41
wuerg, 17.10.2005 22:33
Setzt man in das Eulersche Primpolynom n(n−1)+41 eine Zahl nach der anderen ein, so erhält man lauter Primzahlen:
Die im Eulerschen Primpolynom enthaltenen Rechteckzahlen n(n−1) sind gerade und lassen bei Division durch 3 nur die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen. Und für k=0,1,2,3,6 ergeben sich tatsächlich Polynome n(n−1)+a mit a=5,11,17,41, die bis n=a−1 Primzahlen sind. Hinzu kommen a=2,3. Weitere habe ich bis 1000 nicht gefunden und gibt es wohl auch nicht, wenn ich [1] überfliegend recht verstanden habe.
[1] Candy Walter: Das Gauss'sche Klassenzahl-Eins-Problem. 2012.
Ulam-Spirale | Eszett
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... n(n-1)+41: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 ...Das geht so weiter bis n=40 mit der Primzahl 1601, doch für n=41 kommt wegen n(n−1)+41=41⋅40+41=41⋅41 eine Quadratzahl heraus. Wie findet man solche Folgen ohne Computer und ohne viel Zahlentheorie?
Die im Eulerschen Primpolynom enthaltenen Rechteckzahlen n(n−1) sind gerade und lassen bei Division durch 3 nur die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen. Und für k=0,1,2,3,6 ergeben sich tatsächlich Polynome n(n−1)+a mit a=5,11,17,41, die bis n=a−1 Primzahlen sind. Hinzu kommen a=2,3. Weitere habe ich bis 1000 nicht gefunden und gibt es wohl auch nicht, wenn ich [1] überfliegend recht verstanden habe.
[1] Candy Walter: Das Gauss'sche Klassenzahl-Eins-Problem. 2012.
Ulam-Spirale | Eszett
... comment
wuerg,
22.10.2005 17:34
Die Zahl 41 ist nach 1, 5, 13 und 25 die fünfte zentrierte Quadratzahl:
Natürlich gibt es bessere Näherungen wie 99/70 mit größerem Zähler. [1] Sie kann zur Anpassung an das Prozentdenken auf 100/71 verschlechtert werden. Das ist vom Kopierer her bekannt, von A4 auf A5 sind es 71 Prozent. Und es gibt auch kleinzahligere beste Näherungen p/q wie 7/5 und 17/12. Für alle gilt 2q²±1=p². Für jede zweite trifft das Minuszeichen zu, was eine nette graphische Darstellung erlaubt:
[1] Im Altertum war wegen 2⋅5²=50 und 7²=49 das kleinere Verhältnis 7/5=1,4 als sog. rationale Diagonale [3] recht beliebt, weshalb eine große königliche Elle die normale um den Faktor 50/49 überragte. Die kleine brachte es nur auf √(50/49), etwa einem Prozent mehr. Das ist die Abweichung der Näherung 7/5 vom wahren Wert der Wurzel aus 2. Sicherlich kannte man damals auch 17/12≈1,4167 und 41/29≈1,4138, ließ sie aber wegen der hohen Primzahlen 17, 29 und 41 links liegen und wandte sich dem 11‑glatten 99/70≈1,41429 zu, was für den dämlichen Faktor 11 im angloamerikanischen Maßsystem (2 rod = 11 yard) verantwortlich sein könnte. Die Abweichung zu √2≈1,41421 ist sehr gering. Und Esoteriker werden in beiden die 41 nach dem Komma nicht übersehen, vielleicht auch nicht die Doppel‑14.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Die NSW-Zahlen p aus A002315 sind die Zähler p der besten Näherungen p/q der Wurzel aus 2 von unten mit q=⌈p/√2⌉, die in A001653, den Pell-Zahlen A000129 mit ungeradem Index zu finden sind. Deren in A008844 verzeichneten Quadrate q² sind genau die Quadratzahlen, die zugleich zentrierte Quadratzahlen sind.
[3] Wolfram Mathworld. NSW Number.
