Zahlwort

Es geht mir nicht darum, beim Kauf eines Toasters zehn Prozent zuviel bezahlt zu haben, sondern um die Dar­stel­lung von Zahlen in Pro­zen­ten in betrü­geri­scher Ab­sicht, manch­mal aus Ver­sehen. Eigent­lich steht Pro­zent (%) nur für 1/100 und ge­stat­tet eine unschul­dige Dar­stel­lung von Zah­len in Hun­dert­steln. Das ist beson­ders für Zahlen im Bereich von etwa 0,001 bis 1,9 oft­mals recht ange­nehm, sind wir doch durch Mark und Pfen­nig an das Ver­hält­nis von 1 zu 100 gewöhnt.

Grund­sätz­lich kann jede Zahl r als 100r% ge­schrie­ben wer­den. Beson­ders beliebt ist eine Pro­zent­schreib­weise aber bei Ver­hält­nis­sen, An­tei­len, Quo­ten, Zins­sät­zen, in denen r=p/q durch Divi­sion ge­bil­det wurde. Darin ist der Nen­ner q die Grund- oder Be­zugs­größe und der Zähler p eine Größe, die in einem sinn­haf­ten Ver­hält­nis zum Nen­ner q ste­hen sollte. Nor­ma­ler­weise ist wie bei 3% Zin­sen klar, was gemeint ist. Aber nicht immer, schon gar nicht bei Ange­bern, Klein­red­nern, Betrü­gern oder ein­fach Idio­ten.

Ein Beispiel: Bis zum 8. De­zem­ber 2021 wurden in Deutsch­land p=104.512 Corona­tote gezählt. Geteilt durch q=83.520.00 Ein­woh­ner er­gibt sich eine Quote von 104.512/83.520.000=0,1251%, das ist erst­mals einer von un­ter 800. Aber ich be­richte es erst heute, und ich spre­che von Quote, nicht von Gesamt­morta­lität. Auch sage ich nicht, einer von 800 sei bereits vor Tagen an Corona gestor­ben. Warum? Nicht, weil man darü­ber strei­ten kann, ob die 83,52 Mil­lio­nen kor­rekt ge­schätzt sind, ob Aus­länder abzu­ziehen und Ille­gale zuzu­schlagen sind. Es geht auch nicht um Zweifel an den Anga­ben des RKI, son­dern um einen grund­sätz­li­chen Feh­ler, auch wenn er augen­blick­lich mar­gi­nal sein mag. Welchen?

Vor einem Monat erwähnte ich wegen des Chro­nisten die große Dif­fe­renz von 64 Mi­nu­ten zwi­schen der Orts­zeit von Istan­bul und der in der Türkei herr­schen­den Dauer­sommer­zeit (UTF+3, Mekka-​Zeit). Für Deutsch­land nannte ich 18:21 MEZ und eine Ortszeit von 17:55.

Nur Fritz rechnete die 26 Minuten auf 8,5 Grad östlicher Länge um und frug sich, welche Orte denn in dessen Nähe liegen und ob ich dort wohne. So kam er auf Frank­furt. Tat­säch­lich wohnte ich in der Nähe. War es ein Zufall, eine will­kür­liche Wahl, ein ver­steck­ter Hin­weis oder gab es irgend­einen Grund, der viel­leicht sogar mir unbe­kannt war? Diese Frage sollte man sich durch­aus öfter stel­len, denn nicht alles ge­schieht zufäl­lig. Auch umge­kehrt spricht nicht alles, was man im Ein­klang mit bekann­ten Umständ­en findet, für einen Zusam­men­hang.

Frank­furt war nicht schlecht, liegt aber mehr als eine Zeit­mi­nute weiter öst­lich. Nicht wissen konnte Fritz, daß ich in ferner Ver­gan­gen­heit ein­mal in der Nähe von Frank­furt-​Hoechst lebte. Meine Liebe zum Ziwo beden­kend kam er auf Pader­born, leider noch etwas weiter im Osten. Aber die Kräu­ter­spi­rale könnte ich bei 8,5 Grad ge­fun­den haben. Auch Sylt wird von 8,5 Grad getrof­fen, aber est hin­ter Lidl bei Mor­sum. Viel­leicht lag auch der Kata­log des Klima­hau­ses in Bremer­haven herum, den ich vor eini­ger Zeit anläß­lich eines Besu­ches ge­kauft hatte. Es führt 8° Ost im Namen und den Besu­cher ent­lang des ach­ten Län­gen­gra­des um die Erde, liegt aber selbst bei 8°34'30".

