Quadratzahlen
Abgesehen von den Primzahlen erscheinen mir die Quadratzahlen [1] als die wichtigsten. Denn wenn man eine andere Zahlenreihe hat, deren Vertreter ich einmal Anderzahlen nennen möchte, dann fragt man sich allenfalls, welche von diesen Anderzahlen auch Quadratzahlen sind, und nicht umgekehrt, welche Quadratzahl eine Anderzahl ist. Der Unterschied liegt also nicht im Ergebnis, sondern in der Denkweise. Doch damit genug der Vorrede und Entschuldigung, daß eine schlichte Zahlenfolge wie die der Quadratzahlen überhaupt erwähnt wird. Sie ist sogar so simpel und allgemein bekannt, daß ich von ihr sprechen kann, bevor ich sie überhaupt definiert habe. Formal ist die n-te Quadratzahl einfach Q(n)=n*n. Anschaulich ist das die Zahl der Punkte in quadratischer Anordnung mit n Punkten in jeder Zeile und jeder Spalte oder die Fläche eines Quadrates mit Kantenlänge n.

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist Q(n)-Q(n-1)=2n-1. Daraus folgt direkt, daß die Summe der ersten n ungeraden Zahlen Q(n), also die n-te Quadratzahl ist. Veranschaulicht sieht zum Beispiel 1+3+5+7=16 wie folgt aus:
1 3 5 7
3 3 5 7
5 5 5 7
7 7 7 7
Zu den Primzahlen scheint auf den ersten Blick keine Beziehung zu bestehen, es gibt natürlich auch keine prime Quadratzahl, weil von 1 abgesehen jede Quadratzahl Q(n)mindestens 3 Teiler hat, nämlich 1, n und sich selbst. Trotzdem sind die Beziehungen unerschöplich und machen einen großen Teil der Zahlentheorie aus. Dividiert man die Quadratzahlen durch eine ungerade Primzahl p>2, so treten genau (p+1)/2 der p möglichen Reste auf. Im Fall p=7 sieht das wie folgt aus:
Q(n)   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   2   2   4   1   0   1   4   2   2 ...
Die symmetrische Folge 2,4,1,0,1,4,2 wiederholt sich wieder und wieder. Nicht so einfach ist es mit zusammengesetzten Zahlen. Der Mensch interessiert sich besonders für die Reste bei der Division durch q=10, also für die Einerstelle der Quadratzahlen. Vier von zehn treten nicht auf. Es gibt deshalb keine auf 2, 3, 7 oder 8 endenden Quadratzahlen. Besonders schön ist es für q=8
Q(n)   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   1   0   1   4   1   0   1   4   1 ...
Die Quadrate der ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 alle den Rest 1. Und weil selbstverständlich eine Quadratzahl genau dann ungerade ist, wenn sie Quadrat einer ungeraden Zahl ist, heißt dies schöner ausgedrückt: Ungerade Quadratzahlen sind von der Form 8m+1. Ein anschaulicher Beweis für 49=8·6+1:
3 3 3 2 2 1 1
3 3 3 2 2 1 1
4 4 4 2 2 1 1
4 4 4   8 8 8
5 5 6 6 8 8 8
5 5 6 6 7 7 7
5 5 6 6 7 7 7
Die Loch in der Mitte steht für den Rest 1. Die Zahlen 1 bis 8 kommen jeweils m=6 mal vor. Doch Vorsicht mit anschaulichen Beweisen. Dieser hier geht nur für n=3,7,11,15..., für die übrigen ungeraden Zahlen muß man ihn etwas abwandeln.

[1] Sloane, "Encyclopedia of Integer Sequences", A000290

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Als anschaulichen Beweis dafür, daß jede ungerade Quadratzahl von der Form 8m+1 ist, hatte ich das linke Quadrat der nachstehenden Abbildung
3 3 3 2 2 1 1   4 4 3 3 2 2 2 2 2   B B B B A A A A A
3 3 3 2 2 1 1   4 4 3 3 2 2 2 2 2   B B B B A A A A A
4 4 4 2 2 1 1   4 4 3 3 1 1 1 1 1   B B B B A A A A A
4 4 4   8 8 8   4 4 3 3 1 1 1 1 1   B B B B A A A A A
5 5 6 6 8 8 8   4 4 3 3   7 7 8 8   B B B B   D D D D
5 5 6 6 7 7 7   5 5 5 5 5 7 7 8 8   C C C C C D D D D
5 5 6 6 7 7 7   5 5 5 5 5 7 7 8 8   C C C C C D D D D
                6 6 6 6 6 7 7 8 8   C C C C C D D D D
                6 6 6 6 6 7 7 8 8   C C C C C D D D D
angegeben und darauf hingewiesen, daß dieses Bild nur für n=3,7,11,15,... taugt. Damit wollte ich vor anschaulichen Beweisen warnen. Sie sind nur Illustrationen.

