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14
wuerg, 21.02.2005 16:45
Die Bedeutung der 14 besteht vor allem darin, das Doppelte der 7 zu sein, fällt jedoch hinter anderen Vielfachen zurück: 4·7=28 ist vollkommen, 6·7=42 erklärt die ganze Welt und 70 mal 7 mal soll man vergeben. Zwar umfassen zwei Wochen 14 Tage, ein halber Monat ist aber gut 15 Tage lang, und zur gleichen Zeit Hochwasser gibt es ebenfalls fast alle 15 Tage. Im Gegensatz zu Ostern wird Passah immer ab dem 14. Nisan gefeiert, was aber nur ein Vorteil ist, wenn alle nach dem jüdischen Kalender leben. Modernen Nazis steht die 14 für die schwachsinnigen 14 Wörter eines Spruches von David Eden Lane.
So bleibt im wesentlichen die aus Daleth+Waw+Daleth=4+6+4=14 abgeleitete Davidszahl. Sie findet sich in den 14 Geschlechtern von Abraham bis David und den gemauschelten zweimal 14 bis Jesus. Die gleiche Denkweise gilt für Johann Sebastian Bach, in dessen Musik B+A+C+H=2+1+3+8=14 nicht zufällig vorkommt.
Mathematisch gibt die 14 ebenfalls wenig her. Sie ist aber dritte quadratische Pyramidenzahl, also 1·1+2·2+3·3=14. Festkörperphysiker werden wissen, daß es 14 Bravais-Gitter gibt. Würfel und Oktaeder haben jeweils 12 Kanten und somit 12+2=14 Ecken und Flächen. Durch Absägen der Ecken eines Würfels bzw. Oktaeders entstehen 8 Dreiecke und 6 Quadrate. Der entstande Kuboktaeder hat also 14 Flächen.
Und noch eine kleine Spielerei: Eine k‑stellige Zahl n heißt Keith-Zahl, wenn man ihre Ziffern als die ersten k Glieder einer Folge nimmt, in Fibonacci-Manier immer k Folgeglieder addiert und n in dieser Folge vorkommt. [1] Unter den nicht trivialen mehrstelligen Keith-Zahlen ist 14 die kleinste.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Keith-Zahlen A130010.
13 | 15 | 7 | 28 | 42
So bleibt im wesentlichen die aus Daleth+Waw+Daleth=4+6+4=14 abgeleitete Davidszahl. Sie findet sich in den 14 Geschlechtern von Abraham bis David und den gemauschelten zweimal 14 bis Jesus. Die gleiche Denkweise gilt für Johann Sebastian Bach, in dessen Musik B+A+C+H=2+1+3+8=14 nicht zufällig vorkommt.
Mathematisch gibt die 14 ebenfalls wenig her. Sie ist aber dritte quadratische Pyramidenzahl, also 1·1+2·2+3·3=14. Festkörperphysiker werden wissen, daß es 14 Bravais-Gitter gibt. Würfel und Oktaeder haben jeweils 12 Kanten und somit 12+2=14 Ecken und Flächen. Durch Absägen der Ecken eines Würfels bzw. Oktaeders entstehen 8 Dreiecke und 6 Quadrate. Der entstande Kuboktaeder hat also 14 Flächen.
Und noch eine kleine Spielerei: Eine k‑stellige Zahl n heißt Keith-Zahl, wenn man ihre Ziffern als die ersten k Glieder einer Folge nimmt, in Fibonacci-Manier immer k Folgeglieder addiert und n in dieser Folge vorkommt. [1] Unter den nicht trivialen mehrstelligen Keith-Zahlen ist 14 die kleinste.
1,4,5,9,14 (1+4=5, 4+5=9, 5+9=14) 1,9,10,19 (1+9=10, 9+10=19) 2,8,10,18,28 4,7,11,18,29,47 6,1,7,8,15,23,38,61 7,5,12,17,29,46,75 1,9,7,17,33,57,107,197 (1+9+7=17, ...)
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Keith-Zahlen A130010.
13 | 15 | 7 | 28 | 42
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13
wuerg, 13.02.2005 00:56
Die 13 gilt gemeinhin als Unglückszahl, von vielen wird sie gemieden, in amerikanischen Hochhäusern fehlt oftmals das 13. Stockwerk, Freitag der 13. gilt als besonderer Unglückstag. Bis zwölf haben wir eigenständige Zahlwörter, die ausgeschrieben werden sollten, ab 13 werden sie zusammengesetzt. Offensichtlich ist 13 einer zuviel. Dabei könnte 13 auch als Erhöhung der Zahl 12 gesehen werden, etwa Jesus und seine 12 Jünger. Welche positive Bedeutung die Freimaurer der 13 zumessen, möchte ich gar nicht wissen. [1] Das Bäckerdutzend umfaßt 13 Brötchen, um nicht Gefahr zu laufen, aus Versehen nur 11 einzupacken. Gott soll 13 Eigenschaften haben, Paulus hat sich selbst zum 13. Apostel ernannt. Für die 13. Fee reichte das Geld nicht. Hinter jeder 12 kann eine geheime, möglicherweise gefährliche 13 vermutet werden. Das unterstrichene M von McDonald's ergibt um 90 Grad gedreht eine 13 und weist auf deren Schlechtigkeit hin.
