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four twenty
wuerg, 26.01.2006 11:10
Erschienen alle dreistelligen Zahlen zu einem Wettkampf, wie gestern auf Pro 7 dreißig magere Mädchen zur Spitzen-Modell-Schau mit Heidi Klum, dann gehörte bisher die 420 zu den 234 Zahlen, die leider in der ersten Runde ausscheiden müssen. Doch vorgestern wurde diese 420 durch CSI:Miami an mich herangetragen. Nun weiß ich aus einer mir fernen Welt, daß sich Rauschgiftsüchtige an der 420 wie Nazis an der 18 erkennen. Und so fand auch die Umdeutung der 420 durch die jugendlichen Kriminellen bemerkenswert: Die 420 steht nicht mehr für eine Uhrzeit, zu der irgendwelche Schüler Marihuana rauchten und sowas wie den Fünf-Uhr-Tee für Rauschgiftsüchtige begründeten, sondern dank der amerikanischen Datumsschreib- und -sprechweise auch für Führers Geburtstag.
Ansonsten wäre 420 als eines der langweiligen Vielfachen von 60 an mir vorübergezogen. Ich hätte sie als Rechteckzahl (20*21) übersehen und nicht die wenigen Kleinigkeiten bemerkt, die über 420 als Zahl in der Wikipedia berichtet werden. Es ließe sich schon etwas mehr finden: So ist die längere Seite eines DIN-A3-Blattes 420 mm lang und mit 3*420=1260 haben wir die Anzahl der Tage in 42 Monaten, die eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit währende halbe Danielwoche. Und neben der alles erklärenden 42 somit auch die Offenbarung des Johannes: "die heilige Stadt werden sie zertreten zweiundvierzig Monate. Und ich will meinen zwei Zeugen geben, daß sie sollen weissagen zwölfhundertundsechzig Tage." Bedenkt man nun noch die längere Seite eines DIN-A2-Blattes von 594 mm, so ist mit 1260-594=666 das Ziel erreicht.
18 | DIN-A4
Ansonsten wäre 420 als eines der langweiligen Vielfachen von 60 an mir vorübergezogen. Ich hätte sie als Rechteckzahl (20*21) übersehen und nicht die wenigen Kleinigkeiten bemerkt, die über 420 als Zahl in der Wikipedia berichtet werden. Es ließe sich schon etwas mehr finden: So ist die längere Seite eines DIN-A3-Blattes 420 mm lang und mit 3*420=1260 haben wir die Anzahl der Tage in 42 Monaten, die eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit währende halbe Danielwoche. Und neben der alles erklärenden 42 somit auch die Offenbarung des Johannes: "die heilige Stadt werden sie zertreten zweiundvierzig Monate. Und ich will meinen zwei Zeugen geben, daß sie sollen weissagen zwölfhundertundsechzig Tage." Bedenkt man nun noch die längere Seite eines DIN-A2-Blattes von 594 mm, so ist mit 1260-594=666 das Ziel erreicht.
18 | DIN-A4
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739397
wuerg, 21.01.2006 19:02
Soll ein Mensch eine Farbe, ein Werkzeug und eine zweistellige Zahl nennen, die keine Schnapszahl oder ein Vielfaches von zehn ist, dann soll zumeist "rot, Hammer und 37" geantwortet werden. Dabei wird sich kaum einer von den Beziehungen zur 73 und zur 666 leiten lassen, auch nicht von Sechsecken und Sternen aus 37 Punkten. Ich erkläre mir das wie folgt: Wann immer man um eine solche Zahl gebeten wird, droht die Gefahr eines Zahlentricks, dem man unwillkürlich durch die Auswahl einer schweren Zahl begegnen möchte. Diesen Eindruck erweckt die Primzahl 37, deren Ziffern beide wiederum Primzahlen sind.
Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbesondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Primzahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Fragestellungen heißt es durchaus "Primzahl oder 1" oder "keinen echten Teiler". In jedem Falle gibt ihnen die 1 ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nachsehen hat.
Nach diesen Vorbemerkungen ist es nicht verwunderlich, wenn in Primzahlspielereien gerne die Ziffern 3 und 7 vorkommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:
Schön wäre es, wenn nach dem Abschneiden nicht nur eine Primzahl bliebe, sondern eine abermals verkürzbare. Dann müßte man ausgehend von den einstelligen Primzahlen nur die bereits gefundenen beidseitig verkürzbaren Zahlen um eine Ziffer nach links oder rechts verlängern und überprüfen. Doch mit diesem Verfahren kommt man nur auf
Trotzdem hilft die Idee der schrittweisen Verlängerung schon gewonnener Zahlen, denn mit ihr kann die Liste
37 | 73
Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbesondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Primzahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Fragestellungen heißt es durchaus "Primzahl oder 1" oder "keinen echten Teiler". In jedem Falle gibt ihnen die 1 ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nachsehen hat.
