar eine sechs-, aber keine fünfstellige beidseitig stutzbare Zahl gibt, insbesondere sind die beiden Stutzungen von 739397, nämlich 73939 und 39397 nur noch einseitig stutzbar, weil 3939=39⋅101 ist.
Bei laxer Auslegung könnte „von links und rechts stutzbar“ auch meinen, es müsse nicht immer von der gleichen Seite gestutzt werden, vielmehr könne es in beliebiger Abfolge vorne und hinten geschehen. Dann entfallen aus der so und so schon kurzen Liste schon einmal alle mit Ziffer 1 oder 9. Es bleiben
2,3,5,7,23,37,53,73,373
die auch wirklich alle in beliebiger Abfolge stutzbar sind. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß alle Teilketten (substrings) prim sein müssen.
Um all diese Zahlen zu finden, kann man mit Hilfe eines Computers mit den einstelligen Primzahlen beginnen, jede Ziffer hinten bzw. vorne anfügen und auf Primalität prüfen, um sodann den entstandenen primen Zahlen eine weitere Ziffer anzufügen oder voranzustellen und so fort. So erhält man eine Liste der rechts bzw. links stutzbaren Zahlen, aus denen man dann die vorstehend genannten beidseitiger Abschneidung gewinnen kann. Das ist nicht sehr aufwendig, denn es gibt nur 83 rechts stutzbare Zahlen bis 73939133, von denen man unter den 4260 links stutzbaren Zahlen bis 357686312646216567629137 die bereits genannten 15 findet. [3]
[1] Wenn man sich mit Mathematik beschäftigt, kann es lange dauern, bis man zu den englischen die deutschen Begriffe findet, denn schon lange ist Deutsch nicht mehr die führende Wissenschaftssprache und Begriffsbildung findet zunächst englisch statt. So benötigte ich eine Weile, bis ich für die „truncatable numbers“ auf den Begriff stutzbar stieß. Zuvor nannte ich sie verkürzbar oder abschneidbar, doch stutzbar ist viel schöner.
[2] Von links könnte ein Problem mit der 0 auftreten, weshalb sie als Ziffer nicht zugelassen ist. So ist 103 nicht links stutzbar, gleichwohl 03 und 3 ja prim sind.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A024785 links, A024770 rechts, A020994 beidseitig stutzbar, A085823 auch abwechselnd.
37 | 73
Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbesondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Primzahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Fragestellungen heißt es durchaus „nicht zusammengesetzt“ oder „keinen echten Teiler“. Trotzdem scheiden 13 und 31 aus, denn die 1 gibt ihnen ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nachsehen hat.
Nach diesen Vorbemerkungen ist es nicht verwunderlich, wenn in Primzahlspielereien gerne die Ziffern 3 und 7 vorkommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:
7
7 3
7 3 9
7 3 9 3
7 3 9 3 9
7 3 9 3 9 7
3 9 3 9 7
9 3 9 7
3 9 7
9 7
7
Alle 11 Zahlen sind prim, und es gibt kein größeres Diagramm dieses Typs, alle anderen sind sogar wesentlich kleiner:
3 3 3 7 3 1 7 3 3 3 3 7 9 3 1 3 7 9 3 7 3 1 3 1 3 7 9 7 3 1 3 7 7 9 7 3 7 3 3 1 7 3 1 3 7 9 7 1 3 7 9 7 7 3 1 7 1 3 9 7 3 7 7 3 7 3 7 7Und das sind auch schon alle mit mehr als zwei Stellen. Primzahlen, von denen man beständig die niederwertigste (rechte) Ziffer entfernen kann und stets ein Primzahl bleiben, heißen rechts(seitig) stutzbar. [1] Geschieht das mit der höchstwertigen Ziffer, so heißen sie links(seitig) stutzbar. [2] Und man kann es sich denken: Zahlen, die von links und rechts stutzbar sind, heißen beidseitig oder einfach nur stutzbar. Es sind gerade einmal 15 Stück:
2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397
Bemerkenswert ist, daß es zwar eine sechs-, aber keine fünfstellige beidseitig stutzbare Zahl gibt, insbesondere sind die beiden Stutzungen von 739397, nämlich 73939 und 39397 nur noch einseitig stutzbar, weil 3939=39⋅101 ist.
Bei laxer Auslegung könnte „von links und rechts stutzbar“ auch meinen, es müsse nicht immer von der gleichen Seite gestutzt werden, vielmehr könne es in beliebiger Abfolge vorne und hinten geschehen. Dann entfallen aus der so und so schon kurzen Liste schon einmal alle mit Ziffer 1 oder 9. Es bleiben
2,3,5,7,23,37,53,73,373
die auch wirklich alle in beliebiger Abfolge stutzbar sind. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß alle Teilketten (substrings) prim sein müssen.
