... newer stories
17
wuerg, 12.03.2005 00:06
Im Altertum kannte man neben den Konstruktionen des Dreiecks, des Quadrates und des Fünfecks mit Zirkel und Lineal nur noch die darauf aufbauenden, nämlich das 15‑Eck durch Überlagerung von Drei- und Fünfeck, sowie aus den genannten durch Winkelhalbierung hervorgehenden mit 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, 32, 40, ... Ecken. Erst Jahrtausende später zeigte Carl Friedrich Gauß, daß ein q‑Eck genau dann konstruierbar ist, wenn q=p·2ᵐ ist, worin p für das Produkt verschiedener primer Fermatzahlen 2^2ⁿ+1 steht. [1] Damit war bewiesen, daß insbesondere das 17‑Eck konstruierbar ist, das als 17‑zackiger Stern das Grabmal von Carl Friedrich Gauß ziert.
Während die Konstruktion des 17‑Eckes noch in Büchern zu finden ist, soll die für 2⁸+1=257 mehr als hundert Seiten umfassen und die für 2¹⁶+1=65537 in einer Kiste ruhen. Weitere prime Fermatzahlen sind nicht bekannt. Trotzdem muß das Problem als gelöst gelten, weil es auf ein einfaches Kriterium zurückgeführt ist. In jedem Falle sind das Sieben- und das Neuneck nicht konstruierbar.
Was bleibt noch zu sagen? Den Pythagoräern soll die 17 ein Dorn im Auge gewesen sein, weil sie zwischen der 16 und der 18 das Epogdoon (Verhältnis 8:9) durchtrennt. Den Italienern gilt sie wie bei uns die 13 als Unglückszahl. Wahrscheinlich liegt das weder an den Griechen, noch den Römern, die VIXI (ich habe gelebt) in XVII gelesen haben sollen. Eigentlich ist die 17 beliebt, soll wie die 7 oft genannt werden. Besonders originell ist der Trick 17, die Sintflut setzte am 17. Tage des zweiten Monats ein, es gibt 17 Parkettierungen der Ebene, die in der Alhambra und bei M. C. Escher zu bewundern sind.
Die ersten vier Primzahlen addieren sich zu 2+3+5+7=17, was aber nicht bedeutender sein kann als die Summe 100 der ersten neun Primzahlen. Und die Quersumme von 17³=4913 ist 4+9+1+3=17. Eine recht konstruierte Eigenschaft, die zur Basis 10 nur für 1, 8, 17, 18, 26 und 27 zutrifft. Für die größte ist 27³=19683 mit 1+9+6+8+3=27.
[1] Wer sich jetzt fragt, warum ich 2^2ⁿ+1 und nicht 22n+1 geschrieben habe: Echte Hochstellung versaut im Gegensatz zu hochgestellten Zeichen den Zeilenabstand. Und das erlaube ich mir möglichst nur wie hier in der ersten Zeile. Wer die Textbreite verkleinert, sollte den vergrößerten Zeilenabstand sehen können. Auch, wenn man auf einem kurzzeiligen Mobiltelefon liest.
16 | 18 | Epogdoon
Während die Konstruktion des 17‑Eckes noch in Büchern zu finden ist, soll die für 2⁸+1=257 mehr als hundert Seiten umfassen und die für 2¹⁶+1=65537 in einer Kiste ruhen. Weitere prime Fermatzahlen sind nicht bekannt. Trotzdem muß das Problem als gelöst gelten, weil es auf ein einfaches Kriterium zurückgeführt ist. In jedem Falle sind das Sieben- und das Neuneck nicht konstruierbar.
