Rene Ammann
Ich gehöre nicht zu denen, die bei Hugeldubel tagelang sitzen, ein Buch lesen und es dann zurücklegen. Ich mache es leider umgekehrt und kaufe in wenigen Minuten fünf Stück. Das dritte im Bunde ist "Ammanns wunderbare Welt in Zahlen" von Rene Ammann. Es handelt sich um eine Ansammlung von Fragen, die mit Zahlen beantwortet werden, mehr oder minder alle aus dem täglichen Leben und für meinen Blog ungeeignet, da es sich zumeist um Geldmengen, gerundete Zahlen, Prozente oder Verhältnisse handelt. Oftmals besteht der Witz auch in der Gegenüberstellung. Zwei Beispiele wird mir der Autor erlauben: Viele meinen, Frauen würden nach dem Aussehen behandelt. Das stimmt, denn gut aussehende Britinnen verdienen 11% mehr als die schlecht aussehenden. Doch bei Männern sind es 15%! Anteil der Amerikaner, die meinen, zumindest bald zum obersten Prozent der Einkommensverteilung zu gehören: 42 Prozent!

[1] Zahlenwelt

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Zweieck
Es soll immer noch so arme Leute geben, die noch nie ein Zweieck gesehen haben. Dabei kommen sie sogar im täglichen Leben vor. Nehme ich zum Beispiel alle Orte einer Zeitzone, wie sie einmal gedacht war, also ohne willkürliche, geographische oder politische Verhunzungen, dann bilden diese Orte ein Zweieck, das am Äquator immerhin 1670 Kilometer breit ist und die beiden Pole als Ecken besitzt. Aber auch Gesamtheit aller Orte, die alle nicht in dieser Zeitzone liegen, bilden ein Zweieck, wenn es auch nicht so aussieht. Es hat die gleichen Ecken und Kanten, nur eben eine andere, viel größere Fläche.

Beim Dreieck ist es nicht anders. Male ich eines auf ein Blatt Papier, so trenne ich eine innere von äußere Fläche ab. Die innere Fläche ist endlich, die äußere wegen des Papierrandes auch, doch unendlich gedacht. Das Dreieck Frankfurt-Berlin-Hamburg mag einem ebenso vorkommen. Das Innere liegt innerhalb Deutschlands, der Rest der Welt bildet das Äußere. Warum eigentlich? Was passiert, wenn ich die Berlin-Ecke nach Tokio verschiebe, dann die Hamburg-Ecke zum Nordpol und schließlich die Frankfurt-Ecke über den Atlantik und Südamerika nach Wellington? Ab wann wird das Innere zum Äußeren? Ab wann kann man das kein Dreieck mehr nennen?

Es gibt zwar die berühmte Frage, durch welches Sandkorn ein kleiner Haufen zu einem großen wird, doch mit solchen Spitzfindigkeiten sollte man die sphärischen Dreiecke nicht belasten. Wenn ich eine Ecke um einen Millimeter verschiebe, dann wird aus einem Dreieck kein Uneck und das Innere springt auch nicht nach außen. Drei verschiedene Punkte auf der Kugeloberfläche, die ich durch die kürzesten Linien (Großkreise) verbinde, teilen die diese Kugeloberfläche in zwei Dreiecke. Keines der beiden ist das innere.

Im Einklang mit unseren Dreiecken auf dem flachen Papier ist man aber gut beraten, sich an die folgenden Konventionen zu halten: Laufe ich den Rand eines Dreieckes (oder auch eines anderen Gebietes ab) ab, so soll das Innere alles sein, was linkerhand liegt. Das Äußere liegt dann rechterhand. Das Innere des Dreiecks Frankfurt-Berlin-Hamburg ist identisch mit dem von Berlin-Hamburg-Frankfurt und liegt vollständig in Deutschland. Es ist aber das Äußere des Dreieckes Hamburg-Berlin-Frankfurt. Bei Dreiecken auf plattem Papier sollte man es ebenso handhaben und die Ecken links herum (positiver Drehsinn, gegen den Uhrzeigersinn) betrachten. Andernfalls wäre das Innere eben außen oder auf der Rückseite oder hätte einen negativen Flächeninhalt.

Nach diesem Ausflug zurück zu den Zweiecken. Die idealen Zeitzonen sind Beispiele für solche Zweiecke. Sie sehen wie eine Sichel oder Nudel aus und können auf flachem Papier auch so gemalt werden. Vom Dogma der geradlinigen Verbindung der Punkte muß man natürlich abrücken. Aber schließlich erkennen wir Dreiecke auch als solche, wenn die Kanten ausgebeult sind, wie im Inneren eines Wankelmotors. Wegen des Fernsehers und der vielen Computer-Monitore ist es beim Rechteck sogar Folklore, in solchen Fällen von tonnenförmiger Verzerrung zu sprechen.