Um all diese Zahlen zu finden, kann man mit Hilfe eines Computers mit den einstelligen Primzahlen beginnen, jede Ziffer hinten bzw. vorne anfügen und auf Primalität prüfen, um sodann den entstandenen primen Zahlen eine weitere Ziffer anzufügen oder voranzustellen und so fort. So erhält man eine Liste der rechts bzw. links stutzbaren Zahlen, aus denen man dann die vorstehend genannten beidseitiger Abschneidung gewinnen kann. Das ist nicht sehr aufwendig, denn es gibt nur 83 rechts stutzbare Zahlen bis 73939133, von denen man unter den 4260 links stutzbaren Zahlen bis 357686312646216567629137 die bereits genannten 15 findet. [3]
[1] Wenn man sich mit Mathematik beschäftigt, kann es lange dauern, bis man zu den englischen die deutschen Begriffe findet, denn schon lange ist Deutsch nicht mehr die führende Wissenschaftssprache und Begriffsbildung findet zunächst englisch statt. So benötigte ich eine Weile, bis ich für die „truncatable numbers“ auf den Begriff stutzbar stieß. Zuvor nannte ich sie verkürzbar oder abschneidbar, doch stutzbar ist viel schöner.
[2] Von links könnte ein Problem mit der 0 auftreten, weshalb sie als Ziffer nicht zugelassen ist. So ist 103 nicht links stutzbar, gleichwohl 03 und 3 ja prim sind.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A024785 links, A024770 rechts, A020994 beidseitig stutzbar, A085823 auch abwechselnd.
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793
wuerg, 18.01.2006 00:11
Meine Einlassungen zur Zahl 73 samt ihren Beziehungen zur 37 beginnen mit
Und so man schon bei den Polygonalzahlen ist, können die folgenden denkwürdigen Beziehungen auffallen:
Dieser Stern (n=3) besteht aus insgesamt 793 Punkten. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 66 verbleibt innen ein Sechseck aus 397 Punkten. In dieses Sechseck hinein habe ich einen kleineren roten Stern (n=2) gezeichnet. Er hat 73 Punkte. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 6 Punkten verbleibt innen gleichfalls ein Sechseck der Größe 37.
Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999…9997 und y=7999…9993 für mehr als 4 Stellen ebenfalls Sechsecke und Sterne bilden. Für n=5 trifft das nicht zu, denn D₁₁₄=6555<6666<6670=D₁₁₅. Da Robert Israel [2] sich die Mühe machte, die kleinsten Dreieckszahlen mit bis zu 500 Sechsen am Ende zu berechnen, ist wohl abseits von 6, 66 und 666 noch keine aus lauter Sechsen gefunden oder gar bewiesen worden, daß es keine mehr gibt.
[1] Mark793: Ich seh Sterne und denk an Sechssechssechs. Darin eine alte Version meines Sternes, der mir allerdings zu breit geriet und nunmehr auch bunt und mit runden Kullern schöner aussieht.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A227220, A036523, A119091.
37 | 73
A B + A B - 1 ----- B A =====als einer leicht zu lösenden Aufgabe. Aus der Zehnerstelle folgt B>A, weshalb die Addition einen Übertrag haben muß. Damit ist A=B−11 für die Einerstelle und B=2A+1 für die Zehnerstelle. Die einzige Lösung ist A=3 und B=7. Wie aber sieht es mit einer größeren Aufgabe wie
A B C D E F G H + A B C D E F G H - 1 ----------------- H G F E D C B Aaus? Erneut folgt aus der vordersten Stelle H>A, weshalb wiederum aus der Einerstelle ein Übertrag entstehen muß und A=2H−9 gilt. Nur weiß man nun nicht sofort, ob auch ein Übertrag in die vorderste Stelle erfolgt. Deshalb sind die beiden Fälle H=2A und H=2A+1 zu unterscheiden. Glücklicherweise hat nur der letztere Fall mit dem Übertrag eine Lösung, daß wieder A=3 und H=7 sein muß. Damit können wir uns zur Mitte hin vorarbeiten: Für für die zweite Stelle gilt 2B=G+10 oder 2B+1=G+10, für die zweitletzte 2G+1=B oder 2G+1=B+10. Nur die beiden rechten Möglichkeiten, die einen Übertrag durchreichen, liefern eine Lösung B=G=9. Mit der gleichen Argumentation folgt C=F=9 und schließlich D=E=9. Auch bei ungerader Stellenzahl gibt es keine Probleme. Damit sind die einzigen Lösungen für y=2x−1 mit gespiegelten Zahlen x und y zu n Ziffern:
x = 4 ⋅ 10n−1 − 3 = 4 ⋅ (10n−1−1) + 1 = 36⋅(10n−1−1)/9 + 1 = 4 ⋅ 10..0 − 3 = 4 ⋅ 999..999 + 1 = 36 ⋅ 111..111 + 1 = 3999...9997 = 3999...9996 + 1 = 6 ⋅ 666..666 + 1 y = 8 ⋅ 10n−1 − 7 = 8 ⋅ (10n−1−1) + 1 = 72⋅(10n−1−1)/9 + 1 = 8 ⋅ 10..0 − 7 = 8 ⋅ 999..999 + 1 = 72 ⋅ 111..111 + 1 = 7999...9993 = 7999...9992 + 1 = 12 ⋅ 666..666 + 1Abermals ist über 7993=12⋅666+1 die Zahl 666 im Geschäft. Das sind alles nette Ziffernspielereien, die nur von Wert sein können, wenn weitere schöne Eigenschaften hinzutreten. Man kann sie zur Verwunderung argloser Menschen mißbrauchen. So folgt allein aus y=2x−1 bereits, daß x⋅y die x‑te Sechseckzahl und die y‑te Dreieckszahl ist. Im zweistelligen Falle (x=37 und y=73) ergibt sich H₃₇=D₇₃=37⋅73=2701, die Summe der ersten sieben Wörter der Bibel, wenn den hebräischen Buchstaben die üblichen Zahlen zugeordnet werden.