Was bleibt noch zu sagen? Den Pythagoräern soll die 17 ein Dorn im Auge gewesen sein, weil sie zwischen der 16 und der 18 das Epogdoon (Verhältnis 8:9) durchtrennt. Den Italienern gilt sie wie bei uns die 13 als Unglückszahl. Wahrscheinlich liegt das weder an den Griechen, noch den Römern, die VIXI (ich habe gelebt) in XVII gelesen haben sollen. Eigentlich ist die 17 beliebt, soll wie die 7 oft genannt werden. Besonders originell ist der Trick 17, die Sintflut setzte am 17. Tage des zweiten Monats ein, es gibt 17 Parkettierungen der Ebene, die in der Alhambra und bei M. C. Escher zu bewundern sind.
Die ersten vier Primzahlen addieren sich zu 2+3+5+7=17, was aber nicht bedeutender sein kann als die Summe 100 der ersten neun Primzahlen. Und die Quersumme von 17³=4913 ist 4+9+1+3=17. Eine recht konstruierte Eigenschaft, die zur Basis 10 nur für 1, 8, 17, 18, 26 und 27 zutrifft. Für die größte ist 27³=19683 mit 1+9+6+8+3=27.
[1] Wer sich jetzt fragt, warum ich 2^2ⁿ+1 und nicht 22n+1 geschrieben habe: Echte Hochstellung versaut im Gegensatz zu hochgestellten Zeichen den Zeilenabstand. Und das erlaube ich mir möglichst nur wie hier in der ersten Zeile. Wer die Textbreite verkleinert, sollte den vergrößerten Zeilenabstand sehen können. Auch, wenn man auf einem kurzzeiligen Mobiltelefon liest.
16 | 18 | Epogdoon
... link (11 Kommentare) ... comment
16
wuerg, 10.03.2005 17:37
Wer die Zahl 16 googelt, wird zugemüllt mit Luftballons, Pinata-Zahlen und generiertem Pipifax. Wenigstens die Wikipedia bemüht sich, etwas von Interesse zu berichten, es ist aber nicht viel. [1] Unter „Mathematisches“ wird wiederholt, daß 16 gerade ist. Dazu eine Quadrat-, eine Biquadrat- und eine Störmerzahl. [2] Auch „Bedeutung“ gibt es nur wenig: Mit 16 erwirbt man ein paar Rechte, das Hexadezimalsystem, zwei religiöse Belanglosigkeiten und die französische Sprache. [3] Bleibt „Siehe auch“ von ebenfalls bescheidenem Wert. [4]
Die Hauptbedeutung der Zahl 16 sehe ich im Zusamenhang mit fortwährender Verdoppelung oder Halbierung, nicht nur der Windrose in vier, dann acht und schließlich 16 Richtungen mit so schönen Bezeichnungen wie Westnordwest, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölfteilung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Finger geteilt und ist es eigentlich immer noch. [5] Wir würden heute wohl hexadezimal oder oktal rechnen, wenn es unseren Vorfahren vor 5000 Jahren gelungen wäre, vier bzw. drei Binärstellen zu einer Ziffer zusammenzufassen. [6] So kam es zu einer dauerhaften Konkurrenz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahlreichen Umdeutungen von Maßen im Verhältnis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.
So wie das kleinste magische Quadrat dem entferntesten Wandelstern Saturn zugeordnet wird, so das der Größe 4×4 dem Jupiter, womit neben 4, der magischen Zahl 34 und der Ziffernsumme 136 auch 16 als Jupiterzahl gilt. Das berühmteste Quadrat mit 16 Ziffern ist das Dürerquadrat. Natürlich ist 16 als Quadrat einer Quadratzahl (2²)² auch ein Biquadrat 2⁴, wie die Wikipedia zurecht bemerkt. Das ist insofern bemerkenswert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier verschiedener natürlicher Zahlen ist. [7]
Unter den figurierten Zahlen ist 16=1+5+10=1+5·D(2)=1+D(5) die dritte zentrierte Fünfeckzahl und die sechste zentrierte Eineckzahl, also fünfte Pizzazahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnitten in 16 Stücke geteilt werden kann. Dazu kann man ein Pentagramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlängern. Außerdem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zweifache Weise als Summe zweier Dreieckszahlen schreiben läßt. [8] Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehrfacher Weise in zwei Dreieckszahlen zerlegen. [9]
[1] Einleitungstext: „Die Sechzehn (16) ist eine natürliche Zahl zwischen Fünfzehn und Siebzehn. Sie ist gerade.“
[2] Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkommenden Störmerzahlen, die wohl nur erfunden wurden, um damit fast alle Zahlbeiträge der Wikipedia zuzumüllen.
