Zahlwort

Wie man die n‑te Qua­dratzahl Qₙ von der Zahl der Punkte einer quadra­tischen Anord­nung von n mal n Punkten ableitet, ergibt sich die n‑te Drei­ecks­zahl Dₙ aus einer eben­solchen drei­eckigen.

Q4=16  1 2 3 4   D4=10   1
       2 2 3 4          2 2
       3 3 3 4         3 3 3
       4 4 4 4        4 4 4 4

Ich schreibe mit Fugen‑S [1], gleichwohl manche geneigt sind, von Dreieck­zahlen oder sogar von einer Dreieck­zahl zu sprechen, weil es ja auch nicht Qua­drats­zahl heiße. Doch beim Fugen‑S gewin­nen neben Üblichkeit nicht faden­scheinige formale Gründe, sondern lautliche.

Ich schreibe auch Dₙ für Dreiecks- und Qₙ für Quadratzahlen, nicht nach amerika­nischer Sitte Tₙ und Sₙ, was sich von trigonal bzw. square ableitet, gleich­wohl ich bei allen Vorbe­halten gegen das amerika­nische Wesen im allge­meinen die in der Mathe­matik üblichen inter­nationalen Bezeich­nungen bevorzuge. [2] Glück­licher­weise sind die Formeln für diese Zahlen so einfach, daß man sie abseits von Erläu­terun­gen zumeist direkt hin­schreibt und so D, Q, T und S vermeidet.

Die Formel für Quadrat­zahlen Qₙ=n⋅n=n² ist einfach. Die n‑te Quadrat­zahl ist die zweite Potenz (Quadrat) des Argu­mentes. Für Dreiecks­zahlen [3] lautet die Formel Dₙ=n(n+1)/2 .Sie ist nicht ganz so einfach zu merken, gleich­wohl es dafür auch Bezeich­nungen wie n+1 über 2 gibt. Doch wenn man die nicht kennt, nütz einem das auch nichts.

Die Anschau­ung führt auf die Defini­tion Dₙ=1+2+…+n. Zwar liegen die Verhält­nisse hier so einfach, daß man auch direkt aus Abbil­dungen wie

o o o o o x   D(5) mal o  
o o o o x x   D(5) mal x
o o o x x x
o o x x x x   5 Zeilen
o x x x x x   6 Spalten

die Beziehung 2⋅Dₙ=n(n+1) und damit Dₙ=n(n+1)/2 ableiten könnte, doch bezieht der Mathe­matiker sich letztlich nicht auf Bilder. Sie sind ihm nur Anre­gung und Hilfe. Dadurch werden Mathe­matiker nicht zu reinen Forma­listen. Sie sind im allge­meinen nur besser in der Lage, Anschau­ung zu formali­sieren, um ihre intui­tiven Ideen abzu­sichern. Heute reicht es nicht mehr, ein Bild zu malen und „siehe“ darunter zu schreiben. Ab der vierten Dimen­sion versagt diese Vor­gehens­weise so und so.

Aus der Definition Dₙ=1+2+…+n die Formel Dₙ=n(n+1)/2 abzu­leiten, ist sehr leicht, wenn man sie schon kennt. Man muß sich ledig­lich davon über­zeugen, daß D₁=1 und Dₙ−Dₙ₋₁=n ist. Oder man sieht die arithme­tische Reihe und erinnert sich an die sechste Klasse: Anzahl der Summanden n mal Mittelwert. Für letzteren reicht die halbe Summe aus erstem und letztem Glied, also (1+n)/2.

Gerne wird erzählt, daß der Lehrer von Gauß [4] die Schüler beschäf­tigen wollte und sie deshalb die Zahlen von 1 bis 100 addie­ren, also D₁₀₀ bilden ließ. Gauß ant­wortete sofort 5050, weil er wie fast jeder Mathe­matiker vorging, der keine Formel für die arith­metische Reihe aus­wendig gelernt hat, sondern sich einfach fragt, wieviele Sum­manden (hier 100) es sind und wie groß der Mittel­wert (hier 50,5) ist. Das Produkt 100⋅50,5=5050 ist offen­sichtlich das Ergebnis.

