Zahlwort

Zur Zahl 42 gäbe es kaum mehr zu sagen als über viele andere Zahlen auch, hätte Deep Thought in „Per Anhalter durch die Gala­xis“ (HHGTTG oder H2G2) von Douglas Noel Adams (DNA) am Ende des Kapi­tels 27 auf die Frage nach dem Leben, dem Uni­versum und allem nicht eine Antwort bestehend aus vier und zwei gege­ben. [1] Seither wird die Zahl 42 heilig gehalten und über sie gerät­selt, zumal die Erde immer noch über die durch 42 beant­wor­tete Frage nach­denkt. Dabei spielt es natür­lich keine Rolle, daß Douglas Adams bekannte, die Zahl als eine (damals) ohne Bedeu­tung will­kürlich nach Gefühl gewählt zu haben. Wie sollte er auch anders zu einer Antwort gekommen sein, für die Deep Thought 75.000 Genera­tionen benö­tigte.

Im Folgeroman „Das Restaurant am Ende des Universums“ schließt das Kapi­tel 33 mit dem Ergeb­nis: „Das ist es. ‒ Neun mal sechs. Zweiund­vierzig ‒  Das ist es. Das ist alles.“ Wie kann 9·6=42 sein? Zur Basis 13, denn 9·6=54 und 42 zur Basis 13 gelesen ist eben­falls 4·13+2=54. Doch was nützt das? Ist 54 eine verständ­lichere Antwort als 42 auf eine Frage, die keiner kennt? Und hat Douglas Adams nicht gesagt, man mache keine Scherze zur Basis 13? Das nützt alles nichts mehr. Die 42 hat sich einge­prägt. Verfiel man früher mit 40 in Depres­sionen, hat man heute seine Wechsel­jahre erst mit 42.

Natürlich kommt die 42 auch in der Bibel vor, und Douglas Adams mag unbewußt daran gedacht haben. In 2. Kö­ni­ge 2,24 kommen 42 Kinder zu Tode, in 4. Mo­se 35,6 ist von 42 Städ­ten die Rede, in der Offen­barung mehr­fach von 42 Mona­ten. Das sind 3,5 Ja­hre oder 42·30=1260 sog. pro­pheti­sche Tage, gleich­wohl bei Daniel von 1+2+1/2 Jahren und 1290 bzw. 1335 Tagen die Rede ist. Das Neue Testa­ment beginnt im Matthäus-​Evan­gelium mit dem Stamm­baum Jesu, der seit Abra­ham drei­mal 14, also 42 Ge­schlech­ter auf­weist. Ich bin beim Nach­zählen auf 41 Perso­nen gekom­men. Nicht nur in der Bibel, auch in meiner wunder­baren Zeit­tafel der Welt­ge­schichte. Von Abra­ham bis David sind es 14, von David bis Jesus 28. David doppelt gezählt sind es 42.

Die Bibel schummelt in Matthäus 1,17 anders: „Alle Glieder von Abraham bis auf David sind vier­zehn Glieder. Von David bis auf die baby­loni­sche Gefan­gen­schaft sind vier­zehn Glieder. Von der baby­loni­schen Gefan­gen­schaft bis auf Christus sind vier­zehn Glie­der.“ Ist etwa zwischen Josia und Jojachin noch eine Pseudo­gene­ration „baby­loni­sche Gefan­gen­schaft“ einge­fügt? Das inter­essiert fromme Bibel­ausleger wie meinen William Barclay wenig, gleichwohl er auf die Bedeu­tung des heut­zutage so lang­weilen Stamm­baumes für die Juden und dessen Glie­derung in dreimal 14 gemäß David=DWD=4+6+4=14 hin­weist.

