42
Zur Zahl 42 gäbe es kaum mehr zu sagen als über viele andere Zahlen auch, hätte Deep Thought in Per Anhalter durch die Galaxis (HHGTTG oder H2G2) von Douglas Noel Adams (DNA) am Ende des Kapitels 27 auf die Frage nach dem Leben, dem Universum und allem nicht die Antwort Zweiundvierzig gegeben. Seither wird diese Zahl heilig gehalten und über sie gerätselt, zumal die Erde immer noch über die durch 42 beantwortete Frage nachdenkt. Dabei spielt es natürlich keine Rolle, daß Douglas Adams bekannte, die Zahl willkürlich nach Gefühl gewählt zu haben. Wie sollte er auch anders zu einer Antwort gekommen sein, für die Deep Thought 75.000 Generationen benötigte.

Im Folgeroman Das Restaurant am Ende des Universums schließt das Kapitel 33 mit dem Ergebnis: Das ist es. - Neun mal sechs. Zweiundvierzig - Das ist es. Das ist alles. Wie kann 9x6=42 sein? Zur Basis 13, denn 9x6=54 und 42 zur Basis 13 gelesen ist ebenfalls 4*13+2=54. Doch was nützt das? Ist 54 eine verständlichere Antwort als 42 auf eine Frage, die keiner kennt? Und hat Douglas Adams nicht gesagt, man mache keine Scherze zur Basis 13? Das nützt alles nichts mehr. Die 42 hat sich eingeprägt. Verfiel man früher mit 40 in Depressionen, hat man heute seine Wechseljahre erst mit 42.

Natürlich kommt die 42 auch in der Bibel vor, und Douglas Adams mag unbewußt daran gedacht haben. In 2. Könige 2.24 kommen 42 Kinder zu Tode, in 4. Mose 35.6 ist von 42 Städten die Rede, in der Offenbarung mehrfach von 42 Monaten. Das sind 3,5 Jahre oder 42*30=1260 sog. prophetische Tage, gleichwohl bei Daniel von 1+2+1/2 Jahren und 1290 bzw. 1335 Tagen die Rede ist. Das Neue Testament beginnt im Matthäus-Evangelium mit dem Stammbaum Jesu, der seit Abraham dreimal 14, also 42 Geschlechter aufweist. Ich bin beim Nachzählen auf 41 Personen gekommen. Nicht nur in der Bibel, auch in meiner wunderbaren Zeittafel der Weltgeschichte. Von Abraham bis David sind es 14, von David bis Jesus 28. Zusammen komme ich so auf 42, weil ich David zweimal zähle.

Die Bibel schummelt in Matthäus 1.17 anders: Alle Glieder von Abraham bis auf David sind vierzehn Glieder. Von David bis auf die babylonische Gefangenschaft sind vierzehn Glieder. Von der babylonischen Gefangenschaft bis auf Christus sind vierzehn Glieder. Ist etwa zwischen Josia und Jojachin noch eine Pseudogeneration babylonische Gefangenschaft eingefügt? Das interessiert fromme Bibelausleger wie meinen William Barclay wenig, gleichwohl er auf die Bedeutung des heutzutage so langweilen Stammbaumes für die Juden und deren Gliederung in dreimal 14 gemäß David=DWD=4+6+4=14 hinweist.

Mit 42=3*14 sind wir auch schon bei den abgeleiteten Bedeutungen der Zahl 42. Für die 14 steht neben David auch noch Bach=B+A+C+H=2+1+3+8 zur Verfügung. Natürlich ist 42 auch 2*21, also die Summe der Augenzahlen zweier Würfel. Ein Würfel hat nämlich 1+2+3+4+5+6=21 Augen, was der sechsten Dreieckszahl D(6) entspricht. Damit ist 42 als das Doppelte von 21 die sechste Rechteckzahl R(6)=6*7. Ein Beispiel für ein solches Rechteck finden wir im Spielfeld von Vier gewinnt. Und beim Doppelten ist die Hälfte nicht weit: 42=84/2 mit dem schönen Produkt 84=7*12 zweier heiliger Zahlen. Und weil der Uranus 84 Jahre für einen Umlauf um die Sonne benötigt, dauern dort Sommer- und Winterhalbjahr jeweils 42 Erdenjahre.

Natürlich darf die 666 nicht fehlen: Es ist 42=6*6+6, und 4+2=6 ist sogar die Quersumme von 42, also 42=6*7=(4+2)(4+2+1). Mit den Bezeichnung q(n) für die Quersumme gilt also q(n)*(q(n)+1)=n für die Zahl n=42. Sie ist eine von nur vier Zahlen n=12,42,90,156 mit dieser Eigenschaft. Addiert man anstelle der Multiplikation, so bleibt nur eine Zahl mit q(n)+(q(n)+1)=n, nämlich n=17. Deshalb und wegen 42=7*2*3 nebst 17=7*2+3 soll die Zahl 17 eine privilegierte Partnerschaft zur Zahl 42 haben. Und wenn dem so ist, sollte 42*42=1764 nicht vergessen werden. Da sind neben der 17 die 64 Felder des Schachbrettes. Gegen eine einzelne weiße Dame gibt es maximal 42 Positionen für eine nicht angegriffene schwarze Figur.

