Primzahlen
Es gibt sicherlich sehr viele einfachere Folgen als die der Primzahlen, doch ist sie von fundamentaler Bedeutung und ist gewiß würdig als erste behandelt zu werden, wenn dies auch in keiner Weise auch nur annähernd erschöpfend getan werden kann, zumal es über sie viele Bücher gibt und sich ein ganzer Zweig der Mathematik, nämlich die Zahlentheorie, großenteils und gerne mit ihnen beschäftigt.

Anschaulich gesprochen handelt es sich bei den Primzahlen um diejenigen natürlichen Zahlen, die man nicht in Faktoren zerlegen kann. Genauer: Eine natürliche Zahl n=1,2,3,... heißt Primzahl, wenn die Anzahl ihrer Teiler d(n)=2 ist. Dabei heißt die natürliche Zahl a Teiler von n, wenn es eine natürliche Zahl b mit ab=n gibt. Die beiden Teiler einer Primzahl n sind natürlich 1 und n selbst. Damit ist auch klar, daß n=1 keine Primzahl ist, weil sie nur einen einzigen Teiler hat, also d(1)=1 ist. Alle Nicht-Primzahlen größer als 1 heißen zusammengesetzt. Für sie ist d(n)>2, womit sie einen echten Teiler a haben. Das ist einer mit 1<a<n.

Die Definition sondert aus der Menge N der natürlichen Zahlen die Teilmege P der Primzahlen aus. Die Primzahlfolge ergibt sich in kanonischer Weise durch die Anordnung der Primzahlen nach ihrer Größe. Dies führt zu einer mit Position 1 beginnenden Numerierung der Primzahlen. Die erste ist p(1)=2, die zweite p(2)=3, die dritte p(3)=5 usw. Ein kurzes Anfangsstück der gerne bis zum Qualmen der CPU berechneten Primzahlen lautet
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 ...
Das alles mag einem einfach und selbstverständlich erscheinen, doch mit den Primzahlen verbundene ganz einfache Fragen können schon sehr schwer zu beantworten sein. Das wohl berühmteste Beispiel ist die Goldbach-Vermutung, daß sich jede gerade Zahl größer als 4 als Summe zweier (ungerader) Primzahlen schreiben läßt:
 6 = 3 + 3   14 = 3 + 11   22 = 3 + 19   30 = 7 + 23
 8 = 3 + 5   16 = 3 + 13   24 = 5 + 19   32 = 3 + 29
10 = 3 + 7   18 = 5 + 13   26 = 3 + 23   34 = 3 + 31
12 = 5 + 7   20 = 3 + 17   28 = 5 + 23   usw.
Wie steht es mit 98? Bis heute ist diese Behauptung unbewiesen und auch nicht widerlegt. Die alten Griechen aber wußten schon, daß die Folge der Primzahlen unendlich lang ist, im Gegensatz zur Folge der Primusse der katholischen Kirche.

Sloane

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