Zahlwort

Ich hatte schon vor, nach der 19 die 20 auszu­lassen, weil mir zu ihr so gar nichts ein­fiel. Natür­lich kann man unter ihr den Ikosa­eder mit seinen 20 Drei­ecken oder den Dode­kaeder mit seinen 20 Ecken feiern. Aber was bleibt? Eine Liste mit heraus­ragen­den Eigen­schaf­ten von Zahlen vermerkt zur 20 nur, daß sie die Anzahl der gerich­teten Bäume mit sechs Knoten sei. Doch wie interes­sant ist eine solche Aus­sage, die noch nicht einmal ohne Vor­kennt­nisse zu verste­hen ist?¹

In meinen Unter­lagen habe ich nur eine alte Über­legung zur Anzahl der Möglich­keiten gefunden, Zahlen mit vorge­gebener Summe n in die vier Ecken eines Qua­drates zu schrei­ben, wobei gedrehte und gespie­gelte nur einmal zählen und die 0 erlaubt ist. Für n=7 ergeben sich 20 Mög­lich­keiten. Zwischen­zeit­lich kann man bequem im Inter­net die ersten müh­sam ermit­telten Anzah­len einge­ben und bekommt sofort eine lange Liste mit wei­teren ange­zeigt.² Dazu noch wissens­werte Infor­mati­onen. Und so habe ich erfahren, daß es eine schö­nere Formu­lierung des Proble­mes gibt: Wie­viele ver­schie­dene Perlen­ketten (ohne Ver­schluß) kann ich aus 4 schwar­zen und n weißen Perlen bilden?

●●●●○○○○○○○ 00  ●●●○●○○○○○○ 00  ●●●○○●○○○○○ 00  ●●●○○○●○○○○ 00  ●●○●●○○○○○○ 01
            70              61              52              43              60

●●○○●●○○○○○ 02  ●●○○○●●○○○○ 03  ●●○●○●○○○○○ 01  ●●○●○○●○○○○ 01  ●●○●○○○●○○○ 01
            50              40              51              42              33

●●○●○○○○●○○ 01  ●●○●○○○○○●○ 01  ●●○○●○●○○○○ 02  ●●○○●○○●○○○ 02  ●●○○●○○○●○○ 02
            24              15              41              32              23

●●○○○●○●○○○ 03  ●○●○●○●○○○○ 11  ●○●○●○○●○○○ 11  ●○●○○●○●○○○ 12  ●○●○○●○○●○○ 12
            31              41              32              31              22

Entsprechung der Perlenketten und der Quadrate (png)

Man überlegt sich leicht, daß es sich um äqui­valente Auf­gaben han­delt. Hat man die Kette auf einem Gummi­band und klebt die schwar­zen Perlen auf den Seiten eines Qua­drates fest, so ver­teilen sich die weißen Perlen auf die vier Ecken. Außer­dem entspre­chen sich die Dre­hun­gen und Spie­gelun­gen der so präpa­rier­ten Kette und des Qua­drates. Es werden also die glei­chen Anzah­len gelie­fert.

Was gilt es nach mehr als zehn Jahren nach­zutragen? Über­sehen hatte ich, daß 20=1+3+6+10 die vierte Tetra­ederzahl ist. Man erhält eine solche Drei­ecks­pyra­mide mit vier Apfel­sinen auf jeder Kante, wenn man zehn Stück wie beim Bowling aus­legt, darauf sechs, darauf drei und ganz oben eine stapelt. Erwäh­nen will ich noch, daß es 20 off­ene Ket­ten aus sieben wei­ßen und schwar­zen Perlen gibt, die dreimal die Farbe wech­seln, was nur von Bedeu­tung ist, weil sie in den sieben Stri­chen einer jeden Stelle des EAN-​Codes zu fin­den sind.³ Und nun, was erst seit 2010 bekannt ist und sehr viel Rechen­lei­stung erfor­derte: Jeder Rubik-​Würfel läßt sich in 20 Dreh­ungen lösen.

 ¹ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Wurzel­bäume A000081.
 ² The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Perlen­ketten A005232.
 ³ Eine offene Kette aus sieben Perlen hat sechs Stellen für die insge­samt drei Farb­wechsel. Das ergibt 6 über 3, also 20 Mög­lich­keiten. Man kann mit weiß oder schwarz begin­nen, also 40. Aber man kann jede Kette auch umdre­hen, womit es wieder 20 sind, weil es keine symme­tri­schen gibt, denn es ist immer ein Ende weiß und das andere schwarz, meinet­wegen auch das eine schwarz und das andere weiß.

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