[3] Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Italiener seidici, aber diciassette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf – dreizehn), der 20 (quatre-vingt) und der 60 (soixante-dix) geblieben sind.
[4] Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16‑Meter-Raum verwiesen, der eigentlich ein 18‑Yard-Raum ist.
[5] Im angloamerikanischen Maßsystem besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dickeren finger (7/8 Zoll) verwechselt werden.
[6] Es ist ja immer noch üblich, angloamerikanische Maße nicht dezimal zu teilen, sondern mehrfach zu halbieren: 5‑1/4‑Zoll-Disketten, 3/16‑Zoll-Schraube.
[7] Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kommen für die kleinere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.
[8] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Dreieckszahlen auf mehrfache Weise A185979.
[9] Für die ersten Biquadrate alle Zerlegungen bestimmen, aus ihnen eine Gesetzmäßigkeit ablesen und dann deren Allgemeingültigkeit nachrechnen.
15 | 17 | 34 | zentrierte Polygonalzahlen
Die Hauptbedeutung der Zahl 16 sehe ich im Zusamenhang mit fortwährender Verdoppelung oder Halbierung, nicht nur der Windrose in vier, dann acht und schließlich 16 Richtungen mit so schönen Bezeichnungen wie Westnordwest, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölfteilung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Finger geteilt und ist es eigentlich immer noch. [5] Wir würden heute wohl hexadezimal oder oktal rechnen, wenn es unseren Vorfahren vor 5000 Jahren gelungen wäre, vier bzw. drei Binärstellen zu einer Ziffer zusammenzufassen. [6] So kam es zu einer dauerhaften Konkurrenz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahlreichen Umdeutungen von Maßen im Verhältnis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.
● ● 16 3 2 13 ● ○ ● ● ● ● 5 10 11 8 ● ○ ● ○ ● ● ● ○ ● ● 9 6 7 12 ● ○ ○ ● ● ● ● ● 4 15 14 1 ● ● ● ● ● ●Dürerquadrat und 16 als dritte zentrierte Fünfeckzahl (png)
So wie das kleinste magische Quadrat dem entferntesten Wandelstern Saturn zugeordnet wird, so das der Größe 4×4 dem Jupiter, womit neben 4, der magischen Zahl 34 und der Ziffernsumme 136 auch 16 als Jupiterzahl gilt. Das berühmteste Quadrat mit 16 Ziffern ist das Dürerquadrat. Natürlich ist 16 als Quadrat einer Quadratzahl (2²)² auch ein Biquadrat 2⁴, wie die Wikipedia zurecht bemerkt. Das ist insofern bemerkenswert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier verschiedener natürlicher Zahlen ist. [7]
Unter den figurierten Zahlen ist 16=1+5+10=1+5·D(2)=1+D(5) die dritte zentrierte Fünfeckzahl und die sechste zentrierte Eineckzahl, also fünfte Pizzazahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnitten in 16 Stücke geteilt werden kann. Dazu kann man ein Pentagramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlängern. Außerdem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zweifache Weise als Summe zweier Dreieckszahlen schreiben läßt. [8] Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehrfacher Weise in zwei Dreieckszahlen zerlegen. [9]
[1] Einleitungstext: „Die Sechzehn (16) ist eine natürliche Zahl zwischen Fünfzehn und Siebzehn. Sie ist gerade.“
[2] Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkommenden Störmerzahlen, die wohl nur erfunden wurden, um damit fast alle Zahlbeiträge der Wikipedia zuzumüllen.
