Zahlwort

Pfingsten liegt 50 Tage nach Ostern, Himmel­fahrt 40 danach und Palm­sonntag 8 Tage davor. Nach dieser römi­schen Zähl­weise läge Himmel­fahrt 11 Tage vor Pfing­sten, zwei Wochen müßten auch bei uns quinze jours heißen und morgen wäre in zwei Tagen. Die gerechte Strafe sind Verwir­rungen, wenn man wirk­lich einmal acht Tage meint. Dann muß man morgen in einer Woche sagen. Dem guten Mutter­sprach­ler bereitet das wenig Probleme, weil er nicht denken, rechnen und über­setzen muß, wenn er schwan­kende Systeme verwendet. Das alles machen wir aber nicht nur zur Verwir­rung der Aus­länder, sondern auch zum Erhalt ver­erbten bürger­lichen Sprach­vor­teiles.

Jahr 0 | Oktave

Die Bedeutung der Zahl 12 ist unbestritten, manchen ist sie sogar heilig, wodurch sie zum Problem für die 13 wird. Sie kann als Über­höhung der 12 gesehen werden, aber auch als eins zuviel. Wurde Matthias für Judas als zwölfter oder ergänzend als drei­zehnter Apostel nach­gewählt? Oder hat Paulus sich selbst dazu ernannt? Eben­falls unklar ist die Rolle des Freitag. Er steht am Beginn des Wochen­endes, aber auch am Ende einer Arbeits­woche. Man kann am Freitag mit den Hoch­zeits­feier­lich­keiten beginnen oder schnell noch Jesus kreu­zigen. Die Kombi­nation von beiden, dem Freitag und der 13, scheint eine gewisse Faszi­nation auszu­üben, die sich in den letzten Jahr­hunder­ten breit machte. Sicher­lich steckt darin auch ein gewisser Trotz gegen­über römischer und christ­licher Bevor­zugung der 12, daß es nicht verwundert, wenn Sek­tierer und Anhän­ger Luzi­fers die 13 lieben.

Da kommt es nur gelegen, daß 13 ameri­kani­sche Staaten ihre Unab­hängig­keit erklärten. In vielen Karten­spielen nutzt man vier Farben zu je 13 Karten. Die 13. Tarot‐Karte ist der Tod. Der berühmte Frei­tag‐der‐13te‐Virus fiel nicht auf den 13. Ok­to­ber 1989, sondern wurde auf ihn gelegt. Der Börsen­ein­bruch am Freitag, den 13. Mai 1927 kam gerade recht, um die Legende vom schwarzen Freitag zu ver­stärken. So wurde auch der Beginn der Welt­wirt­schafts­krise auf einen Freitag, wenn auch nur den 25. Ok­to­ber 1929 gelegt. Man hat sich auf Freitag und insbe­sondere den 13. als Unglücks­tag geeinigt.

Zwar scheint die Tris­kaideka­phobie, die Angst vor der Zahl 13 verbrei­tet und der Aber­glaube wieder auf dem Vor­marsch zu sein, doch ist es nicht mehr gefähr­lich, sondern sogar beliebt, sich über ihn lustig zu machen, das böse Omen zu igno­rieren oder gar heraus­zufor­dern. Und wenn es darum geht, ordent­lich zu saufen und abzu­tanzen, dann ist ein Freitag, der 13. so recht wie jeder andere Anlaß. So kommt es eines Tages viel­leicht dazu, einen Freitag, den 13. wieder neutral zu sehen, auch nicht umge­kehrt als Glücks­tag, nur weil die erste gezo­gene Lotto­zahl eine 13 und damals Freitag noch Zahltag war. Doch wer ist heute noch Wochen­lohn­empfänger?

13 | 688

Wenn man Eurosport einschaltet, um interes­sante Sport­arten wie Curling oder Snooker zu sehen, dann bleibt es nicht aus, daß gerade einer beim Seven­twenty mit dem Fahrrad auf die Schnauze fällt. Früher wäre das einfach eine Zwei­fach­drehung gewesen, wie die Turm­springer wohl immer noch andert­halb­fache Saltos statt Five­fortier und drei­fache Schrauben statt Ten­eigh­tier voll­führen, und zwar gleich­zeitig. Gibt es eigent­lich schon BMX‑Springen vom Zehn­meter­brett?