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oSie ist also Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen (41=16+25). Eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft, die mit dem Quadrat und dessen Diagonalen im Zusammenhang steht, gründet sich auf 41=20+21 mit 20⋅20+21⋅21=29⋅29. Man kann also ein pythagoreisches Dreieck mit der Hypotenuse 29 und zwei fast gleich großen Katheten bilden, was bedeutet, daß (20+21)/29=41/29=1,41379… die Quadratwurzel aus 2 gut nähert. So gut, daß für kleinere Zähler als 41 keine bessere rationale Näherung möglich ist, denn 2⋅29²=1682 und 41²=1681 unterscheiden sich nur um eins.
Natürlich gibt es bessere Näherungen wie 99/70 mit größerem Zähler. [1] Sie kann zur Anpassung an das Prozentdenken auf 100/71 verschlechtert werden. Das ist vom Kopierer her bekannt, von A4 auf A5 sind es 71 Prozent. Und es gibt auch kleinzahligere beste Näherungen p/q wie 7/5 und 17/12. Für alle gilt 2q²±1=p². Für jede zweite trifft das Minuszeichen zu, was eine nette graphische Darstellung erlaubt:
3 4
+-----o-----+--- 3 + 4 = 7
| o | o | Λ
4 | o | o | | o o o o hat Länge 5
o-----+-----o 7
| o | o | | 3² + 4² = 5²
3 | o | o | V
+-----o-----+--- 2⋅5² = 7² + 1
| 4 3 |
|<----7---->|
Durch Teilung der Kante 7 des äußeren Quadrates in Abschnitte der Länge 3 und 4, die im vorstehenden Bild gleich lang dargestellt sind, entsteht ein inliegendes Quadrat (o) der Kantenlänge 5, dessen Diagonalen √50 lang sind, was knapp über der sog. rationalen Diagonalen 7 liegt. Und man kann es sich fast denken, das nächste Quadrat mit dieser Darstellung hat die Kantenlänge 41:
20 21
+-----o-----+--- 20 + 21 = 41
| o | o | Λ
21 | o | o | | o o o o hat Länge 29
o-----+-----o 41
| o | o | | 20² + 21² = 29²
20 | o | o | V
+-----o-----+--- 2⋅29² = 41² + 1
| 21 20 |
|<----41--->|
Der nächste Fall wäre nicht 99/70, sondern erst 239/169. Da a=(p−1)/2 und b=(p+1)/2 benachbarte natürliche Zahlen mit a²+b²=(p²+1)/2=q² sind, ist q² nicht nur normale, sondern auch zentrierte Quadratzahl. Die ersten sind
12 = 1 = 0 + 1 = 02 + 12 (0+1)/1 = 1/1 = 1,0000 52 = 25 = 9 + 16 = 32 + 42 (3+4)/5 = 7/5 = 1,4000 292 = 841 = 400 + 441 = 202 + 212 (20+21)/29 = 41/29 ≈ 1,4138 1692 = 28561 = 14161 + 14400 = 1192 + 1202 (119+120)/169 = 239/169 ≈ 1,4142Um nach dieser Abschweifung die Kurve zur 41 zu bekommen, habe ich sie fett hervorgehoben. Soweit meine 64‑Bit-Arithmetik reicht, ist sie nach der trivialen 1 die einzige zentrierte Quadratzahl im Zähler, also in der Reihe der Newman-Shanks-Williams-Zahlen 1,7,41,239,1393,… [2,3]
[1] Im Altertum war wegen 2⋅5²=50 und 7²=49 das kleinere Verhältnis 7/5=1,4 als sog. rationale Diagonale [3] recht beliebt, weshalb eine große königliche Elle die normale um den Faktor 50/49 überragte. Die kleine brachte es nur auf √(50/49), etwa einem Prozent mehr. Das ist die Abweichung der Näherung 7/5 vom wahren Wert der Wurzel aus 2. Sicherlich kannte man damals auch 17/12≈1,4167 und 41/29≈1,4138, ließ sie aber wegen der hohen Primzahlen 17, 29 und 41 links liegen und wandte sich dem 11‑glatten 99/70≈1,41429 zu, was für den dämlichen Faktor 11 im angloamerikanischen Maßsystem (2 rod = 11 yard) verantwortlich sein könnte. Die Abweichung zu √2≈1,41421 ist sehr gering. Und Esoteriker werden in beiden die 41 nach dem Komma nicht übersehen, vielleicht auch nicht die Doppel‑14.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Die NSW-Zahlen p aus A002315 sind die Zähler p der besten Näherungen p/q der Wurzel aus 2 von unten mit q=⌈p/√2⌉, die in A001653, den Pell-Zahlen A000129 mit ungeradem Index zu finden sind. Deren in A008844 verzeichneten Quadrate q² sind genau die Quadratzahlen, die zugleich zentrierte Quadratzahlen sind.
