Zahlwort

Es soll immer noch arme Leute geben, die noch nie ein Zweieck gesehen haben. Dabei kommen sie sogar im tägli­chen Leben vor. Schneidet man aus der Erdober­fläche eine Zeit­zone, wie sie einmal gedacht waren, also ohne will­kürliche, geogra­phische oder poli­tische Verhun­zungen, dann entsteht ein Zweieck, das am Äquator immer­hin 1670 Kilo­meter breit ist und die beiden Pole als Ecken besitzt. Aber auch der gesamte Rest der Erdober­fläche, der nicht in dieser Zeit­zone liegt, bildet ein Zweieck, wenn es auch nicht so aussieht. Es hat die gleichen Ecken und Kanten, nur eben eine andere, viel größere Fläche.

Beim Dreieck ist es nicht anders. Male ich eines auf ein Blatt Papier, so entstehen zwei Gebiete. Das konvexe, endliche ist das Innere, der Rest das Äußere. Wenn ich vom Papierrand abstrahiere, ist es unendlich groß. Das Dreieck Frank­furt–Berlin–Hamburg mag einem ebenso vorkommen. Das Innere liegt inner­halb Deutsch­lands, der Rest der Welt bildet das Äußere. Warum eigent­lich? Was passiert, wenn ich die Hamburg‐Ecke zum Nordpol, die Frank­furt‐Ecke zum Südpol und dann die Berlin‐Ecke Richtung Osten über Tokio nach New York verschiebe?

Zurück zu den Zweiecken. Die idealen Zeit­zonen sind gute Beispiele für solche Zweiecke. Sie sehen wie eine Sichel oder Nudel aus und können auf flachem Papier auch so gemalt werden. Vom Dogma der gerad­linigen Verbin­dung zweier Punkte als die kürzeste muß man dazu natür­lich abrücken. Aber wir erkennen ja auch Dreiecke als solche, wenn die Kanten ausge­beult sind, wie im Inneren eines Wankel­motors. Beim Rech­teck heißt es tonnen­förmige Verzer­rung.

Neunmalkluge meinen, es dürfe nicht Dreieck und Viereck, sondern müsse Dreiseit bzw. Vierseit heißen, denn in drei Dimen­sionen nenne man einen Würfel ja auch Sechs­flächner oder gar Sechs­flach und nicht Zwölf­kant oder Acht­punkt. Grund­sätz­lich haben sie Recht. Man kann sich einen Polyeder als ein Gerüst aus Ecken und Kanten vor­stellen, in das Flächen einge­setzt sind. Sinn­voller mag die Vorstel­lung sein, wie ein Schreiner vom Gesamt­raum mehrfach etwas abzu­schleifen, bis ein k‑Fläch­ner übrig bleibt. Analog entsteht ein ebenes k‑Seit auch durch mehrfache Beschnei­dung mit der Schere, nicht nur durch Verbin­dung von Punkten.

Hilft uns diese Vorstel­lung beim Zweieck oder Zweiseit? Bei ausschließ­lich geraden Schnitten offen­sicht­lich nicht. Und ich möchte mir nicht vor­stellen, welche Anfor­derun­gen an gekrümmte Schnitt­linien zu stellen wären. So hat sich der mensch­liche Sprach­gebrauch wohl doch für die sinn­haf­tere Bezeich­nung ent­schieden und zieht das k‑Eck dem k‑Seit vor. Deshalb ist ein Zweiseit nichts anderes als ein Zweieck, und das besteht aus zwei Punkten, die kreu­zungs­frei durch zwei Linien ver­bunden sind, die sich evtl. über­lagern, im Extrem­fall iden­tisch sind.

