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wuerg, 03.10.2005 15:35
Wenn des öfteren im Leben aus mehreren Richtungen ähnliche Hinweise kommen, dann ist das keine den Zufall austricksende höhere Macht. Am Werke sind vielmehr unbekannte Zusammenhänge und das Bedürfnis des Menschen, durch Zusammenfassung das Gehirn zu entlasten. So wird es wohl auch mit den drei Kleinigkeiten der letzten Woche sein, die mich auf die sog. Blogroll aufmerksam machten:
1. Alpha-Blogger Donalphons wendet sich gegen die These eines Prof. Dr. Neuberger, der die Auffassung vetrete, es gäbe nur wenige A-List-Blogger, die vornehmlich auf sich selbst verwiesen und um die herum die übrigen Blogger vegetierten. Donalphons hält entgegen, daß nur wenige diesen Links folgen würden und auch er nur in einem Prozent aller Fälle über eine sog. Blogroll erreicht würde. Beide werden halbwegs recht haben: Blogrolls sind für den Erstkontakt von hoher Bedeutung, danach nicht mehr. In dieser Beziehung sind Blogs wie Poesiealben: Man registriert durchaus, wie voll sie sind und in welcher Reihenfolge wer darin zu finden ist. Man fragt aber später keinen: Wo wohnt denn der, wo in Dein Poesiealbum In meinem Zimmer rußt der Ofen, in meinem Herzen ruhst nur Du geschrieben hat?
2. Die wenigen Leser meiner Beiträge kommen vornehmlich über Suchanfragen bei Google. In letzter Zeit wollen sie alle wissen, was eine Quadratzahl ist. Um ihnen und letztlich auch mir einen Überblick über interessantere Einlassungen zu geben, habe ich ein paar Übersichtsseiten erstellt. Und im nächsten Schritt habe ich Links auf diese Übersichten unter Favorite Items eingetragen, wo sich jahrelang nur Werbung tummelte und in letzter Zeit ein Hinweis auf Serverüberlastung. Bisher bin ich in meinem Blog-Layout keinen Zentimeter vom Standard abgewichen. Das geschah aus Faulheit und der Lebenserfahrung, daß verbogene Software nur schlecht zu pflegen ist.
3. Den wenigen sog. Backlinks, die nicht auf Suchanfragen zurückgehen und auch nicht von der Blogger-de-Startseite kommen, folge ich gelegentlich. Zumeist sehe ich dort auf mich einen kleinen Hinweis, und sei er von mir selbst. Doch gestern fand ich keinen im Text, daß ich auch einmal links und rechts davon schaute. Und tatsächlich hatte mich Herr Kid37 in sein Stationendrama aufgenommen, nachdem ich mich schon bei Herrn Mark793 unter Goethes letzten Worten gesehen hatte. Deshalb gehe ich nun einen Schritt weiter, verweise nicht nur auf mich selbst, sondern nehme auch andere auf: Damit folge ich dem im normalen Leben so erfolgreichen Vitamin-B-Prinzip und berücksichtige eine aus der menschlichen Liebe übertragene Erkenntnis: Surfen ist nicht so wichtig wie gesurft zu werden.
Donalphons
1. Alpha-Blogger Donalphons wendet sich gegen die These eines Prof. Dr. Neuberger, der die Auffassung vetrete, es gäbe nur wenige A-List-Blogger, die vornehmlich auf sich selbst verwiesen und um die herum die übrigen Blogger vegetierten. Donalphons hält entgegen, daß nur wenige diesen Links folgen würden und auch er nur in einem Prozent aller Fälle über eine sog. Blogroll erreicht würde. Beide werden halbwegs recht haben: Blogrolls sind für den Erstkontakt von hoher Bedeutung, danach nicht mehr. In dieser Beziehung sind Blogs wie Poesiealben: Man registriert durchaus, wie voll sie sind und in welcher Reihenfolge wer darin zu finden ist. Man fragt aber später keinen: Wo wohnt denn der, wo in Dein Poesiealbum In meinem Zimmer rußt der Ofen, in meinem Herzen ruhst nur Du geschrieben hat?
2. Die wenigen Leser meiner Beiträge kommen vornehmlich über Suchanfragen bei Google. In letzter Zeit wollen sie alle wissen, was eine Quadratzahl ist. Um ihnen und letztlich auch mir einen Überblick über interessantere Einlassungen zu geben, habe ich ein paar Übersichtsseiten erstellt. Und im nächsten Schritt habe ich Links auf diese Übersichten unter Favorite Items eingetragen, wo sich jahrelang nur Werbung tummelte und in letzter Zeit ein Hinweis auf Serverüberlastung. Bisher bin ich in meinem Blog-Layout keinen Zentimeter vom Standard abgewichen. Das geschah aus Faulheit und der Lebenserfahrung, daß verbogene Software nur schlecht zu pflegen ist.
3. Den wenigen sog. Backlinks, die nicht auf Suchanfragen zurückgehen und auch nicht von der Blogger-de-Startseite kommen, folge ich gelegentlich. Zumeist sehe ich dort auf mich einen kleinen Hinweis, und sei er von mir selbst. Doch gestern fand ich keinen im Text, daß ich auch einmal links und rechts davon schaute. Und tatsächlich hatte mich Herr Kid37 in sein Stationendrama aufgenommen, nachdem ich mich schon bei Herrn Mark793 unter Goethes letzten Worten gesehen hatte. Deshalb gehe ich nun einen Schritt weiter, verweise nicht nur auf mich selbst, sondern nehme auch andere auf: Damit folge ich dem im normalen Leben so erfolgreichen Vitamin-B-Prinzip und berücksichtige eine aus der menschlichen Liebe übertragene Erkenntnis: Surfen ist nicht so wichtig wie gesurft zu werden.