Zwei der drei meiner Leser werden sich nun fragen, warum das offen­sichtlich sei. Weil die arith­metische Reihe so leicht zu durch­schauen ist, daß keine Formel memo­riert werden muß. Sie wird jedes­mal vom Kleinhirn mühelos abge­leitet oder hoch­gespült. Es mag selbst Bildungs­bürgern, die sich in der Schule vergeb­lich an Formeln mühten, merk­würdig vorkom­men, was Mathe­matiker alles für klar wie Kloßbrühe, folklo­ristisch, evident oder gar trivial halten. Zum Ver­ständnis sollten sie einfach daran denken, daß sie selbst auch kaum Vokabeln lernen mußten, weil ihre Eltern fran­zösisch par­lierten.

[1] Fugen‑S. Kompetenzteam, 01.11.2004.

[2] Bei allem Lobpreis der sowjeti­schen mathe­matischen Literatur zu Zeiten der DDR, muß ich dennoch einge­stehen, daß sie schon wegen der von west­lichen Gepflo­gen­heiten abwei­chenden Dar­stel­lung Schwie­rig­keiten bereitet. Im Original so und so, doch auch in der Über­setzung. Nicht selten sind dann i und j ver­wechselt.

[3] The On-line Encyclopedia of Integer Sequences. A000217.

[4] Ich las einmal DER GAUSZ^SCHE BEWEIS in einer Über­schrift. Auf der Schreib­maschine müßte der Lehrer von Gauß DER GAUSZ­SCHE LEHRER sein. Neuer­dings gibt es auch ein großes Eszett.

Quadratzahlen

Die Pythagoräer hielten das Tetraktys genannte Dreieck aus 10 Punk­ten in der Forma­tion der Bowling‐Pins für heilig.

   O
  O O
 O O O
O O O O

Ein Grund ist natürlich die Basis 10 des Dezimal­systems, das auch die Griechen benutz­ten, wenn auch in einer hol­prigen Darstel­lung mit Buch­staben. Ein anderer Grund wird darin liegen, daß im Gegen­satz zum ameri­kani­schen Bowling­dreieck das deutsche Kegel­viereck

O O O
O O O
O O O

vom gemeinen Volk zu leicht zu durch­schauen ist und nicht als Grund­lage einer Sekte taugt. Neben der Zerlegung 1+2+3+4=10 waren auch die Verhält­nisse 1:2:3:4 wichtig, die Grundlage der Harmonie nach griechi­scher Vorstel­lung. Es sind die Okta­ve (1:2), die Quinte (2:3) und die Quarte (3:4). Die dann folgende Terz (4:5) mit einem weiteren Prim­faktor 5 hat schon gestört, sonst hätte Pytha­goras mög­licher­weise ein größe­res Dreieck mit 15 Punk­ten in der Form der roten Snooker‐Kugeln gewählt.

Das nächste in den Kram passende Intervall ist der große Ganz­ton (8:9), der auch als „Diffe­renz“ zwischen Quinte und Quarte erkannt und Epog­doon genannt wurde. In reli­giöser Über­höhung wurden den Viel­fachen von 8 die um ein Achtel größeren Epogdoon‐Partner zuge­ordnet. Zur 8 gehört die direkt auf sie fol­gende 9, zwischen der 16 und der 18 aber liegt die 17, die als Barriere dem Pytha­goras verhaßt war.

Immer wieder sind auch große Geister von reli­giöser Verblen­dung getrof­fen worden. Wie sehr hätte Pytha­goras die 17 verehrt, wenn er um die Kon­struier­barkeit des 17‑Ecks gewußt hätte? Obwohl er grundlos von dieser Zahl nichts hielt, hätte er zumin­dest seine Freude an der Snooker‐Welt­meister­schaft der letzten Wochen haben können. Nicht nur wegen der 1+2+3+4+5=15 roten Kugeln, sondern auch wegen des Ergeb­nisses: Shaun Murphy schlug Matthew Stevens mit 18:16.

