besurfed
Wenn des öfteren im Leben aus mehreren Rich­tungen ähnliche Hinweise kommen, dann ist das keine den Zufall aus­trick­sende höhere Macht. Am Werke sind viel­mehr unbe­kannte Zusammen­hänge und das Bedürf­nis des Menschen, durch Zusammen­fassung das Gehirn zu entla­sten. So wird es wohl auch mit den drei Kleinig­keiten der letzten Woche sein, die mich auf die sog. Blogroll auf­merk­sam machten:

1. Alpha-Blogger Donalphons wendet sich gegen die These eines Prof. Dr. Neu­berger, der die Auffas­sung vetrete, es gäbe nur wenige A‑List-​Blogger, die vornehm­lich auf sich selbst verwiesen und um die herum die übrigen Blogger vege­tierten. [1] Donal­phons hält entgegen, daß nur wenige diesen Links folgen würden und auch er nur in einem Prozent aller Fälle über eine sog. Blogroll erreicht würde. Beide werden halbwegs recht haben: Blog­rolls sind für den Erst­kontakt von hoher Bedeu­tung, danach nicht mehr. In dieser Bezie­hung sind Blogs wie Poesie­alben: Man regi­striert durchaus, wie voll sie sind und in welcher Reihen­folge wer darin zu finden ist. Man fragt aber später keinen: Wo wohnt denn der, wo in Dein Poesie­album „In meinem Zimmer rußt der Ofen, in meinem Herzen ruhst nur Du“ geschrie­ben hat?

2. Die wenigen Leser meiner Beiträge kommen vornehm­lich über Suchan­fragen bei Google. In letzter Zeit wollen sie alle wissen, was eine Quadrat­zahl ist. Um ihnen und letzt­lich auch mir einen Über­blick über inter­essan­tere Einlas­sungen zu geben, habe ich ein paar Über­sichts­seiten erstellt. Und im nächsten Schritt habe ich Links auf diese Über­sichten unter „Favorite Items“ einge­tragen, wo sich jahre­lang nur Werbung tummelte und in letzter Zeit ein Hinweis auf Server­über­lastung. Bisher bin ich in meinem Blog-​Layout keinen Zenti­meter vom Standard abge­wichen. Das geschah aus Faul­heit und der Lebens­erfah­rung, daß ver­bogene Soft­ware nur schlecht zu pflegen ist.

3. Den wenigen sog. Backlinks, die nicht auf Suchan­fragen zurück­gehen und auch nicht von der Blogger‑de-​Start­seite kommen, folge ich gelegent­lich. Zumeist sehe ich dort auf mich einen kleinen Hinweis, und sei er von mir selbst. Doch gestern fand ich keinen im Text, daß ich auch einmal links und rechts davon schaute. Und tatsäch­lich hatte mich Herr Kid37 in sein Stationen­drama aufge­nommen, nachdem ich mich schon bei Herrn Mark793 unter Goethes letzten Worten gesehen hatte. Deshalb gehe ich nun einen Schritt weiter, verweise nicht nur auf mich selbst, sondern nehme auch andere auf: Damit folge ich dem im normalen Leben so erfolg­reichen Vitamin‑B-​Prinzip und berück­sich­tige eine aus der mensch­lichen Liebe über­tragene Erkennt­nis: Surfen ist nicht so wichtig wie gesurft zu werden.

[1] Donalphons: Die kleine A-List-Verschwö­rungs­theorie. 27.09.2005.

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Treueherzen
Heute ist der letzte Tag, um meine 40 Treue­herzen bei Tengel­mann einzu­lösen. Dafür bekomme ich eine Müsli­schale oder unter Zuzahlung von 9,99 Euro ein fünf­teiliges Gedeck. Stünde mir der Sinn nach mehr Geschirr, könnte ich zusätz­lich eine Müsli­schale für 9,99 Euro und ein Gedeck für 39,99 Euro erwerben. Was soll ich tun? Das ist die einfa­chere von zwei Fragen. Da mir ein einzelnes Gedeck keine 9,99 wert ist und zwei nicht 49,98 Euro, ist die Entscheidung klar: Ich werde heute die Müsli­schale abholen. Eigent­lich wollte ich das schon gestern tun, doch gab es natür­lich keine mehr.