Donalphons
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Treueherzen
wuerg, 01.10.2005 14:42
Heute ist der letzte Tag, um meine 40 Treueherzen bei Tengelmann einzulösen. Dafür bekomme ich eine Müslischale oder unter Zuzahlung von 9,99 Euro ein fünfteiliges Gedeck. Stünde mir der Sinn nach mehr Geschirr, könnte ich zusätzlich eine Müslischale für 9,99 Euro und ein Gedeck für 39,99 Euro erwerben. Was soll ich tun? Das ist die einfachere von zwei Fragen. Da mir ein einzelnes Gedeck keine 9,99 Euro wert ist, zwei nicht 49,98 Euro und erst recht nicht zwölf 449,88 Euro, ist die Entscheidung klar: Ich werde heute die Müslischale abholen. Eigentlich wollte ich das schon gestern tun, doch gab es natürlich keine mehr.
Die zweite Frage treibt mich schon eine Weile um und muß nun endlich beantwortet werden. Wie kalkuliert Tengelmann den Wert der Punkte, um wieviel Prozent Rabatt handelt es sich da eigentlich? In meiner Kindheit gab es einfach 3 Prozent auf jede Mark. Ein Rabattmarkenbuch zu 50 DM erbrachte eins-fuffzig. Heutzutage geht es nicht mehr ohne Verwirrung: Es gibt nur für vollständige 5 Euro ein Herz und auch kein direkt verrechenbares Geld zurück, sondern irgendwelche überbewerteten Sachen. Der Wert ist unklar, überzählige Herzen verfallen, und es wird der Eindruck erweckt, man könne durch Zuzahlung ein Schnäppchen machen. Vielen Kunden ist das zu blöd. Sie nehmen keine Herzen mit oder holen die Prämien nicht ab.
Nun aber zurück zu einer hypothetischen Kalkulation im Falle der Tengelmann-Treueherzen, die heute noch eingelöst werden können. Es gibt:
Die Lösung ist letztlich einfach: Die fünf genannten Fakten führen auf drei Gleichungen, in die ich drei Unbekannte einfließen lassen kann. Als vernünftige Wahl dieser drei Unbekannten erweisen sich die wahren Werte t des Treueherzens, m der Müslischale und g des Gedecks.
In jedem Fall sollte man seine Herzen einlösen, zuzahlen aber nur, wenn einem die Sachen mehr als die Hälfte des Kaufpreises wert sind, weil man sie benötigt oder teurer weiterverkaufen kann. Vollkauf wird sich kaum lohnen, auch wenn man ganz scharf auf das Geschirr ist, denn woanders wird es nicht unbedingt teurer sein. Am liebsten wäre mir ein Handel mit Treueherzen an der Börse. Es würde mich nicht wundern, wenn sie dort mit 15 Cent über den Tresen gingen, ab 5 Cent würde ich verkaufen und auf Geschirr verzichten. Dann hätte ich 2,50 Euro für alle meine 50 Herzen.
Die zweite Frage treibt mich schon eine Weile um und muß nun endlich beantwortet werden. Wie kalkuliert Tengelmann den Wert der Punkte, um wieviel Prozent Rabatt handelt es sich da eigentlich? In meiner Kindheit gab es einfach 3 Prozent auf jede Mark. Ein Rabattmarkenbuch zu 50 DM erbrachte eins-fuffzig. Heutzutage geht es nicht mehr ohne Verwirrung: Es gibt nur für vollständige 5 Euro ein Herz und auch kein direkt verrechenbares Geld zurück, sondern irgendwelche überbewerteten Sachen. Der Wert ist unklar, überzählige Herzen verfallen, und es wird der Eindruck erweckt, man könne durch Zuzahlung ein Schnäppchen machen. Vielen Kunden ist das zu blöd. Sie nehmen keine Herzen mit oder holen die Prämien nicht ab.
Nun aber zurück zu einer hypothetischen Kalkulation im Falle der Tengelmann-Treueherzen, die heute noch eingelöst werden können. Es gibt:
- Eine Müslischale zu 9,99 Euro
- Eine Müslischale für 40 Herzen
- Ein Gedeck für 39,99 Euro
- Ein Gedeck für 40 Herzen und 9,99 Euro
- Ein Gedeck für 120 Herzen
Die Lösung ist letztlich einfach: Die fünf genannten Fakten führen auf drei Gleichungen, in die ich drei Unbekannte einfließen lassen kann. Als vernünftige Wahl dieser drei Unbekannten erweisen sich die wahren Werte t des Treueherzens, m der Müslischale und g des Gedecks.
- Aus 1 und 2 ergibt sich: m = 40t
- Aus 3 und 4 ergibt sich: g = 40t + 10
- Aus 3 und 5 ergibt sich: g = 120t
In jedem Fall sollte man seine Herzen einlösen, zuzahlen aber nur, wenn einem die Sachen mehr als die Hälfte des Kaufpreises wert sind, weil man sie benötigt oder teurer weiterverkaufen kann. Vollkauf wird sich kaum lohnen, auch wenn man ganz scharf auf das Geschirr ist, denn woanders wird es nicht unbedingt teurer sein. Am liebsten wäre mir ein Handel mit Treueherzen an der Börse. Es würde mich nicht wundern, wenn sie dort mit 15 Cent über den Tresen gingen, ab 5 Cent würde ich verkaufen und auf Geschirr verzichten. Dann hätte ich 2,50 Euro für alle meine 50 Herzen.