17 | Quinte

Ich habe mir ein weiteres ein Buch gekauft, nämlich „Die Mathematik und das Göttliche“ von Clif­ford A. Pickover. Darin geht es um die Beziehung von Reli­gion und Mathe­matik in Geschichte und Gegen­wart. Ich nehme an, der Autor teilt mit mir die Auf­fassung, daß es sich vorwiegend um Verbin­dungen zwischen Spinti­siererei und Zahlen­akro­batik handelt. Auch wenn man die sich durch das Buch ziehenden Erzählungen eines Zeit­rei­senden, seines Gehilfen und der Frau des Pytha­goras einmal wegläßt, bleiben doch einige Infor­mati­onen über die Vor­stel­lungs­welten von Sekten und ihren Zahlen, von der beschei­denen 10 des Pytha­goras bis zur anma­ßenden 5.342.482.337.666 der Urantia‐Bewegung.

Nicht alles, was uns symme­trisch oder polar erscheint, ist es auch. Dazu gehö­ren wahr und falsch, posi­tiv und nega­tiv und vor allem männ­lich und weib­lich. So kann man nicht syste­matisch beide Seiten vertau­schen, um aus einer Wahr­heit über die eine Seite die komple­men­täre für die andere zu gewin­nen. Mit einer gewis­sen Vor­sicht aber geht es schon. Mein heu­tiges Stu­dium der Bild-​Zeitung mit den 50 schön­sten Deut­schen hat mich wieder darauf gebracht:

In den letzten Jahren scheint sich das Verhal­ten der Ge­schlech­ter mehr und mehr anzu­glei­chen, und die Vermu­tung liegt nahe, daß die dahin­ter lie­gen­den Motive schon immer ähn­lich waren, nur ver­schie­den dar­gestellt und gese­hen wur­den. Wenn dem so ist, darf ich anneh­men, daß die Männer aus der Liste der schön­sten Deut­schen auf Frauen eine eben­solche Wirkung haben wie umge­kehrt die schön­sten deut­schen Frauen auf die Männer. Und dieser Sym­metrie­argu­menta­tion weiter fol­gend muß ich anneh­men, daß die deut­schen Frauen über die Bevor­zugun­gen der deut­schen Männer ebenso ent­setzt sind wie die Männer über die der Frauen.

Wenn ich zusätzlich annehme, daß Männer ihre schön­sten Ge­schlechts­genos­sen, die als Promi­nente sicher­lich ihre Quali­täten haben, vom Aus­sehen und Ver­hal­ten großen­teils für debil und schmie­rig halten, dann möchte ich nicht wissen, was Frauen über die schön­sten ihres Ge­schlech­tes den­ken. Und darin liegt eine gewisse Span­nung, wenn auch eine ge­schlech­ter­sym­metri­sche. Der Haß der Männer auf Latri­nos und der der Frauen auf Luder wird durch die Anglei­chung ungezü­gelten Verhal­tens von Frauen und Männer wahr­schein­lich zunehmen.

2 | Trigender | Zahlgeschlecht

Abgesehen von den Prim­zahlen erscheinen mir die Quadrat­zah­len [1] als die wich­tigsten. Denn wenn man eine andere Zahlenreihe hat, deren Vertreter ich einmal Ander­zahlen nennen möchte, dann fragt man sich allen­falls, welche von diesen Ander­zahlen auch Quadrat­zahlen sind, und nicht umge­kehrt, welche Quadrat­zahl eine Ander­zahl ist. Der Unter­schied liegt also nicht im Ergebnis, sondern in der Denk­weise. Doch damit genug der Vorrede und Ent­schul­digung, daß eine schlichte Zahlen­folge wie die der Quadrat­zahlen über­haupt erwähnt wird. Sie ist sogar so simpel und allge­mein bekannt, daß ich von ihr sprechen kann, bevor ich sie über­haupt defi­niert habe. Formal ist die n‑te Qua­drat­zahl einfach Qₙ=n·n. Anschau­lich ist das die Zahl der Punkte in quadra­tischer Anord­nung mit n Punkten in jeder Zeile und jeder Spalte oder die Fläche eines Qua­drates mit Kanten­länge n.