[3] Wolfram Mathworld. NSW Number.
... link
... comment
wuerg,
26.10.2005 11:52
Was gibt es sonst noch zur Zahl 41 zu sagen, wenn man einmal davon absieht, daß diese Zahl wie viele andere in Namen, Filmen, Büchern usw. vorkommt? Hexadezimal gelesen steht 41 für den ersten Großbuchstaben A (dezimal 65) im ASCII-Code. Johann Sebastian Bach kannte ihn noch nicht, fand aber die Symmetrie der Zahlen 14 (B+A+C+H=2+1+3+8=14) und 41 (JS BACH) ganz reizvoll, wozu allerdings das J bei der Buchstabenzählung auszulassen ist. Dann ist J=I=9 und S=18. Ob er neben der Tonfolge B–A–C–H nicht nur 12, 14 und 84, sondern auch 41 in seinen Kompositionen untergebracht hat, weiß ich nicht.
Ein ähnlicher Spaß ist die Feststellung, daß 41 die Summe aller Primzahlen unterhalb von ihrer Umkehrung 14 ist, denn 2+3+5+7+11+13=41. Und beinahe wäre die 14. Primzahl auch 41 gewesen, doch ist es nur die 13. geworden. Im Quadrat 1681 der Zahl 41 findet man zwei Quadratzahlen, nämlich 16 und 81, weshalb 41²=40²+9² sein muß. Und das Dreifache der Zahl 41 ergibt eine schöne Reihung 123 der ersten drei Ziffern, die als Sinnbild für das Zählen insgesamt stehen.
Ein ähnlicher Spaß ist die Feststellung, daß 41 die Summe aller Primzahlen unterhalb von ihrer Umkehrung 14 ist, denn 2+3+5+7+11+13=41. Und beinahe wäre die 14. Primzahl auch 41 gewesen, doch ist es nur die 13. geworden. Im Quadrat 1681 der Zahl 41 findet man zwei Quadratzahlen, nämlich 16 und 81, weshalb 41²=40²+9² sein muß. Und das Dreifache der Zahl 41 ergibt eine schöne Reihung 123 der ersten drei Ziffern, die als Sinnbild für das Zählen insgesamt stehen.
... link
... comment
wuerg,
06.07.2024 21:19
Nach fast zwanzig Jahren muß ich zugeben, nicht genügend gewürdigt zu haben, daß 41 die Summe der ersten sechs Primzahlen von 2 bis 13 ist. Das ist zwar eine Allerweltseigenschaft, doch gibt es neben der trivialen Zerlegung 41 selbst noch eine dritte aufeinanderfolgender Primzahlen, nämlich 41=11+13+17. Und mit diesen drei Zerlegungen ist 41 die kleinste. Verzichtet man jedoch auf die triviale Zerlegung 41 selbst und zählt nur die beiden echten, so muß 41 den Titel an 36=17+19=5+7+11+13 abgeben. Das alles fiel mir erst auf, als ich mich erneut mit der Zahl 311 beschäftigte.
311
311
... link
... comment