Mit 42=3·14 sind wir auch schon bei den abgelei­teten Bedeu­tungen der Zahl 42. Für die 14 steht neben David auch noch Bach=B+A+C+H=2+1+3+8=14 zur Verfü­gung. Natür­lich ist 42 auch 2·21, also die Summe der Augen­zahlen zweier Würfel. Ein Würfel hat nämlich 1+2+3+4+5+6=21 Augen, was der sech­sten Drei­ecks­zahl D₆ entspricht. Damit ist 42 als das Doppelte von 21 die sechste Rechteckzahl R₆=6·7. Ein Beispiel für ein solches Rechteck finden wir im Spielfeld von „Vier gewinnt“. Auch das Doppel­te 84=2·42=7·12 als Produkt zweier heiliger Zahlen ist nicht weit. Und weil der Uranus 84 Jahre für einen Umlauf um die Sonne benötigt, dauern dort Sommer- und Winter­halb­jahr jeweils 42 Erden­jahre.

Natürlich darf die 666 nicht fehlen: So ist 42=6·6+6, und 4+2=6 ist sogar die Quer­summe von 42. Ist qₙ die Quersumme von n, so git qₙ·(qₙ+1)=n nur für die vier Zahlen n=12,42,90,156. Addiert man anstelle der Multi­plika­tion, so bleibt nur eine Zahl mit qₙ+(qₙ+1)=n, nämlich n=17. Deshalb und wegen 42=7·2·3 nebst 17=7·2+3 soll die Zahl 17 eine privi­le­gierte Part­ner­schaft zur Zahl 42 haben. Und wenn dem so ist, sollte 42·42=1764 nicht ver­gessen werden. Darin sind neben der 17 die 64 Felder des Schach­brettes ent­halten, auf dem eine ein­zelne Dame maxi­mal 42 Po­si­tionen nicht angreift.

Und wer vor sowas nicht zurück­schreckt, der wird auch in der Näherung 3,14 der Zahl π gerne 3·14=42 sehen. Eine Stelle genauer erhält man in 3,142 schon wie­der 42. Aber das geht auch mit der Quadrat­wur­zel 1,4142 aus der Zahl 2. Eine andere Spie­lerei ist 42=((2·4)+2)·4+2, womit 42 das dritte Glied der Reihe 2, 10, 42, 170, 682, … ist, die nach der Regel „mal 4, plus 2“ gebil­det wird. Zur Basis 2 sind das die Zah­len 10, 1010, 101010, 10101010, 1010101010 usw. mit der Eben­mäßig­keit 101010 für die Zahl 42. Direkte Folge ist 2¹+2³+2⁵=2+8+32=42.

Nicht erwähnen will ich hier Formeln, die für alle Zahlen und somit auch für 42 gelten, dies aber vor dem unkun­digen Betrachter geschickt verbergen und als Beson­der­heit ver­kaufen. Nicht ganz so brutal ist die Tatsache, daß n⁷−n stets ein Vielfaches von 42 ist. Tatsäch­lich ist

17 - 1 =      1 - 1 =      0 =    0 · 42
27 - 2 =    128 - 2 =    126 =    3 · 42
37 - 3 =   2187 - 3 =   2184 =   52 · 42
47 - 4 =  16384 - 4 =  16380 =  390 · 42
57 - 5 =  78125 - 5 =  78120 = 1860 · 42
67 - 6 = 279936 - 6 = 279930 = 6665 · 42

was aber nicht vom Sockel hauen sollte, denn für jede Primzahl p>3 sind alle nᵖ−n durch 6p teilbar. Für p=7 liefert das die Teil­bar­keit von n⁷−n durch 6·7=42.

[1] Ich muß es anderen überlassen zu erforschen, in welchem Manuskript, in welchem Original, in welcher Übersetzung die Antwort „vier und zwei“ oder „Forty-Two“ oder einfach „42“ lautet. Ersteres könnte auch 24 bedeuten.

