45
Wenn 43 nicht die kleinste uninter­essante Zahl ist, könnte es 45 sein, denn 44 ist immerhin eine Oktaeder­zahl. Aber ein paar Kleinig­keiten lassen sich finden: Wer Schlag den Raab aufmerksam verfolgt hat, mag wissen, daß der Gewinn der ersten neun von sech­zehn Spielen nur 45 der 120 Punkte bringt, weil 120 die fünf­zehnte und 45 die neunte Dreiecks­zahl ist. Das haut nicht vom Sockel, denn mit 6 (Hexe­rei), 10 (Bow­ling), 15 (Snoo­ker), 28 (voll­kommen), 36 (Qua­drat­zahl), 153 (Fische) und 666 (Apo­ka­lypse) gibt es promi­nen­tere Drei­ecks­zahlen. Zwar ist 45 zugleich vierte Sechs­eck­zahl, doch trifft das auf jede zweite Drei­ecks­zahl zu: 6,15,28,45,66,91,... [1]

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n=5, Hn=1+5+9+13+25=45=n(2n-1)=D2n-1=Dn+3Dn-1=n2+2Dn-1

Was sonst noch? Sie ist die kleinste ungerade Zahl, die mehr Teiler besitzt als ihre gerade Nach­folge­rin. [2] Auf den ersten Blick mag verwun­dern, daß es keine klei­neren gibt, doch haben die geraden Zah­len n ober­halb von 4 alle minde­stens vier Teile­rinnen, näm­lich 1, 2, n/2 und n selbst. Das kann eine unge­rade Zahl mit nur zwei Prim­fak­toren nicht über­bieten. Die kleinste Kandi­datin 3·3·3=27 mit mehr Fak­toren schei­det aus, die näch­ste 3·3·5=45 aber ist mit sechs Teile­rinnen erfolg­reich. Dazu ist 45 auch die kleinste unge­rade Zahl, deren Teile­rinnen­summe die ihrer geraden Nach­folge­rin über­steigt. Auch hier schei­det 27 aus, 45 aber über­flügelt mit 1+3+5+9+15+45=78 die 1+2+23+46=72 der 46.

1  2  3  4  5  6    1  2  3  4  5  6  7  8  9    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
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1                   .  .  . 21                   . 41
.  2                .  .  . 22                   .  .  .  .  .  .  . 42
.  3                . 23                         . 43
.  .  4             .  .  .  .  .  .  . 24       .  .  .  .  . 44
.  5                .  . 25                      .  .  .  .  . 45   <-----   
.  .  .  6          .  .  . 26                   .  .  . 46
.  7                .  .  . 27                   . 47
.  .  .  8          .  .  .  .  . 28             .  .  .  .  .  .  .  .  . 48
.  .  9             . 29                         .  . 49
.  .  . 10          .  .  .  .  .  .  . 30       .  .  .  .  . 50
. 11                . 31                         .  .  . 51
.  .  .  .  . 12    .  .  .  .  . 32             .  .  .  .  . 52
. 13                .  .  . 33                   . 53
.  .  . 14          .  .  . 34                   .  .  .  .  .  .  . 54
.  .  . 15          .  .  . 35                   .  .  . 55
.  .  .  . 16       .  .  .  .  .  .  .  . 36    .  .  .  .  .  .  . 56
. 17                . 37                         .  .  . 57
.  .  .  .  . 18    .  .  . 38                   .  .  . 58
. 19                .  .  . 39                   . 59
.  .  .  .  . 20    .  .  .  .  .  .  . 40
Anzahl der Teiler der Zahlen 1 bis 59. Ungerade fett und rot.

Die vorstehende Aufstellung zeigt Zahlen mit gleicher Teiler­zahl in der glei­chen Spalte. [3] Man sieht, daß nur die 1 genau einen Teiler hat, gefolgt von den Prim­zahlen mit zweien und den Prim­quadraten mit dreien. Vier Teiler haben Prim­kuben und Produkte zweier verschie­dener Prim­zahlen. Fünf sind es für Prim­biqua­drate, sechs für fünfte Poten­zen von Primzahlen und Pro­dukte eines Prim­quadra­tes mit einer ande­ren Prim­zahl. Sieben Teiler haben nur die sechsten Poten­zen von Prim­zahlen. Danach wird es viel­fälti­ger, ent­spricht also dem Credo des moder­nen Menschen.