Wie die Dreieckszahlen D(n) sich aus den Dreiecken und die Quadratzahlen Q(n) aus den Quadraten ergeben, so leiten sich die Fünfeckzahlen F(n) aus den Fünfecken ab. Mit Sechs-, Sieben und weiteren -ecken ist es nicht anders:

    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
              4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
                                             4   4
                                               4

Man sieht schon, daß ab 5 keine vernünftige geometrische Grundlage mehr vorhanden ist. Das nehme ich einmal als Grund, von Fünfeckzahlen und nicht von Fünfeckszahlen zu sprechen. Dreieckszahlen sind sozusagen die Zahlen des(!) Dreiecks, während Funkeckzahlen nur solche sind, die vom(!) Fünfeck abgeleitet werden, denn aus rein lautlichen Gründen müßte es ja immer K-eckszahlen oder immer K-eckzahlen heißen. Doch spielt auch die innere Einstellung eine Rolle, ebenso die Häufigkeit der Benutzung. Und außerdem schreibt man doch auch dreißig nicht mit Z, gleichwohl es wie fünfzig klingt.

Wenn man nicht in der Lage ist, den Abbildungen das Bildungsgesetz für die Fünfeckzahlen F(n) oder gar das der K-Eckzahlen, den Polygonalzahlen oder polygonal numbers P(k,n) abzulesen und aus der arithmetischen Reihe das Bildungsgesetz zu finden, dann hilft eine Aufstellung der ersten Zahlen, die man notfalls durch Abzählen ermitteln kann.

P(3,n):   1  3  6  10  15  21  28  36  45  55
P(4,n):   1  4  9  16  25  36  49  64  81 100
P(5,n):   1  5 12  22  35  51  70  92 117 145
P(6,n):   1  6 15  28  45  66  91 120 153 190

Die konstanten Zuwächse 0,1,3,6,10,15,... in den Spalten sind Dreieckszahlen, so daß die sich als richtig erweisende Vermutung naheliegt, daß P(k,n)=P(k-1,n)+D(n-1) ist. Für k=4 ist das die bekannte Beziehung Q(n)=D(n)+D(n-1).

Der obenstehenden Abbildung kann man entnehmen, wie man von der Fünfeckzahl F(n-1) zur Fünfeckzahl F(n) aufsteigt, indem man 3 Kanten mit n Punkten hinzunimmt und bedenkt, daß in 2 Ecken diese Punkte aufeinander fallen. Zusammen sind es also 3n-2 Punkte. Damit ist (n)=F(n-1)+3n-2 und somit

F(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n-2) = n*(3n-1)/2

Das ist nicht schwierig zu errechnen, weil es sich um eine arithmetische Reihe handelt. Schnell verallgemeinert sich für das k-Eck wie folgt: Es kommen k-2 Kanten zu n Punkten hinzu und an k-3 Ecken fallen die Punkte aufeinander. Damit ist P(k,n)=P(k,n)+(k-2)n-(k-3) und somit

P(k,n) = 1 + 2(k-2)-(k-3) + 3(k-2)-(k-3) + ... + n(k-2)-(k-3)
       = n((k-2)n-(k-4))/2

weil es sich wieder um eine arithmetische Reihe handelt. Tatsächlich erhalten wir für die ersten Spezialfälle:

D(n) = P(3,n) = n(1n+1)/2 = n(n+1)/2
Q(n) = P(4,n) = n(2n+0)/2 = n*n
F(n) = P(5,n) = n(3n-1)/2
S(n) = P(6,n) = n(4n-2)/2 = n(2n-1)

Dem kann man S(n)=D(2n-1) entnehmen. Damit ist jede zweite Dreieckszahl eine Sechseckzahl, die man aber nicht verwechseln sollte mit der Zahl der Punkte in einem voll ausgefüllten sechseckigen Muster.

Sloane | Figurierte Zahlen

Wie man die n‑te Qua­dratzahl Qₙ von der Zahl der Punkte einer quadra­tischen Anord­nung von n mal n Punkten ableitet, ergibt sich die n‑te Drei­ecks­zahl Dₙ aus einer eben­solchen drei­eckigen.

Q4=16  1 2 3 4   D4=10   1
       2 2 3 4          2 2
       3 3 3 4         3 3 3
       4 4 4 4        4 4 4 4

Ich schreibe mit Fugen‑S [1], gleichwohl manche geneigt sind, von Dreieck­zahlen oder sogar von einer Dreieck­zahl zu sprechen, weil es ja auch nicht Qua­drats­zahl heiße. Doch beim Fugen‑S gewin­nen neben Üblichkeit nicht faden­scheinige formale Gründe, sondern lautliche.