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Fortpflanzung
wuerg, 29.09.2005 17:38
Gerade den kleinen Zahlen werden gerne menschliche Eigenschaften zugeordnet. So gelten die geraden als weiblich, die ungeraden als männlich. Und wie Menschen sich mehr oder minder stark fortpflanzen, so ist es mit den Zahlen. Die Ziffer 5 pflanzt sich mit 50% fort, weil jedes zweite Vielfache einer auf 5 endenden Zahl wieder eine 5 am Schluß aufweist. Besser ist nur noch die triviale 0 mit 100% Fortpflanzungsrate. Mit 20% mäßig breiten sich die geraden Ziffern 2, 4, 6 und 8 aus. Ganz schlecht sind die verbleibenden vier Ziffern 1, 3, 7 und 9, die es nur auf 10% bringen. Im zweistelligen Bereich haben 25 und 75 eine Rate von 25%, denn
Daraus sollte man nicht vorschnell eine Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, da andere Zahlen sich in anderen Basen ebenso gut fortpflanzen könnten. Man überlegt sich leicht, daß zur Basis b die n-stellige Fortpflanzungsrate r(b,n,a) einer Zahl a kleiner als b^n (zur Basis b maximal n Stellen) sich gemäß
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen mit hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100-prozentige Fortpflanzung muß a=0 (mod b^n) sein. Damit ist a=0 die einzige Zahl, die sich zu 100% fortpflanzt, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht? Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=b^n/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die 5 ist als nichts besonderes. Die zweistelligen sind 2,8,18,32,50,72,... zu den Basen 2,4,6,8,10,12,...
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%). Sie wird bei 3a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur durch 3 teilbare Basen b erlauben eine Rate von 1/3. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=b^n/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen nämlich in der Basis b, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht unbedingt durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=b^n/4 und das Dreifache davon. Damit sind 1 und 3 zur Basis 2, 4 und 12 zur Basis 4, 9 und 27 zur Basis 6, 16 und 48 zur Basis 8, 25 und 75 zur Basis 10, 36 und 108 zur Basis 12 usw. die zweistelligen Fortpflanzungen mit 25%. Die drei- und mehrstelligen liefern wieder nichts grundlegend neues: Dezimal sind es 250 und 750, 2500 und 7500 usw.
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x*x und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, aber die übrigen 1,3,4,9,12,16,... nicht mit 1%,3%,4%,9%,12%,16%,..., ist eine unzulässige Eigenschaft, da mit "Prozenten" die 100 reingesteckt wird und dadurch die Basis 10 herauskommt. So wie die 25 in der Basis 10 eine Rate von 25/100 (25 Prozent) hat, so erreicht zum Beispiel 9 in der Basis 6 eine Rate von 9/36 (9 Pro36). Für die Suche nach Besonderheiten sollte man sich deshalb die Zahlen a in der zugehörigen Basis b dargestellt ansehen:
5*25=125, 9*25=225, 13*25=325, 17*25=425, ... 5*75=375, 9*75=675, 13*75=975, 17*75=1275, ...Besser sind mit 100% bzw. 50% nur die trivialen Fälle 00 und 50. Nicht tiefschürfender sind 20, 40, 60 und 80 mit 20% Fortpflanzungsrate und 10, 30, 70 und 90 mit 10%. Es verbleiben 5% für 05, 15, 35, ..., 4% für 04, 08, 12, 16, 24, ..., 2% für 02, 06, 14, 18, 22, ... und 1% für den Rest. Damit sind 25 und 75 die sich am besten fortpflanzenden, nicht-trivialen zweistelligen Endungen, so wie es die 5 im einstelligen Bereich ist.
Daraus sollte man nicht vorschnell eine Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, da andere Zahlen sich in anderen Basen ebenso gut fortpflanzen könnten. Man überlegt sich leicht, daß zur Basis b die n-stellige Fortpflanzungsrate r(b,n,a) einer Zahl a kleiner als b^n (zur Basis b maximal n Stellen) sich gemäß
r(b,n,a) = ggT(a,bn) / bn = a / kgV(a,bn)bestimmen läßt. Darin ist ggT der größte gemeinsame Teiler und kgV das kleinste gemeinsame Vielfache. Für den Paradefall a=25, b=10 und n=2 ergibt sich ggT(25,100)=25 und kgV(25,100)=100, also r=25/100=25%. Ein komplizierteres Beispiel zur Basis 60, in der Menschen wegen der Uhrzeit noch einigermaßen rechnen können: Für a=126, b=60 und n=2 ergibt sich ggT(126,3600)=18, also r=18/3600=1/200=0,5%. Zur Kontrolle die Vielfachen von a=126=2:06 (126 Sekunden sind 2 Minuten und 6 Sekunden):
2a=00:04:12, 3a=00:06:18, ..., 10a=00:21:00, 11a=00:23:06 12a=00:25:12, 13a=00:27:18, ..., 20a=00:42:00, 21a=00:44:06 22a=00:46:12, 23a=00:48:18, ..., 30a=01:03:00, 31a=01:05:06 ............ 92a=03:03:12, 93a=03:05:18, ..., 100a=03:30:00, 101a=03:32:06 ............ 192a=06:33:12, 193a=06:35:18, ..., 200a=07:00:00, 201a=07:02:06nach 200 Schritten endet 201a wieder mit 02:06. Vorher ist das nicht der Fall. Hinter den Punkten versteckt sich kein Treffer. Alle 10 Schritte wird **:06 erreicht, 10 mal 10 Schritte sind für *2:06 erforderlich und 200 dann für 02:06.
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen mit hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100-prozentige Fortpflanzung muß a=0 (mod b^n) sein. Damit ist a=0 die einzige Zahl, die sich zu 100% fortpflanzt, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht? Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=b^n/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die 5 ist als nichts besonderes. Die zweistelligen sind 2,8,18,32,50,72,... zu den Basen 2,4,6,8,10,12,...