Nach diesen Vorbemerkungen ist es nicht verwunderlich, wenn in Primzahlspielereien gerne die Ziffern 3 und 7 vorkommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:
7
7 3
7 3 9
7 3 9 3
7 3 9 3 9
7 3 9 3 9 7
3 9 3 9 7
9 3 9 7
3 9 7
9 7
7
Alle 11 Zahlen sind prim, und es gibt kein größeres Diagramm, alle anderen sind sogar wesentlich kleiner:
3 3 3 7 3 1 7 3 3 3 3 7 9 3 1 3 7 9 3 7 3 1 3 1 3 7 9 7 3 1 3 7 7 9 7 3 7 3 3 1 7 3 1 3 7 9 7 1 3 7 9 7 7 3 1 7 1 3 9 7 3 7 7 3 7 3 7 7Und das sind auch schon alle mit mehr als zwei Stellen. Die Menge
2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397der wahlweise links oder rechts verkürzbaren Primzahlen ist also nicht nur endlich, sondern auch noch recht klein. Trotzdem ist es recht mühsam, sie mit der Hand zu bestimmen, selbst wenn man eine Tafel aller Primzahlen bis zu sieben Stellen besitzt.
Schön wäre es, wenn nach dem Abschneiden nicht nur eine Primzahl bliebe, sondern eine abermals verkürzbare. Dann müßte man ausgehend von den einstelligen Primzahlen nur die bereits gefundenen beidseitig verkürzbaren Zahlen um eine Ziffer nach links oder rechts verlängern und überprüfen. Doch mit diesem Verfahren kommt man nur auf
2,3,5,7,23,37,53,73,373Das sind die Primzahlen, die gleichzeitig links und rechts verkürzt werden können. Man erhält sie auch aus der vorangehenden Liste, indem man alle Zahlen mit Ziffer 1 oder 9 streicht.
Trotzdem hilft die Idee der schrittweisen Verlängerung schon gewonnener Zahlen, denn mit ihr kann die Liste
2,3,5,7,23,29,31,37,53,59,71,73,79,233,239,293,...,73939133der 83 Primzahlen gewonnen werden, die nur bei rechtseitiger Abschneidung prim bleiben müssen. Und aus diesen 83 sucht man sich die 15 beidseitig verkürzbaren heraus. Das ist mit der Hand kaum machbar, doch immer noch besser als die 4260 Primzahlen
2,3,5,7,13,17,23,37,43,47,53,...,357686312646216567629137zu bestimmen, die bei ausschließlich linker Abschneidung entstehen, und unter ihnen die 15 zu suchen.
37 | 73
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793
wuerg, 18.01.2006 00:11
Meine Einlassungen zur Zahl 73 samt ihren Beziehungen zur 37 beginnen mit
Das sind alles nette Ziffernspielereien, die nur von Wert sein können, wenn weitere schöne Eigenschaften hinzutreten. Man kann sie zur Verwunderung argloser Menschen mißbrauchen. Das ist nicht mein Anliegen. Im Gegenteil möchte ich zeigen, aus welchen schon getroffenen Festlegungen weitere Eigenschaften abgeleitet werden können. Allein aus y=2x-1 folgt sofort
Und so man schon einmal bei den Dreiecks-, Sechseck- und anderen Polygonalzahlen ist, können die folgenden denkwürdigen Beziehungen auffallen
Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999...9997 und y=7999...9993 für mehr als 5 Stellen sich auch als Sechsecke und Sterne darstellen lassen. Dazu betrachtet man einfach die Gleichung
37 | 73 | Mark793
A B + A B - 1 ----- B A =====als einer leicht zu lösenden Aufgabe. Aus der Zehnerstelle folgt B>A, weshalb die Addition einen Übertrag haben muß. Damit ist
A = 2B - 11 für die Einerstelle B = 2A + 1 für die ZehnerstelleDie einzige Lösung ist A=3 und B=7. Wie aber sieht es mit einer größeren Aufgabe wie
A B C D E F G H + A B C D E F G H - 1 ----------------- H G F E D C B Aaus? Erneut folgt aus der vordersten Stelle H>A, weshalb wiederum aus der Einerstelle ein Übertrag entstehen muß und A=2H-9 gilt. Nur weiß man nun nicht sofort, ob auch ein Übertrag in die vorderste Stelle erfolgt. Deshalb sind die beiden Fälle H=2A und H=2A+1 zu unterscheiden. Glücklicherweise hat nur der letzte Fall mit dem Übertrag eine Lösung, daß wieder A=3 und H=7 sein muß. Damit können wir uns zur Mitte hin vorarbeiten:
für die zweite Stelle von rechts: 2G+1=B oder 2G+1=B+10 für die zweite Stelle von links: 2B=G+10 oder 2B+1=G+10Nur die beiden rechten Möglichkeiten, die einen Übertrag durchreichen, liefern eine Lösung B=G=9. Mit der gleichen Argumentation folgt C=F=9. Auch für die beiden mittleren Stellen ist die Lösung D=E=9 möglich. Und es gibt auch keine Probleme bei ungerader Stellenzahl. Damit sind die einzigen Lösungen für y=2x-1 mit gespiegelten Zahlen x und y:
x=3999....9997 und y=7999...9993Weil für einstellige Zahlen x=y=1 sein muß, ist die einzige Lösung für eine beliebige n-stellige Zahl
x=4*10n-1-3=4*(10n-1-1)+1=36*((10n-1-1)/9)+1 =4*10..0-3=4*999..999+1=36*11111..11111+1 y=8*10n-1-7=8*(10n-1-1)+1=72*((10n-1-1)/9)+1 =8*10..0-3=8*999..999+1=72*11111..11111+1was für die ersten Fälle wie folgt aussieht:
n x y ---------------------------------------- 1 1=1+36*0 1=1+72*0 2 37=1+36*1 73=1+72*1 3 397=1+36*11 793=1+72*11 4 3997=1+36*111 7993=1+72*111 5 39997=1+36*1111 79993=1+72*1111 6 399997=1+36*11111 799993=1+72*11111Das macht deutlich, wie sich wieder die Zahl 666 ins Spiel bringen läßt. Zum Beispiel über 3997=1+36*111=6*666+1 oder 397=6*66+1, wie so oft ohne eigene Bedeutung einfach über die Zahl 111.