Der Kalender der Mayas kennt einen Zyklus von 13 Jahren. Im Lunisolarkalender muß ab und zu ein 13. Monat eingeschoben werden. Und weil ein Monat etwas mehr als vier Wochen umfaßt, fällt in jedem Quartal eine 13. Woche an, weshalb Fernsehserien oftmals 13 Folgen haben. Die zweite zentrierte Zwölfeckzahl ist trivialerweise 13=1+12 und wird hier nur erwähnt, weil sie deshalb zugleich zweite sechseckige Sternzahl ist, auch wenn die Zacken wie auf dem amerikanischen Dollarschein nur aus einem Punkt bestehen. Mirp-Zahlen sind Primzahlen, die ziffernvertauscht eine andere Primzahl ergeben. [2] Damit scheiden 2, 3, 5, 7 und 11 aus und die 13 mit ihrer Umkehrung 31 ist die kleinste Mirp-Zahl. [3] Die beiden Ziffern sind wie bei 12 und 21 so klein, daß 13·13=169 und 31·31=961 ebenfalls ziffernvertauscht sind. Die 13. Mersenne-Zahl 2¹³−1=8191 ist prim, die 13 ist Teil des pythagoreischen Tripels 12²+5²=13² und kommt in der Folge der Fibonaccizahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … an siebter Stelle vor. Und was die Teilbarkeit durch 13 betrifft, so gilt wegen 1001=7·11·13 die gleiche Regel wie für die 7: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn man die alternierende Quersumme von Dreierblöcken durch 13 teilen kann.
Es ist mir keine Anwendung bekannt, in der mit Vorteil zur Basis 13 gerechnet werden kann, außer „Per Anhalter durch die Galaxis“ von Douglas Adams, der zwar selbst gesagt hat, er mache keine Scherze zur Basis 13, doch sich gefallen lassen muß, daß „Six by Nine. Forty two.“ als 6·9=42 zur Basis 13 interpretiert korrekt ist und mit „4 und 2“ (nicht 42) auch die Zahl 4·13+2=54=6·9 gemeint sein könnte. Ich bin wahrscheinlich nicht der erste, der diesen Gedanken weitergesponnen hat: Sehe ich auch 54 als eine Tredezimalzahl, dann steht sie für 5·13+4=69. Und da sind sie wieder, 6 und 9! Deshalb habe ich mir den Spaß erlaubt, dieses Prinzip nach vorne und hinten fortzusetzen und kam so auf die Reihe 12, 15, 18, 21, 27, 33, 42, 54, 69, 87, 111, 183, 276, 435, 720, … mit den genannten Zahlen 42, 54 und 69, aber auch der beliebten 111=3·37 und der 23. Dreieckszahl 276 der Bibel. Schön wäre 666 gewesen. Des ungeachtet meine ich, mit „4 und 2“ sei vielleicht 24 gemeint, die eher etwas mit dem Universum und allem zu tun haben könnte.
Und wenn ich schon die biblische 276 erwähne: Nachdem Gerdhard Kringe im Internet die Zahl 12 gepriesen hat, stimmt er nicht ein in eine Verdammung der 13 als Unglückszahl. [5] Er unterstützt die andere Sicht von der Erhöhung der 12 um eins. Was jedem sofort einfällt, sind Jesus und seine Jünger, die zusammen (die wilde) 13 bilden. Das läßt er aus, schreibt aber: „Die Zahl der herausgerufenen Erstlingsgemeinde ist die "13". Für diese Herausgerufene steht der 13. Apostel, Paulus. In dieser Zahl verbirgt sich nicht mehr die Zahl des Kosmos. 13 ist auch die Zahl der Liebe (1.Kor.13).“ Doch Ableitungen aus Versnummern sind den meisten Menschen so fremd wie konstruierte Additionen: „13 ist auch 10+3; 10 = die Vollzahl, die Fülle, die Verantwortung und das Ziel. 3 = die Ganzheit, die Dreieinigkeit, die Gottesoffenbarung. Ohne diese Zahlen überstrapazieren zu wollen …“ Und das will auch ich nicht.
[1] Manche sehen nicht nur auf dem Dollarschein eine Unterwanderung der USA durch die Freimaurer. Da passen die 13 Gründungsstaaten gut ins Bild.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mirp-Zahlen (emirps) A006567.
[3] Diese Bezeichnung erinnert an die Spaßfrage: Was macht eine Biene im Rückwärtsgang? Mus, mus!
[4] Eine junge Zibbe (0) gebiert eine weitere (0) und wird alt (1). Eine alte Zibbe (1) gebiert eine weitere Nachkommin (0) und stirbt. Die Übergangsregeln zur nächsten Generation lauten also 0→01 und 1→0. Man beginnt in der ersten Generation mit einer einzigen alten Zibbe 1, die in 0 übergeht, die wiederum in 01, gefolgt von 010 und so weiter. Die n‑te Generation besteht aus F(n) Zibben, davon F(n−1) jung und F(n−2) alt.
[5] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
12 | 14 | 31 | 42 | Fr, 13. | Fibonacci-Zahlen | Teilbarkeitsregeln
Der Kalender der Mayas kennt einen Zyklus von 13 Jahren. Im Lunisolarkalender muß ab und zu ein 13. Monat eingeschoben werden. Und weil ein Monat etwas mehr als vier Wochen umfaßt, fällt in jedem Quartal eine 13. Woche an, weshalb Fernsehserien oftmals 13 Folgen haben. Die zweite zentrierte Zwölfeckzahl ist trivialerweise 13=1+12 und wird hier nur erwähnt, weil sie deshalb zugleich zweite sechseckige Sternzahl ist, auch wenn die Zacken wie auf dem amerikanischen Dollarschein nur aus einem Punkt bestehen. Mirp-Zahlen sind Primzahlen, die ziffernvertauscht eine andere Primzahl ergeben. [2] Damit scheiden 2, 3, 5, 7 und 11 aus und die 13 mit ihrer Umkehrung 31 ist die kleinste Mirp-Zahl. [3] Die beiden Ziffern sind wie bei 12 und 21 so klein, daß 13·13=169 und 31·31=961 ebenfalls ziffernvertauscht sind. Die 13. Mersenne-Zahl 2¹³−1=8191 ist prim, die 13 ist Teil des pythagoreischen Tripels 12²+5²=13² und kommt in der Folge der Fibonaccizahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … an siebter Stelle vor. Und was die Teilbarkeit durch 13 betrifft, so gilt wegen 1001=7·11·13 die gleiche Regel wie für die 7: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn man die alternierende Quersumme von Dreierblöcken durch 13 teilen kann.