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%). Sie wird bei 3a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur durch 3 teilbare Basen b erlauben eine Rate von 1/3. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=b^n/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen nämlich in der Basis b, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
01:00:00/2=30:00 mit Rate 1/2 (3*30:00=01:30:00, 5*30:00=02:30:00) 01:00:00/3=20:00 mit Rate 1/3 (4*20:00=01:20:00, 7*20:00=02:20:00) 2*20:00=40:00 mit Rate 1/3 (4*40:00=02:40:00, 7*40:00=04:40:00) 01:00:00/5=12:00 mit Rate 1/5 (6*12:00=01:12:00,11*12:00=02:12:00) 2*12:00=24:00 mit Rate 1/5 (6*24:00=02:24:00,11*24:00=04:24:00) 3*12:00=36:00 mit Rate 1/5 (6*36:00=03:36:00,11*36:00=06:36:00) 4*12:00=48:00 mit Rate 1/5 (6*48:00=04:48:00,11*48:00=08:48:00)Die mehrstelligen Fortpflanzungen mit Raten 1/p sind also nichts anderes als mit Nullen aufgeblähte einstellige. Interessant sind nur Zahlen a mit nicht-trivialer Fortpflanzung bei hoher Rate. Die sind zunächst bei 25% zu suchen. Dafür muß 4a=0 (mod b^n) sein, nicht aber schon 2a=0 (mod b^n). Für eine einstellige Fortpflanzung muß die Basis b durch 4 teilbar sein. Und dann sind a=b/4 und das Dreifache davon die einzigen Zahlen mit 25-prozentiger Fortpflanzung. Zur Basis 10 gibt es sie deshalb nicht, wohl aber wieder zur Basis 60, nämlich 15 und 45.
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht unbedingt durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=b^n/4 und das Dreifache davon. Damit sind 1 und 3 zur Basis 2, 4 und 12 zur Basis 4, 9 und 27 zur Basis 6, 16 und 48 zur Basis 8, 25 und 75 zur Basis 10, 36 und 108 zur Basis 12 usw. die zweistelligen Fortpflanzungen mit 25%. Die drei- und mehrstelligen liefern wieder nichts grundlegend neues: Dezimal sind es 250 und 750, 2500 und 7500 usw.
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x*x und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, aber die übrigen 1,3,4,9,12,16,... nicht mit 1%,3%,4%,9%,12%,16%,..., ist eine unzulässige Eigenschaft, da mit "Prozenten" die 100 reingesteckt wird und dadurch die Basis 10 herauskommt. So wie die 25 in der Basis 10 eine Rate von 25/100 (25 Prozent) hat, so erreicht zum Beispiel 9 in der Basis 6 eine Rate von 9/36 (9 Pro36). Für die Suche nach Besonderheiten sollte man sich deshalb die Zahlen a in der zugehörigen Basis b dargestellt ansehen:
Basis Zahlen mit Rate 25% b dezimal Basis b --------------------------- 2 1 3 01 11 4 4 12 10 30 6 9 27 13 43 8 16 48 20 60 10 25 75 25 75 12 36 108 30 90 14 49 147 37 A7 16 64 192 40 C0 18 81 243 49 D7Ist die Basis b durch 4 teilbar, so ist die Einerstelle 0. Das sind also auch triviale Fälle, die man außen vor lassen kann. In den übrigen Basen b=4k+2 für k=0,1,2,... ist die Einerstelle 2k+1 und die "Zehnerstelle" k bzw. 3k+1. Das Produkt (2k+1)k bzw. (2k+1)(3k+1) aus Zehner- und Einerstelle ergibt die Basis b=4k+2 nur im ersten Falle und nur für k=2. Damit ist die Basis b=4k+2=10 ausgezeichnet. Die Einerstelle ist 2k+1=5, die Zehnerstelle k=2. Das ist die Zahl 25. Sie ist eine der Zahlen mit der größten nicht-trivialen Fortpflanzungsrate (nämlich 25%) und unter diesen die einzige, deren Einer- und Zehnerstelle in der zugehörigen Basis multipliziert eben diese Basis ergeben.
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24
wuerg, 27.09.2005 15:53
Die Zahl 24 habe ich bisher ausgespart, weil ich für eine annähernd kompetente Äußerung zu ihrer Bedeutung noch jahrelang studieren müßte. Es soll mir undurchsichtige Verbindung zur möglichen realen Welt geben, die nicht drei- oder vier Dimensionen, sondern 8+2 oder 24+2 haben soll. Eine damit im Zusammenhang stehende herausragende Eigenschaft der 24 ist die Packung des 24-dimensionalen Raumes mit 24-dimensionalen Kugeln, in der jede Kugel 196560 andere berührt.
Mathematisch kommt die 24 leicht wegen 4!=1*2*3*4=24 ins Spiel. Die Zahl der Möglichkeiten, vier Dinge aus n zu ziehen ist n(n-1)(n-2)(n-3)/24. Doch das allein hebt die Zahl 24 nicht aus der Reihe 1,2,6,24,120,720,... der Fakultäten hervor. Gemeinsam mit diesen Zahlen ist der 24 die hohe Zahl an Teilern und eine entsprechend große Teilersumme 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Da diese Summe 60 die Zahl 24 selbst um mehr als das Doppelte übersteigt, ist 24 wie auch 12 oder 36 ein Teilerprotz.
Verblüffender ist das Vorkommen der Zahl 24 in der Beziehung
Das beweist selbstverständlich nicht, daß n=24 die einzige Lösung ist, macht aber deutlich, warum gerade dies Zahl. Zum einen liegt 24 genau vor einer Quadratzahl, zum anderen ist 24 selbst das Sechsfache einer Quadratzahl. Der Faktor 6 rührt letztlich aus der Dreidimensionalität der Aufgabenstellung und ist schon die halbe Miete. Doch ohne das Glück von 24+25=49 geht es natürlich auch nicht.
Kurz: Die Häufigkeit der Zahl 24 ist zwar bemerkenswert, doch so verwunderlich auch nicht. Ein Faktor kommt aus der einen, der andere aus der anderen Ecke, und schon hat man die 24 beisammen. So hat der Tag 24 Stunden, weil er wie die Nacht früher 12 hatte. Ein Faktor 2 kommt aus der Verdoppelung, der andere Faktor 12 wohl aus dem Mondlauf. Trotzdem könnte die alles erklärende Zahl nicht 42, sondern doch 24 sein.