Das sind alles nette Ziffernspielereien, die nur von Wert sein können, wenn weitere schöne Eigenschaften hinzutreten. Man kann sie zur Verwunderung argloser Menschen mißbrauchen. Das ist nicht mein Anliegen. Im Gegenteil möchte ich zeigen, aus welchen schon getroffenen Festlegungen weitere Eigenschaften abgeleitet werden können. Allein aus y=2x-1 folgt sofort
S(x) = x*y = D(y)worin D(k)=k(k+1)/2 die k-te Dreieckszahl und S(k)=k(2k-1) die k-te Sechseckzahl ist. Im zweistelligen Falle (n=2, x=37 und y=73) ergibt sich mit
S(37) = D(73) = 37 * 73 = 2701die Summe der ersten sieben Wörter der Bibel, wenn den hebräischen Buchstaben die üblichen Zahlen zugeordnet werden.
Und so man schon einmal bei den Dreiecks-, Sechseck- und anderen Polygonalzahlen ist, können die folgenden denkwürdigen Beziehungen auffallen
n=1: x=1=s(1)
y=1=z(1)
n=2: x=37=36+1= 6*6+1= 6*D(3)+1=s(4)
y=73=72+1=12*6+1=12*D(3)+1=z(4)
n=3: x=397=36*11+1= 6*(12*11)/2+1= 6*D(11)+1=s(12)
y=793=72*11+1=12*(12*11)/2+1=12*D(11)+1=z(12)
n=4: x=3997=36*111+1= 6*(36*37)/2+1= 6*D(36)+1=s(37)
x=7993=72*111+1=12*(36*37)/2+1=12*D(36)+1=z(37)
worin s(k) für die k-te zentrierte Sechseckzahl und z(k) für die k-te zentrierte Zwölfeckzahl steht. Letztere ist zugleich die k-te Sternzahl für sechszackige Sterne. Zu Ehren von Mitblogger y=mark793 (x=397kram) stelle ich den Fall n=3 dar, auch wenn das Bild in werbebeladenen Fenstern vielleicht rechts abgeschnitten wird:
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o o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o
o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o
o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o
o o o o o o x x x x x x x x o x x x x x x x x o o o o o o
o o o o o x x x x x x x x o o x x x x x x x x o o o o o
o o o o x x x x x x x x o o o x x x x x x x x o o o o
o o o x x x x x o o o x x x x o o o x x x x x o o o
o o x x x x x x o o x x x x x o o x x x x x x o o
o x x x x x x x o x x x x x x o x x x x x x x o
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o x x x x x x x o x x x x x x o x x x x x x x o
o o x x x x x x o o x x x x x o o x x x x x x o o
o o o x x x x x o o o x x x x o o o x x x x x o o o
o o o o x x x x x x x x o o o x x x x x x x x o o o o
o o o o o x x x x x x x x o o x x x x x x x x o o o o o
o o o o o o x x x x x x x x o x x x x x x x x o o o o o o
o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o
o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o
o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o
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Dieser Stern (n=3) besteht aus insgesamt 793 Punkten. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 66 Punkten verbleibt innen ein Sechseck aus 397 Punkten. In dieses Sechseck hinein habe ich einen kleineren Stern (n=2) gezeichnet. Er hat 73 Punkte. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 6 Punkten verbleibt innen wieder ein Sechseck aus 37 Kreuzen.Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999...9997 und y=7999...9993 für mehr als 5 Stellen sich auch als Sechsecke und Sterne darstellen lassen. Dazu betrachtet man einfach die Gleichung
4*(10n-1-1) = x-1 = 6*D(m) = s(m+1)-1 = 3m(m+1)die auf eine einfache quadratische Gleichung führt. Die Lösung
m = ( sqrt(48*10n-1-39) - 3 ) / 6liefert für die ersten n die folgenden Werte:
n=1: m=(sqrt(48-39)-3)/6=(sqrt(9)-3)/6
=(3-3)/6=0/6=0
n=2: m=(sqrt(480-39)-3)/6=(sqrt(441)-3)/6
=(21-3)/6=18/6=3
n=3: m=(sqrt(4800-39)-3)/6=(sqrt(4761)-3)/6
=(69-3)/6=66/6=11
n=4: m=(sqrt(48000-39)-3)/6=(sqrt(47961)-3)/6
=(219-3)/6=216/6=36