Und so man schon bei den Polygonalzahlen ist, können die folgenden denkwürdigen Beziehungen auffallen:
x = 37 = 36 + 1 = 6⋅6 + 1 = 6⋅D(3) + 1 = h(4) y = 73 = 72 + 1 = 12⋅6 + 1 = 12⋅D(3) + 1 = z(4) x = 397 = 6⋅66 + 1 = 6⋅(12⋅11)/2 + 1 = 6⋅D(11) + 1 = h(11) y = 793 = 12⋅66 + 1 = 12⋅(12⋅11)/2 + 1 = 12⋅D(11) + 1 = z(11) x = 3997 = 6⋅666 + 1 = 6⋅(36⋅37)/2 + 1 = 6⋅D(36) + 1 = h(36) y = 7993 = 12⋅666 + 1 = 12⋅(36⋅37)/2 + 1 = 12⋅D(36) + 1 = z(36)Darin ist h(k) die k‑te zentrierte Sechseckzahl und z(k) die k‑te zentrierte Zwölfeckzahl, die zugleich k‑te Sternzahl sechszackiger Sterne ist. Zu Ehren von Mitblogger y=mark793 (x=397kram) stelle ich den dreistelligen Fall bildlich dar:
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Stern mit 793 Punkten um ein Sechseck mit 397 und darin rot ein Stern mit 73 Punkten um ein Sechseck mit 37 (png) [1]Dieser Stern (n=3) besteht aus insgesamt 793 Punkten. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 66 verbleibt innen ein Sechseck aus 397 Punkten. In dieses Sechseck hinein habe ich einen kleineren roten Stern (n=2) gezeichnet. Er hat 73 Punkte. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 6 Punkten verbleibt innen gleichfalls ein Sechseck der Größe 37.
Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999…9997 und y=7999…9993 für mehr als 4 Stellen ebenfalls Sechsecke und Sterne bilden. Für n=5 trifft das nicht zu, denn D₁₁₄=6555<6666<6670=D₁₁₅. Da Robert Israel [2] sich die Mühe machte, die kleinsten Dreieckszahlen mit bis zu 500 Sechsen am Ende zu berechnen, ist wohl abseits von 6, 66 und 666 noch keine aus lauter Sechsen gefunden oder gar bewiesen worden, daß es keine mehr gibt.
[1] Mark793: Ich seh Sterne und denk an Sechssechssechs. Darin eine alte Version meines Sternes, der mir allerdings zu breit geriet und nunmehr auch bunt und mit runden Kullern schöner aussieht.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A227220, A036523, A119091.
37 | 73
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688
wuerg, 15.01.2006 00:41
In einer Periode von 28 Jahren mit 7 Schaltjahren fällt der 29. Februar genau einmal auf jeden Wochentag, die übrigen Tage des Jahres je viermal. Somit fällt der 1. März der 84 Jahre 2000 bis 2083 je 12 mal auf jeden der sieben Wochentage. Im Jahre 2084 ist es dann wie im Jahre 2000 wieder ein Mittwoch. Damit ergeben sich für den 1. März in den restlichen 16 Jahren des Jahrhunderts:
Hat man erst einmal den Wochentag für den 1. März, ist es für die anderen Tage des Jahres kein Problem mehr. Für die 13. Tage der 12 Monate nach dem 1. März ergeben sich die folgenden Anzahlen:
Fr,13.