Ich schreibe auch Dₙ für Dreiecks- und Qₙ für Quadratzahlen, nicht nach amerika­nischer Sitte Tₙ und Sₙ, was sich von trigonal bzw. square ableitet, gleich­wohl ich bei allen Vorbe­halten gegen das amerika­nische Wesen im allge­meinen die in der Mathe­matik üblichen inter­nationalen Bezeich­nungen bevorzuge. [2] Glück­licher­weise sind die Formeln für diese Zahlen so einfach, daß man sie abseits von Erläu­terun­gen zumeist direkt hin­schreibt und so D, Q, T und S vermeidet.

Die Formel für Quadrat­zahlen Qₙ=n⋅n=n² ist einfach. Die n‑te Quadrat­zahl ist die zweite Potenz (Quadrat) des Argu­mentes. Für Dreiecks­zahlen [3] lautet die Formel Dₙ=n(n+1)/2 .Sie ist nicht ganz so einfach zu merken, gleich­wohl es dafür auch Bezeich­nungen wie n+1 über 2 gibt. Doch wenn man die nicht kennt, nütz einem das auch nichts.

Die Anschau­ung führt auf die Defini­tion Dₙ=1+2+…+n. Zwar liegen die Verhält­nisse hier so einfach, daß man auch direkt aus Abbil­dungen wie

o o o o o x   D(5) mal o  
o o o o x x   D(5) mal x
o o o x x x
o o x x x x   5 Zeilen
o x x x x x   6 Spalten

die Beziehung 2⋅Dₙ=n(n+1) und damit Dₙ=n(n+1)/2 ableiten könnte, doch bezieht der Mathe­matiker sich letztlich nicht auf Bilder. Sie sind ihm nur Anre­gung und Hilfe. Dadurch werden Mathe­matiker nicht zu reinen Forma­listen. Sie sind im allge­meinen nur besser in der Lage, Anschau­ung zu formali­sieren, um ihre intui­tiven Ideen abzu­sichern. Heute reicht es nicht mehr, ein Bild zu malen und „siehe“ darunter zu schreiben. Ab der vierten Dimen­sion versagt diese Vor­gehens­weise so und so.

Aus der Definition Dₙ=1+2+…+n die Formel Dₙ=n(n+1)/2 abzu­leiten, ist sehr leicht, wenn man sie schon kennt. Man muß sich ledig­lich davon über­zeugen, daß D₁=1 und Dₙ−Dₙ₋₁=n ist. Oder man sieht die arithme­tische Reihe und erinnert sich an die sechste Klasse: Anzahl der Summanden n mal Mittelwert. Für letzteren reicht die halbe Summe aus erstem und letztem Glied, also (1+n)/2.

Gerne wird erzählt, daß der Lehrer von Gauß [4] die Schüler beschäf­tigen wollte und sie deshalb die Zahlen von 1 bis 100 addie­ren, also D₁₀₀ bilden ließ. Gauß ant­wortete sofort 5050, weil er wie fast jeder Mathe­matiker vorging, der keine Formel für die arith­metische Reihe aus­wendig gelernt hat, sondern sich einfach fragt, wieviele Sum­manden (hier 100) es sind und wie groß der Mittel­wert (hier 50,5) ist. Das Produkt 100⋅50,5=5050 ist offen­sichtlich das Ergebnis.

Zwei der drei meiner Leser werden sich nun fragen, warum das offen­sichtlich sei. Weil die arith­metische Reihe so leicht zu durch­schauen ist, daß keine Formel memo­riert werden muß. Sie wird jedes­mal vom Kleinhirn mühelos abge­leitet oder hoch­gespült. Es mag selbst Bildungs­bürgern, die sich in der Schule vergeb­lich an Formeln mühten, merk­würdig vorkom­men, was Mathe­matiker alles für klar wie Kloßbrühe, folklo­ristisch, evident oder gar trivial halten. Zum Ver­ständnis sollten sie einfach daran denken, daß sie selbst auch kaum Vokabeln lernen mußten, weil ihre Eltern fran­zösisch par­lierten.