Die Differenz zweier aufeinander­folgender Quadrat­zahlen ist Qₙ−Qₙ₋₁=2n−1. Daraus folgt direkt, daß die Summe der ersten n unge­raden Zahlen Qₙ, also die n‑te Quadrat­zahl ist. Veran­schau­licht sieht zum Beispiel 1+3+5+7=16 wie folgt aus:

1 3 5 7
3 3 5 7
5 5 5 7
7 7 7 7

Zu den Primzahlen scheint auf den ersten Blick keine Beziehung zu bestehen, es gibt natür­lich auch keine prime Quadratzahl, weil von n=1 abgesehen jede Quadrat­zahl Qₙ minde­stens 3 Teiler hat, nämlich 1, n und sich selbst. Trotzdem sind die Bezie­hungen uner­schöpf­lich und machen einen bedeu­tenden Teil der Zahlen­theorie aus. Divi­diert man die Quadrat­zahlen durch eine ungerade Prim­zahl p>2, so treten genau (p+1)/2 der p möglichen Reste auf. Im Fall p=7 sieht das wie folgt aus:

Qn     1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   2   2   4   1   0   1   4   2   2 ...

Die Abfolge 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0 wiederholt sich wieder und wieder. Nicht so einfach ist es mit zusam­menge­setzten Zahlen. Der Mensch inter­essiert sich besonders für die Reste bei der Divi­sion durch q=10, also für die Einer­stelle der Quadrat­zahlen. Vier von zehn treten nicht auf. Es gibt deshalb keine auf 2, 3, 7 oder 8 endenden Quadrat­zahlen. Besonders schön ist es für q=8:

Qn     1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   1   0   1   4   1   0   1   4   1 ...

Die Quadrate der ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 alle den Rest 1. Und weil selbst­verständ­lich eine Quadratzahl genau dann unge­rade ist, wenn sie Quadrat einer unge­raden Zahl ist, heißt dies schöner ausge­drückt: Ungerade Quadrat­zahlen sind von der Form 8m+1. Eine Veran­schau­lichung für 49=8·6+1:

3 3 3 2 2 1 1
3 3 3 2 2 1 1
4 4 4 2 2 1 1
4 4 4   8 8 8
5 5 6 6 8 8 8
5 5 6 6 7 7 7
5 5 6 6 7 7 7

Das Loch in der Mitte steht für den Rest 1. Die Zahlen 1 bis 8 kommen jeweils m=6 mal vor. Doch Vorsicht mit anschaulichen Beweisen. [2] Dieser hier geht nur für n=3,7,11,15…, für die übrigen unge­raden Zahlen muß man ihn etwas abwan­deln oder allge­meiner gestalten:

4 4 3 3 2 2 2 2 2   B B B B A A A A A   3 3 3 3 2 2 2 2 1
4 4 3 3 2 2 2 2 2   B B B B A A A A A   4 3 3 3 2 2 2 1 1
4 4 3 3 1 1 1 1 1   B B B B A A A A A   4 4 3 3 2 2 1 1 1
4 4 3 3 1 1 1 1 1   B B B B A A A A A   4 4 4 3 2 1 1 1 1
4 4 3 3   7 7 8 8   B B B B   D D D D   4 4 4 4   8 8 8 8
5 5 5 5 5 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 5 5 5 6 7 8 8 8
5 5 5 5 5 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 5 5 6 6 7 7 8 8
6 6 6 6 6 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 5 6 6 6 7 7 7 8
6 6 6 6 6 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 6 6 6 6 7 7 7 7

Für n=5,9,13,17,… kann man die um den Mittel­punkt angeord­neten vier Recht­ecke (12, 34, 56 und 78) längs statt quer teilen. Das ist im linken Quadrat für n=9 darge­stellt. Zusammen­fassen kann man beide Fälle wie im mittleren Quadrat. Hier sind nur die vier Rechtecke A bis D gekenn­zeichnet. Dieses Bild gilt zwar für alle ungeraden n, doch ‚beweist‘ es nur, daß jede ungerade Quadrat­zahl von der Form 4k+1 ist. Erst das Zusatz­wissen darüber, daß die Kanten aller vier gleich­großen Rechtecke sich stets um 1 unter­scheiden und sie deshalb einen geraden Flächen­inhalt k=2m haben, führt zum Ergebnis 8m+1.