2084 Mi 2085 Do 2086 Fr 2087 Sa 2088 Mo 2089 Di 2090 Mi 2091 Do 2092 Sa 2093 So 2094 Mo 2095 Di 2096 Do 2097 Fr 2098 Sa 2099 SoDonnerstag und Samstag fallen in diesem Jahrhundert also 15 mal auf den 1. März, die übrigen Wochentage nur 14 mal. Da das Jahr 2100 kein Schaltjahr ist, fällt der 1. März des Jahres 2100 auf einen Montag. Im nächsten Jahrhundert liegt also alles zwei Wochentage früher. So setzt sich das fort, womit sich für den 1. März die folgenden Anzahlen ergeben:
Mo Di Mi Do Fr Sa So
2000-2099 14 14 14 15 14 15 14
2100-2199 14 15 14 15 14 14 14
2200-2299 14 15 14 14 14 14 15
2300-2399 14 14 14 14 15 14 15
2000-2399 56 58 56 58 57 57 58
Das überrascht, denn bei einem Durchschnitt von 400/7=57,14 war nicht zu erwarten, daß Montag und Mittwoch nur 56 mal auf den 1. März fallen. Im 400-jährigen Mittel ist das nicht jedes siebte Jahr, sondern nur einmal in 7,14 Jahren. Das gleicht sich auch nicht in den nächsten Jahrhunderten aus, denn der 1. März 2400 ist wie der 1. März 2000 wieder ein Mittwoch.Hat man erst einmal den Wochentag für den 1. März, ist es für die anderen Tage des Jahres kein Problem mehr. Für die 13. Tage der 12 Monate nach dem 1. März ergeben sich die folgenden Anzahlen:
t w Mo Di Mi Do Fr Sa So
13. Mrz 12 5 56 58 57 57 58 56 58
13. Apr 43 1 58 56 58 56 58 57 57
13. Mai 73 3 57 57 58 56 58 56 58
13. Jun 104 6 58 56 58 57 57 58 56
13. Jul 134 1 58 56 58 56 58 57 57
13. Aug 165 4 58 57 57 58 56 58 56
13. Sep 196 0 56 58 56 58 57 57 58
13. Okt 226 2 57 58 56 58 56 58 57
13. Nov 257 5 56 58 57 57 58 56 58
13. Dez 287 0 56 58 56 58 57 57 58
13. Jan 318 3 57 57 58 56 58 56 58
13. Feb 349 6 58 56 58 57 57 58 56
685 685 687 684 688 684 687
Darin ist t die Zahl der Tage nach dem 1. März und w der Rest der Division von t durch 7, woraus sich die Verschiebung der Anzahlen 56 bis 58 ergibt. Die Summen 684 bis 688 streuen um den Mittelwert (12⋅400)/7=685,7 wiederum stärker als erwartet. Einsamer Spitzenreiter ist der Freitag, der in jedem Block von 400 Jahren genau 688 mal vorkommt. Damit fällt der 13. im langjährigen und auch ewigen Mittel nicht alle 7, sondern alle (12⋅400)/688=6,9767 Monate auf einen Freitag. Der Lieblingswochentag des 13. ist eindeutig der Freitag.Fr,13.
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73
wuerg, 12.01.2006 12:43
Die Zahl 73 ist nicht einfach die größere, unbedeutendere Schwester der 37, denn die Beziehungen zwischen beiden scheinen vielfältiger als zwischen 31 und 13 oder gar 52 und 25, denn es kommen zwei Eigenschaften zusammen: Die Zahl m=73 entsteht aus der n=37 zum einen durch Ziffernvertauschung, zum anderen ist m=2n−1. Unter den zweistelligen Zahlen ist das einzigartig. Wer Zahlenrätsel mag, der wird
2b = 11 + a für die Einerstelle
2a + 1 = b für die Zehnerstelle
mit der einzigen Lösung a=3 und b=7.
Schnell findet man nette Beziehungen zwischen 73 und 37:
Ebenso verhält es sich mit der Eigenschaft, daß die 73. Dreieckszahl gleich der 37. Sechseckzahl ist
D73 = H37 = 73⋅37 = 2701
denn leider gilt auch dies für alle Zahlen m und n mit m=2n−1.
Und wenn wir schon bei Polygonalzahlen sind, dann fällt auf, daß 37 und 73 sich beide als Stern darstellen lassen.
Nimmt man fünfzackige arabische statt sechszackiger jüdischer Sterne, so sieht das mit den Punkten zwar nicht mehr so schön aus, es sind aber trotzdem Zehneckzahlen (k=10). Die dritte Zehneckzahl ist 3k+1=31, die vierte 6k+1=61 und natürlich gilt 61=2⋅31−1. Sehr schön zu zeichnen sind die zentrierten Sechseckzahlen (k=6). Die dritte ist 3k+1=19, die vierte 6k+1=37. Und natürlich 37=2⋅19−1. Da ist sie schon wieder, die 37.
Zunächst fällt auf, daß sowohl 37 als auch 73 Primzahlen sind. Eine Primzahl, die umgedreht ebenfalls eine ist, nennt man Mirpzahl. Zwar gibt es mit 13 und 31 kleinere, doch 37 ist die 12. und 73 die 21. Primzahl. Und 21 ist nicht nur 3⋅7, sondern auch 12 ziffernvertauscht. Das ist ein Zufall, der 37 und 73 zu besonders schönen Primzahlen macht.
Die Zahlen 19, 37 und 73 bilden eine Primzahlkette aus der Folge
10, 19, 37, 73, 145, 289, 577, 1153, 2305, …
mit dem einfachen Bildungsgesetz „verdoppeln und eins abziehen“. Es handelt sich um die Zahlen aₖ=9⋅2ᵏ+1, was sie für Numerologie anfällig macht, denn ihre iterierten Quersummen lauten allesamt 1. Sie sind alle Zahlen von der Form 2ⁱ⋅3ʲ+1, den Pierpont-Zahlen. Die primen unter ihnen heißen Pierpont-Primzahlen:
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, …
Sie bestimmen die Konstruierbarkeit von n‑Ecken, wenn man neben Zirkel und Lineal ein Gerät zu Dreiteilung des Winkels verwenden darf. Ein n‑Eck ist genau dann konstruierbar, wenn
n = 2i ⋅ 3j ⋅ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ⋅ …
worin p₁, p₂, p₃, … allesamt verschiedene Pierpont-Primzahlen sein müssen. Damit sind das das 19‑Eck, das 37‑Eck und das 73‑Eck konstruierbar.