Die zweite Frage treibt mich schon eine Weile um und muß nun endlich beant­wortet werden. Wie kalku­liert Tengel­mann den Wert der Herzen, um wieviel Prozent Rabatt handelt es sich da eigent­lich? In meiner Kind­heit gab es einfach 3 Pro­zent. Ein Rabatt­marken­buch zu 50 DM erbrachte eins-​fuffzig. Heutzu­tage geht es nicht mehr ohne Verwir­rung: Es gibt nur für voll­stän­dige 5 Euro ein Herz und auch kein direkt ver­rechen­bares Geld zurück, sondern irgend­welche über­bewer­teten Sachen. Der Wert ist unklar, über­zählige Herzen verfallen, und es wird der Eindruck erweckt, man könne durch Zuzah­lung ein Schnäpp­chen machen. Vielen Kunden ist das zu blöd. Sie nehmen keine Herzen mit oder holen die Prämien nicht ab.

Nun aber zurück zu einer hypothe­tischen Kalku­lation im Falle der Tengel­mann-​Treue­herzen, die heute noch einge­löst werden können. Es gibt:

1. eine Müslischale zu 9,99 Euro
2. eine Müslischale für 40 Herzen
3. ein Gedeck für 39,99 Euro
4. ein Gedeck für 40 Herzen und 9,99 Euro
5. ein Gedeck für 120 Herzen

Zunächst dachte ich daran, die späteren Herzen könnten mehr wert sein als die ersten, damit die Leute viel Umsatz machen nach dem Motto: Nimm drei, zahl zwei. Doch so scheint es nicht zu sein. Die Müsli­schale bekommt man für 40 Herzen oder 9,99 Euro, beim Gedeck benötigt man aber 80 Herzen zur Vermeidung von 9,99 Euro Zuzahlung.

Aus den fünf genannten Fakten leite ich drei Gleichungen ab, in die ich drei Unbe­kannte ein­fließen lassen kann, die wahren Werte t des Treue­herzens, m der Müsli­schale und g des Gedecks.

aus 2. ergibt sich: m = 40t
aus 4. ergibt sich: g = 40t + 10
aus 5. ergibt sich: g = 120t

Zur Vereinfachung habe ich mir erlaubt, die optische Täuschung rückgängig zu machen und alle Preise um einen Cent erhöht, um das zu können, was Geschäfte vermeiden wollen, nämlich im Kopf zu rechnen. Es wären zwei Gleichun­gen (zu 1. und 3.) mehr möglich, doch geht es ja darum zu über­prüfen, inwieweit m=10 und g=40 reali­stisch sind. Das Ergebnis lautet wenig über­raschend g=15, m=5 und t=1/8. Das Geschirr ist nach dieser Rechnung also höchstens die Hälfte wert. Ein Treue­herz von 1/8 Euro oder 12,5 Cent auf 5 Euro ergibt einen beschei­denen Rabatt von 2,5 Pro­zent.

In jedem Fall sollte man seine Herzen einlösen, zuzahlen aber nur, wenn einem die Sachen mehr als die Hälfte des Kauf­prei­ses wert sind, weil man sie benö­tigt oder teurer weiter­ver­kaufen kann. Voll­kauf wird sich kaum lohnen, auch wenn man ganz scharf auf das Geschirr ist, denn woanders wird es nicht unbe­dingt teurer sein. Am liebsten wäre mir ein Handel mit Treue­herzen an der Börse. Es würde mich nicht wundern, wenn sie dort mit 15 Cent über den Tresen gingen, ab 5 Cent würde ich verkaufen und auf Geschirr ver­zichten. Dann hätte ich 2,50 Euro für alle meine 50 Herzen.

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Fortpflanzung
Vor allem den kleinen Zahlen werden gerne mensch­liche Eigen­schaften zugeordnet. So gelten die geraden als weiblich, die unge­raden als männ­lich. Und wie Menschen sich mehr oder minder stark fort­pflanzen, so ist es mit den Zahlen. Die Ziffer 5 pflanzt sich zu 50% fort, weil jedes zweite Viel­fache einer auf 5 endenden Zahl wieder eine 5 am Schluß aufweist, sozusagen jeder zweite Ver­mehrungs­versuch gelingt. Besser ist nur noch die triviale 0, die stets erhalten bleibt. Mit 20% mäßig setzen sich die geraden Ziffern 2, 4, 6 und 8 durch. Ganz schlecht sind die verblei­benden vier Ziffern 1, 3, 7 und 9, die es nur auf 10% bringen. Im zwei­stel­ligen Bereich haben 25 und 75 eine Rate von 25%, denn

5⋅25=125   9⋅25=225   13⋅25=325   17⋅25=425   …
5⋅75=375   9⋅75=675   13⋅75=975   17⋅75=1275   …

Besser sind mit 100% bzw. 50% nur die triviale Fälle 00 und 50. Nicht tief­schür­fender sind 20, 40, 60 und 80 mit 20% Fort­pflan­zungs­rate und 10, 30, 70 und 90 mit 10%. Es verbleiben 5% für 05, 15, 35, … und 4% für 04, 08, 12, 16, 24, … sowie 2% für 02, 06, 14, 18, 22, … und 1% für den Rest. Damit sind 25 und 75 die sich am besten fort­pflan­zenden, nicht-​trivi­alen zwei­stel­ligen Endungen.