[1] Fugen‑S. Kompetenzteam, 01.11.2004.

[2] Bei allem Lobpreis der sowjeti­schen mathe­matischen Literatur zu Zeiten der DDR, muß ich dennoch einge­stehen, daß sie schon wegen der von west­lichen Gepflo­gen­heiten abwei­chenden Dar­stel­lung Schwie­rig­keiten bereitet. Im Original so und so, doch auch in der Über­setzung. Nicht selten sind dann i und j ver­wechselt.

[3] The On-line Encyclopedia of Integer Sequences. A000217.

[4] Ich las einmal DER GAUSZ^SCHE BEWEIS in einer Über­schrift. Auf der Schreib­maschine müßte der Lehrer von Gauß DER GAUSZ­SCHE LEHRER sein. Neuer­dings gibt es auch ein großes Eszett.

Quadratzahlen

Die Pythagoräer hielten das Tetraktys genannte Dreieck aus 10 Punk­ten in der Forma­tion der Bowling‐Pins für heilig.

   O
  O O
 O O O
O O O O

Ein Grund ist natürlich die Basis 10 des Dezimal­systems, das auch die Griechen benutz­ten, wenn auch in einer hol­prigen Darstel­lung mit Buch­staben. Ein anderer Grund wird darin liegen, daß im Gegen­satz zum ameri­kani­schen Bowling­dreieck das deutsche Kegel­viereck

O O O
O O O
O O O

vom gemeinen Volk zu leicht zu durch­schauen ist und nicht als Grund­lage einer Sekte taugt. Neben der Zerlegung 1+2+3+4=10 waren auch die Verhält­nisse 1:2:3:4 wichtig, die Grundlage der Harmonie nach griechi­scher Vorstel­lung. Es sind die Okta­ve (1:2), die Quinte (2:3) und die Quarte (3:4). Die dann folgende Terz (4:5) mit einem weiteren Prim­faktor 5 hat schon gestört, sonst hätte Pytha­goras mög­licher­weise ein größe­res Dreieck mit 15 Punk­ten in der Form der roten Snooker‐Kugeln gewählt.

Das nächste in den Kram passende Intervall ist der große Ganz­ton (8:9), der auch als „Diffe­renz“ zwischen Quinte und Quarte erkannt und Epog­doon genannt wurde. In reli­giöser Über­höhung wurden den Viel­fachen von 8 die um ein Achtel größeren Epogdoon‐Partner zuge­ordnet. Zur 8 gehört die direkt auf sie fol­gende 9, zwischen der 16 und der 18 aber liegt die 17, die als Barriere dem Pytha­goras verhaßt war.

Immer wieder sind auch große Geister von reli­giöser Verblen­dung getrof­fen worden. Wie sehr hätte Pytha­goras die 17 verehrt, wenn er um die Kon­struier­barkeit des 17‑Ecks gewußt hätte? Obwohl er grundlos von dieser Zahl nichts hielt, hätte er zumin­dest seine Freude an der Snooker‐Welt­meister­schaft der letzten Wochen haben können. Nicht nur wegen der 1+2+3+4+5=15 roten Kugeln, sondern auch wegen des Ergeb­nisses: Shaun Murphy schlug Matthew Stevens mit 18:16.

17 | Quinte

Ich habe mir ein weiteres ein Buch gekauft, nämlich „Die Mathematik und das Göttliche“ von Clif­ford A. Pickover. Darin geht es um die Beziehung von Reli­gion und Mathe­matik in Geschichte und Gegen­wart. Ich nehme an, der Autor teilt mit mir die Auf­fassung, daß es sich vorwiegend um Verbin­dungen zwischen Spinti­siererei und Zahlen­akro­batik handelt. Auch wenn man die sich durch das Buch ziehenden Erzählungen eines Zeit­rei­senden, seines Gehilfen und der Frau des Pytha­goras einmal wegläßt, bleiben doch einige Infor­mati­onen über die Vor­stel­lungs­welten von Sekten und ihren Zahlen, von der beschei­denen 10 des Pytha­goras bis zur anma­ßenden 5.342.482.337.666 der Urantia‐Bewegung.