Das rechte Teilbild veranschau­licht, wie man die vier Rechtecke A bis D in jeweils zwei gleiche Dreiecke 1 bis 8 teilen kann. Darin ist zu ‚sehen‘, was man leicht nach­rechnen kann: Q₂ₙ₊₁=8m+1, worin m=Dₙ die n‑te Drei­ecks­zahl ist.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000290.

[2] Bilder, Animationen, Modelle, Maschinen und andere Hilfsmittel können aber den richtigen Weg weisen und einen Sachverhalt interessant machen.

Dreieckszahlen

Es gibt deutlich einfachere Zahlen als die primen, doch sind sie von funda­mentaler Bedeutung und gewiß würdig vor den Quadraten betrach­tet zu werden, gleich­wohl dies in keiner Weise auch nur annä­hernd erschöp­fend möglich ist, zumal es über sie viele Bücher gibt und sich ein ganzer Zweig der Mathe­matik, nämlich die Zahlen­theorie, großen­teils und gerne mit Prim­zahlen beschäf­tigt.

Eine natürliche Zahl n=1,2,3,… heißt prim, wenn die Anzahl ihrer Teiler d(n)=2 ist. [1] Dabei heißt eine natür­liche Zahl a Teiler von n, wenn es eine natür­liche Zahl b mit ab=n gibt. Die beiden Teiler einer Primzahl n sind natür­lich 1 und n selbst. Damit ist auch klar, daß 1 keine Primzahl ist, weil sie nur einen einzigen Teiler hat, also d(1)=1 ist. Alle Nicht‐Prim­zahlen außer 1 heißen zusammen­gesetzt. Für sie ist d(n)>2, womit sie einen echten Teiler a haben. Das ist einer mit 1<a<n.

Die Definition sondert aus der Menge ℕ der natür­lichen Zahlen die Teil­menge ℙ der Prim­zahlen aus. Die Primzahl­folge [2] ergibt sich in kano­nischer Weise durch die Anord­nung der Prim­zahlen nach ihrer Größe. Dies führt zu einer mit Posi­tion 1 begin­nenden Numerie­rung der Prim­zahlen. Die erste ist p₁=2, die zweite p₂=3, die dritte p₃=5 usw. Ein kurzes Anfangs­stück der gerne bis zum Qualmen der CPU berech­neten Prim­zahlen lautet:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 …

Das alles mag einem einfach und selbst­verständ­lich erscheinen, doch selbst mit den Prim­zahlen verbun­dene simple Fragen können schon sehr schwer zu beant­worten sein. Das wohl berühm­teste Beispiel ist die Goldbach‐Vermutung, daß sich jede gerade Zahl größer als 4 als Summe zweier (ungerader) Prim­zahlen schreiben läßt:

 6 = 3 + 3   14 = 3 + 11   22 = 3 + 19   30 = 7 + 23   38 = 7 + 31
 8 = 3 + 5   16 = 3 + 13   24 = 5 + 19   32 = 3 + 29   40 = 3 + 37
10 = 3 + 7   18 = 5 + 13   26 = 3 + 23   34 = 3 + 31   42 = 5 + 37
12 = 5 + 7   20 = 3 + 17   28 = 5 + 23   36 = 5 + 31   usw.

Bis heute ist diese Behauptung unbewiesen und auch nicht widerlegt, obwohl sie sehr plau­sibel erscheint, weil man zumeist wie hier bis zur Zahl 42 mit recht kleinen Summanden hinkommt. Deshalb möge der geneigte Leser die 98 versuchen, um zu erahnen, daß es bei sehr großen Zahlen doch recht unan­genehm werden könnte.