Natürlich mißfällt mir der Nieder­gang der deut­schen Sprache, auch die in zu großen Zahlen steckende Gigan­to­manie, und gewiß bin ich kein Freund blöd­sinniger Verkür­zungen, die Unwis­sende aus­schließen sollen und geradezu fremden- und sogar aus­länder­feind­lich sind, seien sie dem Amts­schimmel oder Teenies ent­sprungen. Aber Seven­twenty und Kon­sorten gefallen mir in zweierlei Hinsicht: Zum einen machen sie deut­lich, daß Neu­grade sich nicht durch­setzen werden. Zum anderen macht späte­stens der Ten­eigh­ty (1080) deut­lich, daß man Zahlen in Zweier­blöcke glie­dern sollte.

Altgrad | Myriade

Üblicherweise teilen wir den Kreis­bogen in 360 Grad. Genauer gesagt in Altgrad. Von den Bemü­hungen um 400 Neu­grad habe ich seit langem nichts mehr gehört. Meine Tafel der Loga­rithmen der trigo­nome­tri­schen Funk­tionen nach neuer Teilung hat auch deshalb und nicht nur wegen der Taschen­rechner und Computer reinen Erin­nerungs­wert. Eine dritte Mög­lich­keit ist, auf eine Grad­eintei­lung zu ver­zichten und den Winkel einfach durch das Bogen­maß, die Länge des Ein­heits­kreis­bogens zu messen. Darüber hinaus gibt es noch den Voll­winkel und zahl­reiche geschicht­liche, militä­rische und nau­tische Ein­heiten.

1 pla = 360 deg = 400 gon = 2π rad
1 τ   = 360°    = 400ᵍ    = 2π

Der Vollwinkel (plenus angelus, turn, revo­lution, cycle, Umdre­hung) kommt im Leben eines norma­lem Menschen allen­falls beim Salto oder als Umdre­hungen pro Minute vor. Die Abkür­zung τ wurde zum Lieb­ling der Pi‑Gegner, die 2π gerne durch τ erset­zen möchten. Das ist ja nicht falsch, nur unge­wöhn­lich. Zumin­dest in theo­reti­schen Aus­führun­gen harter Wissen­schaf­ten hält man sich an die dimen­sions­lose SI‑Ein­heit mit 2π für den Voll­winkel. Also rad=1 und in der Folge pla=2π, deg=π/180 und gon=π/200. Alle keine echten Maßein­heiten, sondern schlichte Zahlen. Im über­wiegen­den Teil der Welt, ins­beson­dere im Alltag sind jedoch die 360 Alt­grade üblich und werden es auch bleiben.

Obwohl es nur einer Multipli­kation bedarf, um die ver­schie­denen Winkel­angaben umzu­rechnen, ist dies doch so wenig geläu­fig, daß Taschen­rechner über Ein­stel­lungen für die ver­schie­denen Dar­stel­lungen verfügen. Meiner erlaut in einem verbor­genen Menu die Umschal­tung zwischen Deg, Gra und Rad. Man muß deshalb auf­passen, wenn man mit den Ergeb­nissen weiter­rechnet. Ist zum Bei­spiel sin(x)/x zu berech­nen, dann erhält man den Wert für 30° sicher­lich nicht dadurch, daß man im Altgrad-​Modus sin(30) berech­net und dann durch 30 teilt.

Nicht nur bei Taschenrechnern begeht man gerne den mensch­lichen Fehler, die ange­zeigten Zeichen­ketten falsch zu inter­pretie­ren, weil Zehner­poten­zen oder andere Umrech­nungs­fakto­ren nicht beach­tet werden. Die gespei­cherten Kon­stan­ten und die viel­fältige Tasten­bele­gung begün­stigen solche Verwech­selun­gen. Dabei ist es eigent­lich ganz ein­fach: Wie 3 Milli­onen 3·1.000.000=3.000.000 ist, andert­halb Kibi­byte 1,5·1024·8=12288 Bit meint, und 0,8 Pro­mille für 0,8/1000=0,0008 steht, so ent­spricht 30 Alt­grad einem Winkel der Größe (π/180)·30≈0,5236.