Es mag also kein Zufall gewesen sein, auch sind Frank­furt und Pader­born nicht raus, denn ich erin­nere mich, irgend­wie eine Uhr­zeit er­rech­net und dann auf 5 Mi­nu­ten ge­rundet zu haben. Damit erwei­tert sich der Strei­fen von einer auf fünf Zeit­minu­ten von knapp 8 bis gut 9 Grad Ost, etwa 85 Ki­lo­me­ter. Darin liegt so man­ches.

Weshalb hatte ich Fritz ver­spro­chen, mich dazu ein­gehen­der zu äu­ßern? Weil ich mich selbst von den Tref­fern über­rascht sah, obwohl ich gar nicht vor­hatte, darin eine Bot­schaft etwa über mei­nen Wohn­ort zu ver­stecken. Eigent­lich wollte ich Ham­burg wählen, was mehr in der Ost-​West-​Mitte Deutsch­lands und ziem­lich genau auf dem 10. Län­gen­grad liegt, zumal ich Ham­burg bereits als Bei­spiel für die Un­sin­nig­keit der Som­mer­zeit (Kiew-​Zeit) ge­nutzt hatte.

Irgendwie habe ich in meinem Dusel aber 8,5 Grad östli­cher Länge gewählt und frage mich seit­her selbst: War es Zufall oder nicht? Habe ich mit Be­dacht, ver­sehent­lich oder unbe­wußt Frank­furt gewählt und die errech­nete Orts­zeit von 17:56 auf 17:55 gerun­det? Solche Fragen sollte man sich öfter stel­len, zumin­dest nicht Zu­sam­men­hänge raus­hauen, die nur des­halb auf­tre­ten, weil man unbe­wußt oder gar vor­sätz­lich wel­che unter­brach­te. Auch Täu­schun­gen sind leicht mög­lich. Deshalb schrieb ich des öfteren: Wo man zehn, drei, Sech­sen oder Drei­ecks­zahlen rein­steckt, da kommen sie und zahl­rei­che Bezie­hun­gen auch wie­der raus.

Sommerzeit | 10 | 36 | 153 | 666

Mindestens dreimal verriet ich meine Mis­anthr­opie und dachte, es ginge bergab bis zum fak­ti­schen Ende der Epi­demie:

01.04.2020   47
09.11.2020  158
20.12.2020  217
23.04.2021  176

Heute wurde das All­zeit­hoch vom 20. De­zem­ber 2020 mit einer Sie­ben­tage­inzi­denz von 223 (RKI 214) für die Woche um den 5. No­vem­ber 2021 über­bo­ten. Und im Gegen­satz zu da­mals, da der R‑Wert bei 1 lag und es wie­der bergab ging, ist der­zeit kein Ende des An­stie­ges in Sicht.

Vor 18 Jahren begab ich mich auf die Suche nach einem 27. Buch­sta­ben, um zusam­men mit den zehn Zif­fern auf 27·37=999 zwei­stel­lige alpha­nume­ri­sche Be­zeich­nun­gen zu kom­men. Ein paar Son­der­zei­chen, Um­laute und Liga­tu­ren schied ich aus. Damit ei­gent­lich auch die Liga­tur & aus klei­nem E und T, das Amper­sand, Et‑Zei­chen, kauf­män­ni­sches Und und mir als Krä­mer‑Und in Erin­ne­rung.

Erst später vernahm ich, daß & früher letz­ter Buch­stabe im eng­li­schen Alpha­bet war und so unter den vie­len sei­ner­zeit ge­bräuch­li­chen Liga­tu­ren eine beson­dere Stel­lung ein­nahm. Da eng­li­sche Kinder das Alpha­bet am Ende mit „x, y, z, and per se and“ auf­sag­ten, bür­ger­te sich die Be­zeich­nung Amper­sand ein.

Aber auch dieses Krä­mer‑Und schei­det für mich als 27. Buch­stabe aus. Wie Klam­mer­affe und Dol­lar ist es in der Daten­ver­arbei­tung oft­mals ein Meta­zei­chen, ins­beson­dere unter HTML. Ähn­li­ches gilt auch für andere in letz­ter Zeit in Fließ­texte ein­ge­drun­gene Zei­chen wie #, +, - und alle Satz­zei­chen. Damit ist die Suche beendet.