● 3. Generation: 0 + 1 2=1+1 ● ● ● ● 4. Generation: 0 1 + 0 3=2+1 ● ● ● 5. Generation: 0 1 0 + 0 1 5=3+2 ● ● ● ● 6. Generation: 0 1 0 0 1 + 0 1 0 8=5+3 ● 7. Generation: 01 0 01 01 0 + 0 1 0 0 1 13=8+5Sternzahl, Kaninchenvermehrung [4] und Bitketten (png)
Es ist mir keine Anwendung bekannt, in der mit Vorteil zur Basis 13 gerechnet werden kann, außer „Per Anhalter durch die Galaxis“ von Douglas Adams, der zwar selbst gesagt hat, er mache keine Scherze zur Basis 13, doch sich gefallen lassen muß, daß „Six by Nine. Forty two.“ als 6·9=42 zur Basis 13 interpretiert korrekt ist und mit „4 und 2“ (nicht 42) auch die Zahl 4·13+2=54=6·9 gemeint sein könnte. Ich bin wahrscheinlich nicht der erste, der diesen Gedanken weitergesponnen hat: Sehe ich auch 54 als eine Tredezimalzahl, dann steht sie für 5·13+4=69. Und da sind sie wieder, 6 und 9! Deshalb habe ich mir den Spaß erlaubt, dieses Prinzip nach vorne und hinten fortzusetzen und kam so auf die Reihe 12, 15, 18, 21, 27, 33, 42, 54, 69, 87, 111, 183, 276, 435, 720, … mit den genannten Zahlen 42, 54 und 69, aber auch der beliebten 111=3·37 und der 23. Dreieckszahl 276 der Bibel. Schön wäre 666 gewesen. Des ungeachtet meine ich, mit „4 und 2“ sei vielleicht 24 gemeint, die eher etwas mit dem Universum und allem zu tun haben könnte.
Und wenn ich schon die biblische 276 erwähne: Nachdem Gerdhard Kringe im Internet die Zahl 12 gepriesen hat, stimmt er nicht ein in eine Verdammung der 13 als Unglückszahl. [5] Er unterstützt die andere Sicht von der Erhöhung der 12 um eins. Was jedem sofort einfällt, sind Jesus und seine Jünger, die zusammen (die wilde) 13 bilden. Das läßt er aus, schreibt aber: „Die Zahl der herausgerufenen Erstlingsgemeinde ist die "13". Für diese Herausgerufene steht der 13. Apostel, Paulus. In dieser Zahl verbirgt sich nicht mehr die Zahl des Kosmos. 13 ist auch die Zahl der Liebe (1.Kor.13).“ Doch Ableitungen aus Versnummern sind den meisten Menschen so fremd wie konstruierte Additionen: „13 ist auch 10+3; 10 = die Vollzahl, die Fülle, die Verantwortung und das Ziel. 3 = die Ganzheit, die Dreieinigkeit, die Gottesoffenbarung. Ohne diese Zahlen überstrapazieren zu wollen …“ Und das will auch ich nicht.
[1] Manche sehen nicht nur auf dem Dollarschein eine Unterwanderung der USA durch die Freimaurer. Da passen die 13 Gründungsstaaten gut ins Bild.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mirp-Zahlen (emirps) A006567.
[3] Diese Bezeichnung erinnert an die Spaßfrage: Was macht eine Biene im Rückwärtsgang? Mus, mus!
[4] Eine junge Zibbe (0) gebiert eine weitere (0) und wird alt (1). Eine alte Zibbe (1) gebiert eine weitere Nachkommin (0) und stirbt. Die Übergangsregeln zur nächsten Generation lauten also 0→01 und 1→0. Man beginnt in der ersten Generation mit einer einzigen alten Zibbe 1, die in 0 übergeht, die wiederum in 01, gefolgt von 010 und so weiter. Die n‑te Generation besteht aus F(n) Zibben, davon F(n−1) jung und F(n−2) alt.
[5] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
12 | 14 | 31 | 42 | Fr, 13. | Fibonacci-Zahlen | Teilbarkeitsregeln
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Terz
wuerg, 11.02.2005 12:10
So wie die Oktave (2:1) aus sieben, die Quinte (3:2) aus vier und die Quarte (4:3) aus drei Schritten einer Tonleiter oder im Notenliniensystem besteht, so sind es bei der Terz zwei. Während erstere nur selten von 12, 7 bzw. 5 Halbtönen abweichen, tritt die Terz regelmäßig in zwei Ausprägungen auf, was die Unvorteilhaftigkeit der herkömmlichen Intervall-Bezeichnungen deutlich macht. Und leider liegt die natürliche große Terz (5:4) mit 386 Cent deutlich unterhalb von 4 chromatischen Halbtönen und die kleine natürliche Terz (6:5) mit 316 deitlich über 3 derselben.
Auf die Frage, wie man die Oktave gleichmäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Kettenbruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,…] die Antwort. Es ist günstig in 3,28,59,146,… Intervalle zu teilen, wovon 1,9,19,47,… eine große Terz nähern. Die 9 im Kettenbruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also ein drittel der Oktave die große Terz einigermaßen trifft. Die gleiche Überlegung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,…], was 4,19,422,… Intervalle mit 1,5,111,… für die kleine Terz bedeutet. Die 4 im Kettenbruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also ein viertel der Oktave die kleine Terz einigermaßen gut trifft. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Kettenbruch.