Dieser Wiederholung und der damit verbundenen Vier­teilung ist die Beliebt­heit der auf 25 und 75 endenden Jubi­läums­zahlen geschul­det [1]. Dennoch sollte man daraus nicht vor­schnell eine eigen­ständige Bedeu­tung für die Zahl 25 ableiten, denn ohne unsere welt­weite Basis 10 wäre sie nicht gegeben. In anderen Basen b pflanzen sich andere Zahlen gut fort. Man über­legt sich leicht, daß

r(b,n,a) = ggT(a,bn) / bn = a / kgV(a,bn)

die n-stellige Fort­pflan­zungs­rate einer n‑stel­ligen Endung mit Zahlwert a von 0 bis bⁿ−1 ist. [2]. Darin steht ggT für den größten gemeinsamen Teiler und kgV für das kleinste gemeinsame Vielfache. Für den zweiten Parade­fall a=75, b=10 und n=2 ergibt sich ggT(75,100)=25 und kgV(75,100)=300, also r(10,2,75)=25/100=​75/300=25%.

Ein komplizierteres Beispiel zur Basis 60, in der Menschen wegen der Uhrzeit noch einiger­maßen rechnen können: Für a=126, b=60 und n=2 ergibt sich ggT(126,3600)=18 und kgV=(126,3600)=25200, also r=18/3600=​126/25200=​1/200=0,5%. Zur Kontrolle die Viel­fachen von a=126=2:06 (126 Se­kun­den sind 2 Minu­ten und 6 Se­kun­den):
  2a = 00:04:12    3a = 00:06:18  ...   10a = 00:21:00   11a = 00:23:06
 12a = 00:25:12   13a = 00:27:18  ...   20a = 00:42:00   21a = 00:44:06
 22a = 00:46:12   23a = 00:48:18  ...   30a = 01:03:00   31a = 01:05:06
 ..............
 92a = 03:03:12   93a = 03:05:18  ...  100a = 03:30:00  101a = 03:32:06
 ..............
192a = 06:33:12  193a = 06:35:18  ...  200a = 07:00:00  201a = 07:02:06
Nach 200 Schritten endet 201a wieder mit 02:06. Vorher ist das nicht der Fall, denn hinter den Punkten verstecken sich keine Treffer.

Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen hoher Fort­pflan­zungs­rate zu irgend­einer Basis und irgend­einer Stellen­zahl bestimmen. Für eine 100‑pro­zen­tige Fort­pflanzung muß a=0 sein. Sie ist damit die einzige, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellen­zahl. Wer hätte das gedacht?

Die nächstkleinere Fort­pflan­zungs­rate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 mod bⁿ mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellen­zahl n genau eine Fort­pflan­zungs­zahl a=bⁿ/2. Insbe­sondere hat jede Zahl a eine ein­stellige Fort­pflan­zungs­rate von 50% zur Basis b=2a. Die einstel­lige 5 zu unserer Basis 10 ist also einfach nur 10/2. Zu den Basen 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … pflanzen sich 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, … zu 50% zwei­stellig fort. Zur eigenen Basis b geschrieben sehen sie mit 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, … schon eben­mäßiger aus.

Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%), die nur für durch 3 teil­bare Basen b möglich ist. In dem Falle gibt es zu jeder Stellen­zahl n genau zwei Fort­pflan­zungs­zahlen a=bⁿ/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstel­lige Fort­pflan­zungs­rate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zwei­stel­ligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fort­pflan­zungs­rate 1/3 auch nicht gerade inter­essanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Nur durch p teil­bare Basen b gestatten eine Rate 1/p zu den Endun­gen k⋅(bⁿ/p) für k=1,2,…,p−1. Schreibt man die sich mit 1/p fort­pflan­zenden Zahlen in ihrer Basis b selbst, so erkennt man die Trivia­lität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellen­zahl n=2:
01:00:00/2=30:00 mit Rate 1/2 (3⋅30:00=01:30:00, 5⋅30:00=02:30:00)
01:00:00/3=20:00 mit Rate 1/3 (4⋅20:00=01:20:00, 7⋅20:00=02:20:00)
   2⋅20:00=40:00 mit Rate 1/3 (4⋅40:00=02:40:00, 7⋅40:00=04:40:00)
01:00:00/5=12:00 mit Rate 1/5 (6⋅12:00=01:12:00,11⋅12:00=02:12:00)
   2⋅12:00=24:00 mit Rate 1/5 (6⋅24:00=02:24:00,11⋅24:00=04:24:00)
   3⋅12:00=36:00 mit Rate 1/5 (6⋅36:00=03:36:00,11⋅36:00=06:36:00)
   4⋅12:00=48:00 mit Rate 1/5 (6⋅48:00=04:48:00,11⋅48:00=08:48:00)
Die mehrstelligen Fortpflanzungen mit Raten 1/p sind also nichts anderes als mit Nullen aufge­blähte einstel­lige. Interes­sant sind dagegen Zahlen a mit nicht-​trivialer Fort­pflan­zung hoher Rate. Die sind zunächst bei 25% zu suchen. Dafür muß 4a=0 mod bⁿ sein, nicht aber schon 2a=0 mod bⁿ. Für eine einstel­lige Fort­pflan­zung muß die Basis b durch 4 teilbar sein. Und dann sind a=b/4 und das Dreifache davon die einzigen Zahlen mit 25‑prozen­tiger Fort­pflan­zung. Zur Basis 10 gibt es sie deshalb nicht, wohl aber wieder zur Basis 60, nämlich 15 und 45. Hexa­dezimal sind es 4 und C.

Nun kommt der erste interes­sante Aspekt: Bei mehr­stel­liger Fort­pflan­zung zu 25% muß die Basis b nicht durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Das liegt einfach daran, daß n‑stel­lige Fort­pflan­zung zur Basis b eigent­lich nur eine ein­stellige zur Basis bⁿ ist. Unge­rade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=bⁿ/4 und das Drei­fache davon. Zur Basis 10 sind es 100/4=25 und das Drei­fache 75 davon. Hexade­zimal 100/4=40 und 3⋅40=C0 (Dezimal 256/4=64 und 3⋅64=192).

Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-​trivi­alen zwei­stel­ligen Fort­pflan­zung. Doch leider ist das nichts beson­deres, denn jede Quadrat­zahl a=x² und ihr Drei­faches haben eine Fort­pflan­zungs­rate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, die übrigen 1, 4, 9, 16, 36, 49, … aber nicht mit 1%, 4%, 9%, 16%, 49%, …? Das ist natürlich nur ein Spaß, auch wären ab Basis 22 die 100% über­troffen. Warum erwähne ich das? Weil 25pro100 für die Endung 25 eigent­lich auch keine Besonder­heit ist, denn in der eigenen Basis ist es für alle das gleiche: Zum Beispiel zur Basis b=6: Es ist b²=100 (dezimal 36), damit a=100/4=13 (dezimal 36/4=9) mit einer Rate von 13pro100 (dezimal 9pro36). Um das einfache Schema zu sehen, hier eine Über­sicht zu weiteren Basen:
Basis   Zahlen mit Rate 25%
  b     dezimal     Basis b
  2      1    3     01   11     (1=3⋅0+1)
  4      4   12     10   30     (3=3⋅1)
  6      9   27     13   43     (4=3⋅1+1, 3=6/2)
  8     16   48     20   60     (6=3⋅2)
 10     25   75     25   75     (7=3⋅2+1, 5=10/2)
 12     36  108     30   90     (9=3⋅3)
 14     49  147     37   A7     (A=3⋅3+1, 7=14/2)
 16     64  192     40   C0     (C=3⋅4)
 18     81  243     49   D9     (D=3⋅4+1, 9=18/2)
Für die doppelt­geraden Basen b=4,8,12,16,… ist die Einer­stelle der Zahlen mit einer Rate von 25% stets 0 und die ‚Zehner­stelle‘ b/4. Das Produkt aus beiden ist also 0. Warum erwähne ich diese Trivia­lität? Weil es für die einfach­geraden n=2,6,10,14;… schöner ist: Die Einer­stelle ist b/2, die ‚Zehner­stelle‘ (b−2)/4, das Produkt beider also b⋅(b−2)/8. Und wann ist das gleich der Basis b? Man wird es vermuten: Nur für b=10 mit 2⋅5=10. Es ist also doch noch eine Besonder­heit unserer Basis gefunden.

[1] 12.07.2024: Das stieß mir auf, als man den Westfä­lischen Frieden von 1648 nach sage und schreibe 375 Jah­ren groß raus­brachte. An einen ähnli­chen Hype 1998 oder gar 2008 kann ich mich nicht erinnern, obwohl 360 ja auch eine schöne Zahl ist, zumin­dest für Baby­lonier. Das mag auch an der seiner­zeit nicht im Vorder­grund stehen­den Instru­menta­lisie­rung als Migra­tions­gipfel gelegen haben.