Manche spendieren dieser simplen Umrech­nung von Altgrad in das Bogen­maß eine eigene Funktion namens Arcus, abge­kürzt arc, defi­niert durch arc(x)=x·π/180. Eine Funk­tion für eine ein­fache Multi­plika­tion, was soll das? Wer es duchschaut, schreibt zum Spaß arc(x)=x°, keinen Blödsinn wie arc α oder gar arcα und erst recht nicht arc(30°)=π/6. Vor allem Sport­lehrer mit Neben­fach Mathe­matik scheinen bei α[°]=α·180/π einen Orgas­mus zu bekom­men. Ein zweiter mit arcα=(α°/360)·2π geht in die Hose, weil α einen Winkel vor­täuscht, aber einfach eine Zahl ist und es 360° statt 360 heißen müßte.

Auf Taschenrechnern soll es gelegent­lich Tasten ARC und auch MULπ geben, die einen Winkel in der aus­gewähl­ten Dar­stel­lung in das Bogen­maß bzw. Viel­fache von π umrech­nen. Wie Funk­tionen sinpi(x)=sin(πx) ersparen sie dem Kun­digen Zeit, sind aber nichts für Leute ohne Durch­blick, was aber nicht daran hindert, diesen Kram beson­ders an Berufs- und Fach­schulen zu unter­richten. Besser wäre meines Erach­tens Schnell-, Kopf- und Über­schlags­rechnen, schrift­liches Wurzel­ziehen, Nut­zung von Tabel­len samt Inter­pola­tion sowie die Hand­habung eines Rechen­schiebers, auch wenn man heute alles nicht mehr zu benö­tigen scheint. Wahr­schein­lich muß ein Hoch­see­kapi­tän auch nicht mehr segeln können.

Während man Neugrade und die meisten anderen Winkel­maße centesimal unter­teilt, ist es bei Alt­graden üblich, sie in 60 Mi­nu­ten (′, arcmin, Bogen- oder Winkel­minute) und die Minute in 60 Se­kun­den (″, arcsec, Bogen- oder Winkel­sekunde) zu teilen. Eine wei­tere Unter­teilung in 60 Ter­tien ist nicht mehr üblich. Statt­dessen werden den Sekunden dezimale Nach­komma­stel­len ange­fügt. Man kann aber auch auf Minuten und Sekunden ver­zichten und nur Nach­komma­stel­len benut­zen. So hat das regel­mäßie Sieben­eck einen Zentral­winkel von 2π/7≈128°34′17,142857″≈128,571428°. Sehr kleine Winkel werden auch gerne in tausend­stel Bogen­sekunden (mas, milli­arc­second) ange­geben. Mit zuneh­mender astro­nomi­scher Genauig­keit sind auch million­stel Bogen­sekun­den (μas, micro­arc­second) üblich.

Logarithmentafel | Rechenschieber

Eine Zahl heißt k‑fach vollkommen, wenn ihre Teiler­summe genau k mal so groß ist wie sie selbst. Die einzige einfach voll­kommene Zahl ist die 1. Die zweifach voll­kommenen Zahlen wie 6, 28 und 496 heißen schlicht voll­kommen. Die kleinste dreifach voll­kommene ist 120, denn

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3·120

und es gibt keine kleine­ren. [1] Man kann den Ergeb­nissen anderer ver­trauen oder zum Beweis alle Zahlen bis 119 durch­pro­bieren. Nicht unbe­dingt schneller, doch lehr­reicher geht es wie folgt: Der Faktor k(n)=σ(n)/n mit dem die Teiler­summe σ(n) die Zahl n über­steigt ist multi­plika­tiv. [2] Deshalb reicht es, seine Werte für die Primzah­potenzen zu kennen:

k(p^m) = (1+p+p²+…+p^m)/p^m = ((p^m+1−1)/(p−1))/p^m < p/(p−1)