Welche Teilungen sind also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natürlich die Teilung in 12 Intervalle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegenüber der Zwölftonleiter nicht verschlechtern, so kommt die 53‑Tonleiter mit Intervall-Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natürlich sehr genau. Und glücklicherweise sind 17 und 14 Intervalle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.
Die gleichstufige 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53‑Tonleiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbessern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19‑Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Intervalle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz dargestellt. Die kleine Terz stimmt natürlich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompromiß, der auch nur eine musikalische Nische ausfüllt.
Quinte | Oktave
Auf die Frage, wie man die Oktave gleichmäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Kettenbruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,…] die Antwort. Es ist günstig in 3,28,59,146,… Intervalle zu teilen, wovon 1,9,19,47,… eine große Terz nähern. Die 9 im Kettenbruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also ein drittel der Oktave die große Terz einigermaßen trifft. Die gleiche Überlegung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,…], was 4,19,422,… Intervalle mit 1,5,111,… für die kleine Terz bedeutet. Die 4 im Kettenbruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also ein viertel der Oktave die kleine Terz einigermaßen gut trifft. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Kettenbruch.
Welche Teilungen sind also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natürlich die Teilung in 12 Intervalle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegenüber der Zwölftonleiter nicht verschlechtern, so kommt die 53‑Tonleiter mit Intervall-Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natürlich sehr genau. Und glücklicherweise sind 17 und 14 Intervalle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.
Die gleichstufige 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53‑Tonleiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbessern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19‑Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Intervalle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz dargestellt. Die kleine Terz stimmt natürlich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompromiß, der auch nur eine musikalische Nische ausfüllt.
Quinte | Oktave
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Quinte
wuerg, 10.02.2005 17:06
So wie die Oktave aus sieben Schritten einer Tonleiter oder im Notenliniensystem besteht, so sind es bei der Quinte vier. Die reine Quinte hat das Schwingungsverhältnis 3:2 und ist mit 702 Cent nur wenig größer als sieben Halbtöne. Es wäre sinnvoll gewesen, die in der Nähe von 700 liegenden Intervalle mit einem Namen zu belegen, der auf sieben hindeutet.
Wenn man wie die alten Griechen nur Intervalle als harmonisch sieht, die sich aus Oktaven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasteninstrumenten das Problem, nicht alle so entstehenden Töne vorsehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Oktaven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.
Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Intervalle wird den Griechen einigermaßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstellung von ld(3/2)=[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Kettenbruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,41,53,306,665,… Intervalle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,31,179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] entschieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgenden 5 im Kettenbruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).
7 | 12 | Oktave
Wenn man wie die alten Griechen nur Intervalle als harmonisch sieht, die sich aus Oktaven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasteninstrumenten das Problem, nicht alle so entstehenden Töne vorsehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Oktaven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.
Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Intervalle wird den Griechen einigermaßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstellung von ld(3/2)=[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Kettenbruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,41,53,306,665,… Intervalle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,31,179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] entschieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgenden 5 im Kettenbruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).
7 | 12 | Oktave
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Oktave
wuerg, 09.02.2005 14:06
Oktave hat natürlich etwas mit acht zu tun und bezeichnet (ursprünglich) das von zwei Tönen einer Tonleiter gebildete Intervall, wenn es acht Töne umfaßt, so man beide Randtöne voll mitzählt. In den gängigen Tonleitern führt das immer auf ein Schwingungsverhältnis von 2:1, was sicherheitshalber als reine Oktave bezeichnet wird, denn es sind Abweichungen davon möglich. Zum einen könnten die Oktaven absichtlich verstimmt werden, etwa zur Anpassung an die Quinte oder das menschliche Gehör. Zum anderen könnten sieben Tonschritte durchaus weit neben 2:1 liegen. Das geht aber nicht soweit, daß sieben Halbtonschritte der Zwölftonleiter als Oktave bezeichnet werden, denn heutzutage orientiert man sich an der gängigen Notation. Eine Oktave ist immer das, was vier Notenlinien und vier Zwischenräume umfaßt.
Langer Rede kurzer Sinn: Jeder weiß, was eine Oktave sein soll, doch der Name ist nicht sehr günstig und seine Verwendung für weit von der reinen Oktave abweichende Intervalle auch. Besser wäre eine Bezeichnung auf der Basis der eingeschlossenen Halbtonschritte, für die halbwegs bei 2:1 liegenden Intervalle also irgendwas mit zwölf. Und unsere Urväter können sich nicht damit entschuldigen, die Zwölftonmusik nicht gekannt zu haben, denn sie wußten besser als wir heute, wie groß die einzelnen Intervalle sind und daß man sich das Leben mit additionstauglichen Namen erleichtert. Da Strafe sein muß, ist es lustig zu sehen, wenn zur Versetzung um zwei Oktaven eine 16 über oder unter dem Notenschlüssel steht, obwohl 15 richtig wäre. Mit den Wochen ist es umgekehrt, da sagen wir in 8 bzw. 14 Tagen. Zur Übung: Ein 10‑bändiges Lexikon mit 1000 Seiten pro Band steht im Regal. Ein Bücherwurm frißt sich von der ersten Seite des ersten Bandes auf die letzte Seite des letzten durch. Wieviele Seiten hat er durchlöchert?