[2] Offensichtlich ist r(b,n,a)=r(bⁿ,1,a). Auf diese Reduk­tion habe ich aber ver­zichtet, um das Ver­ständnis nicht zu über­fordern. Wer möchte schon 4711 als zwei­stellige Zahl mit den Ziffern 47 und 11 zur Basis 100 sehen?

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24
Zunächst ist 24=1⋅2⋅3⋅4=4! die vierte Fakul­tät. Wärend 3!=6 nur eine voll­kommende Zahl ist, sind alle grö­ßeren Fakul­täten Teiler­protze. So auch 24 mit der Teiler­summe 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Zudem ist 24 die kleinste Zahl mit acht Tei­lern und die größte, die durch alle Zahlen bis zu ihrer Wurzel teil­bar ist, hier 1, 2, 3 und 4. Es ist leicht, noch belanglosere Besonderheiten zu finden. Ein Beispiel: 24 ist die größte Fakultät ohne 0 am Ende.

Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheits­quadra­ten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durch­messer eins ein, dann bleibt um die Ecken herum noch Platz für klei­nere Kreise mit Durch­messer √d−1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleich­große und 2=4 klei­nere. Macht man das gleiche mit Wür­feln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durch­messer eins 2d=6 gleich­große und 2=8 klei­nere an den Ecken des Würfels vom Durch­messer √d−1=0,732. In vier Dimen­sio­nen (d=4) sind es 2d=8 in den benach­barten Hyper­würfeln und 2=16 an den Ecken, die wegen √d−1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht. [1]

Diese sog. Kußzahlen sind weit­gehend unbe­kannt, doch für 24 Dimen­sionen kennt man sie, näm­lich 196560. Viel­leicht verstehe ich eines Tages einen Zusammen­hang mit der String­theorie in 24+2 Dimen­sionen oder dem Kano­nen­kugel­problem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat aus­legen und zugleich als quadra­tische Pyra­mide stapeln kann. Abge­sehen von der trivi­alen 1 geht es nur mit 4900, wozu die ersten 24 Qua­drat­zahlen sich zu 70⋅70 addie­ren.

Eine wirkliche Spielerei ist das 24‑Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:
1 1 3 2  (3+2−1⋅1)!   9 4 8 7  (4+8)(9-7)    6 7 2 3  6⋅7/2+3
1 8 5 7  8⋅(7−5+1)    3 2 9 2  (9−3)(2+2)    1 1 7 8  17+8−1
5 9 1 6  1⋅6⋅(9−5)    7 4 7 6  4⋅6⋅7/7       5 4 6 8  8⋅(4+5−6)
3 6 9 3  3⋅9−6+3      2 1 9 8  8⋅9/(1+2)     3 8 7 4  (4⋅7−3⋅8)!
Dreimal habe ich nichts gefunden und mußte zur Fakul­tät (!) bzw. Ziffern­zusam­men­set­zung (17) grei­fen. Ein inter­essan­ter Fall ist (1,3,4,6) mit 24=6/(1−3/4).

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Dritte Neuneckzahl 24=E3=1+8+15=D3+3R2 (png)

Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, 1/24 ist ein Karat, 24!≈6⋅10²³ trifft unge­fähr die Avo­gadro-​Kon­stante, aus 24 Ok­tae­dern kann ein raum­füllen­der vier­dimen­siona­ler Poly­eder mit vielen Namen wie Octa­plex gebil­det wer­den, Filme haben nor­maler­weise 24 Bil­der pro Sekunde, die 12 Stäm­me Israel und die 12 Apo­stel addie­ren sich zu 24, es gibt 24 Äl­teste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neun­eck­zahl, die alles erklä­rende Zif­fern­folge 4 und 2 könnte auch 24 bedeu­ten, das grie­chi­sche Alpha­bet hat 24 Buch­staben, 24=11+13 ist Summe eines Prim­zahl­zwil­lings, gerne wird behauptet, es gäbe nicht nur Dur und moll, sondern 24 Ton­arten. Und dergleichen mehr.

[1] Daß eine 25. Kugel gleicher Größe nicht dranpaßt wurde erst 2008 bewiesen. Und Vorsicht: Für d>4 versagt die Methode. Die zu gro­ßen 2 Eck­kugeln über­schnei­den sich gegen­seitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durch­mes­ser 1 ver­klei­nert und an die Zen­tral­kugel heran­führt. Ihr Abstand ist dann mit 2/√d<2 immer noch zu gering. Tatsäch­lich weiß man nicht, ob für d=5 wirk­lich 10+32=42 mög­lich sind.

