Zahlwort

So mancher hat vielleicht schon aus Langeweile die Zahlen auf kariertem Papier in der Form einer rechtwinkligen Spirale

15--14--13--12
             |
 4---3---2  11
 |       |   |
 5   0---1  10
 |           |
 6---7---9---9

aufgemalt. Auch Stanislav Ulam fand neben dem Bau der Atombombe Zeit dazu. Und vielleicht war er wirklich der erste, der eine Klumpung der Primzahlen entlang der Diagonalen bemerkte. Man kann sie schon unter den ersten 100 Zahlen deutlich erkennen. Hier sind sie durch einen gelben Hintergrund hervorgehoben.

[Die Primzahlen hätten einen gelben und die zusammengesetzen Zahlen ein grauen Hintergrund, wenn hier bgcolor gehen würde. So mußte ich die Primzahlen zusätzlich blau machen.]

99	98	97	96	95	94	93	92	91	90
64	63	62	61	60	59	58	57	56	89
65	36	35	34	33	32	31	30	55	88
66	37	16	15	14	13	12	29	54	87
67	38	17	4	3	2	11	28	53	86
68	39	18	5	0	1	10	27	52	85
69	40	19	6	7	8	9	26	51	84
70	41	20	21	22	23	24	25	50	83
71	42	43	44	45	46	47	48	49	82
72	73	74	75	76	77	78	79	80	81

Die Zahlen in der Hauptdiagonalen sind grün geschrieben. Es sind die Recheckzahlen R(n)=n(n+1), das Doppelte der Dreieckszahlen. Die mit geradem n gehen vom Zentrum nach rechts oben, die mit ungeradem n nach links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die rot geschriebenen Quadratzahlen an. Die geraden gehen nach links oben von der 0 aus, die ungeraden nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus, aber auch durch die Ecken der Spirale.

Jede von der Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus den Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also für n=0,1,2,... eine aufsteigende quadratische Progression. So ist zum Beispiel die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,... von der Form 2n(2n+6)+7. Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als ein Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen.

Goddard | Primzahlkreuz

warum ist bei der langeweilespirale keine acht dabei?

Auch ich kann es nicht mehr vermeiden. Es müssen Bilder in den Text, auch wenn es nur einfache Tabellen sind. Und so hätte meine Tabelle ausgesehen, wenn HTML vorschriftsmäßig interpretiert würde:



Vielleicht sollte ich einfach alles mit der Hand schreiben und nur noch Bilder veröffentlichen?

body, td {
   background-color: #ffffff;
[..]

Wenn man gelangweilt dasitzt und die Zahlen quadratisch anordnet, dann würden die meisten wohl wie Ulam um ein kleines Quadrat eine Umrandung malen, um es zu vergrößern. Das ist die moderne zentrierte Denkweise. Die Griechen dachten sich die Quadratzahlen etwas konsequenter von einer Ecke her, zu der schrittweise Winkel hinzugenommen werden. Diese Vorstellung führt auf eine verbesserte quadratische Darstellung der Zahlen, die man noch "Ulam" nennen könnte, doch nicht mehr "Spirale".



Wieder sind lange Ketten wie 5,11,19,29,41 und 59,43,41,53,67,83 zu erkennen. Die nach rechts-oben weisenden Diagonalen sind allesamt aufsteigend und folgen mit n(n+b)+a einer schlichteren Formel als die Ulam-Spirale. Geht man noch einen Schritt weiter, klopft die rechte obere Ecke platt und dreht alles um 135 Grad nach rechts, so kommt man auf die Darstellung



in der die Kette 5,11,19,29,41 einfach als Spalte erscheint, weil alle nach rechts-oben weisenden Diagonalen nun einfach senkrecht nach unten verlaufen. Und wenn man die leeren Felder vervollständigt, so erhält man



in der die oben mit a beginnende Spalte einfach die Zahlen n(n+1)+a enthält. Schon unter diesen einfachen Folgen kommen überraschend lange Primzahlketten vor. Die mit 11 beginnende Spalte ist vollständig gelb, was sich im nicht dargestellten Bereich fortsetzt, jedoch nicht für immer.

Ich bin immer wieder völlig eingenommen von den Mysterien Ihrer Zahlenkunde.