Und wer vor sowas nicht zurückschreckt, der wird auch in der Näherung 3,14 der Zahl Pi gerne 3*14=42 sehen. Eine Stelle genauer erhält man mit 3,142 schon wieder 42. Aber das geht auch mit der Quadratwurzel 1,4142 aus der Zahl 2. Eine andere Spielerei ist 42=((2*4)+2)*4+2), womit 42 das dritte Glied der Reihe 2,10,42,170,682,... ist, die nach der Regel mal 4, plus 2 gebildet wird. Zur Basis 2 sind das die Zahlen 10, 1010, 101010, 10101010 usw. mit der Ebenmäßigkeit 101010 für die Zahl 42. Direkte Folge ist 2^2+2^4+2^6=2+8+32=42.

Nicht erwähnen will ich hier Formeln, die für alle Zahlen und somit auch für 42 gelten, dies aber vor dem unkundigen Betrachter geschickt verbergen. Nicht ganz so brutal ist die Tatsache, daß n^7-n stets ein Vielfaches von 42 ist. Tatsächlich ist
17 - 1 =      1 - 1 =      0 =    0 * 42
27 - 2 =    128 - 2 =    126 =    3 * 42
37 - 3 =   2187 - 3 =   2184 =   52 * 42
47 - 4 =  16384 - 4 =  16380 =  390 * 42
57 - 5 =  78125 - 5 =  78120 = 1860 * 42
67 - 6 = 279936 - 6 = 279930 = 6665 * 42
was aber nicht vom Sockel hauen sollte, denn für jede Primzahl p>3 sind alle n^p-n durch 6p teilbar. Für p=5 liefert das die Teilbarkeit von n^5-n durch 30. Insbesondere haben also alle fünften Potenzen n^5 die gleiche Endziffer wie n selbst. Würden wir nicht zur Basis 10 denken, sondern zur Basis 7, 14, 21 oder 42, dann hätten eben die siebten Potenzen n^7 die gleiche Endziffer wie n.

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My Way
Vorgestern lese ich, My Way führe die Hitliste englischer Begräbnismusik an. Nun möchte Kanzler Schröder sich mit diesem Lied aus der Ruhmeshalle der Musik verabschieden und in die für Politiker einziehen. Erinnert es ihn an die siebziger Jahre, an die Revolution und die Sexfront? Der kamen bei den letzten Worten noch keine Hintergedanken: The record shows I took the blows - And did it my way!

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mostread
Die einen verfolgen das Auf und Ab der Fußballvereine, die anderen das der Schlager und ich eben die 25 meistgelesenen meiner Beiträge. Und ich freue mich, vermelden zu können, daß nunmehr die Schallmauer von 1000 durch meine Einlassungen zur Quadratzahl durchbrochen wurde. Vor einem halben Jahr hätte ich nicht gedacht, eine vierstellige Zahl vor dem Jahre 2008 zu erreichen, auch wenn andere darüber angesichts ihrer Millionenleserschaft nur müde lächeln können.

Die absolute Höhe ist auch gar nicht so sehr von Bedeutung, 1000 ist nur der Anlaß, dies hier zu schreiben. Viel interessanter finde ich die Entwicklung der Beiträge zueinander. So dümpelte die 1729 zwei Jahre mit zuletzt 300 Aufrufen auf dem ersten Platz vor sich hin. Ihr folgten für jeweils einen Monat die 13 und die 7. Letztere wurde dann bei 500 Aufrufen von den Quadratzahlen abgelöst, die sich mit 1000 Aufrufen innerhalb kürzester Zeit einen unaufholbaren Vorsprung erarbeitet haben.

Schon lange Zeit frage ich mich, woran das liegt, denn mein zwei Wochen nach den Quadratzahlen geschriebener Beitrag über Dreieckszahlen war bereits auf Platz 7 als die Quadratzahlen erstmals unter den 25 Besten sichtbar wurden. Warum holten die Quadratzahlen die Dreieckszahlen so spät und dann so brutal ein? Für die ersten 200 Aufrufe benötigten sie 140 Tage, und in weiteren 70 Tagen folgen dann 800 Aufrufe. Mit den Bloggern, die sich nur für aktuelle Einträge interessieren, hat das nichts zu tun. Vielleicht haben sich die Schüler nach den Herbstferien auf die Quadratzahlen eingegoogelt.

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41
Setzt man in die Eulersche Formel n(n+1)+41 eine Zahl nach der anderen ein, so erhält man lauter Primzahlen:
n:          0  1  2  3  4  5  6  7   8   9  10  11  12  13  14  15
n(n+1)+41: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281
Das geht so weiter bis n=39, denn für n=40 kommt wegen n(n+1)+41=40*41+41=41*41 eine Quadratzahl raus. Wie findet man solche Zahlen wie 41 ohne Computer?