Sie bleiben unter einer oberen Schranke von p/(p−1). Die beiden größten zu p=2,3 multi­pli­zieren sich zu (2/1)·(3/2)=3, weshalb k=3 nicht mit zwei Primzahl­potenzen allein möglich ist. Somit kommen in einer Zahl n<120 mit k(n)=3 wegen 119/(3·5)<8 nur 2 und 4 als Zweier­poten­zen infrage, wegen 119/(2·5)<12 auch nur die Dreier­potenzen 3 und 9. Und da 119/(2·3)<20, sind größere Prim­zahlen allen­falls unpoten­ziert möglich, ab 23 scheiden sie gänz­lich aus. Das führt auf eine über­sicht­liche Palette mög­licher Prim­potenz­teiler:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2
 3  1   3   4    2·2/3
 3  2   9  13     13/3·3
 5  1   5   6    2·3/5
 7  1   7   8  2·2·2/7
11  1  11  12  2·2·3/11
13  1  13  14    2·7/13
17  1  17  18  2·3·3/17
19  1  19  20  2·2·5/19

In den Brüchen für k(p^m) tauchen die Primfaktoren 11, 17 und 19 nur in Nennern auf. Sie können deshalb nicht zu einem Produkt k(n)=3 einer Zahl n<120 bei­tragen, und scheiden deshalb aus. Es bleiben:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2k
 3  1   3   4    2·2/3
 3  2   9  13     13/3·3
 5  1   5   6    2·3/5
 7  1   7   8  2·2·2/7
13  1  13  14    2·7/13

Aus dem gleichen Grund entfällt nun auch die 5. Zudem kommt die 13 nur im Nenner zu sich selbst und im Zähler zur 9 vor. Beide können also nur gemein­sam auf­treten und gestatten wegen 9·13>119/2 keinen weiteren Primfaktor:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2
 3  1   3   4    2·2/3
 7  1   7   8  2·2·2/7

Damit ist maximal k(4·3·7)=k(4)·k(3)·k(7)=(7/4)·(4/3)·(8/7)=8/3<3 zu erzielen. Somit gibt es keine dreifach voll­kommene Zahl unter 120.

So einfach geht es jedoch nicht weiter, auch wenn man in analoger Weise mit etwas mehr Geduld den Bereich bis 1000 aus­schöpfen kann und noch 672 findet. Ins­gesamt sind nur sechs drei­fach voll­kommene Zahlen bekannt. Weitere gibt es wohl nicht.

Natürlich ist 120 als dreifach voll­kommene Zahl ein Teiler­protz [3] und erwar­tungs­gemäß auch eine super­abun­dant und sogar colos­sally abun­dant number. Zudem ist sie largely, highly und sogar supe­rior highly compo­site. Sie ist auch eine prak­tische Zahl, weil bis zur Teiler­summe sich jede Zahl als Summe ausge­wählter Teiler dar­stellen läßt. [4] Alles nicht ver­wunder­lich für die fünfte Fakul­tät 120=5!=1·2·3·4·5.

Natürlich kommt die 120 auch in der Bibel vor. So soll Moses mit 120 Jah­ren gestor­ben sein. Und zur Ausgie­ßung des Hei­ligen Geistes seien irgend­wann einmal etwa 120 versam­melt gewesen. Das ist zu mager für fromme Zahl­akro­baten. Doch glück­licher­weise gibt es neben 3·40 noch die 12 und die 10, aus denen man 120, 600, 42360, 144000, 600000 und andere mehr zau­bern kann.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Teiler­summen A000203 und drei­fach voll­kommene Zahlen A005820.

[2] Eine zahlentheoretische Funktion f heißt multi­plikativ, wenn f(ab)=f(a)f(b) für teiler­fremde a und b gilt.

[3] Zahlen n mit einer Teiler­summe σ(n)=2n heißen (zweifach) voll­kommen, darunter defi­zient, darüber abun­dant. Wenig­stens für letztere gibt es auch die schöne deut­sche Bezeich­nung Teiler­protz.

[4] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Abundant A005101, super­abun­dant (SA) A00439, colos­sally abun­dant (CA) A004490 numbers. Largely compo­site numbers A067128, highly compo­site num­bers (HCN), stark zusam­menge­setzte Zahlen A002182, supe­rior highly compo­site (SHCN) numbers A002201, prac­tical numbers, prak­tische Zahlen A002201.

28

Am 8. Mai 1945 wurde die Gesamtkapitulation unterzeichnet. Das ist nun 60 Jahre her. Für die Baby­lonier wären diese 60 Jahre ein „Jahrhundert“ ohne Krieg gewesen, wenn man den Blick nur auf unser Heimat­land richtet. Für die ganze Welt soll das letzte kriegs­freie Jahr 1776 gewesen sein.