[3] Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Italiener seidici, aber diciassette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf – dreizehn), der 20 (quatre-vingt) und der 60 (soixante-dix) geblieben sind.
[4] Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16‑Meter-Raum verwiesen, der eigentlich ein 18‑Yard-Raum ist.
[5] Im angloamerikanischen Maßsystem besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dickeren finger (7/8 Zoll) verwechselt werden.
[6] Es ist ja immer noch üblich, angloamerikanische Maße nicht dezimal zu teilen, sondern mehrfach zu halbieren: 5‑1/4‑Zoll-Disketten, 3/16‑Zoll-Schraube.
[7] Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kommen für die kleinere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.
[8] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Dreieckszahlen auf mehrfache Weise A185979.
[9] Für die ersten Biquadrate alle Zerlegungen bestimmen, aus ihnen eine Gesetzmäßigkeit ablesen und dann deren Allgemeingültigkeit nachrechnen.
15 | 17 | 34 | zentrierte Polygonalzahlen
... link (9 Kommentare) ... comment
15
wuerg, 09.03.2005 19:45
Bei 15 denke ich immer daran, daß ich sie auserkoren hatte, um an einem einfachen Produkt zweier Primzahlen das RSA-Schema zu erläutern. [1] Solche Produkte heißen Semiprimzahlen. Wenig interessant sind die geraden und die Quadratzahlen darunter. Streicht man sie, so bleiben die ungeraden quadratfreien Semiprimzahlen. Sie sind allesamt Fermatsche Pseudoprimzahlen. Beide Listen werden von der 15 angeführt, die sogar Produkt eines Primzahlzwillings ist. [2]
Fermatsche Pseudoprimzahlen sind etwas schwerer zu verstehen: Für eine Primzahl p gilt nach dem kleinen fermatschen Satz aᵖ=a mod p für alle a, insbesondere aᵖ⁻¹=1 mod p für a=2,3,…,p−2. Für zusammengesetzte Zahlen n trifft letzteres nur selten zu. [3] Gibt es dennoch ein solches a, so heißt n fermatsche Pseudoprimzahl. Für einen Primzahlzwilling (p,q) mit der Mittenzahl a=p+1=q−1 ist unmittelbar zu sehen, daß n=pq auch fermatsche Pseudoprimzahl ist, da bereits a²=pq+1=1 mod n. Für 15=3·5 ist a=4 die Mittenzahl und tatsächlich ist 4¹⁴=1 mod 15, weil bereits 4²=16=1 mod 15 ist.
Mit der 15 ist es abgesehen von wenigen prominenten Zahlen mit den biblischen, esoterischen, numerologischen Gedöns weitgehend vorbei. [4] Auch rechnerische Aspekte halten sich bedeckt. Zumeist können nur irgendwelche Anzahlen, Positionen oder Zahlenspielereien genannt werden: So ist 15 dritte Sechseck- und damit fünfte Dreieckszahl, was man an den 15 roten Bällen beim Snooker erkennt. Es gibt 15 archimedische Körper, wenn gespiegelte mitgezählt werden, und 15 ist die magische Zahl des dem Saturn zugeordneten magischen 3×3‑Quadrates.
[1] Das ermöglicht öffentliche Verschlüsselung und Authentifizierung, wenn die Zahlen so groß sind, daß eine Faktorisierung praktisch unmöglich ist.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Semiprimzahlen A001358, ungerade quadratfreie Semiprimzahlen A046388, fermatsche Pseudoprimzahlen A181780.
[3] Im allgemeinen ist durch Ausprobieren weniger Zahlen a sehr schnell klar, ob eine zufällig gewählte sehr große Zahl n eine Primzahl ist, wie man sie zum Beispiel für das RSA-Schema benötigt. Todsicher ist es allerdings nicht. Und leider gibt es auch ganz wenige zusammengesetzte Zahlen n, an denen fast alle a scheitern.