Die Rechteckzahlen R(n)=n(n+1) sind allesamt gerade und lassen bei Division durch eine ungerade Primzahl p nur (p+1)/2 verschiedene Reste. Für p=3 sind die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen, alle anderen n(n+1)+a aber regelmäßig. Für p=5 sind es die Reste 0, 1 und 2, was auf die Folgen n(n+1)+30k+11 und n(n+1)+30k+17 führt, deren Glieder weder durch 2, noch durch 3 oder 5 teilbar sind. Die gleiche Argumentation für p=7 mit Resten 0, 2, 5 und 6 führt auf die Folgen n(n+1)+210k+a für a=11,41,101,17,137,167, deren Glieder nicht durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar sind.

Diese Argumentation könnte für p=11 fortgesetzt werden, um alle 30 Zahlen a zu bestimmen, für die alle Folgen n(n+1)+2310k+a nur aus Zahlen bestehen, die nicht durch 2, 3, 5, 7 oder 11 teilbar sind. Wenn man sich aber nur für a unterhalb von 210 interessiert, ist es besser, die sechs Kandidaten a=11,41,101,17,137,167 zu überprüfen. Den Test mit p=11 bestehen nur a=17 und a=41. Und tatsächlich beginnt n(n+1)+17 mit 16 und n(n+1)+41 mit 40 Primzahlen.

Ulam-Spirale

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Ulam-Spirale
So mancher hat vielleicht schon aus Langeweile die Zahlen auf kariertem Papier in der Form einer rechtwinkligen Spirale
15--14--13--12
             |
 4---3---2  11
 |       |   |
 5   0---1  10
 |           |
 6---7---9---9
aufgemalt. Auch Stanislav Ulam fand neben dem Bau der Atombombe Zeit dazu. Und vielleicht war er wirklich der erste, der eine Klumpung der Primzahlen entlang der Diagonalen bemerkte. Man kann sie schon unter den ersten 100 Zahlen deutlich erkennen. Hier sind sie durch einen gelben Hintergrund hervorgehoben.

[Die Primzahlen hätten einen gelben und die zusammengesetzen Zahlen ein grauen Hintergrund, wenn hier bgcolor gehen würde. So mußte ich die Primzahlen zusätzlich blau machen.]

99 98 97 96 95 94 93 92 91 90
64 63 62 61 60 59 58 57 56 89
65 36 35 34 33 32 31 30 55 88
66 37 16 15 14 13 12 29 54 87
67 38 17 4 3 2 11 28 53 86
68 39 18 5 0 1 10 27 52 85
69 40 19 6 7 8 9 26 51 84
70 41 20 21 22 23 24 25 50 83
71 42 43 44 45 46 47 48 49 82
72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

Die Zahlen in der Hauptdiagonalen sind grün geschrieben. Es sind die Recheckzahlen R(n)=n(n+1), das Doppelte der Dreieckszahlen. Die mit geradem n gehen vom Zentrum nach rechts oben, die mit ungeradem n nach links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die rot geschriebenen Quadratzahlen an. Die geraden gehen nach links oben von der 0 aus, die ungeraden nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus, aber auch durch die Ecken der Spirale.

Jede von der Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus den Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also für n=0,1,2,... eine aufsteigende quadratische Progression. So ist zum Beispiel die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,... von der Form 2n(2n+6)+7. Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als ein Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen.

Goddard | Primzahlkreuz

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gemeinsame Nenner
Nachdem alle Parteien sich "gut aufgestellt" hatten, wechselten sie von der geblähten Sprache der Ökonomie zu Versatzstücken aus der Mathematik. Sie suchten nach den gemeinsamen "Schnittmengen", die auf einmal mächtiger waren als im Wahlkampf dargestellt, gleichwohl es zu einer regierungsfähigen Vereinigungsmenge noch nicht reicht. Den Schnittmengen folgten die "gemeinsamen Nenner", von denen sich der kleinste gegenüber dem größten durchgesetzt hat. Nur Sigmar Gabriel sollte von Angela Merkel noch einmal gesagt bekommen, daß beispielsweise bei der Addition
CDU + SPD = 7/20 + 12/35 = 49/140 + 48/140 = 97/140
die Zahl 140 den kleinsten gemeinsame Nenner bildet, weil 140 das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 35 ist.

Eine Beziehung zwischen der Schnittmenge und dem kleinsten gemeinsamen Nenner kann man wie folgt herstellen: Besteht die Menge jeder Partei aus den Vielfachen ihres Nenners
CDU = {20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,240,160,280,...}
SPD = {35,70,105,140,175,210,245,280,315,350,385,420,...}
dann sind in der
Schnittmenge von CDU und SPD = {140,280,420,560,...}
genau die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Nenners enthalten.

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