Wie aber malt man Ein- oder gar Nullecke. Was sind sie überhaupt. Ist der Äquator eine Eineck? Oder gar ein Nulleck? Besteht das Eineck in der Ebene nur aus dem Eckpunkt selbst? Hat es eine Kante, die man ausbeulen kann? Geht ein Kreis mit einem ausgezeichneten Punkt als Darstellung eines Eineckes durch? Ist von einem Nulleck gar nichts zu sehen? Natürlich keine (null) Ecken. Doch was ist mit den Kanten?

Um diese Frage zu beantworten, will ich für kurze Zeit der Bezeichnung von Neunmalklugen folgen, die da meinen, es müsse nicht Dreieck und Viereck, sondern Dreiseit und Vierseit heißen, denn in drei Dimensionen nennt man einen Würfel ja auch Sechsflächner und nicht Zwölfkant oder Achtpunkt. Grundsätzlich haben diese Menschen nämlich Recht. Ein k-Eck und ein k-Flächner entstehen grob gesagt dadurch, daß man den n-dimensionalen Raum k mal in zwei Hälften zerscheidet. Die Schnitte selbst sind dann von der Dimension n-1, also Linien bzw. Flächen. Das gilt auch für Dimensionen n oberhalb von 3.

Nach dieser Präzisierung ist also ein Zweieck eigentlich ein Zweiseit. Sollen die Seiten geradlinig sein, so fallen sie auf dem Papier stets übereinander, womit dann ein Zweiseit wie ein Strich aussieht. Auf der Kugeloberfläche sind die geraden Linien Teile von Großkreisen, die sich im allgemeinen in zwei gegenüberliegenden Punkten schneiden, woraus sich ein Zweiseit ergibt. Ein Einseit muß deshalb aus einem Teilstück eines einzigen Großkreises bestehen. Da es schön wäre, wenn das Einseit auch genau eine Ecke hat, müßte das ein Großkreis mit einem ausgezeichneten Punkt sein. Auf der Erde zum Beispiel der Nullmeridian von einer Ecke namens Greenwich über Nord- und Südpol wieder nach Greenwich zurück.

Ein Kreis mit einem ausgezeichneten Punkt ist deshalb eine angemessene Darstellung eines Einecks, das mit einer geraden Kante auf einem Blatt Papier nicht wie ein Strich aussieht, sondern wie ein einzelner Punkt. Er bildet die Ecke und gleichzeitig die Kante der Länge 0. Ein Strich ist ein Zweieck, bestehend aus den zwei Eckpunkten und den beiden Kanten, die aufeinander fallen. Und wenn man dem folgt, dann ist ein Nulleck gar nicht zu sehen, weil es null Ecken und auch null Kanten haben soll, auch auf der Kugeloberfläche. Hier könnte die Nordhalbkugel zwar als Inneres eines Nullecks durchgehen, weil auf dem durch den Äquator gebildeten Rand keine Ecke liegt, doch sollte ein Nulleck auch ein Nullseit sein, so daß ein Nulleck aus nichts oder eben der gesamten Oberfläche besteht.

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Fünfeckzahlen
Wie die Dreieckszahlen D(n) sich aus den Dreiecken und die Quadratzahlen Q(n) aus den Quadraten ergeben, so leiten sich die Fünfeckzahlen F(n) aus den Fünfecken ab. Mit Sechs-, Sieben und weiteren -ecken ist es nicht anders:
    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
              4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
                                             4   4
                                               4
Man sieht schon, daß ab 5 keine vernünftige geometrische Grundlage mehr vorhanden ist. Das nehme ich einmal als Grund, von Fünfeckzahlen und nicht von Fünfeckszahlen zu sprechen. Dreieckszahlen sind sozusagen die Zahlen des(!) Dreiecks, während Funkeckzahlen nur solche sind, die vom(!) Fünfeck abgeleitet werden, denn aus rein lautlichen Gründen müßte es ja immer K-eckszahlen oder immer K-eckzahlen heißen. Doch spielt auch die innere Einstellung eine Rolle, ebenso die Häufigkeit der Benutzung. Und außerdem schreibt man doch auch dreißig nicht mit Z, gleichwohl es wie fünfzig klingt.