Die Babylonier haben zur Basis 60 gerechnet. Noch heute sehen wir das in den 60 Sekunden einer Minute und den 60 Minuten einer Stunde. Der Kreis wird in 360 Grad geteilt, die sich in 60 Minuten und diese wieder in 60 Sekunden teilen. Die „neue Teilung“ in 400 Neugrad zu 100 Neu­minu­ten [1] hat sich nicht durch­gesetzt, auch nicht die Industrie­minute zu 36 Se­kun­den. Die 60 paßt zur Basis 10, in der man auch im Altertum schon rechnete, aber auch auf die damals ebenso be­lieb­te 12, die Zahl der Monate im Jahr. Und so fügt es sich gut, daß ein Jahr mit seinen 365 Tagen mit 6 mal 60 passabel genähert ist. Rechnen Geld­insti­tute eigent­lich auch im Computer­zeit­alter noch immer mit 360 Zins­tagen?

Die Babylonier waren den Griechen im Rechnen ganz klar über­legen. Indem sie die 60=2·2·3·5 wählten, konnten sie ohne Schwierigkeiten durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilen. Durch ihre für die damalige Zeit einiger­maßen vernünf­tige Zahl­darstel­lung, konnten sie deutlich besser rechnen. Die grie­chische Methode, für Zahlen von 1 bis 999 die 27=3·9 Buch­staben des erwei­terten Alpha­betes zu nutzen, war äußerst unge­schickt. Wenn sie sich vom Bilder­malen erhoben, nicht nur zählten, sondern auch rech­neten, dann über­setzten sie erst ins babylo­nische System und hinter­her wieder zurück. Das lag nicht nur an der Zahl 60, sondern auch an den Rezi­proken­tafeln der Baby­lonier, mit denen man die Division leicht erschla­gen konnte.

Die Zahl 60 hat ausge­sprochen viele Teiler, nämlich 12. Keine kleinere Zahl hat soviele. Deshalb heißt 60 auch stark zusammen­gesetzte Zahl. Es gibt dennoch kleinere stark zusammen­gesetzte Zahlen: 4, 6, 12, 24, 36 und 48 mit 3, 4, 6, 8, 9 bzw. 10 Teilern. [2] Die 1 mit einem Teiler und die 2 mit zweien habe ich ausgelassen, gleichwohl Mathe­matiker sich nicht daran stoßen, daß diese beiden zwar nicht zusammen­gesetzt sind, aber dennoch als stark zusammen­gesetzt gelten. Die Teiler­summe der 60 liegt mit 168 um den Fak­tor 2,8 über der Zahl 60 selbst. Damit ist sie ein deut­licher Teiler­protz, doch 3-voll­kommen (Fak­tor 3) ist erst die 120.

[1] deg=π/180=1°=60'=3600", gon=π/200=1^g=100^c=10000^cc

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stark zusammengesetze Zahlen A002182 und ihre Teileranzahlen A002183

120 | Altgrad

Ich gehöre nicht zu denen, die bei Hugeldubel tagelang sitzen, ein Buch lesen und es dann zurücklegen. Ich mache es leider umgekehrt und kaufe in wenigen Minuten fünf Stück. Das dritte im Bunde ist „Ammanns wunder­bare Welt in Zahlen“ von Rene Ammann. Es handelt sich um eine Ansamm­lung von Fragen, die mit Zahlen beant­wortet werden, mehr oder minder alle aus dem täglichen Leben und für meinen Blog unge­eignet, da es sich zumeist um Geld­mengen, gerun­dete Zahlen, Prozente oder Verhält­nisse handelt. Oftmals besteht der Witz auch in der Gegen­über­stellung. Zwei Beispiele wird mir der Autor erlauben: Viele meinen, Frauen würden nach dem Aussehen behan­delt. Das stimmt, denn gut aussehende Britin­nen verdienen 11% mehr als die schlecht ausse­henden. Doch bei Männern sind es 15%! Anteil der Ameri­kaner, die meinen, zumindest bald zum ober­sten Prozent der Einkommens­vertei­lung zu gehören: 42 Pro­zent!