Zahlwort

Die Zahl 89 ist als 100−10−1 nicht irgend­eine. Sie steht im Zusammen­hang mit den Fibo­nacci-​Zahlen. Wer nach ihr googelt, wird aber eher auf IXC als unzu­lässig gebil­dete römi­sche Zahl stoßen. Nicht breit erläu­tern will ich, wie man aus einer üblichen in arabi­schen Ziffern geschrie­benen Zahl eine römi­sche bildet, denn die Ziffern sind stur in Zeichen­ketten umsetz­bar. In die andere Rich­tung ist es etwas undurch­sich­tiger, doch im Prinzip das gleiche, sofern die römi­sche Zahl korrekt geschrie­ben ist.

Als ich las, daß unzu­lässig geschrie­bene römi­sche Zahlen in Einzel­fällen wie IC=99 und VC=95 zwar eine direkte Inter­preta­tion zulassen, dies aber schon bei IXC zu Doppel­deutig­keiten (91 oder 89) führe, regte sich in mir spontan Wider­spruch, denn auf den ersten Blick würde ich den Wert einer Zeichen­kette aus den Buchstaben MDCLXVI einfach rekursiv bilden: Einer römischen Zahl­zeichen­kette

z = s₁ M s₂ M s₃ M ... s_n M t

würde ich schlicht und ergrei­fend den Wert

w(z) = (1000−w(s1)) + (1000−w(s2)) + ... + (1000−w(sn) + w(t)
     = 1000·n − w(s1) − w(s2) − ... − w(sn) + w(t)

zuordnen, wobei in den Zeichen­ketten s₁ bis sₙ und t kein M mehr vorkommt. Die Werte w(s₁) bis w(sₙ) und w(t) werden in analoger Weise auf die wei­terer Zeichen­ketten zurück­geführt, die neben M auch kein D mehr ent­halten. So fährt man fort, bis nur noch lauter I bleiben, denen man ihre Länge als Wert zuordnet. Ein Bei­spiel:

w(MILLILIDL)
= 1000 + w(ILLILIDL)
= 1000 + 500 − w(ILLILI) + w(L)
= 1500 − (50·3−w(I)−w(I)+w(I)) + 50
= 1400 + 1 + 1 − 1 = 1401

Abstrus und auch wenig erfolg­reich, denn das nach dieser Methode übersetzte

IXC = − IX + C = − (−I+X) + C = − (−1+10) + 100 = 91

befriedigt nicht. Spontan würde doch jeder IXC=89 sagen. Außerdem gibt es für 91 keinen Abkür­zungs­bedarf, denn 91=XCI ist kor­rekt und auch nicht länger. Deshalb die nächste Idee, aufstei­gende Ketten wie IXCD voll­ständig sub­traktiv auszu­werten, also alles vor dem letzten Buch­staben von ihm abzu­ziehen. Damit das nicht in Rech­nerei aus­artet, verfahre ich wie folgt:

In aufsteigenden Ketten werden alle Zeichen bis auf das letzte zur Kenn­zeich­nung der Subtrak­tion in Klein­buch­staben gewan­delt. Anschlie­ßend können große gegen kleine Buch­staben gekürzt werden. Die verblei­benden Groß­buch­staben MDCLXVI werden zu einer Zahl addiert, ebenso die Kleinbuchstaben dclxvi (666!). Die Diffe­renz ist das hoffent­lich positive Ergebnis. Ein Beispiel:

  MILLIXLIDLXMILLI
= MiLLixLiDLxMiLLI
= MMDLLLLLLIxxiiii
= MMDLLLLLLxxiii
= 2800−23 = 2777

Das befriedigt für die Zahl IXC=ixC=Cxi=100−11=89, macht aber auch deutlich, daß es keinen Sinn hat, ein klei­neres Zeichen sowohl links als auch rechts von einem größeren aufzu­führen. So ist VIXI=ViXI=XVIi=XV=15 und (leider) nicht nach der rekur­siven Auffas­sung VIXI=X−(VI)+I=5 und schon gar nicht VIXI=VXII=17.