7 | 12
Langer Rede kurzer Sinn: Jeder weiß, was eine Oktave sein soll, doch der Name ist nicht sehr günstig und seine Verwendung für weit von der reinen Oktave abweichende Intervalle auch. Besser wäre eine Bezeichnung auf der Basis der eingeschlossenen Halbtonschritte, für die halbwegs bei 2:1 liegenden Intervalle also irgendwas mit zwölf. Und unsere Urväter können sich nicht damit entschuldigen, die Zwölftonmusik nicht gekannt zu haben, denn sie wußten besser als wir heute, wie groß die einzelnen Intervalle sind und daß man sich das Leben mit additionstauglichen Namen erleichtert. Da Strafe sein muß, ist es lustig zu sehen, wenn zur Versetzung um zwei Oktaven eine 16 über oder unter dem Notenschlüssel steht, obwohl 15 richtig wäre. Mit den Wochen ist es umgekehrt, da sagen wir in 8 bzw. 14 Tagen. Zur Übung: Ein 10‑bändiges Lexikon mit 1000 Seiten pro Band steht im Regal. Ein Bücherwurm frißt sich von der ersten Seite des ersten Bandes auf die letzte Seite des letzten durch. Wieviele Seiten hat er durchlöchert?
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Vierteilung
wuerg, 08.02.2005 23:11
Die Zahlen 4, 8 und 12 kommen dem naheliegenden Bedürfnis des Menschen entgegen, einen periodischen Prozeß in vier Teile zu gliedern. Drei wären recht unpraktisch, weil ein dreigeteilter Kreis nicht in die rechteckige Welt paßt. Zwei sind zu wenig, denn sie wechseln sich nur ab, daß ihre Abfolge nicht mehr die Drehrichtung einer Kreisbewegung zu bezeichnen vermag. Diese Viertelung zeichnet natürlich die Zahl 4 aus und hebt deren Vielfache hervor. Dazu gehören die 4, 8 oder gar 16 Himmelsrichtungen. Auch sind 12 Monate im Jahr ein Glücksfall, der vier Jahreszeiten oder Quartale zu drei Monaten gestattet. Und die Woche mit ihren 7 Tagen wird nicht zufällig nur knapp unter der Zeit für eine Mondphase, dem Viertel des Mondumlaufes zurückbleiben. Das Bedürfnis der Vierteilung erfreut sich sogar dort großer Beliebtheit, wo es nicht um periodische Vorgänge geht und sie eigentlich sinnlos ist: Alle 25 Jahre feiern wir ein Jubiläum, mit 25 muß man heute eine Quarterlifecrisis haben und der 250. Todestag ist nicht irgendeiner. Die Zeit Jesu in der Wüste wird wohl nur deshalb mit 40 Tagen angesetzt sein, weil ein Viertel davon 10 Tage sind. Daß alle vier Jahre ein Schaltjahr ist, liegt weitgehend an der Jahreslänge mit fast einem viertel Tag über 365. Alle 400 Jahre aber das alle 100 Jahre ausgefallene Schaltjahr wieder einzusetzen, entspringt nicht allein dem Bedürfnis, den Frühlingsanfang nicht weglaufen zu lassen, sondern auch dem Denken in Viererzyklen, denn 500 Jahre wären einfacher und besser gewesen.
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Zwölf
wuerg, 07.02.2005 01:14
Die Zwölf ist sicherlich bedeutend, nicht nur als Produkt der beiden heiligen Zahlen drei und vier, zu deren Summe 7=3+4 die bekannte musikalische Beziehung besteht, daß zwölf Quinten recht genau sieben Oktaven umfassen. Das liegt daran, daß 3¹²=531441 nur knapp über 2¹²⁺⁷=524288 liegt, weshalb die gleichstufige Quinte gegenüber der reinen nur um einen hundertstel Ganzton zu klein ist.
Duodezimalzahlen zur Basis zwölf wären zu unseren Dezimalzahlen eine ernsthafte Alternative gewesen, weil zwölf viele Teiler hat. Es gab eine Zeit, da man sich von der 16 verabschiedete und der 12 zuwandte, den Fuß nicht mehr in 16 Finger, sondern in 12 Zoll teilte. Jahrhunderte hielt sich auch das £sd-System [1] mit einer Libra (Pfund) zu 20 Solidi (Schilling), jeder geteilt in 12 Denari (Pence), wie ich es noch aus England kenne. Von wenigen rückständigen Staaten abgesehen hat sich aber das Dezimalsystem nicht nur bei den Zahlen, sondern im gesamten Leben durchgesetzt. Geblieben sind die zwölf Sterne auf der Europaflagge, die zwölf Stunden der Uhr und das Dutzend. [2]
Wie kam es parallel zum Dezimalsystem zu den vielen Zwölfteilungen, nicht nur des Tages, auch der Himmelsrichtungen und Israelis? Ich glaube nicht, daß es an 36 Sternen lag, die den Ägyptern zur Zeit- oder Winkelmessung gedient haben sollen. Plausibler finde ich die Herleitung aus den natürlich vorhandenen zwölf Monaten im Jahr, die zu zwölf Tierkreiszeichen Anlaß gaben. Wenn man sie des nachts zur Zeitmessung verwendete, lagen zwölf Stunden pro Tag nahe, die babylonischen Doppelstunden. [3] Halbierung ergab 24 Stunden. Es hätten aber auch 48 werden können. Die Teilung von Tag und Nacht in jeweils zwölf zunächst nach Jahreszeit ungleiche Stunden führte letztlich zur sog. kleinen Uhr mit zwei Umdrehungen des Stundenzeigers pro Tag. [4]
Zwölf ist die dreidimensionale Kußzahl, denn es lassen sich an eine Kugel bis zu zwölf gleicher Größe anlegen, eine dreizehnte geht nicht, soviel es auch probiert wurde. Anders als in zwei Dimensionen, wo sechs Kreise an einem ohne zu wackeln anliegen und sieben offensichtlich zuviel sind, lassen die zwölf Kugeln genügend Luft für eine dreizehnte. Daß es bei 12 bleibt, bewiesen erst 1953 Kurt Schütte und Bartel Leendert van der Waerden, dessen berühmte Lehrbücher der Algebra einfach „van der Waerden I und II“ heißen. [5]
Der Dodekaeder wird aus zwölf Fünfecken gebildet, entsprechend hat der Ikosaeder zwölf Ecken. Der Würfel hat zwölf Kanten, damit auch der Oktaeder. Die Wurzel aus zwei wird durch 17/12=1,417 besser genähert als durch 7/5 oder 10/7, kann aber gegen die 11‑glatte 99/70=1,41429 nicht anstinken. Bleiben die ziffernvertauschten Quadrate 144 und 441 der ziffernvertauschten 12 bzw. 21, was aber einfach den sehr kleinen Ziffern 1 und 2 geschuldet ist. Und nicht zu vergessen die durch Sheldon Cooper bekannte Tatsache, daß 37 und 73 die 12. bzw. 21. Primzahl sind.