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Mathematisch kommt die 24 leicht wegen 4!=1*2*3*4=24 ins Spiel. Die Zahl der Möglichkeiten, vier Dinge aus n zu ziehen ist n(n-1)(n-2)(n-3)/24. Doch das allein hebt die Zahl 24 nicht aus der Reihe 1,2,6,24,120,720,... der Fakultäten hervor. Gemeinsam mit diesen Zahlen ist der 24 die hohe Zahl an Teilern und eine entsprechend große Teilersumme 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Da diese Summe 60 die Zahl 24 selbst um mehr als das Doppelte übersteigt, ist 24 wie auch 12 oder 36 ein Teilerprotz.
Verblüffender ist das Vorkommen der Zahl 24 in der Beziehung
1*1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 + ... + 23*23 + 24*24 = 70*70denn für keine andere Zahl n ist die Summe der ersten n Quadratzahlen selbst wieder eine Quadratzahl. Es ist nicht schwer, sich zu überlegen oder nachzuschlagen, daß eine quadratische Pyramide mit n Punkten auf jeder Kante genau
P(n) = 1*1 + 2*2 + 3*3 + ... + n*n = n(n+1)(2n+1)/6Punkte umfaßt. Somit lautet die Frage, für welche n diese Anzahl P(n) eine Quadratzahl m*m ist, also n*(n+1)*(2n+1)=6*m*m gilt. Die einzige Lösung ist n=24 und m=70. Richtig verwunderlich ist es aber auch nicht: Man überlegt sich, daß n, n+1 und 2n+1 alle drei Quadratzahlen oder das Zwei-, Drei- oder Sechsfache davon sein müssen. Und damit reduziert sich alles auf Beziehungen zwischen Quadratzahlen. So könnte man n=8=2*(2*2) und n+1=9=3*3 probieren, doch leider ist 2n+1=8+9=17 keine Quadratzahl. Erfolgreicher ist natürlich n=24=6*(2*2) und n+1=25=5*5, denn 2n+1=24+25=49=7*7 ist eine Quadratzahl.
Das beweist selbstverständlich nicht, daß n=24 die einzige Lösung ist, macht aber deutlich, warum gerade dies Zahl. Zum einen liegt 24 genau vor einer Quadratzahl, zum anderen ist 24 selbst das Sechsfache einer Quadratzahl. Der Faktor 6 rührt letztlich aus der Dreidimensionalität der Aufgabenstellung und ist schon die halbe Miete. Doch ohne das Glück von 24+25=49 geht es natürlich auch nicht.
Kurz: Die Häufigkeit der Zahl 24 ist zwar bemerkenswert, doch so verwunderlich auch nicht. Ein Faktor kommt aus der einen, der andere aus der anderen Ecke, und schon hat man die 24 beisammen. So hat der Tag 24 Stunden, weil er wie die Nacht früher 12 hatte. Ein Faktor 2 kommt aus der Verdoppelung, der andere Faktor 12 wohl aus dem Mondlauf. Trotzdem könnte die alles erklärende Zahl nicht 42, sondern doch 24 sein.
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Zergliederung
wuerg, 23.09.2005 18:25
Fragt man sich, wie stark eine mittlere zum Bundestag kandidierende Partei ist, hat es keinen Sinn, die 100% einfach durch die Anzahl der Parteien zu teilen. Eine solche Angabe ist wertlos, weil sie zu sehr vom Auftreten kleiner Parteien abhängt. Daran ändert sich auch nichts, wenn man nur solche Parteien zählt, die im Bundestag vertreten sind oder die Fünf-Prozent-Hürde übersprungen haben. Es kann nicht sein, daß ein Passieren dieser Grenze die mittlere Stärke der Parteien wesentlich ändert. Auch die Aufspaltung einer kleinen Partei in zwei noch kleinere sollte kaum Einfluß auf die mittlere Größe haben. Deshalb halte ich es für sinnvoller, zu jedem Wähler die Stärke der von ihm gewählten Partei aufzuschreiben, alle Zahlen zu addieren und dann durch die Gesamtzahl der Wähler zu teilen.
Dieser Unterschied zur naiven arithmetischen Mittelung der Parteistärkena(1), a(2), ..., a(n) durch die Formel
Die Bundestagswahl vom vergangenen Sonntag ergab für a(*) die Promille-Werte 352, 343, 98, 87, 81, ..., was auf
Was passiert, wenn der modernen Auffassung der SPD gefolgt und die Union in CDU und CSU geteilt wird? Dann ergeben sich Werte a(*) von 343, 278, 98, 87, 81, 74, ..., was auf
Dieser Unterschied zur naiven arithmetischen Mittelung der Parteistärken
a = [ a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n) ] / nbesteht darin, daß man nicht jeder Partei das gleiche Gewicht verleiht, sondern ihren eigenen Stimmanteil als Gewicht verwendet. So kommt das quadratische Mittel
q = [a(1)*a(1)+a(2)*a(2) +...+a(n)*a(n)] / [a(1)+a(2)+...+a(n)]zustande, das unempfindlicher gegen Veränderungen im Bereich kleiner Parteien ist und nicht einen Wert a in der Größenordnung von 5 Prozent, sondern einen deutlich höheres q über 20 Prozent liefern sollte.
Die Bundestagswahl vom vergangenen Sonntag ergab für a(*) die Promille-Werte 352, 343, 98, 87, 81, ..., was auf
q = [352*352 + 343*343 + 98*98 + 87*87 + 81*81 + ...] / 1000 = 266führt. Hinter den Punkten versteckt sich ein Wert zwischen 0 und 39*39=1521 für die Splitterparteien, der die mittlere Parteigröße von 266 Promille nur noch im Bereich eines Promilles beeinflußt. Da 1009/266=3,8 ist, meine ich, daß 4 die ungefähre Zergliederung Deutschlands in Parteien ist.