[4] Fromme Juden sollen die hebräisch geschriebene 15 als 6 und 9 (Waw und Tet) notieren, weil die kanonische Darstellung als 10 und 5 (Jod und He) eine der vielen Kurzbezeichnungen für Jahwe ist, dessen Namen man nicht aussprechen darf. Ob das stimmt? Und ist 69 eine gute Alternative?
14 | 16 | Saturnquadrat | Dreieckszahlen
Fermatsche Pseudoprimzahlen sind etwas schwerer zu verstehen: Für eine Primzahl p gilt nach dem kleinen fermatschen Satz aᵖ=a mod p für alle a, insbesondere aᵖ⁻¹=1 mod p für a=2,3,…,p−2. Für zusammengesetzte Zahlen n trifft letzteres nur selten zu. [3] Gibt es dennoch ein solches a, so heißt n fermatsche Pseudoprimzahl. Für einen Primzahlzwilling (p,q) mit der Mittenzahl a=p+1=q−1 ist unmittelbar zu sehen, daß n=pq auch fermatsche Pseudoprimzahl ist, da bereits a²=pq+1=1 mod n. Für 15=3·5 ist a=4 die Mittenzahl und tatsächlich ist 4¹⁴=1 mod 15, weil bereits 4²=16=1 mod 15 ist.
Mit der 15 ist es abgesehen von wenigen prominenten Zahlen mit den biblischen, esoterischen, numerologischen Gedöns weitgehend vorbei. [4] Auch rechnerische Aspekte halten sich bedeckt. Zumeist können nur irgendwelche Anzahlen, Positionen oder Zahlenspielereien genannt werden: So ist 15 dritte Sechseck- und damit fünfte Dreieckszahl, was man an den 15 roten Bällen beim Snooker erkennt. Es gibt 15 archimedische Körper, wenn gespiegelte mitgezählt werden, und 15 ist die magische Zahl des dem Saturn zugeordneten magischen 3×3‑Quadrates.
┏━━━┳━━━┳━━━┓ ● ┃ 8 ┃ 1 ┃ 6 ┃ ● ● ● ● ● ● ┣━━━╋━━━╋━━━┫ ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ┃ 3 ┃ 5 ┃ 7 ┃ ● ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ┣━━━╋━━━╋━━━┫ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ○ ○ ○ ┃ 4 ┃ 9 ┃ 2 ┃ ● ● ● ● ● ○ ● ● ● ● ┗━━━┻━━━┻━━━┛ ●Magisches Quadrat, H3=1+5+9=15=D5=D3+3D2=32+2D2 (png)
[1] Das ermöglicht öffentliche Verschlüsselung und Authentifizierung, wenn die Zahlen so groß sind, daß eine Faktorisierung praktisch unmöglich ist.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Semiprimzahlen A001358, ungerade quadratfreie Semiprimzahlen A046388, fermatsche Pseudoprimzahlen A181780.
[3] Im allgemeinen ist durch Ausprobieren weniger Zahlen a sehr schnell klar, ob eine zufällig gewählte sehr große Zahl n eine Primzahl ist, wie man sie zum Beispiel für das RSA-Schema benötigt. Todsicher ist es allerdings nicht. Und leider gibt es auch ganz wenige zusammengesetzte Zahlen n, an denen fast alle a scheitern.
[4] Fromme Juden sollen die hebräisch geschriebene 15 als 6 und 9 (Waw und Tet) notieren, weil die kanonische Darstellung als 10 und 5 (Jod und He) eine der vielen Kurzbezeichnungen für Jahwe ist, dessen Namen man nicht aussprechen darf. Ob das stimmt? Und ist 69 eine gute Alternative?