n=5: m=(sqrt(480000-39)-3)/6=(sqrt(479961)-3)/6
=(692,792-3)/6=689,792/6=114,965
Daß es nicht ewig so weitergehen kann, war auch ohne Rechnung klar. Desto bemerkenswerter ist die Darstellbarkeit mit Sechsecken und Sternen in den Fällen n=1,2,3,4, in deren Berechnung auch wieder die üblichen Verdächtigen 6, 66, 216, 18 und 36 vorkommen. Das muß aber keine 666-Angst auslösen, denn wo man Dreieckszahlen, Ziffernwiederholungen und Sechsen reinsteckt, da kommen sie auch wieder raus.37 | 73 | Mark793
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688
wuerg, 15.01.2006 00:41
In einer Periode von 28 Jahren mit 7 Schaltjahren fällt der 29. Februar genau einmal auf jeden Wochentag, die übrigen Tage des Jahres je viermal. Somit fällt der 1. März der 84 Jahre 2000 bis 2083 je 12 mal auf jeden der sieben Wochentage. Im Jahre 2084 ist es wie im Jahre 2000 oder 2006 ein Mittwoch. Damit ergeben sich für den 1. März in den restlichen 16 Jahren des Jahrhunderts
Hat man erst einmal den Wochentag für den 1. März, ist es für die anderen Tage des Jahres kein Problem mehr. Für die 13. Tage der 12 Monate nach dem 1. März ergeben sich die folgenden Anzahlen.
Fr,13.
2084 Mi 2085 Do 2086 Fr 2087 Sa 2088 Mo 2089 Di 2090 Mi 2091 Do 2092 Sa 2093 So 2094 Mo 2095 Di 2096 Do 2097 Fr 2098 Sa 2099 SoDonnerstag und Samstag fallen in diesem Jahrhundert also 15 mal auf den 1. März, die übrigen Wochentage nur 14 mal. Da das Jahr 2100 kein Schaltjahr ist, fällt der 1. März des Jahres 2100 auf einen Montag. Im nächsten Jahrhundert liegt also alles zwei Wochentage früher. So setzt sich das fort, womit sich für den 1. März die folgenden Anzahlen ergeben:
Mo Di Mi Do Fr Sa So
--------------------------------------
2000-2099 14 14 14 15 14 15 14
2100-2199 14 15 14 15 14 14 14
2200-2299 14 15 14 14 14 14 15
2300-2399 14 14 14 14 15 14 15
--------------------------------------
2000-2399 56 58 56 58 57 57 58
Das überrascht, denn bei einem Durchschnitt von 400/7=57,14 war nicht zu erwarten, daß Montag und Mittwoch nur 56 mal auf den 1. März fallen. Im 400-jährigen Mittel ist das nicht jedes siebte Jahr, sondern nur einmal in 7,14 Jahren. Das gleicht sich auch nicht in den nächsten Jahrhunderten aus, denn der 1. März 2400 ist wie der 1. März 2000 wieder ein Mittwoch.Hat man erst einmal den Wochentag für den 1. März, ist es für die anderen Tage des Jahres kein Problem mehr. Für die 13. Tage der 12 Monate nach dem 1. März ergeben sich die folgenden Anzahlen.
t w Mo Di Mi Do Fr Sa So
-------------------------------------------
13. Mrz 12 5 56 58 57 57 58 56 58
13. Apr 43 1 58 56 58 56 58 57 57
13. Mai 73 3 57 57 58 56 58 56 58
13. Jun 104 6 58 56 58 57 57 58 56
13. Jul 134 1 58 56 58 56 58 57 57
13. Aug 165 4 58 57 57 58 56 58 56
13. Sep 196 0 56 58 56 58 57 57 58
13. Okt 226 2 57 58 56 58 56 58 57
13. Nov 257 5 56 58 57 57 58 56 58
13. Dez 287 0 56 58 56 58 57 57 58
13. Jan 318 3 57 57 58 56 58 56 58
13. Feb 349 6 58 56 58 57 57 58 56
-------------------------------------------
685 685 687 684 688 684 687
Darin ist t die Zahl der Tage nach dem 1. März und w der Rest der Division von t durch 7, woraus sich die Verschiebung der Anzahlen 56 bis 58 ergibt. Die Summen 684 bis 688 streuen um den Mittelwert (12*400)/7=685,7 wiederum stärker als erwartet. Einsamer Spitzenreiter ist der Freitag, der in jedem Block von 400 Jahren genau 688 vorkommt. Damit fällt der 13. im langjährigen und auch ewigen Mittel nicht alle 7, sondern alle (12*400)/688=6,9767 Jahre auf einen Freitag. Der Lieblingswochentag des 13. ist eindeutig der Freitag.Fr,13.