41 | 43 | 14 | 17 | 24 | 54 | 84 | Danielwoche

Vorgestern lese ich, „My Way“ führe die Hitliste engli­scher Begräb­nis­musik an. Nun möchte Kanzler Schröder sich mit diesem Lied aus der Ruhmes­halle der Musik verab­schieden und in die für Poli­tiker einziehen. Erinnert es ihn an die siebziger Jahre, an die Revo­lution und die Sexfront? Der kamen bei den letzten Worten noch keine Hinter­gedanken: „The record shows I took the blows – And did it my way!“

Die einen verfolgen das Auf und Ab der Fußball­vereine, die anderen das der Schlager und ich eben die 25 meist­gele­senen meiner Beiträge. Und ich freue mich, vermelden zu können, daß nunmehr die Schall­mauer von 1000 durch meine Ein­las­sungen zur Quadrat­zahl durch­brochen wurde. Vor einem halben Jahr hätte ich nicht gedacht, eine vier­stellige Zahl vor dem Jahre 2008 zu errei­chen, auch wenn andere darüber ange­sichts ihrer Mil­lionen­leser­schaft nur müde lächeln können.

Die absolute Höhe ist auch gar nicht so sehr von Bedeu­tung, 1000 ist nur der Anlaß, dies hier zu schreiben. Viel interes­santer finde ich die Ent­wick­lung der Beiträge zuein­ander. So dümpelte die 1729 zwei Jahre mit zuletzt 300 Aufrufen auf dem ersten Platz vor sich hin. Ihr folgten für jeweils einen Monat die 13 und die 7. Letz­tere wurde dann bei 500 Aufru­fen von den Quadrat­zahlen abgelöst, die sich mit 1000 inner­halb kürze­ster Zeit einen unauf­hol­baren Vor­sprung erar­beitet haben.

Schon lange Zeit frage ich mich, woran das liegt, denn mein zwei Wochen nach den Quadrat­zahlen geschrie­bener Beitrag über Drei­ecks­zahlen war bereits auf Platz 7 als die Quadrat­zahlen erst­mals unter den 25 Besten sichtbar wurden. Warum holten die Quadrat­zahlen die Drei­ecks­zahlen so spät und dann so brutal ein? Für die ersten 200 Aufrufe benötig­ten sie 140 Tage, und in weiteren 70 Tagen folgen dann 800. Mit den Bloggern, die sich nur für aktuelle Einträge interes­sieren, hat das nichts zu tun. Viel­leicht haben sich die Schüler nach den Herbst­ferien auf die Quadrat­zahlen einge­googelt.

Fütterung der Hommingberger Gepardenforelle
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[1] 18.07.2024: Die Analyse meiner Homming­berger Geparden­forelle funkti­oniert natür­lich nicht mehr, denn es handelte sich nur um einen kurz­lebigen Spaß. Aber das Ergebnis der Auswer­tung ist noch in einem Kommentar zu lesen.

Setzt man in das Eulersche Primpolynom n(n−1)+41 eine Zahl nach der anderen ein, so erhält man lauter Primzahlen:

n:          1  2  3  4  5  6  7  8   9  10  11  12  13  14  15  16 ...
n(n-1)+41: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 ...

Das geht so weiter bis n=40 mit der Prim­zahl 1601, doch für n=41 kommt wegen n(n−1)+41=41⋅40+41=41⋅41 eine Quadrat­zahl heraus. Wie findet man solche Folgen ohne Computer und ohne viel Zahlen­theorie?

Die im Eulerschen Primpolynom enthal­tenen Recht­eck­zah­len n(n−1) sind gerade und lassen bei Divi­sion durch 3 nur die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teil­baren Zahlen. Und für k=0,1,2,3,6 erge­ben sich tatsäch­lich Poly­nome n(n−1)+a mit a=5,11,17,41, die bis n=a−1 Prim­zahlen sind. Hinzu kommen a=2,3. Weitere habe ich bis 1000 nicht gefunden und gibt es wohl auch nicht, wenn ich [1] über­flie­gend recht ver­standen habe.

[1] Candy Walter: Das Gauss'sche Klassen­zahl-​Eins-​Problem. 2012.