23 | 25 | 196560

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Zergliederung
Fragt man sich, wie stark eine mittlere zum Bundestag kandi­die­rende Partei ist, hat es keinen Sinn, die 100% der Stimmen einfach durch die Anzahl der Parteien zu teilen. Eine solche Angabe ist wertlos, weil sie zu sehr vom Auf­treten kleiner Par­teien abhängt. Daran ändert sich auch nichts, wenn man nur solche Parteien zählt, die im Bundestag ver­treten sind. Es kann nicht sein, daß ein Passieren der Fünf-​Prozent-​Hürde die mittlere Stärke der Parteien wesent­lich ändert. Auch die Aufspal­tung einer kleinen Partei in zwei noch kleinere sollte kaum Einfluß auf die mitt­lere Größe haben. Deshalb halte ich es für sinn­voller, zu jedem Wähler die Stärke der von ihm gewählten Partei aufzu­schreiben, alle Zahlen zu addieren und dann durch die Gesamt­zahl der Wähler zu teilen.

Der Unterschied zur naiven arith­meti­schen Mitte­lung der Partei­stärken a₁, a₂, …, aₙ durch die Formel

a = ( a1 + a1 + a1 + … + an−1 + an ) / n

besteht darin, daß man nicht alle Partei gleich gewichtet, sondern mit ihrem eigenen Stimm­anteil. So kommt das quadra­tische Mittel

q = ( a12+a22+…+an2 ) / (a1+a2+…+an)

zustande, das unem­pfind­licher gegen Verände­rungen im Bereich kleiner Parteien ist und nicht einen Wert a in der Größen­ordnung von 5 Pro­zent, sondern einen deutlich höheren q über 20 Pro­zent liefern sollte.

Die Bundestagswahl vom vergan­genen Sonntag ergab

352(CDU/CSU), 342(SPD), 98(FDP), 87(PDS), 81(Grüne), 16(NPD), …

in Pro­mille, was auf

q = (3522+3422+982+872+812+162+…) / 1000 = 268

führt. Hinter den Punkten versteckt sich ein Wert unter 24²=576 für die Splitter­parteien, der die mitt­lere Partei­größe nur noch im Bereich eines halben Promil­les beein­flussen kann.

Was passiert, wenn die Union in CDU und CSU geteilt wird? Dann ergeben sich Anteile von 278, 74, 342, 98, 87, 81, 16, … Promille, was auf

q = (2782+742+3422+982+872+812+162+…) / 1000 = 227

führt. Die mittlere Partei­größe sinkt dadurch also nur um 4 Pro­zent­punkte. Und das auch weniger wegen einer zusätz­lichen Partei, sondern durch die Ver­kleine­rung der größten. Wegen 1000/268=3,7 und 1000/22,4=4,4 ist die Zer­glie­derung in Parteien durch die Auf­spal­tung der Union nicht um 1, sondern nur um 0,7 gestiegen. In jedem Falle kann man mit Fug und Recht behaupten, der Bundes­tag bestehe effektiv aus vier Parteien, weil deren mitt­lere Stärke etwa 25% beträgt.

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Projektion
Hätte Gerhard Schröder die Medien nicht gescholten, woraufhin die Journa­listen den Demo­skopen die Schuld zuschieben wollten, wäre deren aber­maliges Versagen schnell in Verges­sen­heit geraten. Doch diesmal hat es sogar eine Presse­konferenz gegeben, auf der die Beschul­digten ihre Zahlen vornehm­lich dadurch zu vertei­digen suchten, daß sie deren Bedeutung herunter­spielten. Es habe niemals Prog­nosen gegeben, sondern nur Stimmungs­bilder, allenfalls Projek­tionen.

Stimmungs­bild meint, daß Leute befragt (zufrieden, unzufrieden, weiß nicht) und deren Ergeb­nisse besten­falls voll­ständig und unkorri­giert wieder­gegeben werden. Und nichts anderes wollen die Wahl­forscher auf einmal getan haben. Sie schämen sich noch nicht einmal, sich damit selbst zu reinen Umfra­gern zu degra­dieren, die lediglich Mittel­werte aus Frage­bögen wieder­geben. Solche Ergeb­nisse über­prüfen zu wollen ist gleicher­maßen unmög­lich wie sinnleer. Daß Stim­mungs­bilder im Rahmen normaler zufäl­liger Schwan­kungen die Stim­mung wieder­geben, glaube ich gerne.