Wenn man nicht in der Lage ist, den Abbildungen das Bildungsgesetz für die Fünfeckzahlen F(n) oder gar das der K-Eckzahlen, den Polygonalzahlen oder polygonal numbers P(k,n) abzulesen und aus der arithmetischen Reihe das Bildungsgesetz zu finden, dann hilft eine Aufstellung der ersten Zahlen, die man notfalls durch Abzählen ermitteln kann.
P(3,n):   1  3  6  10  15  21  28  36  45  55
P(4,n):   1  4  9  16  25  36  49  64  81 100
P(5,n):   1  5 12  22  35  51  70  92 117 145
P(6,n):   1  6 15  28  45  66  91 120 153 190
Die konstanten Zuwächse 0,1,3,6,10,15,... in den Spalten sind Dreieckszahlen, so daß die sich als richtig erweisende Vermutung naheliegt, daß P(k,n)=P(k-1,n)+D(n-1) ist. Für k=4 ist das die bekannte Beziehung Q(n)=D(n)+D(n-1).

Der obenstehenden Abbildung kann man entnehmen, wie man von der Fünfeckzahl F(n-1) zur Fünfeckzahl F(n) aufsteigt, indem man 3 Kanten mit n Punkten hinzunimmt und bedenkt, daß in 2 Ecken diese Punkte aufeinander fallen. Zusammen sind es also 3n-2 Punkte. Damit ist (n)=F(n-1)+3n-2 und somit
F(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n-2) = n*(3n-1)/2
Das ist nicht schwierig zu errechnen, weil es sich um eine arithmetische Reihe handelt. Schnell verallgemeinert sich für das k-Eck wie folgt: Es kommen k-2 Kanten zu n Punkten hinzu und an k-3 Ecken fallen die Punkte aufeinander. Damit ist P(k,n)=P(k,n)+(k-2)n-(k-3) und somit
P(k,n) = 1 + 2(k-2)-(k-3) + 3(k-2)-(k-3) + ... + n(k-2)-(k-3)
       = n((k-2)n-(k-4))/2
weil es sich wieder um eine arithmetische Reihe handelt. Tatsächlich erhalten wir für die ersten Spezialfälle:
D(n) = P(3,n) = n(1n+1)/2 = n(n+1)/2
Q(n) = P(4,n) = n(2n+0)/2 = n*n
F(n) = P(5,n) = n(3n-1)/2
S(n) = P(6,n) = n(4n-2)/2 = n(2n-1)
Dem kann man S(n)=D(2n-1) entnehmen. Damit ist jede zweite Dreieckszahl eine Sechseckzahl, die man aber nicht verwechseln sollte mit der Zahl der Punkte in einem voll ausgefüllten sechseckigen Muster.

Sloane | Figurierte Zahlen

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Dreieckszahlen
Wie man die n-te Qua­dratzahl Q(n) von der Zahl der Punkte einer quadra­tischen Anord­nung von n mal n Punkten ableitet, ergibt sich die n-te Dreiecks­zahl D(n) aus einer eben­solchen drei­eckigen.
Q(4)=16  1 2 3 4   D(4)=10   1
         2 2 3 4            2 2
         3 3 3 4           3 3 3
         4 4 4 4          4 4 4 4
Auch im Plural behalte ich das Fugen-S [1] bei, gleichwohl manche geneigt sind, von Dreieck­zahlen oder sogar im Singular von einer Dreieck­zahl zu sprechen, weil es ja auch nicht Quadrats­zahl heiße. Doch beim Fugen-S gewin­nen nicht faden­scheinige formale Gründe, sondern lautliche.

Ich kürze auch D(n) ab und nicht nach amerika­nischer Sitte mit T(n), was sich von trigonal ableitet, gleich­wohl ich bei allen Vorbe­halten gegen das amerika­nische Wesen im allge­meinen die in der Mathe­matik üblichen inter­nationalen Bezeich­nungen bevorzuge. Bei allem Lobpreis der sowjeti­schen mathe­matischen Literatur zu Zeiten der DDR, muß ich dennoch einge­stehen, daß sie schon wegen der von west­lichen Gepflo­gen­heiten abwei­chenden Dar­stel­lung Schwie­rig­keiten bereitet. Im Original so und so, doch auch in der Über­setzung. Nicht selten sind dann i und j ver­wechselt.