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73
wuerg, 12.01.2006 12:43
Die Zahl 73 ist nicht einfach die größere, unbedeutendere Schwester der 37, denn die Beziehungen zwischen beiden scheinen vielfältiger als zwischen 31 und 13 oder gar 52 und 25, denn es kommen zwei Eigenschaften zusammen: Die Zahl m=73 entsteht aus der n=37 zum einen durch Ziffernvertauschung, zum anderen ist m=2n-1. Unter den zweistelligen Zahlen ist das einzigartig. Wer Zahlenrätsel mag, der wird
Nimmt man fünfzackige arabische statt sechszackiger jüdischer Sterne, so sieht das mit den Punkten zwar nicht mehr so schön aus, es sind aber trotzdem Zehneckzahlen (k=10). Die dritte Zehneckzahl ist 3k+1=31, die vierte 6k+1=61 und natürlich gilt 61=2*31-1. Sehr schön zu zeichnen sind die zentrierten Sechseckzahlen (k=6). Die dritte ist 3k+1=19, die vierte 6k+1=37. Und natürlich 37=2*19-1. Da ist sie schon wieder, die 37.
In Falle k=4 erhält man die gleichfalls schön darstellbaren zentrierten Quadratzahlen. Die dritte ist 3k+1=13=4+9, die vierte 6k+1=25=9+16 wieder mit 25=2*13-1. Sehr nett sind die zentrierten Achteckzahlen (k=8). Sie lassen sich als Quadrate darstellen, weil die k-te zentrierte Achteckzahl gleich der (2k-1)-ten Quadratzahl ist. Tatsächlich entstehen mit 3k+1=25 und 6k+1=49 Quadrate. Und abermals ist 49=2*25-1.
Langer Rede kurzer Sinn: Bis hierher beruht die Einzigartigkeit des Paares aus 73 und 37 nur aus dem Zusammentreffen von einfachen Eigenschaften. In anderen Zahlpaaren treffen eben andere zusammen. Man muß sie nur suchen. Doch diese Suche gestaltet sich bei 73 und 37 irgendwie erfolgreicher, auch wenn die außerordentlichen Eigenschaften beiseite gelassen werden, die 37 für sich allein aufweist.
Zunächst fällt auf, daß sowohl 37 als auch 73 Primzahlen sind. Eine Primzahl, die umgedreht ebenfalls eine ist, nennt man Mirpzahl. Zwar gibt es mit 13 und 31 kleinere, doch 37 ist die 12. und 73 die 21. Primzahl. Und 21 ist nicht nur 3*7, sondern auch 12 ziffernvertauscht. Das ist ein Zufall, der 37 und 73 zu besonders schönen Primzahlen macht, die gerne im Verbund mit der 19 auftauchen, denn 19, 37 und 73 bilden eine schöne Primzahlkette aus der Folge
Die Formel a(k)=9*2^k+1 hat unmittelbar zur Folge, daß 19, 37 und 73 auch Primzahlen von der Form 2^k*3^l+1 sind. Diese heißen Pierpont-Primzahlen
Auch in der durch u(n)=u(n-1)+u(n-2) definierten Folge 1,1,2,3,5,8,13,... der Fibonaccizahlen findet man 19, 37 und 73, denn es gilt
Und schließlich kommt die Abfolge 19,37,73 noch an einer ganz anderen Stelle vor. Als Anzahl g(n) der benötigten Summanden, um jede natürliche Zahl aus n-ten Potenzen zu bilden, wird
Das aber alles würde weitgehend als mathematische Zahlenspielerei abgetan, wenn die beiden aus den heiligen Zahlen 3 und 7 zusammengefügten Zahlen 37 und 73 nicht auch biblische Zusammenhänge aufwiesen. An vorderster Stelle steht
37 | 666
a b + a b - 1 ----- b a =====sofort lösen. Aus der Zehnerstelle folgt b>a, weshalb die Addition einen Übertrag haben muß. Damit ist
2b = 11 + a für die Einerstelle 2a + 1 = b für die Zehnerstellemit der einzigen Lösung a=3 und b=7. Schnell findet man nette Beziehungen zwischen 73 und 37:
73 + 37 = 11*(7+3)
73 - 37 = 9*(7-3)
99*3+73 = 370 99*7+37 = 730
99*73+73 = 7300 99*37+37 = 3700
99*373+73 = 37000 99*737+37 = 73000
99*7373+73 = 730000 99*3737+37 = 370000
99*37373+73 = 3700000 99*73737+37 = 7300000
Doch das ist Augenwischerei, denn es gilt auch für jede andere Kombination von zwei Ziffern anstelle von 3 und 7. Ebenso verhält es sich mit der Eigenschaft, daß die 73. Dreieckszahl gleich der 37. Sechseckzahl ist
D(73) = S(37) = 73*37 = 2701denn leider gilt auch dies für alle Zahlen m und n mit m=2n-1. Und wenn wir schon bei Polygonalzahlen sind, dann fällt auf, daß 37 und 73 sich beide als Stern darstellen lassen.