27 | 999 | ASCII | Unterstrich | Klammeraffe | Dollar | Eszett | Umlaute

Es ist schon erstaun­lich, was man­che alles für para­dox hal­ten, nur weil es nicht der spon­tanen nai­ven Erwar­tung ent­spricht und sie nicht in der Lage oder bereit sind, den ein­fa­chen Zusam­men­hang zu sehen oder den feh­len­den anzu­er­ken­nen.

Ein Beispiel für einen ein­fa­chen Zu­sam­men­hang: Trotz Imp­fung nimmt der Anteil der Geimpf­ten in den Kran­ken­häu­sern zu. Ja, sofern nicht ein Wun­der­mit­tel zum neu­deut­schen Nach­boostern gefunden wird, bleibt es so. In 2020 lag der Anteil Geimpf­ter bei 0 Pro­zent, jetzt bereits bei 50 und macht sich Rich­tung 100 auf, die aber dank des Wider­stan­des der Impf­gegner nur sehr schwer zu er­reichen sind.

Ein Beispiel für einen fehlen­den oder zufäl­ligen Zusam­men­hang: Wo viel geimpft wurde, sind die Inzi­den­zen hoch. Das stimmte. Einen Grund kannte ich nicht, obwohl auch nichts dagegen spricht, daß man bei fal­len­den Inzi­den­zen nachlässig wird. Ins­beson­dere im Osten, wo man sich rie­sige Fall­zahlen gönnte, fielen sie aus Angst, schlech­ter Erfah­rung, Gesichts­wah­rung oder was auch immer in den Kel­ler, worüber die Impfun­gen ver­nach­läs­sigt wurden.


Je höher die Impfquote, desto niedriger die Inzidenz (png)

Theorie hin oder her, der Zusammen­hang ist nicht nur ver­schwun­den, er hat sich ins erwar­tungs­gemäße Gegen­teil verkehrt. Aus dem Impf­para­dox wurde ein Impf­ortho­dox. Mit jedem Pro­zent Impf­quote sinkt die Sieben­tage­inzi­denz um 1,5 pcm.

Jeder kennt aus seiner Kind­heit Abzähl­verse, um den näch­sten Kan­di­da­ten zu be­stim­men. Zum Bei­spiel „a ba bu und ab bist du“. Nor­ma­ler­weise sind sie etwas län­ger, doch bereits bei die­sen sie­ben Sil­ben ist es schwie­rig vor­her­zuse­hen, wel­che Posi­tion es tref­fen wird, um sich an sie zu stellen oder sie zu meiden. Die nach­ste­hende Abbil­dung zeigt links zweimal fünf abzu­zäh­lende Posi­tio­nen. Die letzte ist die rechts in der Reihe ste­hende oder die abzäh­len­de Per­son selbst. Im linken Teil­bild wird immer wie­der vorne begon­nen, und es trifft zum Schluß die fünfte Posi­tion. Diese Methode ist unschön, wenn mehr Per­so­nen n in der Reihe stehen als der Abzähl­vers Sil­ben k hat. Dann fällt dumm auf, daß es stets zunächst die hin­teren Posi­tio­nen k bis n trifft. Des­halb wird bes­ser wie im zwei­ten Teil­bild nach dem Aus­schei­den einer Per­son an der rechts dane­ben fort­gefah­ren. Ich meine, daß es in mei­ner Kind­heit so war. Alles andere hätte mir dumm auf­fal­len müs­sen.

1 2 3 4 5   1 2 3 4 5   00000000011111111112222222222333333333344
a b b u a   a b b u a   12345678901234567890123456789012345678901
b d | | |   b d a b b   ||X||X||X||X||X||X||X||X||X||X||X||X||X||
a   b b u   u   a b d   X| |X || X| |X || X| |X || X| |X || X| |X
a   b d |   a   b b      | |  X|  | X  ||  X |  |X  | |  X|  | X
a   b   b   u   a b      | |   X  |    |X    |  |   X |   |  X
u   a   b   d   a b      | |      X    |     |  X     |   |
d   |   |       b u      X |           |     X        |   |
    a   b       a b        X           |              |   X
    b   u       d |                    |              |
    a   b         |                    X              |
    d   |<-----letzter            Josephus        letzter

Während Kinder im all­gemei­nen wenige Posi­tio­nen mit lan­gen Ver­sen abzäh­len, sind es im rech­ten Teil­bild viele Posi­tio­nen n=41 und wenige Sil­ben k=3. Flavius Jose­phus wollte angeb­lich mit 40 wei­teren Gefan­genen Selbst­mord bege­hen. Nach­dem das Los bereits 39 das Leben kostete, war Jose­phus selbst an der Reihe. Da ergaben sich die rest­lichen beiden den Römern. Das führte zu der Frage: An welcher Posi­tion stand Jose­phus, wenn 41 Leute sich im Kreis auf­stellen und begin­nend mit der Posi­tion 3 jeder dritte erschlagen wird? Das vor­ste­hende Bild liefert die Antwort.