14 | 16 | Saturnquadrat | Dreieckszahlen
... link (0 Kommentare) ... comment
wieso, weshalb, warum
wuerg, 08.03.2005 23:57
Jetzt habe ich angeregt durch eine Pressemitteilung über die Zwanzigeins-Reform etwas zu Zahlwörtern geschrieben. Wieso, weshalb, warum mache ich das in einem Blog, der auch nicht mehr Leser hat als ein Stapel Blätter in meiner Schreibtischschublade? [1] Begonnen hat das als ein Versuch, dem eine lange und dann eine kurze Pause folgte. Jetzt dienen meine Einträge dazu, zumeist weniger bedeutende Gedanken aufzuschreiben. Die in bescheidenem Umfange öffentliche Darstellung bewältigt sie und befreit von dem Drang, hinterher viel mehr als nur Fehler korrigieren zu wollen.
[1] Das mußte ich bald zurücknehmen, denn einige Beiträge wurden doch recht oft gelesen, zumindest aufgerufen.
[1] Das mußte ich bald zurücknehmen, denn einige Beiträge wurden doch recht oft gelesen, zumindest aufgerufen.
... link (2 Kommentare) ... comment
Myriade
wuerg, 06.03.2005 20:56
In der halben Welt, vor allem aber Kontinentaleuropa ist das Chuquet-System üblich, das eine Eins mit 6p Nullen eine 〈p〉illion nennt. Die sich ausbreitende kurze Skala der Amerikaner mit 3(p+1) Nullen für eine 〈p〉illion ist nicht wegen der Dreierblöcke 3p, sondern der häßlichen +1 minderwertig. Archimedes war fast zwei Jahrtausende voraus. Er benannte große Zahlen exponentiell und dachte die Unendlichkeit. Basis war die den Griechen geläufige Myriade von 10.000, mit der sie auch ohne Archimedes zumindest Zahlen bis zu einer Myriade Myriaden, also 100 Millionen benennen konnten.
Leider ist diese Myriade untergegangen, und es kam nicht zur Gliederung unserer Zahlen in Blöcken zu 2, 4, 8, 16, … Stellen. Geblieben ist nur ein gelegentlicher Hang zur Zweistelligkeit. Früher beim Memorieren von Telefonnummern, heute noch bei den zwei Nachkommastellen von Geldbeträgen, Zentimetern und vor allem in den Prozenten. Deutlicher als Deka und Hekto ist Myriad aus dem Sprachgebrauch geraten und hat es nicht mehr zum SI‑Präfix geschafft. Geblieben sind Myriaden nur noch im Sinne von unüberschaubar vielen.
Billion | Googol
Leider ist diese Myriade untergegangen, und es kam nicht zur Gliederung unserer Zahlen in Blöcken zu 2, 4, 8, 16, … Stellen. Geblieben ist nur ein gelegentlicher Hang zur Zweistelligkeit. Früher beim Memorieren von Telefonnummern, heute noch bei den zwei Nachkommastellen von Geldbeträgen, Zentimetern und vor allem in den Prozenten. Deutlicher als Deka und Hekto ist Myriad aus dem Sprachgebrauch geraten und hat es nicht mehr zum SI‑Präfix geschafft. Geblieben sind Myriaden nur noch im Sinne von unüberschaubar vielen.
Billion | Googol
... link (0 Kommentare) ... comment
Googol
wuerg, 06.03.2005 00:56
In der Welt gibt es zwar unterschiedliche Auffassungen über die Größe einer Billion, Trillion und so weiter, gemeinsam aber ist allen, daß ab einer gewissen Größenordnung die Namen nur noch den sportlichen Ehrgeiz von Lateinlehrern befriedigen. Bis zur Oktillion sind die Namen noch ganz nett. So kommt man ohne Probleme knapp über 10³⁰ bzw. 10⁵⁴. Ähnliches gilt für musikalische Intervalle. Bis zu einer Tredezime sind sie in Ordnung, danach fragt man sich, wie sie heißen und ob eine formale Bezeichnung mit geläufigen Zahlen nicht besser wäre.