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Gewiß können andere zweistellige Zahlen nicht als solche Sterne dargestellt werden, aber für jede dritte Zahl n=3k+1 mit zugehörigem m=6k+1 ist n die dritte und m die vierte zentrierte k-Eckzahl. Für n=37 ergibt sich k=12. Also ist 37 die dritte und 73 die vierte zentrierte Zwölfeckzahl. Daher also die Beziehung zwischen den Sternen, denn Sternzahlen sind zentrierte Zwölfeckzahlen.Nimmt man fünfzackige arabische statt sechszackiger jüdischer Sterne, so sieht das mit den Punkten zwar nicht mehr so schön aus, es sind aber trotzdem Zehneckzahlen (k=10). Die dritte Zehneckzahl ist 3k+1=31, die vierte 6k+1=61 und natürlich gilt 61=2*31-1. Sehr schön zu zeichnen sind die zentrierten Sechseckzahlen (k=6). Die dritte ist 3k+1=19, die vierte 6k+1=37. Und natürlich 37=2*19-1. Da ist sie schon wieder, die 37.
In Falle k=4 erhält man die gleichfalls schön darstellbaren zentrierten Quadratzahlen. Die dritte ist 3k+1=13=4+9, die vierte 6k+1=25=9+16 wieder mit 25=2*13-1. Sehr nett sind die zentrierten Achteckzahlen (k=8). Sie lassen sich als Quadrate darstellen, weil die k-te zentrierte Achteckzahl gleich der (2k-1)-ten Quadratzahl ist. Tatsächlich entstehen mit 3k+1=25 und 6k+1=49 Quadrate. Und abermals ist 49=2*25-1.
Langer Rede kurzer Sinn: Bis hierher beruht die Einzigartigkeit des Paares aus 73 und 37 nur aus dem Zusammentreffen von einfachen Eigenschaften. In anderen Zahlpaaren treffen eben andere zusammen. Man muß sie nur suchen. Doch diese Suche gestaltet sich bei 73 und 37 irgendwie erfolgreicher, auch wenn die außerordentlichen Eigenschaften beiseite gelassen werden, die 37 für sich allein aufweist.
Zunächst fällt auf, daß sowohl 37 als auch 73 Primzahlen sind. Eine Primzahl, die umgedreht ebenfalls eine ist, nennt man Mirpzahl. Zwar gibt es mit 13 und 31 kleinere, doch 37 ist die 12. und 73 die 21. Primzahl. Und 21 ist nicht nur 3*7, sondern auch 12 ziffernvertauscht. Das ist ein Zufall, der 37 und 73 zu besonders schönen Primzahlen macht, die gerne im Verbund mit der 19 auftauchen, denn 19, 37 und 73 bilden eine schöne Primzahlkette aus der Folge
10, 19, 37, 73, 145, 289, 577, 1153, ...mit dem einfachen Bildungsgesetz "verdoppeln und eins abziehen". Es handelt sich um die Zahlen a(k)=9*2^k+1 für k=0,1,2,3,...., was sie für Numerologie anfällig macht, denn ihre iterierten Quersummen lauten allesamt 1.
Die Formel a(k)=9*2^k+1 hat unmittelbar zur Folge, daß 19, 37 und 73 auch Primzahlen von der Form 2^k*3^l+1 sind. Diese heißen Pierpont-Primzahlen
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, ...Sie bestimmen die Konstruierbarkeit von n-Ecken, wenn man neben Zirkel und Lineal noch ein Gerät zu Dreiteilung des Winkels verwenden darf. Ein n-Eck ist damit konstruierbar, wenn
n = 2k * 3l * p1 * p2 * p3* ...worin p1, p2, p3, .. allesamt verschiedene Pierpont-Primzahlen sein müssen. Damit sind das das 37-Eck und das 73-Eck konstruierbar.
Auch in der durch u(n)=u(n-1)+u(n-2) definierten Folge 1,1,2,3,5,8,13,... der Fibonaccizahlen findet man 19, 37 und 73, denn es gilt
73 teilt u(37), 37 teilt u(19) 19 teilt u(36), 73 teilt u(37), 37 teilt u(38)was allerdings zum größten Teil der Tatsache zuzuschreiben ist, daß alle Primzahlen p entweder u(p-1) oder u(p+1) teilen.