Was passiert, wenn der modernen Auffassung der SPD gefolgt und die Union in CDU und CSU geteilt wird? Dann ergeben sich Werte a(*) von 343, 278, 98, 87, 81, 74, ..., was auf
q = [343*343+278*278+98*98+87*87+81*81+74*74+...] / 1000 = 225führt. Die mittlere Parteigröße sinkt dadurch also nur um 4 Prozent. Und das auch weniger wegen einer zusätzlichen Partei, sondern durch die Verkleinerung der größten. Wegen1000/22,5=4,4 ist die Zergliederung in Parteien durch die Aufspaltung der Union nicht um 1, sondern nur um 0,6 gestiegen. Zusammenfassend kann man sagen, daß die Zergliederung des Bundestages in Parteien in jedem Falle ungefähr bei 4 liegt, weil die mittlere Stärke einer Partei etwa 25% beträgt.
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Projektion
wuerg, 21.09.2005 23:42
Hätte Gerhard Schröder die Medien nicht gescholten, woraufhin die Journalisten den Demoskopen die Schuld zuschieben wollten, wäre deren abermaliges Versagen schnell in Vergessenheit geraten. Doch diesmal hat es sogar eine Pressekonferenz gegeben, auf der die Beschuldigten ihre Zahlen vornehmlich dadurch zu verteidigen suchten, daß sie deren Bedeutung herunterspielten. Es habe niemals Prognosen gegeben, sondern nur Stimmungsbilder, allenfalls Projektionen.
Stimmungsbild meint, daß Leute befragt (zufrieden, unzufrieden, weiß nicht) und deren Ergebnisse bestenfalls vollständig und unkorrigiert wiedergegeben werden. Und nichts anderes wollen die Wahlforscher auf einmal getan haben. Sie schämen sich noch nicht einmal, sich damit selbst zu reinen Umfragern zu degradieren, die lediglich Mittelwerte aus Fragebögen wiedergeben. Solche Ergebnisse überprüfen zu wollen ist gleichermaßen unmöglich wie sinnleer. Daß Stimmungsbilder im Rahmen normaler zufälliger Schwankungen die Stimmung wiedergeben, glaube ich gerne.
Wenn es gelegentlich doch mehr als ein Stimmungsbild gewesen ist, wie zum Beispiel bei der berühmten Sonntagsfrage ("in der längerfristige Bindungen berücksichtigt sind"), dann wird das auch nicht mehr so gerne als Prognose, sondern allenfalls als Projektion gesehen. Eigentlich gelte die am Dienstag vor der Wahl gestellte Sonntagsfrage nur für diesen Dienstag und nicht für den in fünf Tagen folgenden Wahlsonntag. Man dürfe darin also keine Prognose sehen, sondern nur eine Projektion eines Stimmungsbildes auf eine mögliche Wahl, die aber am Erhebungstag nicht stattfindet, wodurch sich alles einer Überprüfung entzieht.
Diese Selbstreduktion der Demoskopen zu reinen Datenerhebern führt aber nicht zur Bescheidenheit. Vielmehr wird behauptet, die maximale Abweichung einer Vorhersage habe bis zu dieser letzten Wahl 1,9 Prozent betragen. Der Wähler habe erstmals sein Verhalten so schnell geändert, daß eine Prognose unmöglich folgen konnte. Das kann aber nicht völlig neu sein. Viele Wahlen haben schon Fehler weit über 5 Prozent erbracht, daß die genannten 1,9 Prozent sich allenfalls auf die Bundestagswahlen beziehen können. Für die war es in der Vergangenheit aber einfach, da es von Wahl zu Wahl kaum Bewegungen gab. Alle großen Veränderungen in der Bundesregierung beruhen mehr auf geänderten Bündnissen als veränderten Zahlen.
Vielleicht bezogen sich die 1,9 Prozent maximalen Fehlers auch nur auf das, was wohl immer noch Prognose genannt wird, nämlich auf die mit Schließung der Wahllokale veröffentlichte Schätzung, denen dann schnell die Hochrechnungen folgen, die in der Tat nur wenig Veränderung bringen. Doch gerade sowas möchte ich nicht als Prognose bezeichnen, denn es wird nur etwas vorhergesagt, was zum Zeitpunkt der Befragung schon weitgehend eingetreten war. Wähler nach dem Urnengang am Sonntag zu befragen und daraus ein Wahlergebnis zu berechnen, führt selbstverständlich zu einem besseren Ergebnis als auf der Basis einer Befragung am Samstag zuvor: Der systematische Fehler ist geringer, weil nur Wähler und die auch noch nach der Tat befragt werden. Der zufällige Fehler ebenso, weil die Anzahl der Befragte wesentlich höher ist als bei den üblichen Telefoninterviews.
Die Genauigkeit der 18-Uhr-Prognose und der große Fehler in den "Projektionen" der Tage zuvor, verführt zu der Behauptung, die Wähler seine durch ihre "Volatilität" selbst daran schuld, denn so schnelle Änderungen habe man nicht sehen können. Einmal davon abgesehen, daß damit schon wieder einer dieser ekelhaften Ausdrücke aus der Welt des Geldes (sich für die Koalitions-Verhandlungen optimal "aufstellen", doch nicht zu lange verharren, denn die Inder und Chinesen "sind unterwegs") in die Sprache der Politiker eindringt, gibt es diese plötzliche Bewegung der Wähler auch nicht. Selbst die zunehmende Zahl der Unentschlossenen entscheidet sich nicht erst an der Urne vorwiegend für eine Richtung. Veränderungen sind allenfalls über Wochen eingetreten, in denen die Menschen sich von dem Versatzstück "gebt den Reichen viel, dann bekomme ich wenigsten etwas" verabschiedet haben.
Ich persönlich kann wie die Demoskopen auch nur Behauptungen aufstellen, doch ganz andere: Nur ein Teil der Abweichungen ist auf Kirchhof und die Mehrwertsteuer zurückzuführen, und die Zweitstimmenkampagne der FDP hat nur die Gewichte im schwarz-gelben Lager verschoben. Vielmehr nahmen die Demoskopen an, was in früheren Jahren galt: Die Befragten schämen sich ihrer Liebe zur CDU. Das wurde regelmäßig durch Zuschläge von einigen Prozenten ausgeglichen. Diesmal aber war es umgekehrt: Es war "angesagt", aus Verärgerung über die Politik Schröders nun die CDU wählen zu wollen. Somit erfolgten die Korrekturen in die falsche Richtung. Und daran gemessen ist die Abweichung der Realität von der Prognose eigentlich gar nicht so groß.