Für sehr große Zahlen hat man sich vorschnell zu Googol für 10¹⁰⁰ hinreißen lassen. Leider fällt dieses Googol mit 10 Sexdezilliarden bzw. 10 duotrigintillions ebenso aus unserem Raster von Dreierblöcken wie ein Angström für 10¹⁰‑tel Meter und eine Myriade für 10.000. So sehe ich Googol als Spaß, der von Google aufgegriffen wurde. Ein Googolplex mit 10 hoch 10¹⁰⁰ durch weitere Potenzierung auch Googolplexplex usw. zu definieren, ist so albern wie Trillionen als Mimimillionen zu stottern.
Wollte man mit wenigen lateinisch benannten Zahlen sehr weit zählen, hätte man weder das europäische System in Sechser-, noch das amerikanische in Dreierschritten nehmen dürfen, sondern mit Archimedes im Sinne seines Sandrechners fortsetzen sollen: Mit dem Begriff Million (10⁶) konnte man 12 Stellen leicht benennen. Mit der europäischen Billion (10¹²) kommt man auf 24. Würde sodann eine 〈p〉illion als Quadrat einer 〈p−1〉illion definiert, wäre sie eine Eins mit 3·2ᵖ Nullen und ein Googol nur eine Myriade Quintillionen groß.
Billion | Myriade
Für sehr große Zahlen hat man sich vorschnell zu Googol für 10¹⁰⁰ hinreißen lassen. Leider fällt dieses Googol mit 10 Sexdezilliarden bzw. 10 duotrigintillions ebenso aus unserem Raster von Dreierblöcken wie ein Angström für 10¹⁰‑tel Meter und eine Myriade für 10.000. So sehe ich Googol als Spaß, der von Google aufgegriffen wurde. Ein Googolplex mit 10 hoch 10¹⁰⁰ durch weitere Potenzierung auch Googolplexplex usw. zu definieren, ist so albern wie Trillionen als Mimimillionen zu stottern.
Wollte man mit wenigen lateinisch benannten Zahlen sehr weit zählen, hätte man weder das europäische System in Sechser-, noch das amerikanische in Dreierschritten nehmen dürfen, sondern mit Archimedes im Sinne seines Sandrechners fortsetzen sollen: Mit dem Begriff Million (10⁶) konnte man 12 Stellen leicht benennen. Mit der europäischen Billion (10¹²) kommt man auf 24. Würde sodann eine 〈p〉illion als Quadrat einer 〈p−1〉illion definiert, wäre sie eine Eins mit 3·2ᵖ Nullen und ein Googol nur eine Myriade Quintillionen groß.
Billion | Myriade
... link (0 Kommentare) ... comment
Billion
wuerg, 04.03.2005 13:51
Wenn wir weiterhin einundzwanzig und nicht zwanzigeins sagen, so mag das unseren Kindern ein Wettbewerbsnachteil sein. Problematischer sind jedoch Verwechselungen großer Zahlen. So ist es auch sprachlich versierten Menschen nicht peinlich, eine amerikanische billion mit einer deutschen Billion zu verwechseln. Auch in Amerika lebende Wissenschaftler und große Teile des einfachen Volkes waren durchaus der Meinung, daß es sich bei einer billion um 10¹² handeln sollte. Doch die kleinere mit 10⁹ wurde vielleicht durch Geldsäcke und deren Hilfstruppen befördert, die sich dadurch wichtiger, größer und reicher vorkamen.
Es gab einmal eine Zeit, da man selten über 1000 kam, aber bereits ein Zahlwort dafür hatte, womit man ohne Mühe bis 999.999 und etwas darüber zählen konnte. Weit vor der Erfindung der Amerikaner hat man dieses Prinzip der Dreierblöcke für größere Zahlen fortgesetzt: Wie die kleine mille (1000) die benennbaren Zahlen von drei auf sechs Stellen ausdehnte, gestattete die große mille‑one (1.000.000) neun, wenn nicht zwölf und mehr Stellen.