Aber hier schreibe ich deutsch. Deshalb benutze ich D(n) für die n-te Dreiecks­zahl und Q(n) für die n-te Quadrat­zahl. Inter­national wäre es S(n) wie square. Aber egal, ob D und Q oder T und S, die Formeln für diese Zahlen sind so trivial, daß man in der Mathe­matik diese Bezeich­nungen nicht benötigt und eigent­lich nur ver­wendet, wenn man wie hier direkt über solche Zahlen spricht.

Die Formel für Quadrat­zahlen Q(n)=n·n ist einfach. Die n-te Quadrat­zahl ist die zweite Potenz (Quadrat) des Argu­mentes. Das ist kein Zufall. Wäre dem nicht so, würden wir die zweite Potenz nicht Quadrat nennen. Für Dreiecks­zahlen [2] ist die Formel D(n)=n(n+1)/2 nicht ganz so einfach zu merken, gleich­wohl es dafür auch Bezeich­nungen wie "n+1 über 2" oder "Kombinationen mit Wiederholung von 2 Elementen aus n" gibt. Für mich war die Einfach­heit der Formel Grund, die Quadrat­zahlen vor den Dreiecks­zahlen zu behandeln, wie sehr Pytha­goras letzteren auch Heilig­keit zuge­sprochen haben mag.

Die Anschau­ung führt auf die Defini­tion von D(n)=1+2+...+n. Zwar liegen die Verhält­nisse hier so einfach, daß man auch direkt aus Abbil­dungen wie
o o o o o x   D(5) mal o  
o o o o x x   D(5) mal x
o o o x x x
o o x x x x   5 Zeilen
o x x x x x   6 Spalten
die Beziehung 2·D(n)=n(n+1) und damit D(n)=n(n+1)/2 ableiten könnte, doch bezieht der Mathe­matiker sich letztlich nicht auf Bilder. Sie sind im nur Anre­gung und Hilfe. Dadurch werden Mathe­matiker nicht zu reinen Forma­listen. Sie sind im allge­meinen nur besser in der Lage, Anschau­ung zu formali­sieren, um ihre intui­tiven Ideen abzu­sichern. Heute reicht es nicht mehr, ein Bild zu malen und "siehe" darunter zu schreiben. Ab der vierten Dimen­sion versagt diese Vor­gehens­weise so und so.

Aus der Definition D(n)=1+2+...+n die Formel D(n)=n(n+1)/2 abzu­leiten, ist sehr leicht, wenn man sie schon kennt. Man muß sich ledig­lich davon über­zeugen, daß D(1)=1 und D(n)-D(n-1)=n ist. Die formale Arbeit ist also einfach, die intui­tive Idee, nämlich die Formel überhaupt zu finden, ist es in diesem Falle auch. Gerne wird erzählt, daß der Lehrer von Gauß (DER GAUSZSCHE LEHRER) die Schüler beschäf­tigen wollte und sie deshalb sie Zahlen von 1 bis 100 addie­ren, also D(100) bilden ließ. Gauß ant­wortete sofort 5050, weil er wie fast jeder Mathe­matiker vorging, der keine Formel für die arith­metische Reihe aus­wendig gelernt hat, sondern sich einfach fragt, wieviele Sum­manden (hier 100) es sind und wie groß der Mittel­wert (hier 50,5) ist. Das Produkt 100·50,5=5050 ist offen­sichtlich das Ergebnis.

Zwei der drei meiner Leser werden sich nun fragen, warum das offen­sichtlich sei. Weil die arith­metische Reihe so leicht zu durch­schauen ist, daß keine Formel memo­riert werden muß. Sie wird jedes­mal neu abgeleitet. Offen­sichtlich sollte sie aber nur einem sein, der das Prinzip korrekt verin­nerlicht hat, weil im Zweifel alles einer formalen Über­prüfung stand­halten muß. Es mag Bildungs­bürgern, die sich in der Schule vergeb­lich an Formeln mühten, merk­würdig vorkom­men, was Mathe­matiker alles für offen­sichtlich, folklo­ristisch, evident oder gar trivial halten. Zum Ver­ständnis müssen sie nur daran denken, daß sie auch kaum Vokabeln lernen mußten, weil ihre Eltern fran­zösisch par­lierten.