Wenn man die Zahl 89 umdreht und zu sich selbst addiert, erhält man 89+98=187. Verfährt man mit der 187 ebenso, kommt man zu 187+781=968. So geht es weiter

   0.             8 9
   1.            1 8 7
   2.            9 6 8
   3.           1 8 3 7
   4.           9 2 1 8
   5.          1 7 3 4 7
   6.          9 1 7 1 8
   7.         1 7 3 4 3 7
   8.         9 0 7 8 0 8
   9.        1 7 1 6 5 1 7
  10.        8 8 7 2 6 8 8
  11.       1 7 7 3 5 4 7 6
  12.       8 5 1 8 9 2 4 7
  13.      1 5 9 4 8 7 4 0 5
  14.      6 6 4 2 7 2 3 5 6
  15.     1 3 1 7 5 4 4 8 2 2
  16.     3 6 0 2 0 0 1 9 5 3
  17.     7 1 9 3 0 0 4 0 1 6
  18.    1 3 2 9 7 0 0 7 9 3 3
  19.    4 7 2 6 7 0 8 7 1 6 4
  20.    9 3 4 4 5 1 6 3 4 3 8
  21.   1 7 6 8 8 1 3 1 7 8 7 7
  22.   9 5 5 5 9 4 5 0 6 5 4 8
  23.  1 8 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 7
  24.  8 8 1 3 2 0 0 0 2 3 1 8 8

bis man im 24. Schritt ein Palin­drom erhält, also eine Zahl, die rückwärts wie vorwärts die gleiche Ziffern­folge aufweist. Diese 24 Schritte mögen nicht beein­drucken, doch ist zu bedenken, daß alle klei­neren Zahlen maximal sechs erfor­dern.

196

Man kann die Zahl 89 nicht nur im Sinne der Ziffern­vertau­schung umdre­hen. Auch das um 180 Grad gedrehte Schrift­bild stellt wieder eine Zahl dar, nämlich 68. Neben dem Fall der Mauer im Jah­re 1989 war dieser Bezug auf die linken 68er den Rechten will­kom­mener Anlaß, sich 89er zu nennen. Seither dümpeln nicht nur Ossis, sondern auch die Rechten andert­halb Jahr­zehnte vor sich her, weshalb die Bezeich­nung 89er nur noch im geschicht­lichen oder ironi­schen Zusam­men­hang auf­taucht.

Vor über einem halben Jahr schrieb ich hier, die Zahl 89 sei als 100−10−1 nicht irgendeine und habe einen Zusam­men­hang mit den Fibonacci-​Zahlen. Und ich meinte nicht, daß 89 die 11. Fibo­nacci-​Zahl ist, sondern wegen der Dezimal­darstel­lung von

1/89 = 0,011235955056179775...
     = 0,01
     + 0,00
     + 0,0002
     + 0,00003
     + 0,000005
     + 0,0000008
     + 0,00000013
     + 0,000000021
     + ............

in der offen­sicht­lich die gesamte Fibo­nacci-​Folge vorkommt. Das ähnelt dem Bruch

1/81 = 0,012345679012345679...
     = 0,01
     + 0,002
     + 0,0003
     + 0,00004
     + 0,000005
     + 0,0000006
     + ..........

Warum ist das so? Es sei f(x) die aus der um zwei Nullen ergänzten Fibo­nacci-​Folge 0, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... gebil­dete Potenz­reihe. Dann ist

      f(x) = 1x2 + 1x3 + 2x4 + 3x5 + 5x6 +  8x7 + 13x8 + ...
     xf(x) = 0x2 + 1x3 + 1x4 + 2x5 + 3x6 +  5x7 +  8x8 + ...
 (1+x)f(x) = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 5x5 + 8x6 + 13x7 + 21x8 + ...
x(1+x)f(x) = 0x2 + 1x3 + 2x4 + 3x5 + 5x6 +  8x7 + 13x7 + ...

Offensichtlich unter­scheidet x(1+x)f(x) sich von f(x) nur durch das erste Glied. Es ist x(1+x)f(x)=f(x)−x², also f(x)=x²/(1−x−x²). Mit dem spezi­ellen Wert x=1/10 ergibt sich sowohl

f(x) = (1/100)/(1−1/10−1/100) = 1/(100−10−1) = 1/89   als auch
f(x) = 1/102 + 1/103 + 2/104 + 3/105 + 5/106 + 8/107 + 13/108 + ...

Wie bei 1/81 sind also keine übernatür­lichen Kräfte am Werke. Setzt man x=1/100 ein, so ist f(x)=1/(10000−100−1)=1/9899. Und deshalb

1/9899 = 0,00010102030508132134...
       = 0,0001
       + 0,000001
       + 0,00000002
       + 0,0000000003
       + 0,000000000005
       + 0,00000000000008
       + 0,0000000000000013
       + ....................

Und das geht nicht nur für 10 und 100, sondern zu jeder Basis b. Man wähle ein­fach x=1/b und erhält den Bruch 1/(b²−b−1). Besonders schön ist b=2.

81 | Fibonacci-​Zahlen