Wer möchte, kann weiter suchen und nach der 45 noch 81,105,117,165,... finden. Und wenn die unge­raden männ­lichen Zahlen einen Schwanz­ver­gleich mit den geraden weib­lichen Nach­barn suchen, dann sollte die Voran­ge­hende nicht ver­schmäht werden. Es wäre nicht schmei­chel­haft für die 45, wenn eine klei­nere unge­rade Zahl mehr Teiler als ihr Vor­gän­ger hätte. Glück­licher­weise sind nur 63,75,135,147,165,... zu finden. Und der auf­merk­sam(e) Lesende wird bemer­ken: 165 ist der Platz­hirsch, wo beide Nach­barn über­trifft. [4] Das ist nicht leicht, weil ja nicht beide Nachba­rinnen das/die Dop­pelte einer Primzahl sein können.

Nun genug der Teiler und ihrer Summen und zu einer ähnlichen Eigen­schaft: Die Zahl 45 hat nur 3 und 5 als Prim­faktoren. Damit ist 45 eine recht kleine 5-glatte Zahl. [5] Als solche nimmt sie einen guten Platz in der Reihe der 5-Limit-Inter­valle ein: Und zwar ist 45/32 der (erste, diato­nische) Tritonus, eine über­mäßige Quarte aus zwei gro­ßen (9/8) und einem keinen Ganz­ton (10/9), auf einem in C-Dur gestimm­ten Klavier das Inter­vall von f nach ,h. Da 45²=2025 fast 2¹¹=2048 erreicht, bleibt der Tri­tonus weniger als ein Pro­zent (10 Cent) hinter einer halben Oktave zurück. Die 45 ist auch im komple­men­tären Inter­vall 64/45, dem zwei­ten (dia­toni­schen) Tritonus ent­halten. [6]

[1] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000384. 1,6,15,28,45,66,91,120,153,190,231,276,325,378,435,496,561,630,703,...

[2] Zwar habe ich schon immer gewußt, daß Zahlen grammati­kalisch weib­lich sind, und stets „die näch­ste Quadrat­zahl“ und „die um eins grö­ßere Zahl“, aber nie „die Nach­folge­rin“ oder gar „die grö­ßere Part­nerin des Prim­zahl­zwil­lings“ geschrie­ben. Darüber habe ich bis vor kurzem mikro­frauen­feind­lich gar nicht nach­gedacht, weil es mir gar nicht auffiel. Ich bleibe dabei: Die(♀) 46 ist der(♂) Nachfolger der(♀) 45.

[3] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000005. 1,2,2,3,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6,4,4,2,8,3,4,4,6,2,8,2,6,4,4,4,9,2,4,4,8,...

[4] Relativsätze mit wo sind ein Baustein zu einer geschlechts- oder gar gender­ge­rech­ten Sprache.

[5] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A051037. 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,27,30,32,36,40,45,48,50,54,60,64,72,...

[6] Auch wenn er eine verminderte Quinte ist, so bleiben es doch drei ganze Töne. Schließ­lich kann das Inter­vall nichts dafür, daß die übli­chen Bezeich­nungen sich auf Namen der Töne, Tasten auf dem Klavier oder Linien auf dem Noten­blatt bezie­hen. Auch wenn beide Töne gleich­zeitig zusam­men mit ihren Okta­ven erklin­gen, ist 45/64 zurecht der erste Trito­nus von beiden. Er läßt sich gut aus norma­len Ganz­tönen (9/8 und 10/9) bilden, während der zweite solche wie 256/225 (ver­min­derte Terz) erfor­dert. Die oftmals in der Musik gesehene Spiegel­symme­trie gibt es nicht. Unter­tönen kommt nicht die gleiche Rea­lität zu wie Ober­tönen. Moll ist nicht der gleich­berech­tigte Partner zum Dur. Auch darum sollten sich moderne Gegner binä­ren Den­kens einmal kümmern.

44 | Stefan Raab | Geschlecht

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Wie immer sehr spannend! Vielen Dank!

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