[1] Das ist im Bereich der natürlichen Zahlen äqui­valent zu einer in weiteren Bereichen gültigen Defini­tion: p ist prim, wenn sie weder 0 noch eine Einheit ist und für alle durch p teil­baren Pro­dukte ab bereits einer der Faktoren durch p geteilt wird, wenn man p also nicht auf mehrere Faktoren ver­teilen kann. Da 1 eine Einheit in den natür­lichen Zahlen ist, scheidet sie als Primzahl aus. Man kann also nicht d(n)=2 durch d(n)≤2 ersetzen.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Primzahlen A000040, nicht zusammen­gesetzt A008578.

Sieb des Eratosthenes

Die Medien und die Welt scheinen mehr­heit­lich den neuen Papst für den 265. zu halten. Das entspricht nicht der in den letzten Tagen so verbrei­teten Ausle­gung der Prophe­zeiung des Mala­chias, die den jetzigen Papst als den 266. ausweist, der zugleich der letzte in der angeblich 111  Posi­tionen auf­weisen­den Liste des Mala­chias sei. Oder gibt es da gar keine Diffe­renz, weil der 266. Papst der 265. Nachfolger Petri ist? [1]

Ich kann nicht beurteilen, was Mala­chias wirk­lich meinte. Es ist nur so, daß sich die Gemeinde des Mala­chias wohl darauf fest­gelegt hat, daß seine Liste mit dem 166. Papst beginnt und 111 Posi­tionen lang ist. Nun entsteht das Problem, ob man rich­tiger­weise 10 oder gar 11 Päpste mehr als derzeit von der katho­lischen Kirche aner­kannt zuge­ordnet hat, also nicht der 276. Papst der letzte ist, sondern schon der 266. oder gar der 265.

Mit den Zahlen nehmen es die meisten so und so nicht so genau. Die Welt schreibt: „Nur zwei Päpste wurden in den letzten 2000 Jahren 'groß' genannt: Leo I. (440–461) und Gregor I. (590–604). Der dritte wird Johannes Paul II. sein (1978–2005), der 266. Nach­folger Petri.“ Dann wäre Bene­dikt XVI schon der 268. Papst. Oder ist das nur schlecht abge­schrie­ben, gezählt, addiert und gedacht?

Abseits dieser Numerie­rungen kann man aber sagen, daß die horoskop­artigen Verbin­dungen der Lebens­daten auf die von Mala­chias vorgege­benen Mottos so kurz vor dem Ende der Papst­reihe keine glaub­würdige Umnume­rierung mehr ver­tragen. Die Fes­tlegung ist getroffen, nicht von Mala­chias, sondern von seinen Inter­preten. Und deshalb wird es einen wie auch immer nume­rierten Papst nach Bene­dikt XVI geben. Die meisten Blogger werden es erleben.

Einzig die Tatsache, daß der neue Papst ein Deutscher ist (Bild: WIR SIND PAPST!) hat mich etwas ins Wanken gebracht und mich kurz glauben lassen, es könne doch der letzte werden. Und so bin ich wirk­lich froh, daß er bereits gestern und nicht erst am heu­tigen 20. April gewählt wurde.

[1] 21.04.2025: Jeder mag seine eigenen Vorstel­lungen nach ausge­fallenen Listen, Kalen­dern oder Maßeinheiten leben. Ein Standard ist dennoch oder gerade deshalb von Vorteil, da bei Umrech­nungen erst in diesen Stan­dard gewan­delt werden kann, um sodann aus diesem die alter­native Darstel­lung zu gewinnen. Für Längen ist es der Meter, für Kalender das julia­nische Datum und für Päpste die Auffas­sung des Vati­kan, die hoffent­lich mit der Nume­rie­rung der Wiki­pedia über­ein­stimmt. Dem­nach war Bene­dikt XVI der 265. Papst (n=265), und damit der 264. Nachfolger Petri, da dieser die Nummer n=1 hat. Für die Positionen m der Liste des Malachias scheint unge­achtet dessen, daß sie mit Coele­stin II beginnt (n=165, m=1) gegen­wärtig die Beziehung m=n−154 zu gelten. Es fehlen also 10 Posi­tionen.