Das allgemeine Jose­phus-​Pro­blem  besteht darin, die Posi­tion p des letzten für alle n und k zu ermit­teln. Eine geschlos­sene Lösung ist wohl über k=3 hinaus nicht bekannt. Doch für k=2 ist es recht einfach:

0000000001111111111222222222233333333334444444444555555555566666
1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234
|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X|X
| X | X | X | X | X | X | X | X | X | X | X | X | X | X | X | X
|   X   |   X   |   X   |   X   |   X   |   X   |   X   |   X
|       X       |       X       |       X       |       X
|               X               |               X
|<--letzter                     X

Die vorstehende Abbil­dung zeigt, daß für Zweier­poten­zen n=2^m in jedem der m Um­läu­fe die An­zahl hal­biert wird und die Posi­tion 1 übrig­bleibt. Ist nun n=2^m+l mit l<2^m, dann kom­men zu­nächst die l Po­si­tio­nen 2, 4, 6, ..., 2l<n ums Leben. Danach stehen noch 2^m Mann. Nun ist der an Posi­tion p=2l+2 an der Reihe, und sein Vorgänger bei p=2l+1 bleibt letzt­lich übrig. Wer diese Über­le­gung scheut, aber pro­gram­mie­ren kann, der er­stellt sich eine Ta­belle, erkennt das Prin­zip und hofft, daß es sich so fort­setzt.

 n        p        n          p         n            p
1   1    1 1      8 1000  0001  1     15  1111   1111 15
2  10   01 1      9 1001  0011  3     16 10000  00001  1
3  11   11 3     10 1010  0101  5     17 10001  00011  3
4 100  001 1     11 1011  0111  7     18 10010  00101  5
5 101  011 3     12 1100  1001  9     19 10011  00111  7
6 110  101 5     13 1101  1011 11     20 10101  01011  9
7 111  111 7     14 1110  1101 13     21 10110  01101 11

Es gibt eine nette Spie­lerei, zur An­zahl n die Posi­tion p des Über­leben­den zu bestim­men: Aus der Binär­dar­stel­lung der Zahl n wird die füh­ren­de 1 ge­stri­chen und hin­ten ange­fügt. So er­gibt sich eine Binär­dar­stel­lung der Posi­tion p. Der Grund ist ein­fach: Durch das Ent­fer­nen der füh­ren­den 1 geht n in n-2^m=l über. Das Anfü­gen ei­ner 1 am Ende macht aus l dann 2l+1=p.

[1] Wolfram Mathworld. Josephus Problem.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A032434, A006257, A054995.

41 | Sieb von Josephus

In den letzten Tagen hatte ich damit gerech­net, daß auf den letz­ten Metern, ins­beson­dere den 31 Fuß vor der Urne wie­der die Angst vor der Ver­ände­rung siegt und die CDU knapp vor der SPD lan­det. Dann wäre Scholz stolz gewe­sen, die SPD aus dem Kel­ler geholt zu ha­ben, obgleich es aus der Oppo­si­tion heraus hätte über­zeu­gen­der aus­fal­len können.

Da Laschet von weit oben auf dem zwei­ten Platz lan­dete, sollte er eigent­lich zurück­tre­ten und nicht den Schrö­der machen. Wenn die CDU kon­sequen­ter ist als die SPD vor vier Jahren, dann schickt sie Laschet in die Wüste und rege­ne­riert sich in der Oppo­sition.

Leider ist den Grü­nen und vor allem der FDP alles zuzu­trauen. Sie könnten sich für den schwä­cheren Häupt­ling ent­schei­den, um mehr Posten zu ergat­tern. Viel­leicht ist das lang­fri­stig mit oder ohne Regie­rungs­wech­sel oder Neu­wahlen die beste Vari­ante für die SPD.

4 von 7 | Schwarz-Rot | Heute Zwerg, morgen Riese | Koali­tion der Mitte | Gemein­same Nenner | Pünkt­chen­partei