Für n=5,9,13,17,... kann man die um den Mittelpunkt angeordneten vier Rechtecke (12, 34, 56 und 78) längs statt quer teilen. Das ist im mittleren Quadrat für n=9 dargestellt. Zusammenfassen kann man beide Fälle wie im dritten Quadrat dargestellt. Hier sind nur vier Rechtecke gekennzeichnet. Damit gilt das Bild zwar für alle ungeraden n, "beweist" aber nur, daß jede ungerade Quadratzahl von der Form 4k+1 ist. Erst das Zusatzwissen darüber, daß die Kanten aller vier gleichgroßen Rechtecke sich stets um 1 unterscheiden und sie deshalb einen geraden Flächeninhalt k=2m haben, führt zum Ergebnis 8m+1.

Statt wechselweise die Rechtecke A, B, C und D längs und quer zu durchschneiden, kann man es auch in allen Fällen diagonal tun.
3 3 3 2 2 2 1   3 3 3 3 2 2 2 2 1
4 3 3 2 2 1 1   4 3 3 3 2 2 2 1 1
4 4 3 2 1 1 1   4 4 3 3 2 2 1 1 1
4 4 4   8 8 8   4 4 4 3 2 1 1 1 1
5 5 5 6 7 8 8   4 4 4 4   8 8 8 8
5 5 6 6 7 7 8   5 5 5 5 6 7 8 8 8
5 6 6 6 7 7 7   5 5 5 6 6 7 7 8 8
                5 5 6 6 6 7 7 7 8
                5 6 6 6 6 7 7 7 7
Wer in einem solchen Bild einen Beweis "sieht", der muß vorher etwas "wissen". Wer etwas mehr weiß, sieht auch mehr, nämlich 8 gleiche Dreiecke. Und dann weiß er nicht nur, daß jede ungerade Quadratzahl die Form 8m+1 hat, sondern auch, daß m die n-te Dreieckszahl D(n) ist [1]. Es gilt also Q(2n+1)=8D(n)+1. Das kann man leicht nachrechnen, was die Korrektheit des Bildes belegt, nicht umgekehrt.

[1] Dreieckszahlen

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Auch ich bin der Versuchung erlegen, einen regelmäßigen Blick in die Referrer-Liste zu werfen, und sehe die Suchanfrage "Beweis, dass die Summe zweier ungerader Quadratzahlen ist keine Quadratzahl". Mit den Anführungsstrichen wäre ich nicht gefunden, doch ohne komme ich auf den ersten Platz, weil alle Reizwörter irgendwo vorkommen, obgleich die Frage nach dem Beweis bisher nicht beantwortet wurde.

Wie lang und breit dargelegt, sind alle ungeraden Quadratzahlen von der Form 8m+1, sie lassen bei der Division durch 8 also den Rest 1. Die Summe zweier ungerader Quadratzahlen muß deshalb bei der Division durch 8 den Rest 1+1=2 lassen, was bei keiner einzigen Quadratzahl der Fall ist. Nur Reste 0, 1 und 4 sind möglich. Deshalb kann die Summe zweier ungerader Quadratzahlen keine Quadratzahl sein. Zur Verdeutlichung ein Beispiel
1. Summand:  5-Quadrat = 25 -  25 : 8 = 3 Rest 1
2. Summand:  7-Quadrat = 49 -  49 : 8 = 6 Rest 1
Die Summe der beiden ist 74 -  74 : 8 = 9 Rest 2
Rest 2 ist aber bei Quadratzahlen nicht möglich!
Das bringt mich auf Überlegungen, die ich so und so aufschreiben wollte: Quadratzahlen lassen bei Division durch 8 nur die Reste 0, 1 und 4. Damit sind für die Summe zweier Quadratzahlen nur die Reste 0, 1, 2, 4 und 5 möglich. Für die Summe dreier Quadratzahlen bleibt die 7 als einzig nicht erzielbarer Rest. Damit sind mindestens vier Quadratzahlen zu addieren, um eine Zahl vom Typ 8m+7 oder 8m-1 zu bilden. Die ersten sind:
 7 = 4 + 1 + 1 + 1
15 = 9 + 4 + 1 + 1
23 = 9 + 9 + 4 + 1
31 = 9 + 9 + 9 + 4 = 25 + 4 + 1 + 1
Damit beginnt ein weites Feld von Fragestellungen. Reichen vier Quadrate für alle Zahlen aus? Gibt es außer 8m-1 noch weitere Zahlen, für die ich vier Summanden benötige? Welche Zahlen sind mit drei oder zwei Quadraten darstellbar? Welche Zahlen haben mehrfache Darstellungen? Wieviele Darstellungen hat eine vorgegebene Zahl? Wie ändert sich die Anzahl, wenn ich die 0 als Summand zulasse? Wie finde ich zu einer vorgegebenen und möglicherweise sehr großen Zahl eine Zerlegung? Ist ein Computer dabei von Nutzen? Diese Fragen werden in der nächsten Folge von "Gute Zahlen, schlechte Zahlen" vielleicht beantwortet. Bleiben sie dran!