Auch unter den Fibonacci-Zahlen findet man 19, 37 und 73, denn es gilt
19 teilt F₁₈ = 2584 = 19⋅136
37 teilt F₁₉ = 4181 = 37⋅113
19 teilt F₃₆ = 14930352 = 19⋅785808
73 teilt F₃₇ = 24157817 = 73⋅330929
37 teilt F₃₈ = 39088169 = 37⋅1056437
19 teilt F₇₂ = 498454011879264 = 19⋅26234421677856
73 teilt F₇₄ = 1304969544928657 = 73⋅17876295136009
was allerdings zum größten Teil der Tatsache geschuldet ist, daß alle Primzahlen p entweder Fₚ₋₁ oder Fₚ₊₁ teilen.
Und schließlich kommt die Abfolge 19–37–73 noch an einer ganz anderen Stelle vor, nämlich unter den Waring-Zahlen g(n), der benötigten Summanden, um jede natürliche Zahl aus n‑ten Potenzen zu addieren. Es wird
g(n) = 2n + ⌊(3/2)n⌋ − 2
vermutet, was weit über die nachstehenden Fälle hinaus bestätigt ist:
g(2) = 22 + ⌊(3/2)2⌋ − 2 = 4 + ⌊2,25⌋ − 2 = 4
g(3) = 23 + ⌊(3/2)3⌋ − 2 = 8 + ⌊3,375⌋ − 2 = 9
g(4) = 24 + ⌊(3/2)4⌋ − 2 = 16 + ⌊5,06…⌋ − 2 = 19
g(5) = 25 + ⌊(3/2)5⌋ − 2 = 32 + ⌊7,59…⌋ − 2 = 37
g(6) = 26 + ⌊(3/2)6⌋ − 2 = 64 + ⌊11,39…⌋ − 2 = 73
Es werden also bis zu 37 fünfte und 73 sechste Potenzen benötigt, um daraus jede Zahl zu addieren.
Das aber alles würde weitgehend als mathematische Zahlenspielerei abgetan, wenn die beiden aus den heiligen Zahlen 3 und 7 zusammengefügten Zahlen 37 und 73 nicht auch biblische Zusammenhänge aufwiesen. An vorderster Stelle steht die die Summe
D73 = H37 = 73⋅37 = 2701 = 913+203+86+401+395+407+296
der ersten sieben Bibelwörter, wenn den hebräischen Buchstaben die üblichen Zahlwerte zugeordnet werden. Ich kann es nicht nachprüfen. Es wird hoffentlich stimmen. Die beiden letzten Wörter addieren sich auf 703=19⋅37=D₃₇, der Rest ist dreimal 666=18⋅37=D₃₆.
Doch dabei bleibt es nicht. Mit den Kubikzahlen 27 und 64 sowie Sechsecken und Sternen mit 13, 19, 37 und 73 Punkten steht ein weites Feld von Zahlen gemäß
27⋅37=999, 27+73=100, 27+37=64, 73−37=36, 36+64=100
bereit, um Beziehungen zu Jesus=888=24⋅37, Christus=1480=40⋅37, Gott und die Welt=296=8⋅37 zu schaffen. Auch wenn vieles konstruiert wirkt und auf den zweiten Blick nicht sehr überrascht, so ist das Gesamtgebäude doch beeindruckend.
37 | 666
a b + a b - 1 ----- b a =====sofort lösen. Aus der Zehnerstelle folgt b>a, weshalb die Addition einen Übertrag haben muß. Damit ist
2b = 11 + a für die Einerstelle
2a + 1 = b für die Zehnerstelle
mit der einzigen Lösung a=3 und b=7.
Schnell findet man nette Beziehungen zwischen 73 und 37:
73 + 37 = 11⋅(7+3)
73 - 37 = 9⋅(7-3)
99⋅3+73 = 370 99⋅7+37 = 730
99⋅73+73 = 7300 99⋅37+37 = 3700
99⋅373+73 = 37000 99⋅737+37 = 73000
99⋅7373+73 = 730000 99⋅3737+37 = 370000
99⋅37373+73 = 3700000 99⋅73737+37 = 7300000
Doch das ist Augenwischerei, denn es gilt auch für jede andere Kombination von zwei Ziffern anstelle von 3 und 7.Ebenso verhält es sich mit der Eigenschaft, daß die 73. Dreieckszahl gleich der 37. Sechseckzahl ist
D73 = H37 = 73⋅37 = 2701
denn leider gilt auch dies für alle Zahlen m und n mit m=2n−1.