Und schließlich kommt die Abfolge 19,37,73 noch an einer ganz anderen Stelle vor. Als Anzahl g(n) der benötigten Summanden, um jede natürliche Zahl aus n-ten Potenzen zu bilden, wird
g(n) = 2n + [(3/2)n] - 2vermutet. Für die ersten n ergeben sich die bereits bestätigten Werte
g(2) = 22 + [(3/2)2] - 2 = 4 + [2,25] -2 = 2 g(3) = 23 + [(3/2)3] - 2 = 8 + [3,375] - 2 = 9 g(4) = 24 + [(3/2)4] - 2 = 16 + [5,0625] - 2 = 19 g(5) = 25 + [(3/2)5] - 2 = 32 + [7,59375] - 2 = 37 g(6) = 26 + [(3/2)6] - 2 = 64 + [11,390625] - 2 = 73worin wieder die Abfolge 19, 37, 73 auftritt.
Das aber alles würde weitgehend als mathematische Zahlenspielerei abgetan, wenn die beiden aus den heiligen Zahlen 3 und 7 zusammengefügten Zahlen 37 und 73 nicht auch biblische Zusammenhänge aufwiesen. An vorderster Stelle steht
S(37) = D(73) = 37*73 = 2701die Summe der ersten sieben Bibelwörter, wenn den hebräischen Buchstaben die üblichen Zahlwerte zugeordnet werden.
913 + 203 + 86 + 401 + 395 + 407 + 296 = 2701Ich kann es nicht nachprüfen. Es wird hoffentlich stimmen. Die beiden letzten Wörter addieren sich auf 703=D(37), der Rest ist dreimal 666. Doch dabei bleibt es nicht. Mit den Kubikzahlen 27 und 64 sowie Sechsecken und Sternen mit 13, 19, 37, und 73 Punkten steht ein weites Feld von Zahlen wie
27*37=999, 27+73=100, 27+37=64, 73-37=36, 36+64=100, ...bereit, um Beziehungen zu Jesus=888=24*37, Christus=1480=40*37, Gott und die Welt=296=8*37 zu schaffen. Auch wenn vieles konstruiert wirkt und auf den zweiten Blick nicht sehr überrascht, so ist das Gesamtgebäude doch beeindruckend.
37 | 666
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Zwanzighundert
wuerg, 07.01.2006 20:58
Eigentlich war es abzusehen, daß man nach Neunzehnhundertneunundneunzig das nächste Jahr nicht Zwanzighundert nennen wird, schließlich war und ist das beim Geld nicht anders. Ein einfacher Unterschichtenfernseher kostet dreizehnhundert, ein Hartz-IV-kompatibler aber über zweitausend und nicht etwa mehr als zwanzighundert Euro. Für mich liegt das einfach daran, daß mit 19 ein Zahlraum beendet wird, in dem wir uns eine unsystematische Bezeichnung leisten, in dem wir die Zahlwörter noch als eine Einheit und nicht als zusammengesetzt sehen.
In unserer Zeit der Alles-Abkürzer folge auch gerne dem silben-ökonomischen Argument, daß zweitausend eben eine Silbe weniger hat als zwanzighundert. So war es glücklicherweise mit dem Jahrtausendwechsel selbstverständlich, daß man das soeben angebrochene Jahr Zweitausendsechs nennen wird, nicht Zwanzighundertsechs und auch nicht Zwanzig-null-sechs. Wodurch könnte das nun noch gefährdet werden?
Angeregt durch die lautliche Verwandtschaft der Zahl 6 mit dem Hauptinteresse des Menschen, wird die Jahreszahl vermehrt im Munde geführt und läuft Gefahr, doch noch ein Opfer des modernen Menschen zu werden, der eine analoge Uhr nicht lesen will und für den die Tagesschau nicht um 20 Uhr 15, sondern um zwanzig-fünfzehn beginnt. Seine Faulheit verdrängt das Wort Uhr aus seinem Wortschatz, und er sagt dann statt 20 Uhr nicht etwa zwanzig-null-nul, sondern zwanzig-hundert. Hier lauert die Gefahr für unsere Jahreszahlen.
Unterstützt wird diese Entwicklung wieder einmal von unseren amerikanischen Freunden, die mit Uhrzeiten nach 12 noch Anfängerschwierigkeiten haben und meinten, wir würden die Doppelpunkte nur zum Spaß zwischen die Stunden und Minuten schreiben. So bürgerte sich für 20 Uhr 15 neben der sinnvollen Schreibweise 20:15 leider auch 2015 ein und verbreitet sich über die ganze Welt: Die Mitteleuropäische Sommerzeit ist "GMT +0200", und eine Prozedur mist.sh startet man um 3 Uhr 15 mit "at 0315 mist.sh".
In unserer Zeit der Alles-Abkürzer folge auch gerne dem silben-ökonomischen Argument, daß zweitausend eben eine Silbe weniger hat als zwanzighundert. So war es glücklicherweise mit dem Jahrtausendwechsel selbstverständlich, daß man das soeben angebrochene Jahr Zweitausendsechs nennen wird, nicht Zwanzighundertsechs und auch nicht Zwanzig-null-sechs. Wodurch könnte das nun noch gefährdet werden?