Zwölf ist der kleinste Teilerprotz, denn die Summe 1+2+3+4+6=16 ihrer Teiler ist größer als 12 selbst. [6] Sie ist auch die kleinste Zahl mit mehr als vier Teilern. Es sind sogar sechs. Und weil sowohl Teileranzahl 6 als auch Teilersumme 28 vollkommen sind, hat sich irgendwer dafür die Bezeichnung erhaben ausgedacht, um so an sehr seltene Zahlen zu kommen, von denen zwölf die kleinste ist. Eine weitere mit 76 Stellen ist bekannt, sonst nix.
Zwölf ist die dritte Fünfeckzahl. Die erste Figur des vorstehenden Bildes zeigt ihre Entstehung nach dem Bildungsgesetz 1+4+7=12. Die zweite formt dieses Gebilde zu einer kompakten Figur in Form eines Hauses, dem man in der dritten die für alle Fünfeckzahlen mögliche Zusammensetzung aus Quadrat und Dreieck entnehmen kann. Wem es gefällt, kann die ebenso allgemeine Zerlegung in ein großes und zwei kleinere Dreiecke bevorzugen.
Unter den vielen pythagoreischen Tripeln, also den Lösungen von x²+y²=z² gibt es nur eines mit aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, das allseits bekannte 3²+4²=5². Doch wie steht es mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen, mit drei links und zwei rechts vom Gleichheitszeichen? Auch diese einzige Lösung kann man schnell finden: 10²+11²+12²=13²+14². Die Summe ist übrigens so groß wie das Jahr Tage hat, nämlich 365. Ich erwähne diese Beziehung hier, weil 12 die mittlere der fünf Zahlen ist. Verallgemeinert man auf k+1 Summanden links und k rechts, so ergibt sich für die mittlere Zahl das Vierfache der k‑ten Dreieckszahl. Im Falle k=2 also 4·D(2)=4·3=12.
Ich verzichte hier darauf, die bis auf Drehung und Spiegelung 12 der insgesamt 92 Möglichkeiten darzustellen, acht Damen derart auf ein Schachbrett zu stellen, daß sie sich nicht gegenseitig schlagen. Ich lasse es als eine nette Aufgabe, die eine von den zwölfen zu finden, die unter Rotation um 180 Grad in sich selbst übergeht. Ihretwegen sind es insgesamt 11·8+1·4=92 und nicht 96 Lösungen. Ist es zu mühsam, einfach in der Wikipedia unter Damenproblem nachsehen.
Bleibt die Bibel. Gerhard Kringe [7] schreibt: „Die Zahl ‚12‘ spielt in Verbindung mit Israel eine große Rolle. Da diese Zahl für den Kosmos steht, ist es ein Hinweis, daß Israel seine Aufgaben im Kosmos, bzw. auf dieser Erde hat.“ Ohne gerade als Deutscher die Rolle Israels schmälern zu wollen, ist es doch eher umgekehrt: Zwölf war und ist den Juden wichtig und steht deshalb manchem für den Kosmos. Und weiter: „Diese Zahl zieht sich durch die ganze Bibel. Es ist die Zahl der Monate (Monde) und der Tierkreiszeichen […] Israel 12 Stämme hat, daß Jesus 12 Jünger […] im neuen Jerusalem sind die 12 Tore aus 12 Perlen gemacht. Die Bäume des Lebens tragen 12 mal Frucht im Jahr.“ Unbestritten spielt die Zwölf im Leben der Menschen noch heute eine große Rolle, doch wird sie einfach hingenommen, ohne einen Gedanken an ko(s)mische Beziehungen zu verschwenden: „In dieser Zahl 12 ist 2 mal die Zahl des Menschen enthalten (6) […] finden wir in den 24 Ältesten 2 mal die Zahl 12. Bei dieser Zahl 24 geht es um Vollmacht und Vollendung.“
[1] Natürlich kann man Libra-Solidus-Denarius als Lsd schreiben, doch gibt es im Unicode auch mehrere Pfundzeichen, nur nicht das deutsche. In £sd ist es das kursive aus dem ASCII-Code.
[2] Vergessen sind Stiege (20 oder 24), Schock (60), groß Hundert (120), Gros (144) und groß Gros (1728).
[3] Trotz des Sexagesimalsystems wurden die Doppelstunden in nur 30 ‚Minuten‘ gegliedert, was wohl dem Monat zu 30 Tagen nachempfunden war. Dadurch entsprach ein Tag im Jahr etwa einer ‚Minute‘ des Tages. Bei abermaliger Teilung in 360 ‚Sekunden‘ wären diese 2/3 heutige Sekunden lang. Ein Stabpendel von 0,6615 Metern benötigt auf dem 30. Breitengrad diese Zeit für eine Halbschwingung. Das sind genau zwei reale Gudeafuß. Es ist also plausibel, daß Gudea sein reales Längenmaß vom Sekundenpendel ableitete, ohne die moderne Sekunde zu kennen.