Und wenn wir schon bei Polygonalzahlen sind, dann fällt auf, daß 37 und 73 sich beide als Stern darstellen lassen.
o
o o
o o o o
o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o
o o o o
37 o o 73
o
Gewiß können andere zweistellige Zahlen nicht als solche Sterne dargestellt werden, aber für jede dritte Zahl n=3k+1 mit zugehörigem m=2n−1=6k+1 ist n die dritte und m die vierte zentrierte k‑Eckzahl. Für n=37 ergibt sich k=12. Also ist 37 die dritte und 73 die vierte zentrierte Zwölfeckzahl. Daher also die Beziehung zu den Sternen, denn Sternzahlen sind zentrierte Zwölfeckzahlen.Nimmt man fünfzackige arabische statt sechszackiger jüdischer Sterne, so sieht das mit den Punkten zwar nicht mehr so schön aus, es sind aber trotzdem Zehneckzahlen (k=10). Die dritte Zehneckzahl ist 3k+1=31, die vierte 6k+1=61 und natürlich gilt 61=2⋅31−1. Sehr schön zu zeichnen sind die zentrierten Sechseckzahlen (k=6). Die dritte ist 3k+1=19, die vierte 6k+1=37. Und natürlich 37=2⋅19−1. Da ist sie schon wieder, die 37.
o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o o o o o
19 o o o o 37
In Falle k=4 erhält man die gleichfalls schön darstellbaren zentrierten Quadratzahlen. Die dritte ist 3k+1=13=2²+3², die vierte 6k+1=25=3²+4² wieder mit 25=2⋅13−1. Langer Rede kurzer Sinn: Bis hierher beruht die Einzigartigkeit des Paares aus 73 und 37 nur aus dem Zusammentreffen von einfachen Eigenschaften. In anderen Zahlpaaren treffen eben andere zusammen. Man muß sie nur suchen. Doch diese Suche gestaltet sich bei 73 und 37 irgendwie erfolgreicher, auch wenn die außerordentlichen Eigenschaften beiseite gelassen werden, die 37 für sich allein aufweist.Zunächst fällt auf, daß sowohl 37 als auch 73 Primzahlen sind. Eine Primzahl, die umgedreht ebenfalls eine ist, nennt man Mirpzahl. Zwar gibt es mit 13 und 31 kleinere, doch 37 ist die 12. und 73 die 21. Primzahl. Und 21 ist nicht nur 3⋅7, sondern auch 12 ziffernvertauscht. Das ist ein Zufall, der 37 und 73 zu besonders schönen Primzahlen macht.
Die Zahlen 19, 37 und 73 bilden eine Primzahlkette aus der Folge
10, 19, 37, 73, 145, 289, 577, 1153, 2305, …
mit dem einfachen Bildungsgesetz „verdoppeln und eins abziehen“. Es handelt sich um die Zahlen aₖ=9⋅2ᵏ+1, was sie für Numerologie anfällig macht, denn ihre iterierten Quersummen lauten allesamt 1. Sie sind alle Zahlen von der Form 2ⁱ⋅3ʲ+1, den Pierpont-Zahlen. Die primen unter ihnen heißen Pierpont-Primzahlen:
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, …
Sie bestimmen die Konstruierbarkeit von n‑Ecken, wenn man neben Zirkel und Lineal ein Gerät zu Dreiteilung des Winkels verwenden darf. Ein n‑Eck ist genau dann konstruierbar, wenn
n = 2i ⋅ 3j ⋅ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ⋅ …
worin p₁, p₂, p₃, … allesamt verschiedene Pierpont-Primzahlen sein müssen. Damit sind das das 19‑Eck, das 37‑Eck und das 73‑Eck konstruierbar.
Auch unter den Fibonacci-Zahlen findet man 19, 37 und 73, denn es gilt
19 teilt F₁₈ = 2584 = 19⋅136
37 teilt F₁₉ = 4181 = 37⋅113
19 teilt F₃₆ = 14930352 = 19⋅785808
73 teilt F₃₇ = 24157817 = 73⋅330929
37 teilt F₃₈ = 39088169 = 37⋅1056437
19 teilt F₇₂ = 498454011879264 = 19⋅26234421677856
73 teilt F₇₄ = 1304969544928657 = 73⋅17876295136009
was allerdings zum größten Teil der Tatsache geschuldet ist, daß alle Primzahlen p entweder Fₚ₋₁ oder Fₚ₊₁ teilen.
Und schließlich kommt die Abfolge 19–37–73 noch an einer ganz anderen Stelle vor, nämlich unter den Waring-Zahlen g(n), der benötigten Summanden, um jede natürliche Zahl aus n‑ten Potenzen zu addieren. Es wird
g(n) = 2n + ⌊(3/2)n⌋ − 2
vermutet, was weit über die nachstehenden Fälle hinaus bestätigt ist:
g(2) = 22 + ⌊(3/2)2⌋ − 2 = 4 + ⌊2,25⌋ − 2 = 4
g(3) = 23 + ⌊(3/2)3⌋ − 2 = 8 + ⌊3,375⌋ − 2 = 9
g(4) = 24 + ⌊(3/2)4⌋ − 2 = 16 + ⌊5,06…⌋ − 2 = 19
g(5) = 25 + ⌊(3/2)5⌋ − 2 = 32 + ⌊7,59…⌋ − 2 = 37
g(6) = 26 + ⌊(3/2)6⌋ − 2 = 64 + ⌊11,39…⌋ − 2 = 73
Es werden also bis zu 37 fünfte und 73 sechste Potenzen benötigt, um daraus jede Zahl zu addieren.