Ulam-Spirale | Eszett

So mancher hat vielleicht schon aus Langeweile die Zahlen auf kariertem Papier in der Form einer rechtwinkligen Spirale

15--14--13--12
             |
 4---3---2  11
 |       |   |
 5   0---1  10
 |           |
 6---7---9---9

aufgemalt. Auch Stanislav Ulam fand neben dem Bau der Wasser­stoff­bombe Zeit dazu. Und viel­leicht war er wirklich der erste, der eine Klumpung der Primzahlen entlang der Diago­nalen bemerkte, die ich im nach­folgenden Diagramm blau darge­stellt habe. [1]

99 98 97 96 95 94 93 92 91 90
64 63 62 61 60 59 58 57 56 89
65 36 35 34 33 32 31 30 55 88
66 37 16 15 14 13 12 29 54 87
67 38 17  4  3  2 11 28 53 86
68 39 18  5  0  1 10 27 52 85
69 40 19  6  7  8  9 26 51 84
70 41 20 21 22 23 24 25 50 83
71 42 43 44 45 46 47 48 49 82
72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

Ulam-Spirale, ungerade Primzahlen blau, Quadrat­zahlen rot, Rechteck­zahlen grün (htm, png)

In der Hauptdiagonalen stehen die grünen Rechteck­zahlen Rₙ=n(n+1), abwech­selnd vom Zentrum nach rechts oben und links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die roten Quadrat­zahlen an. Die geraden gehen auf der Nebendiagonalen nach links, die ungeraden um eine Position versetzt nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus. Sowohl die Rechteck- als auch die Quadratzahlen stehen an den Ecken der Spirale. [2]

Jede von einer Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also eine aufstei­gende quadra­tische Progres­sion. Zum Beispiel 4n²+12n+7 für die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,… Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Prim­zahlen sind also nichts anderes als eine Veran­schau­lichung der Tatsache, daß in quadra­tischen Progres­sionen Prim­zahlen offen­sicht­lich leichter aufein­ander folgen als in line­aren, wenn auch selten so hart­näckig wie im Euler­schen Prim­polynom n(n−1)+41.

[1] Ursprünglich hatte ich die die Ulam-Spirale in einer ordent­lichen Tabelle darge­stellt und die Prim­zahlen zur besseren Erkennung mit gelben Hinter­grund versehen, doch zunächst fiel unter blogger.de bgcolor in Tabellen­feldern aus, später wurden Tabellen gänzlich unter­drückt.

[2] Dieses Hin und Her macht deutlich, daß eine Spirale nicht die ideale Art und Weise ist, die Zahlen anzu­ordnen, um Reihungen zu erkennen.

[3] Wolfram Mathworld. Prime Spiral.

[4] T. Goddard: Ulam Spiral

41 | Primzahlkreuz

Nachdem alle Parteien sich „gut aufgestellt“ hatten, wech­selten sie von der geblähten Sprache der Öko­nomie zu Versatz­stücken aus der Mathe­matik. Sie suchten nach den „gemein­samen Schnitt­mengen“, die auf einmal mächtiger waren als im Wahlkampf zuge­geben, gleich­wohl es zu einer regie­rungs­fähigen Verei­nigungs­menge noch nicht reicht. Den Schnitt­mengen folgten die „gemeinsamen Nenner“, von denen sich der kleinste gegen­über dem größten durch­gesetzt hat. Nur Sigmar Gabriel sollte von Angela Merkel noch einmal gesagt bekommen, daß bei­spiels­weise bei der Addition

CDU + SPD = 7/20 + 12/35 = 49/140 + 48/140 = 97/140

die Zahl 140 den kleinsten gemein­samen Nenner bildet, weil 140 das kleinste gemein­same Viel­fache von 20 und 35 ist.

Eine Beziehung zwischen der Schnittmenge und dem kleinsten gemeinsamen Nenner kann man wie folgt herstellen: Besteht die Menge jeder Partei aus den Vielfachen ihres Nenners

CDU = {20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,240,160,280,…}
SPD = {35,70,105,140,175,210,245,280,315,350,385,420,…}

dann sind in der Schnittmenge

CDU ∩ SPD = {140,280,420,560,…}

genau die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Nenners enthalten.