Wenn es gelegentlich doch mehr als ein Stimmungs­bild gewesen ist, wie zum Beispiel bei der berühmten Sonntags­frage, „in der länger­fristige Bindungen berück­sichtigt sind“, dann wird das auch nicht mehr so gerne als Prognose, sondern allenfalls als Projek­tion gesehen. Eigent­lich gelte die am Dienstag vor der Wahl gestellte Sonntags­frage nur für diesen Dienstag und nicht für den in fünf Tagen folgenden Wahl­sonntag. Man dürfe darin also keine Prognose sehen, sondern nur eine Projek­tion eines Stimmungs­bildes auf eine mög­liche Wahl, die aber am Erhe­bungstag nicht statt­findet, wodurch sich alles einer Über­prüfung entzieht.

Diese Selbstreduktion der Demoskopen zu reinen Datener­hebern führt aber nicht zur Beschei­denheit. Vielmehr wird behauptet, die maximale Abwei­chung einer Vorher­sage habe bis zu dieser letzten Wahl 1,9 Pro­zent betragen. Der Wähler habe erstmals sein Verhalten so schnell geändert, daß eine Prognose unmöglich folgen konnte. Das kann aber nicht völlig neu sein. Viele Wahlen haben schon Fehler weit über 5 Pro­zent erbracht, daß die genannten 1,9 Pro­zent sich allen­falls auf die Bundes­tags­wahlen beziehen können. Für die war es in der Vergan­genheit aber einfach, da es von Wahl zu Wahl kaum Bewe­gungen gab. Alle großen Verände­rungen in der Bundes­regie­rung beruhen mehr auf geän­derten Bünd­nissen als verän­derten Zahlen.

Vielleicht bezogen sich die 1,9 Pro­zent maxi­malen Fehlers auch nur auf das, was wohl immer noch Prognose genannt wird, nämlich auf die mit Schlie­ßung der Wahl­lokale ver­öffent­lichte Schät­zungen, denen dann schnell die Hoch­rech­nungen folgen, die in der Tat nur wenig Verän­derung bringen. Doch gerade sowas möchte ich nicht als Prognose bezeichnen, denn es wird nur etwas vorher­gesagt, was zum Zeit­punkt der Befra­gung schon weit­gehend einge­treten war. Wähler nach dem Urnen­gang am Sonntag zu befragen und daraus ein Wahler­gebnis zu berechnen, führt selbst­ver­ständ­lich zu einem besseren Ergebnis als auf der Basis einer Befra­gung am Samstag zuvor: Der syste­mati­sche Fehler ist geringer, weil nur Wähler und die auch noch nach der Tat befragt werden. Der zufäl­lige Fehler ebenso, weil die Anzahl der Befragten wesent­lich höher ist als bei den üblichen Telefon­inter­views.

Die Genauigkeit der 18‑Uhr-​Prognose und der große Fehler in den ‚Projektionen‘ der Tage zuvor, verführt zu der Behaup­tung, die Wähler seinen durch ihre „Volatilität“ selbst daran schuld, denn so schnelle Ände­rungen habe man nicht sehen können. Einmal davon abge­sehen, daß damit schon wieder einer dieser ekel­haften Ausdrücke aus der Welt des Geldes (sich für die Koali­tions-​Verhand­lungen optimal „aufstellen‘, doch nicht zu lange verhar­ren, denn die Inder und Chi­nesen „sind unterwegs“) in die Sprache der Poli­tiker eindringt, gibt es diese plötz­liche Bewegung der Wähler auch nicht. Selbst die zuneh­mende Zahl der Unent­schlos­senen ent­scheidet sich nicht erst an der Urne vorwie­gend für eine Rich­tung. Verände­rungen sind allen­falls über Wochen einge­treten, in denen die Menschen sich von dem Versatz­stück „gebt den Reichen viel, dann bekomme ich wenig­stens etwas“ verab­schiedet haben.

Ich persönlich kann wie die Demoskopen auch nur Behaup­tungen auf­stellen, doch ganz andere: Nur ein Teil der Abwei­chungen ist auf Kirchhof und die Mehr­wert­steuer zurück­zuführen, und die Zweit­stimmen­kampagne der FDP hat nur die Gewichte im schwarz-​gelben Lager verschoben. Vielmehr nahmen die Demo­skopen an, was in früheren Jahren galt: Die Befragten schämen sich ihrer Liebe zur CDU. Das wurde regel­mäßig durch Zuschläge von einigen Pro­zenten ausge­glichen. Diesmal aber war es umge­kehrt: Es war ‚angesagt‘, aus Verär­gerung über die Politik Schröders nun die CDU wählen zu wollen. Somit erfolgten die Korrek­turen in die falsche Richtung. Und daran gemessen ist die Abwei­chung der Realität von der Prognose eigentlich gar nicht so groß.