Nicht alles, was uns symme­trisch oder polar erscheint, ist es auch. Dazu gehö­ren wahr und falsch, posi­tiv und nega­tiv und vor allem männ­lich und weib­lich. So kann man nicht syste­matisch beide Seiten vertau­schen, um aus einer Wahr­heit über die eine Seite die komple­men­täre für die andere zu gewin­nen. Mit einer gewis­sen Vor­sicht aber geht es schon. Mein heu­tiges Stu­dium der Bild-​Zeitung mit den 50 schön­sten Deut­schen hat mich wieder darauf gebracht:

In den letzten Jahren scheint sich das Verhal­ten der Ge­schlech­ter mehr und mehr anzu­glei­chen, und die Vermu­tung liegt nahe, daß die dahin­ter lie­gen­den Motive schon immer ähn­lich waren, nur ver­schie­den dar­gestellt und gese­hen wur­den. Wenn dem so ist, darf ich anneh­men, daß die Männer aus der Liste der schön­sten Deut­schen auf Frauen eine eben­solche Wirkung haben wie umge­kehrt die schön­sten deut­schen Frauen auf die Männer. Und dieser Sym­metrie­argu­menta­tion weiter fol­gend muß ich anneh­men, daß die deut­schen Frauen über die Bevor­zugun­gen der deut­schen Männer ebenso ent­setzt sind wie die Männer über die der Frauen.

Wenn ich zusätzlich annehme, daß Männer ihre schön­sten Ge­schlechts­genos­sen, die als Promi­nente sicher­lich ihre Quali­täten haben, vom Aus­sehen und Ver­hal­ten großen­teils für debil und schmie­rig halten, dann möchte ich nicht wissen, was Frauen über die schön­sten ihres Ge­schlech­tes den­ken. Und darin liegt eine gewisse Span­nung, wenn auch eine ge­schlech­ter­sym­metri­sche. Der Haß der Männer auf Latri­nos und der der Frauen auf Luder wird durch die Anglei­chung ungezü­gelten Verhal­tens von Frauen und Männer wahr­schein­lich zunehmen.

2 | Trigender | Zahlgeschlecht

Abgesehen von den Prim­zahlen erscheinen mir die Quadrat­zah­len [1] als die wich­tigsten. Denn wenn man eine andere Zahlenreihe hat, deren Vertreter ich einmal Ander­zahlen nennen möchte, dann fragt man sich allen­falls, welche von diesen Ander­zahlen auch Quadrat­zahlen sind, und nicht umge­kehrt, welche Quadrat­zahl eine Ander­zahl ist. Der Unter­schied liegt also nicht im Ergebnis, sondern in der Denk­weise. Doch damit genug der Vorrede und Ent­schul­digung, daß eine schlichte Zahlen­folge wie die der Quadrat­zahlen über­haupt erwähnt wird. Sie ist sogar so simpel und allge­mein bekannt, daß ich von ihr sprechen kann, bevor ich sie über­haupt defi­niert habe. Formal ist die n‑te Qua­drat­zahl einfach Q(n)=n·n. Anschau­lich ist das die Zahl der Punkte in quadra­tischer Anord­nung mit n Punkten in jeder Zeile und jeder Spalte oder die Fläche eines Qua­drates mit Kanten­länge n.

Die Differenz zweier aufeinander­folgender Quadrat­zahlen ist Q(n)−Q(n−1)=2n−1. Daraus folgt direkt, daß die Summe der ersten n unge­raden Zahlen Q(n), also die n‑te Quadrat­zahl ist. Veran­schau­licht sieht zum Beispiel 1+3+5+7=16 wie folgt aus:

1 3 5 7
3 3 5 7
5 5 5 7
7 7 7 7

Zu den Primzahlen scheint auf den ersten Blick keine Beziehung zu bestehen, es gibt natür­lich auch keine prime Quadratzahl, weil von n=1 abgesehen jede Quadrat­zahl Q(n) minde­stens 3 Teiler hat, nämlich 1, n und sich selbst. Trotzdem sind die Bezie­hungen uner­schöpf­lich und machen einen bedeu­tenden Teil der Zahlen­theorie aus. Divi­diert man die Quadrat­zahlen durch eine ungerade Prim­zahl p>2, so treten genau (p+1)/2 der p möglichen Reste auf. Im Fall p=7 sieht das wie folgt aus:

Q(n)   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   2   2   4   1   0   1   4   2   2 ...