[1] Fugen-S
[3] Sloane

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Epogdoon
Die Pythagoräer haben das Tetraktys genannte Dreieck aus 10 Punkten in der Formation der Bowling-Pins für heilig gehalten.
   O
  O O
 O O O
O O O O
Ein Grund ist natürlich die Gesamtzahl 10, der Basis des Dezimalsystems, das auch die Griechen benutzten, wenn auch in einer holprigen Darstellung mit Buchstaben. Ein anderer Grund wird darin liegen, daß im Gegensatz zum amerikanischen Bowling das deutsche Kegeln
O O O
O O O
O O O
vom gemeinen Volk zu leicht zu durchschauen ist und nicht als Grundlage einer Sekte taugt. Neben der Zerlegung 1+2+3+4=10 waren auch die Verhältnisse 1:2:3:4 wichtig, die Grundlage der Harmonie nach griechischer Vorstellung. Es sind die Oktave (1:2), die Quinte (2:3) und die Quarte (3:4). Die dann folgende Terz (4:5) mit einem weiteren Primfaktor 5 hat schon gestört, sonst hätte Pythagoras möglicherweise ein größeres Dreieck mit 15 Punkten in der Form der roten Snooker-Kugeln gebildet.

Das nächste in den Kram passende Intervall ist der große Ganzton (8:9), der auch als "Differenz" zwischen Quinte und Quarte erkannt und Epogdoon genannt wurde. In religiöser Überhöhung wurden den Vielfachen von 8 die um ein achtel größeren Epogdoon-Partner zugeordnet. Zur 8 gehört die direkt auf sie folgende 9, zwischen der 16 und der 18 aber liegt die 17, die als Barriere dem Pythagoras verhaßt war.

Immer wieder sind auch große Mathematiker von religiöser Verblendung getroffen worden. Wie sehr hätte Pythagoras die 17 verehrt, wenn er um die Konstruierbarkeit des 17-Ecks gewußt hätte? Da er aber nun einmal grundlos von dieser Zahl nichts hielt, hätte er zumindest seine Freude an der Snooker-Weltmeisterschaft der letzten Wochen gehabt. Nicht nur wegen der 15=1+2+3+4+5 roten Kugeln, sondern auch wegen des Ergebnisses: Shaun Murphy schlug Matthew Stevens mit 18:16.

17 | Quinte

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Clifford A. Pickover
Ich habe mir noch ein Buch gekauft, nämlich "Die Mathematik und das Göttliche" von Clifford A. Pickover, in dem es um die Beziehung von Religion und Mathematik in Geschichte und Gegenwart geht. Ich nehme an, der Autor teilt mit mir die Auffassung, daß es sich doch mehr um eine Verbindung von Spintisiererei mit Zahlenakrobatik handelt. Wenn man die sich durch das Buch ziehende Geschichte zwischen einem Zeitreisenden, seinem Gehilfen und der Frau des Pythagoras einmal wegläßt, bleiben doch einige Informationen über die Vorstellungswelten von Sekten und ihren Zahlen, von der bescheidenen 10 des Pythagoras bis zur anmaßenden 5.342.482.337.666 der Urantia-Bewegung.

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Symmetrieargument
Nicht alles, was uns symmetrisch oder polar erscheint, ist es auch. Dazu gehöhren wahr und falsch, positiv und negativ und vor allem männlich und weiblich. So kann man nicht systematisch beide Seiten vertauschen, um aus der Wahrheit über die eine Seite die komplementäre für die andere zu gewinnen. Mit einer gewissen Vorsicht aber geht es schon. Mein heutiges Studium der Bild-Zeitung mit den 50 schönsten Deutschen hat mich wieder darauf gebracht:

In den letzten Jahren scheint sich das Verhalten der Geschlechter mehr und mehr anzugleichen, und die Vermutung liegt nahe, daß die dahinter liegenden Motive schon immer ähnlich waren, nur verschieden dargestellt wurden. Wenn dem so ist, darf ich annehmen, daß die Männer aus der Liste der schönsten Deutschen auf Frauen eine ebensolche Wirkung haben wie umgekehrt die schönsten deutschen Frauen auf die Männer. Und dieser Symmetrieargumentation weiterhin folgend muß ich annehmen, daß die deutschen Frauen über die Bevorzugungen der deutschen Männer ebenso denken wie die Männer über die der Frauen.

Wenn ich zusätzlich annehme, daß Männer ihre schöntsten Geschlechtsgenossen, die als Prominente sicherlich ihre Qualitäten haben, vom Aussehen und Verhalten großenteils für debil und schmierig halten, dann möchte ich nicht wissen, was Frauen über die schönsten ihres Geschlechtes denken. Und darin liegt eine gewisse Spannung, wenn auch eine geschlechtersymmetrische. Der Haß der Männer auf Latrinos und der der Frauen auf Luder wird naturbedingt zunehmen. Und man sollte sich nicht wundern, wenn es in fünf oder zehn Jahren zu echten Übergriffen kommt.

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