Stimmungsbild meint, daß Leute befragt (zufrieden, unzufrieden, weiß nicht) und deren Ergebnisse bestenfalls vollständig und unkorrigiert wiedergegeben werden. Und nichts anderes wollen die Wahlforscher auf einmal getan haben. Sie schämen sich noch nicht einmal, sich damit selbst zu reinen Umfragern zu degradieren, die lediglich Mittelwerte aus Fragebögen wiedergeben. Solche Ergebnisse überprüfen zu wollen ist gleichermaßen unmöglich wie sinnleer. Daß Stimmungsbilder im Rahmen normaler zufälliger Schwankungen die Stimmung wiedergeben, glaube ich gerne.
Wenn es gelegentlich doch mehr als ein Stimmungsbild gewesen ist, wie zum Beispiel bei der berühmten Sonntagsfrage ("in der längerfristige Bindungen berücksichtigt sind"), dann wird das auch nicht mehr so gerne als Prognose, sondern allenfalls als Projektion gesehen. Eigentlich gelte die am Dienstag vor der Wahl gestellte Sonntagsfrage nur für diesen Dienstag und nicht für den in fünf Tagen folgenden Wahlsonntag. Man dürfe darin also keine Prognose sehen, sondern nur eine Projektion eines Stimmungsbildes auf eine mögliche Wahl, die aber am Erhebungstag nicht stattfindet, wodurch sich alles einer Überprüfung entzieht.
Diese Selbstreduktion der Demoskopen zu reinen Datenerhebern führt aber nicht zur Bescheidenheit. Vielmehr wird behauptet, die maximale Abweichung einer Vorhersage habe bis zu dieser letzten Wahl 1,9 Prozent betragen. Der Wähler habe erstmals sein Verhalten so schnell geändert, daß eine Prognose unmöglich folgen konnte. Das kann aber nicht völlig neu sein. Viele Wahlen haben schon Fehler weit über 5 Prozent erbracht, daß die genannten 1,9 Prozent sich allenfalls auf die Bundestagswahlen beziehen können. Für die war es in der Vergangenheit aber einfach, da es von Wahl zu Wahl kaum Bewegungen gab. Alle großen Veränderungen in der Bundesregierung beruhen mehr auf geänderten Bündnissen als veränderten Zahlen.
Vielleicht bezogen sich die 1,9 Prozent maximalen Fehlers auch nur auf das, was wohl immer noch Prognose genannt wird, nämlich auf die mit Schließung der Wahllokale veröffentlichte Schätzung, denen dann schnell die Hochrechnungen folgen, die in der Tat nur wenig Veränderung bringen. Doch gerade sowas möchte ich nicht als Prognose bezeichnen, denn es wird nur etwas vorhergesagt, was zum Zeitpunkt der Befragung schon weitgehend eingetreten war. Wähler nach dem Urnengang am Sonntag zu befragen und daraus ein Wahlergebnis zu berechnen, führt selbstverständlich zu einem besseren Ergebnis als auf der Basis einer Befragung am Samstag zuvor: Der systematische Fehler ist geringer, weil nur Wähler und die auch noch nach der Tat befragt werden. Der zufällige Fehler ebenso, weil die Anzahl der Befragte wesentlich höher ist als bei den üblichen Telefoninterviews.
Die Genauigkeit der 18-Uhr-Prognose und der große Fehler in den "Projektionen" der Tage zuvor, verführt zu der Behauptung, die Wähler seine durch ihre "Volatilität" selbst daran schuld, denn so schnelle Änderungen habe man nicht sehen können. Einmal davon abgesehen, daß damit schon wieder einer dieser ekelhaften Ausdrücke aus der Welt des Geldes (sich für die Koalitions-Verhandlungen optimal "aufstellen", doch nicht zu lange verharren, denn die Inder und Chinesen "sind unterwegs") in die Sprache der Politiker eindringt, gibt es diese plötzliche Bewegung der Wähler auch nicht. Selbst die zunehmende Zahl der Unentschlossenen entscheidet sich nicht erst an der Urne vorwiegend für eine Richtung. Veränderungen sind allenfalls über Wochen eingetreten, in denen die Menschen sich von dem Versatzstück "gebt den Reichen viel, dann bekomme ich wenigsten etwas" verabschiedet haben.
Ich persönlich kann wie die Demoskopen auch nur Behauptungen aufstellen, doch ganz andere: Nur ein Teil der Abweichungen ist auf Kirchhof und die Mehrwertsteuer zurückzuführen, und die Zweitstimmenkampagne der FDP hat nur die Gewichte im schwarz-gelben Lager verschoben. Vielmehr nahmen die Demoskopen an, was in früheren Jahren galt: Die Befragten schämen sich ihrer Liebe zur CDU. Das wurde regelmäßig durch Zuschläge von einigen Prozenten ausgeglichen. Diesmal aber war es umgekehrt: Es war "angesagt", aus Verärgerung über die Politik Schröders nun die CDU wählen zu wollen. Somit erfolgten die Korrekturen in die falsche Richtung. Und daran gemessen ist die Abweichung der Realität von der Prognose eigentlich gar nicht so groß.
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Prognose
wuerg, 20.09.2005 18:02
Zur Zeit wird vielfach auf die Wahlprognostiker geschimpft. Da frage ich mich, ob meine Zahlen unter den obwaltenden Umständen besser gewesen wären, denn auf einem anderen Gebiet habe ich ebenfalls Prognosen mit geringem finanziellen Einsatz erstellt, die oftmals noch weiter von der Realität entfernt waren. Wenn eine Woche vor der Wahl die erfragten Werte für die CDU um 5 Prozent sinken, dann wäre ich angesichts der kleinen Stichprobe auch vorsichtig gewesen und hätte davon 4 Prozent dem Zufall zugerechnet und mich um 1 Prozent nach unten bewegt. Auch dann, wenn die Journalisten nicht umfragegläubig und wechselgierig gewesen wären, ihre Finger am Puls des Volkes gehabt und einen Einbruch berichtet hätten. Denn Programme oder Parameter kurz vor dem Ziel zu ändern, ist unredlich.