Wahlprognose

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Wahlprognose
Zur Zeit wird vielfach auf die Wahl­progno­stiker geschimpft. Da frage ich mich, ob meine Zahlen unter den obwal­tenden Umstän­den besser gewesen wären, denn auf einem anderen Gebiet habe ich eben­falls Prognosen mit geringem finan­ziellen Einsatz erstellt, die oftmals noch weiter von der Realität entfernt waren. Wenn eine Woche vor der Wahl die erfrag­ten Werte für die CDU um 5 Prozent sinken, dann wäre ich ange­sichts der kleinen Stich­probe auch vor­sichtig gewesen und hätte davon 4 Prozent dem Zufall zuge­rechnet und mich um 1 Prozent nach unten bewegt. Auch dann, wenn die Journa­listen nicht umfrage­gläubig und wechsel­gierig gewesen wären, ihre Finger am Puls des Volkes gehabt und einen Einbruch berichtet hätten. Denn Programme oder Para­meter kurz vor dem Ziel zu ändern, ist unred­lich.

Allerdings hätte meine Korrektur um 1 Prozent etwas anders ausgesehen. Ich hätte von 37 bis 47 Pro­zent auf 36 bis 46 Pro­zent korri­giert. Die wahren 35 Pro­zent wären auch von mir damit nicht getroffen worden, doch darf ich mir das in einem von 20 Fäl­len leisten. Und der wäre eben diesmal gewesen, weil die hohe Zahl der von der FDP abge­grif­fenen Zweit­stimmen sehr plötz­lich kam. Für die schwarz-​gelbe Koali­tion hätte ich mich von 43 bis 53 Pro­zent auf 42 bis 52 Pro­zent korri­giert und damit richtig gelegen. Und ich bin sicher, so mancher schlichte Mitar­beiter in den Meinungs­for­schungs­insti­tuten ist mit mir einer Meinung: Auf der Basis der erho­benen Daten sind keine genau­eren Angaben möglich, sofern sie in 19 von 20 Fäl­len auch zutref­fen sollen.

Doch interessieren solche Zahlen kaum einen Menschen. Als EMNID sich im Jahre 1987 die Prognose
CDU   42,3 bis 49,2 Prozent
SPD   32,9 bis 41,1 Prozent
FDP    5,8 bis 10,2 Prozent
Grüne  5,8 bis 10,2 Prozent
mit einer Sicherheit von 90% notariell bestä­tigen ließ, gab es nur Spott: Genauso könne man vorher­sagen, daß Helmut Kohl zwischen 100 und 200 Kilo­gramm wiege.

Die Kritik ist also nur teilweise an den Methoden der Wahl­progno­stiker anzu­setzen. Der von Fritz Ulmer [1] Wahl­betrug genannte Haupt­mangel besteht darin, daß von den Zahlen nur der Mittel­wert ver­öffent­licht wird, und der auch noch mit einer Nach­komma­stelle, ohne auch nur einen kleinge­druckten Hinweis auf die wirk­liche Genauig­keit. Zu verant­worten haben das zunächst die Ver­breiter dieser durch Präzi­sion geschönten Zahlen, dann aber auch deren Liefe­ranten, die solche Angaben unwider­sprochen lassen.

Und leider ist auf der Basis dieser wechsel­seitigen Abhängig­keiten Schlim­meres zu vermuten: Die CDU wurde über Jahr­zehnte aufge­wertet. Wahr­schein­lich aus dem redli­chen Motiv heraus, die aus Scham erfolg­ten Fehl­angaben der Befrag­ten auszu­gleichen. Abge­wertet wurde sie praktisch nur dann, wenn eine progno­sti­zierte absolute Mehrheit zur Abstra­fung geführt hätte. Auch das ist ein redli­ches Motiv, doch leider unwis­senschaft­lich. Auch an der 5‑Prozent-​Hürde ent­scheiden mehr die Mei­nungen als die Zahlen: Aus Angst vor dieser Grenze und weil die Grünen drei Jahre zuvor 8,3 Pro­zent erreich­ten, progno­sti­zierte man ihnen im Jahre 1990 bis kurz vor der Wahl noch 7 Pro­zent, von denen sie dann 4,8 erreich­ten. Es ist also alles nicht neu.

[1] Fritz Ulmer: Der Dreh mit den Prozentzahlen.

Projektion

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