Das aber alles würde weitgehend als mathematische Zahlenspielerei abgetan, wenn die beiden aus den heiligen Zahlen 3 und 7 zusammengefügten Zahlen 37 und 73 nicht auch biblische Zusammenhänge aufwiesen. An vorderster Stelle steht die die Summe
D73 = H37 = 73⋅37 = 2701 = 913+203+86+401+395+407+296
der ersten sieben Bibelwörter, wenn den hebräischen Buchstaben die üblichen Zahlwerte zugeordnet werden. Ich kann es nicht nachprüfen. Es wird hoffentlich stimmen. Die beiden letzten Wörter addieren sich auf 703=19⋅37=D₃₇, der Rest ist dreimal 666=18⋅37=D₃₆.
Doch dabei bleibt es nicht. Mit den Kubikzahlen 27 und 64 sowie Sechsecken und Sternen mit 13, 19, 37 und 73 Punkten steht ein weites Feld von Zahlen gemäß
27⋅37=999, 27+73=100, 27+37=64, 73−37=36, 36+64=100
bereit, um Beziehungen zu Jesus=888=24⋅37, Christus=1480=40⋅37, Gott und die Welt=296=8⋅37 zu schaffen. Auch wenn vieles konstruiert wirkt und auf den zweiten Blick nicht sehr überrascht, so ist das Gesamtgebäude doch beeindruckend.
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Zwanzighundert
wuerg, 07.01.2006 20:58
Eigentlich war es abzusehen, daß man nach Neunzehnhundertneunundneunzig das nächste Jahr nicht Zwanzighundert nennen wird, schließlich war und ist das beim Geld nicht anders. Ein einfacher Unterschichtenfernseher kostet dreizehnhundert, ein Hartz‑IV-kompatibler aber über zweitausend und nicht etwa mehr als zwanzighundert Euro. Für mich liegt das einfach daran, daß mit 19 ein Zahlraum beendet wird, in dem wir uns eine unsystematische Bezeichnung leisten, in dem wir die Zahlwörter noch als eine Einheit und nicht als zusammengesetzt sehen.
In unserer Zeit der Alles-Abkürzer folge ich auch gerne dem silben-ökonomischen Argument, daß zweitausend eben eine Silbe weniger hat als zwanzighundert. So war es glücklicherweise mit dem Jahrtausendwechsel selbstverständlich, daß man das soeben angebrochene Jahr Zweitausendsechs nennen wird, nicht Zwanzighundertsechs und auch nicht Zwanzig-null-sechs. Wodurch könnte das nun noch gefährdet werden?
Angeregt durch die lautliche Verwandtschaft der Zahl 6 mit dem Hauptinteresse des Menschen, wird die Jahreszahl vermehrt im Munde geführt und läuft Gefahr, doch noch ein Opfer des modernen Menschen zu werden, der eine analoge Uhr nicht lesen will und für den die Tagesschau nicht um 20 Uhr 15, sondern um zwanzig-fünfzehn beginnt. Seine Faulheit verdrängt das Wort Uhr aus seinem Wortschatz, und er sagt dann statt 20 Uhr nicht etwa zwanzig-nullnul, sondern zwanzig-hundert. Hier lauert die Gefahr für unsere Jahreszahlen.
Unterstützt wird diese Entwicklung wieder einmal von unseren amerikanischen Freunden, die mit Uhrzeiten nach 12 noch Anfängerschwierigkeiten haben und meinten, wir würden die Doppelpunkte nur zum Spaß zwischen die Stunden und Minuten schreiben. So bürgerte sich für 20 Uhr 15 neben der sinnvollen Schreibweise 20:15 leider auch 2015 ein und verbreitet sich über die ganze Welt: Die Mitteleuropäische Sommerzeit ist „GMT+0200“, und eine Prozedur doof.sh startet man um 2 Uhr 15 mit „at 0215 doof.sh“ besser nicht, sonst läuft sie einmal im Jahr doppelt und ein andermal gar nicht.
In unserer Zeit der Alles-Abkürzer folge ich auch gerne dem silben-ökonomischen Argument, daß zweitausend eben eine Silbe weniger hat als zwanzighundert. So war es glücklicherweise mit dem Jahrtausendwechsel selbstverständlich, daß man das soeben angebrochene Jahr Zweitausendsechs nennen wird, nicht Zwanzighundertsechs und auch nicht Zwanzig-null-sechs. Wodurch könnte das nun noch gefährdet werden?
Angeregt durch die lautliche Verwandtschaft der Zahl 6 mit dem Hauptinteresse des Menschen, wird die Jahreszahl vermehrt im Munde geführt und läuft Gefahr, doch noch ein Opfer des modernen Menschen zu werden, der eine analoge Uhr nicht lesen will und für den die Tagesschau nicht um 20 Uhr 15, sondern um zwanzig-fünfzehn beginnt. Seine Faulheit verdrängt das Wort Uhr aus seinem Wortschatz, und er sagt dann statt 20 Uhr nicht etwa zwanzig-nullnul, sondern zwanzig-hundert. Hier lauert die Gefahr für unsere Jahreszahlen.
Unterstützt wird diese Entwicklung wieder einmal von unseren amerikanischen Freunden, die mit Uhrzeiten nach 12 noch Anfängerschwierigkeiten haben und meinten, wir würden die Doppelpunkte nur zum Spaß zwischen die Stunden und Minuten schreiben. So bürgerte sich für 20 Uhr 15 neben der sinnvollen Schreibweise 20:15 leider auch 2015 ein und verbreitet sich über die ganze Welt: Die Mitteleuropäische Sommerzeit ist „GMT+0200“, und eine Prozedur doof.sh startet man um 2 Uhr 15 mit „at 0215 doof.sh“ besser nicht, sonst läuft sie einmal im Jahr doppelt und ein andermal gar nicht.
