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Differenzenfolge
wuerg, 17.06.2005 01:52
Zu jeder Zahlenfolge a₁, a₂, a₃, … kann man die Folge der Differenzen d₁, d₂, d₃, … betrachten, die durch dₙ=aₙ₊₁−aₙ definiert ist. [1] Diese Differenzen sind oftmals nützlich, um auf das in einer Folge steckende Bildungsgesetz zu schließen. Hat man zum Beispiel das Anfangsstück 1, 7, 19, 37, 61, 91, ... vorliegen und sucht eine geschlossene Formel, so kann man die Differenzen bilden und ggf. auch davon abermals die Differenzen
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
an = a0 + n·d0 + C(n,2)·d20 + C(n,3)·d30 + … (1)
Darin ist dᵏ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a₀=1, d₀=6, d²₀=6 und dᵏ₀=0 für k>2 als Ergebnis
an = 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n−1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch manchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigeren mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, …, für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d₁=a₁ ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn a₀=0 keine gute Fortsetzung ins Negative ist. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
Index n 1 2 3 4 5 6 ... Folge an 1 7 19 37 61 91 ... Differenzen dn=an+1-an 6 12 18 24 30 36 ... Differenzen 2. Ordnung 6 6 6 6 6 6 ... Differenzen 3. Ordnung 0 0 0 0 0 0 ...Man erkennt sofort, daß die Differenzen zweiter Ordnung konstant sind, die Differenzen erster Ordnung also linear anwachsen und die Originalfolge damit quadratisch. Ein Ansatz aₙ=x·n²+y·n+z sollte also zum Erfolg führen. Man pickt sich einfach drei Werte heraus und erhält drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Der Einfachheit halber für die ersten drei:
n=1: x + y + z = 1 n=2: 4x + 2y + z = 7 n=3: 9x + 3y + z = 19Die Lösung x=3, y=−3, z=1 führt auf aₙ=3n²−3n+1=1+3n(n-1). Das sind die zentrierten Sechseckzahlen.
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
an = a0 + n·d0 + C(n,2)·d20 + C(n,3)·d30 + … (1)
Darin ist dᵏ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a₀=1, d₀=6, d²₀=6 und dᵏ₀=0 für k>2 als Ergebnis
an = 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n−1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch manchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigeren mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, …, für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
Index n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... Folge an 1 3 4 8 10 16 20 29 35 ... Differenzen dn=an+1-an 2 1 4 2 6 4 9 6 12 ... Differenzen 2. Ordnung -1 3 -2 4 -2 5 -3 7 -4 ...Betrachtet man aber nur die ungeraden Folgeglieder, so sieht die Welt schon besser aus:
Index n 1 3 5 7 9 11 13 ... Folge an 1 4 10 20 35 56 84 ... Differenzen dn=an+1-an 3 6 10 15 21 28 36 ... Differenzen 2. Ordnung 3 4 5 6 7 8 9 ...Das führt auf die für ungerade n vermutlich richtigen Tetraederzahlen aₙ=(n+1)(n+3)(n+5)/48. Für gerade n muß man jedoch Korrekturen anbringen. Wieder hilft der gleiche Trick. Für gerade, doch nicht durch 4 teilbare (einfach gerade) n ergibt sich ein Zuschlag von (9n+21)/48. Wird er für alle geraden Indizes berücksichtigt, bleibt nur noch für alle durch 4 teilbaren (doppelt geraden) n ein Rest von 1/4. Die vermutete Formel lautet also
an = (n+1)(n+3)(n+5)/48 + (9n+21)/48 falls n gerade + 12/48 falls n doppelt geradeEin Beispiel für n=8:
a8 = [(8+1)(8+3)(8+5) + (9·8+21) + 12] / 48 = [9·11·13+72+21+12]/48 = 1392/48 = 29 (stimmt!)Natürlich müßte diese vermutete Formel noch als wirklich für alle n gültig überprüft werden. Aber das kann man nur, wenn man sie auch kennt.
In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d₁=a₁ ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn a₀=0 keine gute Fortsetzung ins Negative ist. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
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