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Wahrscheinlich sind es Schüler, die immer wieder über Google mit den gleichen Fragen zu meinem hiesigen Beitrag über Quadratzahlen gelangen. Zwar bin ich bereits auf sie eingegangen, weiß jedoch um den Wunsch vieler nach einer kurzen und schnellen Antwort, die man dem Lehrer hinwerfen kann. Das will ich ausnahmsweise einmal unterstützen.

1. Frage: Warum lassen alle ungeraden Quadratzahlen bei Division durch 8 den Rest 1? Ungerade Quadratzahlen sind die Quadrate der ungeraden Zahlen 4n±1. Nach der binomischen Formel ist
(4n±1)2 = 16n2 ± 8n + 1
Die beiden ersten Summanden sind offensichtlich durch 8 teilbar. Bei einer Division durch 8 muß also der dritte Summand übrig bleiben. Und das ist die 1.

2. Frage: Warum ist die Summe zweier ungerader Quadratzahlen keine Quadratzahl? Bei Divison durch 4 lassen gerade Quadratzahlen den Rest 0 und ungerade den Rest 1. Die Reste 2 und 3 kommen nicht vor. Die Summe zweier ungerader Quadratzahlen läßt aber den Rest 2=1+1, kann also keine Quadratzahl sein.

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Vor ein paar Tagen fand ich erneut eine Quadratzahl-Aufgabe unter meinen Suchanfragen, die ich kurz beantworten will, damit geplagte Schüler mit Google auch einmal eine richtige Antwort finden:

3. Frage: Warum ist die Summe von 5 aufeinanderfolgenden Quadratzahlen keine Quadratzahl? Die Summe der Quadrate von n-2,n-1,n,n+1,n+2 berechnet sich zu:
(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2 = 5(n2+2)
Wäre das eine Quadratzahl, müßte n2+2 durch 5 teilbar sein. Das ist aber unmöglich, weil keine Quadratzahl bei Division durch 5 den Rest 3 läßt.

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Man könnte leicht dem Irrglauben verfallen, dies gelte nicht nur für 5, sondern für alle Primzahlen p=2m+1=6k±1, denn
(n-m)2+...+n+...+(n+m)2=p(n2+k(3k±1))
Zwar muß n2+k(3k±1) im Falle einer Quadratzahl durch p teilbar sein, doch kann man mit dem Rest r=k(3k±1) auch Pech haben: Für p=11 ist r=10, und es gibt durchaus Quadratzahlen mit Rest p-r=1 bei Division durch p=11. Tatsächlich findet man
(-4)2 + (-3)2 + ... +  52 +  62 =  112
  182 +   192 + ... + 272 + 282 =  772
  382 +   392 + ... + 472 + 482 = 1432
Für p=1,2,11,23,24,26,33,47,49,50,... Summanden ist es möglich, eine Quadratzahl zu bilden. Die kleinsten Summen lauten:
                   32 +  42 =   52  (2)
                  202 + 212 =  292  (2)
 12 +  22 + ... + 232 + 242 =  702  (24)
182 + 192 + ... + 272 + 282 =  772  (11)
 72 +  82 + ... + 282 + 292 =  922  (23)
 92 + 102 + ... + 312 + 322 = 1062  (24)
172 + 182 + ... + 382 + 392 = 1382  (23)
 72 +  82 + ... + 382 + 392 = 1432  (33)
382 + 392 + ... + 472 + 482 = 1432  (11)
Zwar ist die Eigenschaft einer Quadratzahl, Summe von zwei oder mehr aufeinander folgenden Quadratzahlen zu sein, nicht sehr verbreitet, dennoch hat bereits das Quadrat zu 143 zwei Zerlegungen. Sehr bemerkenswert ist auch das Quadrat von 70 als Summe der ersten 24 Quadratzahlen. Und das ist auch die einzige nicht triviale Möglichkeit.