[4] Wenn man nur bis zwölf schlägt, ist es naheliegend und mechanisch von Vorteil, zweimal umlaufen zu lassen. Ein Nachteil besteht darin, daß Süden nicht ungefähr auf der Mittagszeit (in Deutschland etwa 12:30 im Winter und 13:30 im Sommer) liegt, wenn man den Stundenzeiger auf die Sonne richtet, sondern auf der Winkelhalbierenden zwischen Stundenzeiger und Mittagszeit. Das alles ist natürlich kein Grund, die Uhrzeit zweimal von 1:00 bis 12:59 durchzuzählen. Vor allem nicht 12:00pm auf 11:59am und 1:00am auf 12:59am folgen zu lassen. Und welcher Amerikaner weiß schon, daß noon mehrheitlich 12:00pm und nicht 12:00am ist? Man komme ihm nicht mit Plausibilität, weil eine Sekunde nach Mittag ja 12:00:01pm sei.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mindestkußzahlen A002336. Nur für Dimensionen 1, 2, 3, 4, 8 und 24 als exakt bekannt.
[6] Das klingt schöner als: Eine Zahl n heißt Teilerprotz, wenn die Summe ihrer Teiler größer als 2n ist. Alternativ könnte man sagen, die Summe der echten Teiler muß größer als n selbst sein, muß sich aber fragen lassen, warum 1 mitzählt.
[7] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
3 | 4 | 7 | 11 | 13 | 196560 | Fünfeckzahlen | heilige Zahlen | Quinte | Sekundenpendel
Duodezimalzahlen zur Basis zwölf wären zu unseren Dezimalzahlen eine ernsthafte Alternative gewesen, weil zwölf viele Teiler hat. Es gab eine Zeit, da man sich von der 16 verabschiedete und der 12 zuwandte, den Fuß nicht mehr in 16 Finger, sondern in 12 Zoll teilte. Jahrhunderte hielt sich auch das £sd-System [1] mit einer Libra (Pfund) zu 20 Solidi (Schilling), jeder geteilt in 12 Denari (Pence), wie ich es noch aus England kenne. Von wenigen rückständigen Staaten abgesehen hat sich aber das Dezimalsystem nicht nur bei den Zahlen, sondern im gesamten Leben durchgesetzt. Geblieben sind die zwölf Sterne auf der Europaflagge, die zwölf Stunden der Uhr und das Dutzend. [2]
Wie kam es parallel zum Dezimalsystem zu den vielen Zwölfteilungen, nicht nur des Tages, auch der Himmelsrichtungen und Israelis? Ich glaube nicht, daß es an 36 Sternen lag, die den Ägyptern zur Zeit- oder Winkelmessung gedient haben sollen. Plausibler finde ich die Herleitung aus den natürlich vorhandenen zwölf Monaten im Jahr, die zu zwölf Tierkreiszeichen Anlaß gaben. Wenn man sie des nachts zur Zeitmessung verwendete, lagen zwölf Stunden pro Tag nahe, die babylonischen Doppelstunden. [3] Halbierung ergab 24 Stunden. Es hätten aber auch 48 werden können. Die Teilung von Tag und Nacht in jeweils zwölf zunächst nach Jahreszeit ungleiche Stunden führte letztlich zur sog. kleinen Uhr mit zwei Umdrehungen des Stundenzeigers pro Tag. [4]
Zwölf ist die dreidimensionale Kußzahl, denn es lassen sich an eine Kugel bis zu zwölf gleicher Größe anlegen, eine dreizehnte geht nicht, soviel es auch probiert wurde. Anders als in zwei Dimensionen, wo sechs Kreise an einem ohne zu wackeln anliegen und sieben offensichtlich zuviel sind, lassen die zwölf Kugeln genügend Luft für eine dreizehnte. Daß es bei 12 bleibt, bewiesen erst 1953 Kurt Schütte und Bartel Leendert van der Waerden, dessen berühmte Lehrbücher der Algebra einfach „van der Waerden I und II“ heißen. [5]
Der Dodekaeder wird aus zwölf Fünfecken gebildet, entsprechend hat der Ikosaeder zwölf Ecken. Der Würfel hat zwölf Kanten, damit auch der Oktaeder. Die Wurzel aus zwei wird durch 17/12=1,417 besser genähert als durch 7/5 oder 10/7, kann aber gegen die 11‑glatte 99/70=1,41429 nicht anstinken. Bleiben die ziffernvertauschten Quadrate 144 und 441 der ziffernvertauschten 12 bzw. 21, was aber einfach den sehr kleinen Ziffern 1 und 2 geschuldet ist. Und nicht zu vergessen die durch Sheldon Cooper bekannte Tatsache, daß 37 und 73 die 12. bzw. 21. Primzahl sind.
Zwölf ist der kleinste Teilerprotz, denn die Summe 1+2+3+4+6=16 ihrer Teiler ist größer als 12 selbst. [6] Sie ist auch die kleinste Zahl mit mehr als vier Teilern. Es sind sogar sechs. Und weil sowohl Teileranzahl 6 als auch Teilersumme 28 vollkommen sind, hat sich irgendwer dafür die Bezeichnung erhaben ausgedacht, um so an sehr seltene Zahlen zu kommen, von denen zwölf die kleinste ist. Eine weitere mit 76 Stellen ist bekannt, sonst nix.
