Epogdoon
Die Pythagoräer haben das Tetraktys genannte Dreieck aus 10 Punkten in der Formation der Bowling-Pins für heilig gehalten.
   O
  O O
 O O O
O O O O
Ein Grund ist natürlich die Gesamtzahl 10, der Basis des Dezimalsystems, das auch die Griechen benutzten, wenn auch in einer holprigen Darstellung mit Buchstaben. Ein anderer Grund wird darin liegen, daß im Gegensatz zum amerikanischen Bowling das deutsche Kegeln
O O O
O O O
O O O
vom gemeinen Volk zu leicht zu durchschauen ist und nicht als Grundlage einer Sekte taugt. Neben der Zerlegung 1+2+3+4=10 waren auch die Verhältnisse 1:2:3:4 wichtig, die Grundlage der Harmonie nach griechischer Vorstellung. Es sind die Oktave (1:2), die Quinte (2:3) und die Quarte (3:4). Die dann folgende Terz (4:5) mit einem weiteren Primfaktor 5 hat schon gestört, sonst hätte Pythagoras möglicherweise ein größeres Dreieck mit 15 Punkten in der Form der roten Snooker-Kugeln gebildet.

Das nächste in den Kram passende Intervall ist der große Ganzton (8:9), der auch als "Differenz" zwischen Quinte und Quarte erkannt und Epogdoon genannt wurde. In religiöser Überhöhung wurden den Vielfachen von 8 die um ein achtel größeren Epogdoon-Partner zugeordnet. Zur 8 gehört die direkt auf sie folgende 9, zwischen der 16 und der 18 aber liegt die 17, die als Barriere dem Pythagoras verhaßt war.

Immer wieder sind auch große Mathematiker von religiöser Verblendung getroffen worden. Wie sehr hätte Pythagoras die 17 verehrt, wenn er um die Konstruierbarkeit des 17-Ecks gewußt hätte? Da er aber nun einmal grundlos von dieser Zahl nichts hielt, hätte er zumindest seine Freude an der Snooker-Weltmeisterschaft der letzten Wochen gehabt. Nicht nur wegen der 15=1+2+3+4+5 roten Kugeln, sondern auch wegen des Ergebnisses: Shaun Murphy schlug Matthew Stevens mit 18:16.

17 | Quinte

... comment

 
Eine schöne und leicht zu beantwortende Frage ist, welche Rechtecke in Fläche und Umfang gleich sind, wenn nur ganzzahlige Kantenlängen zugelassen sind. Sind diese a und b, dann ist a*b die Fläche und 2(a+b) der Umfang. Wann also ist ab=2(a+b)? Offensichlich muß a ein Teiler von 2b sein, ebenso b ein Teiler von 2a. Damit ergeben sich drei Fälle:

Im ersten Fall ist a=2b. Dann folgt aus (2b)b=2(2b+b) sofort 2b=6, also b=3 und a=6. Im zweiten Fall ist umgekehrt b=2a. Dann folgt analog a=3 und b=6. Im dritten Fall soll der Rest versammelt sein. Da a nicht gleich 2b, aber Teiler davon ist, kann a nicht größer als b sein. Analog ist b nicht größer als a. Damit gilt a=b, und aus a*a=2(a+a) folgt sofort a=4 und b=4.
16=4*4=  o o o o    18=3*6=  o o o o o o
4+4+4+4  o o o o    3+6+3+6  o o o o o o
         o o o o             o o o o o o
         o o o o
Die beiden Lösungen sind also wieder 16 und 18 im Verhältnis 8:9, dem Epogdoon mit der Barriere 17 in der Mitte.

... link  

 
weitere Lösung
Eine weitere, ausgeartete, Lösung wäre noch die Nulllösung:
a = b = 0, da dann das Teilerargument nicht verwendbar ist.
Ob dieses (nichtexistente) Rechteck aber gilt, ist eine andere Frage.

... link  

 
Mit "ganzzahlig" war natürlich "natürlich" gemeint. Sonst gibt es neben Ihrer entarteten Lösung a=b=0 auch noch die beiden negativen mit Kantenlängen 1 und -2.

... link  


... comment