[1] Sloane, "Encyclopedia of Integer Sequences", A001032, A007475, A076215, A097812

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Quadratzahlen haben gerade Saison, wahrscheinlich immer zwischen den Sommer- und den Herbstferien. Danach sind wieder Teibarkeitsregeln dran. Diesen Eindruck habe ich, wenn ich meine bescheidenen Klickzahlen zu diesen beiden Paradegebieten der Schulmathematik betrachte. Unabhängig davon wunderte mich zunächst, warum immer wieder nach "gerade quadratzahlen" gesucht wird. Das sind bekanntlich die Quadrate 4,16,36,64,100,... gerader Zahlen. Noch stärker als "was sind gerade quadratzahlen" ist die Frage "gibt es ungerade Quadratzahlen". Ja, auch die gibt es. Es sind die Quadrate 1,9,25,49,81,... ungerader Zahlen. Manchmal blitzt in "beweis summe quadratzahlen" oder gar "summe quadrate ungerader zahlen" auf, welche Not hinter diesen Anfragen stecken mag: Zur Addition von Zahlen lernten wird alle für das Leben:
 gerade  +  gerade  =  gerade     gerade  *  gerade  =  gerade
ungerade +  gerade  = ungerade   ungerade *  gerade  =  gerade
 gerade  + ungerade = ungerade    gerade  * ungerade =  gerade
ungerade + ungerade =  gerade    ungerade * ungerade = ungerade
Das gilt für Quadratzahlen genauso. Aber es irritiert wohl immer wieder, daß der Fall unten links (u+u=g) gar nicht vorkommt. Die Summe zweier ungerader Quadratzahlen ist nie eine Quadratzahl. Der Grund ist simpel. Ich darf ihn wiederholen: Ungerade Quadratzahlen lassen bei Division durch 4 den Rest 1, die Summe zweier ungerader Quadratzahlen hat deshalb den Rest 2, eine gerade Quadratzahl aber immer den Rest 0.

Da der Fall links oben (g+g=g) auch nicht besonders interessant ist, weil man die Summe und jeden der beiden Summanden solange durch 4 teilen kann bis einer ungerade wird, und die mittleren beiden Fälle (u+g=g+u=u) wegen der Kommutativität eigentlich nur einer sind, kann die Suche nach pythagoräischen Tripeln (x,y,z), also drei natürlichen Zahlen x, y und z mit
x2 + y2 = z2
eingeschränkt werden auf teilerfremde Zahlen, von denen genau eine gerade ist, nämlich x. In diesem Falle sind z±y nicht nur gerade, sondern auch das Doppelte einer Quadratzahl a bzw. b. Ein Beispiel:
52+122=132, x=5, y=12, z=13, z+y=2*32, z-y=2*22, a=3, b=2
Natürlich lassen sich umgekehrt aus a und b auch z und y und damit x bestimmen:
x=2ab, y=a2-b2, z=a2+b2
Auf diese Weise erhält man einen vollständigen Überblick über alle pythaoräischen Tripel (x,y,z), indem einfach alle teilerfremdem Zahlen a>b>0 ungerader Summe betrachtet werden [1]:
a b  a2 b2 x  y  z   Grundlösung    mal 2 (4)   mal 3 (9)
---------------------------------------------------------
2 1  4  1  4  3  5   16+   9=  25  64+ 36= 100 144+81=225
3 2  9  4 12  5 13  144+  25= 169 576+100= 676 ..........
4 1 16  1  8 15 17   64+ 225= 289 256+900=1156
4 3 16  9 24  7 25  576+  49= 625 ............
5 2 25  4 20 21 29  400+ 441= 841
5 4 25 16 40  9 41 1600+  81=1681
6 1 36  1 12 35 37  144+1225=1369
6 5 36 25 60 11 61 3600+ 121=3721
7 2 49  4 28 45 53  784+2025=2809  
7 4 49 16 56 33 65 3136+1089=4225
7 6 49 36 84 13 85 7056+ 169=7225
8 1 64  1 16 63 65  256+3969=4225
8 3 64  9 48 55 73 2304+3025=5329
8 5 64 25 80 39 89 6400+1521=7921
Jeder findet seine Lieblingszahl in irgendeinem Tripel [2], sofern sie natürlich ist und nicht gerade 1 oder 2 lautet.

[1] Sloane, "Encyclopedia of Integer Sequences", A094194
[2] Tripel-Generator zu Zahlen bis 1100

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