Die selten vorkommenden noch größeren Zahlen hätte man einfach mit Zehnerpotenzen ausdrücken können. Doch unsere Vorfahren entschlossen sich zu der naheliegenden Fortsetzung, in einer 〈p+1〉illion das Millionenfache der 〈p〉illion zu sehen und für 〈p〉 einen lateinischen Präfix zu verwenden. So entstanden die noch heute in Europa gültigen Bezeichnungen Billion, Trillion, Quadrillion usw. in Schritten zu sechs Stellen. Das ist die lange Skala oder System von Chuquet mit 〈p〉illion für eine Eins mit 6p Nullen. Daß tausend 〈p〉illionen auch 〈p〉illiarde genannt werden, ändert am Prinzip nichts.
Auch Dreierblöcke wären sinnvoll, doch dann 〈p〉illion für eine Eins mit 3p und nicht 3(p+1) Nullen, der sog. kurzen Skala, die zwar nicht von den Amerikanern erfunden wurde, sich jedoch wegen ihres weltweiten Einflusses auf die ganze Welt ausbreitet. Auch wenn es in der Praxis von wenig Bedeutung ist, so stört es meinen Schönheitssinn, wenn ein 〈p〉illionstel nicht eine 〈-p〉illion ist.
Während die Franzosen durch Verordnung ins europäische Chuquet-System zurückkehrten, konnten die Engländer sich dem Sprachchauvinismus nicht erwehren und haben ihre milliard weitgehend der billion geopfert. Vielleicht sind wir gut beraten, billion und angeberische trillion dollar zu vergessen und uns an Giga- und Tera-Dollar zu gewöhnen, nachdem geklärt ist, daß Giga für 10⁹ und nicht 2³⁰ steht.
Zahlreform
Es gab einmal eine Zeit, da man selten über 1000 kam, aber bereits ein Zahlwort dafür hatte, womit man ohne Mühe bis 999.999 und etwas darüber zählen konnte. Weit vor der Erfindung der Amerikaner hat man dieses Prinzip der Dreierblöcke für größere Zahlen fortgesetzt: Wie die kleine mille (1000) die benennbaren Zahlen von drei auf sechs Stellen ausdehnte, gestattete die große mille‑one (1.000.000) neun, wenn nicht zwölf und mehr Stellen.
Die selten vorkommenden noch größeren Zahlen hätte man einfach mit Zehnerpotenzen ausdrücken können. Doch unsere Vorfahren entschlossen sich zu der naheliegenden Fortsetzung, in einer 〈p+1〉illion das Millionenfache der 〈p〉illion zu sehen und für 〈p〉 einen lateinischen Präfix zu verwenden. So entstanden die noch heute in Europa gültigen Bezeichnungen Billion, Trillion, Quadrillion usw. in Schritten zu sechs Stellen. Das ist die lange Skala oder System von Chuquet mit 〈p〉illion für eine Eins mit 6p Nullen. Daß tausend 〈p〉illionen auch 〈p〉illiarde genannt werden, ändert am Prinzip nichts.
Auch Dreierblöcke wären sinnvoll, doch dann 〈p〉illion für eine Eins mit 3p und nicht 3(p+1) Nullen, der sog. kurzen Skala, die zwar nicht von den Amerikanern erfunden wurde, sich jedoch wegen ihres weltweiten Einflusses auf die ganze Welt ausbreitet. Auch wenn es in der Praxis von wenig Bedeutung ist, so stört es meinen Schönheitssinn, wenn ein 〈p〉illionstel nicht eine 〈-p〉illion ist.
Während die Franzosen durch Verordnung ins europäische Chuquet-System zurückkehrten, konnten die Engländer sich dem Sprachchauvinismus nicht erwehren und haben ihre milliard weitgehend der billion geopfert. Vielleicht sind wir gut beraten, billion und angeberische trillion dollar zu vergessen und uns an Giga- und Tera-Dollar zu gewöhnen, nachdem geklärt ist, daß Giga für 10⁹ und nicht 2³⁰ steht.
Zahlreform
... link (0 Kommentare) ... comment
... older stories