Allerdings hätte meine Korrektur um 1 Prozent etwas anders ausgesehen. Ich hätte von 37 bis 47 Prozent auf 36 bis 46 Prozent korrigiert. Die wahren 35 Prozent wären auch damit von mir nicht getroffen worden, doch darf ich mir das in einem von 20 Fällen leisten. Und der wäre eben diesmal gewesen, weil die hohe Zahl der von der FDP abgegriffenen Zweitstimmen sehr plötzlich kam. Für die schwarz-gelbe Koalition hätte ich mich von 43 bis 53 Prozent auf 42 bis 52 Prozent korrigiert und damit richtig gelegen. Und ich bin sicher, so mancher schlichte Mitarbeiter in den Meinungsforschungsinstituten ist mit mir einer Meinung: Auf der Basis der erhobenen Daten sind keine genaueren Angaben möglich, sofern sie in 19 von 20 Fällen auch zutreffen sollen.
Doch interessieren solche Zahlen kaum einen Menschen. Als EMNID sich im Jahre 1987 die Prognose
Die Kritik ist also nur teilweise an den Methoden der Wahlprognostiker anzusetzen. Der von Fritz Ulmer Wahlbetrug genannte Hauptmangel besteht darin, daß von den Zahlen nur der Mittelwert veröffentlicht wird, und der auch noch mit einer Nachkommastelle, ohne auch nur einen kleingedruckten Hinweis auf die wirkliche Genauigkeit. Zu verantworten haben das zunächst die Verbreiter dieser durch Präzision geschönten Zahlen, dann aber auch die Lieferanten, die solche Angaben unwidersprochen lassen.
Und leider ist auf der Basis dieser wechselseitigen Abhängigkeiten schlimmeres zu vermuten: Die CDU wurde über Jahrzehnte aufgewertet. Wahrscheinlich aus dem redlichen Motiv heraus, die aus Scham erfolgten Fehlangaben der Befragten auszugleichen. Abgewertet wurde sie praktisch nur dann, wenn eine prognostizierte absolute Mehrheit zur Abstrafung geführt hätte. Auch das ist ein redliches Motiv, doch leider unwissenschaftlich. Auch an der 5-Prozent-Hürde entscheiden mehr die Meinungen als die Zahlen: Aus Angst vor dieser Grenze und weil die Grünen drei Jahre zuvor 8,3 Prozent erreichten, prognostizierte man ihnen im Jahre 1990 bis kurz vor der Wahl noch 7 Prozent, von denen sie dann 4,8 erreichten. Es ist also alles nicht neu.
Ulmer
Allerdings hätte meine Korrektur um 1 Prozent etwas anders ausgesehen. Ich hätte von 37 bis 47 Prozent auf 36 bis 46 Prozent korrigiert. Die wahren 35 Prozent wären auch damit von mir nicht getroffen worden, doch darf ich mir das in einem von 20 Fällen leisten. Und der wäre eben diesmal gewesen, weil die hohe Zahl der von der FDP abgegriffenen Zweitstimmen sehr plötzlich kam. Für die schwarz-gelbe Koalition hätte ich mich von 43 bis 53 Prozent auf 42 bis 52 Prozent korrigiert und damit richtig gelegen. Und ich bin sicher, so mancher schlichte Mitarbeiter in den Meinungsforschungsinstituten ist mit mir einer Meinung: Auf der Basis der erhobenen Daten sind keine genaueren Angaben möglich, sofern sie in 19 von 20 Fällen auch zutreffen sollen.
Doch interessieren solche Zahlen kaum einen Menschen. Als EMNID sich im Jahre 1987 die Prognose
CDU 42,3 bis 49,2 Prozent SPD 32,9 bis 41,1 Prozent FDP 5,8 bis 10,2 Prozent Grüne 5,8 bis 10,2 Prozentmit einer Sicherheit von 90% notariell bestätigen ließ, gab es nur Spott: Genauso könne man vorhersagen, daß Helmut Kohl zwischen 100 und 200 Kilogramm wiege.
Die Kritik ist also nur teilweise an den Methoden der Wahlprognostiker anzusetzen. Der von Fritz Ulmer Wahlbetrug genannte Hauptmangel besteht darin, daß von den Zahlen nur der Mittelwert veröffentlicht wird, und der auch noch mit einer Nachkommastelle, ohne auch nur einen kleingedruckten Hinweis auf die wirkliche Genauigkeit. Zu verantworten haben das zunächst die Verbreiter dieser durch Präzision geschönten Zahlen, dann aber auch die Lieferanten, die solche Angaben unwidersprochen lassen.
Und leider ist auf der Basis dieser wechselseitigen Abhängigkeiten schlimmeres zu vermuten: Die CDU wurde über Jahrzehnte aufgewertet. Wahrscheinlich aus dem redlichen Motiv heraus, die aus Scham erfolgten Fehlangaben der Befragten auszugleichen. Abgewertet wurde sie praktisch nur dann, wenn eine prognostizierte absolute Mehrheit zur Abstrafung geführt hätte. Auch das ist ein redliches Motiv, doch leider unwissenschaftlich. Auch an der 5-Prozent-Hürde entscheiden mehr die Meinungen als die Zahlen: Aus Angst vor dieser Grenze und weil die Grünen drei Jahre zuvor 8,3 Prozent erreichten, prognostizierte man ihnen im Jahre 1990 bis kurz vor der Wahl noch 7 Prozent, von denen sie dann 4,8 erreichten. Es ist also alles nicht neu.
Ulmer
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