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Zwölf als dritte Fünfeckzahl (png)Zwölf ist die dritte Fünfeckzahl. Die erste Figur des vorstehenden Bildes zeigt ihre Entstehung nach dem Bildungsgesetz 1+4+7=12. Die zweite formt dieses Gebilde zu einer kompakten Figur in Form eines Hauses, dem man in der dritten die für alle Fünfeckzahlen mögliche Zusammensetzung aus Quadrat und Dreieck entnehmen kann. Wem es gefällt, kann die ebenso allgemeine Zerlegung in ein großes und zwei kleinere Dreiecke bevorzugen.
Unter den vielen pythagoreischen Tripeln, also den Lösungen von x²+y²=z² gibt es nur eines mit aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, das allseits bekannte 3²+4²=5². Doch wie steht es mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen, mit drei links und zwei rechts vom Gleichheitszeichen? Auch diese einzige Lösung kann man schnell finden: 10²+11²+12²=13²+14². Die Summe ist übrigens so groß wie das Jahr Tage hat, nämlich 365. Ich erwähne diese Beziehung hier, weil 12 die mittlere der fünf Zahlen ist. Verallgemeinert man auf k+1 Summanden links und k rechts, so ergibt sich für die mittlere Zahl das Vierfache der k‑ten Dreieckszahl. Im Falle k=2 also 4·D(2)=4·3=12.
Ich verzichte hier darauf, die bis auf Drehung und Spiegelung 12 der insgesamt 92 Möglichkeiten darzustellen, acht Damen derart auf ein Schachbrett zu stellen, daß sie sich nicht gegenseitig schlagen. Ich lasse es als eine nette Aufgabe, die eine von den zwölfen zu finden, die unter Rotation um 180 Grad in sich selbst übergeht. Ihretwegen sind es insgesamt 11·8+1·4=92 und nicht 96 Lösungen. Ist es zu mühsam, einfach in der Wikipedia unter Damenproblem nachsehen.
Bleibt die Bibel. Gerhard Kringe [7] schreibt: „Die Zahl ‚12‘ spielt in Verbindung mit Israel eine große Rolle. Da diese Zahl für den Kosmos steht, ist es ein Hinweis, daß Israel seine Aufgaben im Kosmos, bzw. auf dieser Erde hat.“ Ohne gerade als Deutscher die Rolle Israels schmälern zu wollen, ist es doch eher umgekehrt: Zwölf war und ist den Juden wichtig und steht deshalb manchem für den Kosmos. Und weiter: „Diese Zahl zieht sich durch die ganze Bibel. Es ist die Zahl der Monate (Monde) und der Tierkreiszeichen […] Israel 12 Stämme hat, daß Jesus 12 Jünger […] im neuen Jerusalem sind die 12 Tore aus 12 Perlen gemacht. Die Bäume des Lebens tragen 12 mal Frucht im Jahr.“ Unbestritten spielt die Zwölf im Leben der Menschen noch heute eine große Rolle, doch wird sie einfach hingenommen, ohne einen Gedanken an ko(s)mische Beziehungen zu verschwenden: „In dieser Zahl 12 ist 2 mal die Zahl des Menschen enthalten (6) […] finden wir in den 24 Ältesten 2 mal die Zahl 12. Bei dieser Zahl 24 geht es um Vollmacht und Vollendung.“
[1] Natürlich kann man Libra-Solidus-Denarius als Lsd schreiben, doch gibt es im Unicode auch mehrere Pfundzeichen, nur nicht das deutsche. In £sd ist es das kursive aus dem ASCII-Code.
[2] Vergessen sind Stiege (20 oder 24), Schock (60), groß Hundert (120), Gros (144) und groß Gros (1728).
[3] Trotz des Sexagesimalsystems wurden die Doppelstunden in nur 30 ‚Minuten‘ gegliedert, was wohl dem Monat zu 30 Tagen nachempfunden war. Dadurch entsprach ein Tag im Jahr etwa einer ‚Minute‘ des Tages. Bei abermaliger Teilung in 360 ‚Sekunden‘ wären diese 2/3 heutige Sekunden lang. Ein Stabpendel von 0,6615 Metern benötigt auf dem 30. Breitengrad diese Zeit für eine Halbschwingung. Das sind genau zwei reale Gudeafuß. Es ist also plausibel, daß Gudea sein reales Längenmaß vom Sekundenpendel ableitete, ohne die moderne Sekunde zu kennen.
[4] Wenn man nur bis zwölf schlägt, ist es naheliegend und mechanisch von Vorteil, zweimal umlaufen zu lassen. Ein Nachteil besteht darin, daß Süden nicht ungefähr auf der Mittagszeit (in Deutschland etwa 12:30 im Winter und 13:30 im Sommer) liegt, wenn man den Stundenzeiger auf die Sonne richtet, sondern auf der Winkelhalbierenden zwischen Stundenzeiger und Mittagszeit. Das alles ist natürlich kein Grund, die Uhrzeit zweimal von 1:00 bis 12:59 durchzuzählen. Vor allem nicht 12:00pm auf 11:59am und 1:00am auf 12:59am folgen zu lassen. Und welcher Amerikaner weiß schon, daß noon mehrheitlich 12:00pm und nicht 12:00am ist? Man komme ihm nicht mit Plausibilität, weil eine Sekunde nach Mittag ja 12:00:01pm sei.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mindestkußzahlen A002336. Nur für Dimensionen 1, 2, 3, 4, 8 und 24 als exakt bekannt.
[6] Das klingt schöner als: Eine Zahl n heißt Teilerprotz, wenn die Summe ihrer Teiler größer als 2n ist. Alternativ könnte man sagen, die Summe der echten Teiler muß größer als n selbst sein, muß sich aber fragen lassen, warum 1 mitzählt.
[7] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
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