Goldener Schnitt
Der goldene Schnitt ist die Teilung der Einheitsstrecke bei 0,6180... im Verhältnis von 1 zu 1,6180... und kommt allenthalben in Natur und Kultur vor. Die Natur trifft den goldenen Schnitt natürlich nur ungefähr, wo er sich als günstig und damit von evolutionären Vorteil erwiesen hat. Geometrisch kommt er in der Lieblingsfigur der Griechen, dem Pentagramm
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vor, dessen unteren Teil ich wegen Unschönheit der Darstellung im Zeichenraster weggelassen sowie eine Seite des inneren Fünfeckes mit y und zwei Seiten der Sternspitzen mit x gekennzeichnet habe. Die vielen Winkel von 36° und die darauf basierenden ähnlichen Dreiecke führen schnell auf die Längen-Verhältnissse
y : x  =  x : (x+y)  =  (x+y) : (x+y+x)
Dieses Verhältnis heißt goldener Schnitt und wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit phi abgekürzt. Wer quadratische Gleichungen lösen kann, errechnet schnell
y/x = phi = (sqrt(5)-1)/2 = 2*sin(18°) = 0,6180339887498948482...
x/y = Phi = (sqrt(5)+1)/2 = 2*cos(36°) = 1,6180339887498948482...
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt. Ein goldnes Rechteck hat Seiten im Verhältnis 1 zu Phi. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal proportioniert. Wie man ein Din-A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres Din-A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und behält wieder ein goldenes Rechteck übrig:
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Während die Kultur sich auf das goldenen Rechteck als schön geeinigt hat, hält sich die Natur an den goldenen Winkel. Bei etwa 137,5° werden die 360° im Verhältnis 1 zu Phi bzw. phi geteilt. Das ist der goldene Winkel, der sich zumindest näherungsweise in vielen Pflanzen wiederfindet.

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Ich bin beständig versucht, die Zahl Phi=1,618... als den goldenen Schnitt auszugeben, weil die Seiten des goldenen Rechteckes für mich im Verhältnis 1 zu 1,618... stehen, wie es beim DIN-A-Papier das Verhältnis 1 zu 1,4142... ist. Natürlich kann man beim goldenen Rechteck auch vom Verhältnis 1 zu 0,618... oder 0,618... zu 1 oder 1,236... zu 2 usw. sprechen. Aber der eigentliche Name lautet goldener Schnitt und nicht goldenes Rechteck, und es ist die Abtrennung von 0,618... der Einheitsstrecke, also etwa 62% gemeint. Daß man nicht die andere Teilstrecke mit den verbleibenden 38% als den goldenen Schnitt bezeichnet, liegt einfach daran, daß für phi=0,618... die Beziehung 1+phi=1/phi gilt und nicht für die 38 Prozent.

Also phi=0,618... ist der goldne Schnitt, der wegen phi=(sqrt(5)-1)/2 natürlich mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, denn alle Quadratwurzeln sind es. Klassisch wird der goldene Schnitt AE der Einheitsstrecke AB wie folgt konstruiert: Am Punkt B wird eine Senkrechte auf AB errichtet, auf der die Strecke 1/2 zum Punkt C abgetragen wird. Der Kreis um C durch B schneidet die Strecke AC im Punkt D und der Kreis um A durch D schneidet die Strecke AB im Punkt E. Die so entstandene Strecke AE hat die Länge phi und teilt die Gesamtstrecke AB golden. Wer diese Vorschrift umsetzen kann, der wird möglicherweise auch nachweisen können, daß es sich um eine korrekte Konstruktion handelt. Wer nach dem Satz des Pythagoras die Länge sqrt(5)/2 der Strecke AC ermitteln kann, für den ist der Rest kein Problem.

Weil alle Strecken im Pentagramm und auch im Fünfeck zum Radius in einem Verhältnis stehen, das leicht mit phi ausdrückbar ist, läßt sich natürlich das regelmäßige Fünfeck mit Zirkel und Lineal einem vorgegebenen Kreis einbeschreiben. Am einfachsten geht das wohl, idem man den goldenen Schnitt des Radiusses konstruiert und ihn auf der Peripherie des Kreises zehnmal abträgt. So entsteht ein Zehneck, weil im Zehneck das Verhältnis von Kante zu Radius 2*sin(18°)=phi ist. Und hat man ein Zehneck, so ist das Fünfeck nicht weit.

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