Angeregt durch die lautliche Verwandtschaft der Zahl 6 mit dem Hauptinteresse des Menschen, wird die Jahreszahl vermehrt im Munde geführt und läuft Gefahr, doch noch ein Opfer des modernen Menschen zu werden, der eine analoge Uhr nicht lesen will und für den die Tagesschau nicht um 20 Uhr 15, sondern um zwanzig-fünfzehn beginnt. Seine Faulheit verdrängt das Wort Uhr aus seinem Wortschatz, und er sagt dann statt 20 Uhr nicht etwa zwanzig-null-nul, sondern zwanzig-hundert. Hier lauert die Gefahr für unsere Jahreszahlen.
Unterstützt wird diese Entwicklung wieder einmal von unseren amerikanischen Freunden, die mit Uhrzeiten nach 12 noch Anfängerschwierigkeiten haben und meinten, wir würden die Doppelpunkte nur zum Spaß zwischen die Stunden und Minuten schreiben. So bürgerte sich für 20 Uhr 15 neben der sinnvollen Schreibweise 20:15 leider auch 2015 ein und verbreitet sich über die ganze Welt: Die Mitteleuropäische Sommerzeit ist "GMT +0200", und eine Prozedur mist.sh startet man um 3 Uhr 15 mit "at 0315 mist.sh".
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06.01.06
wuerg, 06.01.2006 15:15
Ich will nicht auf das Datum 6. Juni 2006 des Tieres warten, an dem es zu Massenhochzeiten in Swinger-Clubs kommen könnte, sondern seine alternative Zahl 616 zum heutigen Dreikönigsfest nutzen, um mich über Schwachsinnigkeiten und Faulheit bei Datumsangaben zu ereifern.
Wenn man von den Amerikanern und der Sortierreihenfolge einmal absieht, gab es den letzten 70 Jahren des vergangenen Jahrhunderts kaum Schwierigkeiten einer sechsstelligen Ziffernfolge das Datum zu entnehmen. Vom1. Januar 1931 bis zum 31. Dezember 2000 war schon ohne Gliederung zu erkennen, ob das Jahr hinten oder vorne steht, wenn es nicht egal war (310531).
Wer für Trennzeichen nicht zu faul ist, kann sich durch dd.mm.yy, yy-mm-dd oder mm/dd/yy auf die sichere Seite schlagen. Und wer es den Lesern etwas leichter machen will, greift zu dd.mm.ccyy, ccyy-mm-dd oder mm/dd/ccyy. Doch leider gibt es auch Deutsche, die das Datum in der Form (cc)yy.mm.dd oder dd/mm/ccyy schreiben. Erstere haben trotz Internet nicht gemerkt, daß der Punkt vorzugsweise vom Speziellen zum Allgemeinen gliedert(vorname.nachname@server.domain.de), letztere meinen sich dadurch modern zeigen zu müssen, daß sie amerikanischen Schwachsinn falsch übernehmen und mit internationaler Normung verwechseln.
Was haben eigentlich die Leute vor hundert Jahren mit den gleichen Problemen gemacht? Sie verwendeten für die Monate römische Ziffern, wenn sie sich nicht die Zeit nahmen, das Jahr oder gar den Monat auszuschreiben. Das mache ich nun schon seit Jahren wieder. Man gewöhnt sich daran. Es ist menschenfreundlich, im Text für den heutigen Tag 6. Januar 2006 zu schreiben und in Filenamen 2006-01-06 zu verwenden. Für die Uhrzeit gilt das gleiche: Es ist jetzt 14 Uhr 15.
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Wenn man von den Amerikanern und der Sortierreihenfolge einmal absieht, gab es den letzten 70 Jahren des vergangenen Jahrhunderts kaum Schwierigkeiten einer sechsstelligen Ziffernfolge das Datum zu entnehmen. Vom
Wer für Trennzeichen nicht zu faul ist, kann sich durch dd.mm.yy, yy-mm-dd oder mm/dd/yy auf die sichere Seite schlagen. Und wer es den Lesern etwas leichter machen will, greift zu dd.mm.ccyy, ccyy-mm-dd oder mm/dd/ccyy. Doch leider gibt es auch Deutsche, die das Datum in der Form (cc)yy.mm.dd oder dd/mm/ccyy schreiben. Erstere haben trotz Internet nicht gemerkt, daß der Punkt vorzugsweise vom Speziellen zum Allgemeinen gliedert
Was haben eigentlich die Leute vor hundert Jahren mit den gleichen Problemen gemacht? Sie verwendeten für die Monate römische Ziffern, wenn sie sich nicht die Zeit nahmen, das Jahr oder gar den Monat auszuschreiben. Das mache ich nun schon seit Jahren wieder. Man gewöhnt sich daran. Es ist menschenfreundlich, im Text für den heutigen Tag 6. Januar 2006 zu schreiben und in Filenamen 2006-01-06 zu verwenden. Für die Uhrzeit gilt das gleiche: Es ist jetzt 14 Uhr 15.
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