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06.01.06
wuerg, 06.01.2006 15:15
Ich will nicht auf das Datum 6. Juni 2006 des Tieres warten, an dem es zu Massenhochzeiten in Swinger-Clubs kommen könnte, sondern seine alternative Zahl 616 zum heutigen Dreikönigsfest nutzen, um mich über Schwachsinnigkeiten und Faulheit bei Datumsangaben zu ereifern.
Wenn man von den Amerikanern und der Sortierreihenfolge einmal absieht, gab es den letzten 70 Jahren des vergangenen Jahrhunderts kaum Schwierigkeiten einer sechsstelligen Ziffernfolge das Datum zu entnehmen. Vom 1. Januar 1931 bis zum 31. Dezember 2000 war schon ohne Gliederung zu erkennen, ob das Jahr hinten oder vorne steht, wenn es nicht egal war (310531).
Wer für Trennzeichen nicht zu faul ist, kann sich durch dd.mm.yy, yy‑mm‑dd oder mm/dd/yy auf die sichere Seite schlagen. Und wer es den Lesern etwas leichter machen will, greift zu dd.mm.ccyy, ccyy‑mm‑dd oder mm/dd/ccyy. Doch leider gibt es auch Deutsche, die das Datum in der Form (cc)yy.mm.dd oder dd/mm/ccyy schreiben. Erstere haben trotz Internet nicht gemerkt, daß der Punkt vorzugsweise vom Speziellen zum Allgemeinen gliedert (vorname.nachname@server.domain.de), letztere meinen sich dadurch modern zeigen zu müssen, daß sie amerikanischen Schwachsinn falsch übernehmen und mit internationaler Normung verwechseln.
Was haben eigentlich die Leute vor hundert Jahren mit den gleichen Problemen gemacht? Sie verwendeten für die Monate römische Zahlen, wenn sie sich nicht die Zeit nahmen, das Jahr oder gar den Monat auszuschreiben. Das mache ich nun schon seit Jahren wieder. Man gewöhnt sich daran. Es ist menschenfreundlich, im Text für den heutigen Tag 6. Januar 2006 zu schreiben und in Filenamen 2006-01-06 zu verwenden. [1] Für die Uhrzeit gilt das gleiche: Es ist jetzt 14 Uhr 15.
[1] 11.07.2004: Wie hier vor dem Doppelpunkt, bin ich etwas wieder davon abgekommen. Wenn es nicht mitten im Text ist, so erscheint mir dd.mm.ccyy doch schöner, vor allem in Aufstellungen, in denen unterschiedlich lange Texte unschön sind, es aber auch nicht auf einfache Sortierbarkeit ankommt.
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Wenn man von den Amerikanern und der Sortierreihenfolge einmal absieht, gab es den letzten 70 Jahren des vergangenen Jahrhunderts kaum Schwierigkeiten einer sechsstelligen Ziffernfolge das Datum zu entnehmen. Vom 1. Januar 1931 bis zum 31. Dezember 2000 war schon ohne Gliederung zu erkennen, ob das Jahr hinten oder vorne steht, wenn es nicht egal war (310531).
Wer für Trennzeichen nicht zu faul ist, kann sich durch dd.mm.yy, yy‑mm‑dd oder mm/dd/yy auf die sichere Seite schlagen. Und wer es den Lesern etwas leichter machen will, greift zu dd.mm.ccyy, ccyy‑mm‑dd oder mm/dd/ccyy. Doch leider gibt es auch Deutsche, die das Datum in der Form (cc)yy.mm.dd oder dd/mm/ccyy schreiben. Erstere haben trotz Internet nicht gemerkt, daß der Punkt vorzugsweise vom Speziellen zum Allgemeinen gliedert (vorname.nachname@server.domain.de), letztere meinen sich dadurch modern zeigen zu müssen, daß sie amerikanischen Schwachsinn falsch übernehmen und mit internationaler Normung verwechseln.
Was haben eigentlich die Leute vor hundert Jahren mit den gleichen Problemen gemacht? Sie verwendeten für die Monate römische Zahlen, wenn sie sich nicht die Zeit nahmen, das Jahr oder gar den Monat auszuschreiben. Das mache ich nun schon seit Jahren wieder. Man gewöhnt sich daran. Es ist menschenfreundlich, im Text für den heutigen Tag 6. Januar 2006 zu schreiben und in Filenamen 2006-01-06 zu verwenden. [1] Für die Uhrzeit gilt das gleiche: Es ist jetzt 14 Uhr 15.
[1] 11.07.2004: Wie hier vor dem Doppelpunkt, bin ich etwas wieder davon abgekommen. Wenn es nicht mitten im Text ist, so erscheint mir dd.mm.ccyy doch schöner, vor allem in Aufstellungen, in denen unterschiedlich lange Texte unschön sind, es aber auch nicht auf einfache Sortierbarkeit ankommt.
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