Die Abfolge 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0 wiederholt sich wieder und wieder. Nicht so einfach ist es mit zusam­menge­setzten Zahlen. Der Mensch inter­essiert sich besonders für die Reste bei der Divi­sion durch q=10, also für die Einer­stelle der Quadrat­zahlen. Vier von zehn treten nicht auf. Es gibt deshalb keine auf 2, 3, 7 oder 8 endenden Quadrat­zahlen. Besonders schön ist es für q=8:

Q(n)   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   1   0   1   4   1   0   1   4   1 ...

Die Quadrate der ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 alle den Rest 1. Und weil selbst­verständ­lich eine Quadratzahl genau dann unge­rade ist, wenn sie Quadrat einer unge­raden Zahl ist, heißt dies schöner ausge­drückt: Ungerade Quadrat­zahlen sind von der Form 8m+1. Eine Veran­schau­lichung für 49=8·6+1:

3 3 3 2 2 1 1
3 3 3 2 2 1 1
4 4 4 2 2 1 1
4 4 4   8 8 8
5 5 6 6 8 8 8
5 5 6 6 7 7 7
5 5 6 6 7 7 7

Das Loch in der Mitte steht für den Rest 1. Die Zahlen 1 bis 8 kommen jeweils m=6 mal vor. Doch Vorsicht mit anschaulichen Beweisen. [2] Dieser hier geht nur für n=3,7,11,15…, für die übrigen unge­raden Zahlen muß man ihn etwas abwan­deln oder allge­meiner gestalten:

4 4 3 3 2 2 2 2 2   B B B B A A A A A   3 3 3 3 2 2 2 2 1
4 4 3 3 2 2 2 2 2   B B B B A A A A A   4 3 3 3 2 2 2 1 1
4 4 3 3 1 1 1 1 1   B B B B A A A A A   4 4 3 3 2 2 1 1 1
4 4 3 3 1 1 1 1 1   B B B B A A A A A   4 4 4 3 2 1 1 1 1
4 4 3 3   7 7 8 8   B B B B   D D D D   4 4 4 4   8 8 8 8
5 5 5 5 5 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 5 5 5 6 7 8 8 8
5 5 5 5 5 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 5 5 6 6 7 7 8 8
6 6 6 6 6 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 5 6 6 6 7 7 7 8
6 6 6 6 6 7 7 8 8   C C C C C D D D D   5 6 6 6 6 7 7 7 7

Für n=5,9,13,17,… kann man die um den Mittel­punkt angeord­neten vier Recht­ecke (12, 34, 56 und 78) längs statt quer teilen. Das ist im linken Quadrat für n=9 darge­stellt. Zusammen­fassen kann man beide Fälle wie im mittleren Quadrat. Hier sind nur die vier Rechtecke A bis D gekenn­zeichnet. Dieses Bild gilt zwar für alle ungeraden n, doch ‚beweist‘ es nur, daß jede ungerade Quadrat­zahl von der Form 4k+1 ist. Erst das Zusatz­wissen darüber, daß die Kanten aller vier gleich­großen Rechtecke sich stets um 1 unter­scheiden und sie deshalb einen geraden Flächen­inhalt k=2m haben, führt zum Ergebnis 8m+1.

Das rechte Teilbild veranschau­licht, wie man die vier Rechtecke A bis D in jeweils zwei gleiche Dreiecke 1 bis 8 teilen kann. Darin ist zu ‚sehen‘, was man leicht nach­rechnen kann: Q(2n+1)=8·D(n)+1, worin D(n)=m die n‑te Drei­ecks­zahl ist.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000290.

[2] Bilder, Animationen, Modelle, Maschinen und andere Hilfsmittel können aber den richtigen Weg weisen und einen Sachverhalt interessant machen.

Dreieckszahlen