Zahlwort

Setzt man in die Eulersche Formel n(n+1)+41 eine Zahl nach der anderen ein, so erhält man lauter Primzahlen:

n:          0  1  2  3  4  5  6  7   8   9  10  11  12  13  14  15
n(n+1)+41: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281

Das geht so weiter bis n=39, denn für n=40 kommt wegen n(n+1)+41=40*41+41=41*41 eine Quadratzahl raus. Wie findet man solche Zahlen wie 41 ohne Computer?

Die Rechteckzahlen R(n)=n(n+1) sind allesamt gerade und lassen bei Division durch eine ungerade Primzahl p nur (p+1)/2 verschiedene Reste. Für p=3 sind die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen, alle anderen n(n+1)+a aber regelmäßig. Für p=5 sind es die Reste 0, 1 und 2, was auf die Folgen n(n+1)+30k+11 und n(n+1)+30k+17 führt, deren Glieder weder durch 2, noch durch 3 oder 5 teilbar sind. Die gleiche Argumentation für p=7 mit Resten 0, 2, 5 und 6 führt auf die Folgen n(n+1)+210k+a für a=11,41,101,17,137,167, deren Glieder nicht durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar sind.

Diese Argumentation könnte für p=11 fortgesetzt werden, um alle 30 Zahlen a zu bestimmen, für die alle Folgen n(n+1)+2310k+a nur aus Zahlen bestehen, die nicht durch 2, 3, 5, 7 oder 11 teilbar sind. Wenn man sich aber nur für a unterhalb von 210 interessiert, ist es besser, die sechs Kandidaten a=11,41,101,17,137,167 zu überprüfen. Den Test mit p=11 bestehen nur a=17 und a=41. Und tatsächlich beginnt n(n+1)+17 mit 16 und n(n+1)+41 mit 40 Primzahlen.

Ulam-Spirale

Die Zahl 41 ist nach 1, 5, 13 und 25 die fünfte zentrierte Quadratzahl:

o   o   o   o   o
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  o   o   o   o
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Sie ist also Summe zweier aufeinander folgenden Quadratzahlen (41=16+25). Eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft, die mit dem Quadrat und dessen Diagonale im Zusammenhang steht, gründet sich auf 40=20+21 mit 20*20+21*21=29*29. Man kann also ein pythagoreisches Dreieck mit der Hypotenuse 29 und zwei fast gleich großen Katheten bilden, was bedeutet, daß (20+21)/29=41/29=1,41379... die Quadratwurzel aus 2 gut nähert. So gut, daß für kleinere Zähler als 41 keine bessere Näherung möglich ist, denn 2*(29*29)=(41*41)+1.

Natürlich gibt es bessere Näherungen wie 99/70 mit größerem Zähler. In einer Verschlechterung zu 100/71 ist diese vom Kopierer bekannt. Von A4 auf A5 sind es 71 Prozent. Und es gibt auch kleinzahligere Näherungen wie 17/12, die ebenfalls nur um eins am Ziel vorbeigehen, denn 2*(12*12)=(17*17)-1. Interessant sind aber die Näherungen mit +1 auf der rechten Seite, die unterhalb der Quadratwurzel von 2 liegen Die erste nichttriviale ist 7/5:

      3     4
   +-----o-----+---    o o o o hat Länge 5   7=3+4
   |   o | o   |  ^
 4 | o   |   o |  |
   o-----+-----o  7    32+42=52
   | o   |   o |  |
 3 |   o | o   |  v
   +-----o-----+---    72+1=2*52
   |           |
   |<----7---->|

Durch Teilung der Kante 7 des äußeren Quadrates entsteht ein inliegendes Quadrat (durch o dargestellt) der Kantenlänge 5, dessen Diagonalen die Länge sqrt(50) haben, was durch 7 gut von unten genähert wird. Das Diagramm veranschaulicht die neben ihm stehenden Formeln, die insbesondere bedeuten, daß 25 als 5. Quadtratzahl zugleich 4. zentrierte Quadratzahl ist. Und man kann es sich fast denken: Das nächste Quadrat mit diesen Eigenschaften hat die Kantenlänge 41:

      20    21
   +-----o-----+---    o o o o hat Länge 29   41=20+21
   |   o | o   |  ^
21 | o   |   o |  |
   o-----+-----o 41    202+212=292
   | o   |   o |  |
20 |   o | o   |  v
   +-----o-----+---    412+1=2*292
   |           |
   |<----41--->|

Durch möglichst gleiche Teilung der Kante 41 in 20 und 21 entsteht ein inliegendes Quadrat mit Kantenlänge 29, dessen Diagonale sqrt(1682) nur sehr knapp über 41 liegt. Wieder machen die verbundenen Formeln deutlich, daß 841 ebenfalls zugleich 29. normale und 21. zentrierte Quadratzahl ist. Und es wird nicht verwundern, daß die Frage nach allen Zahlen, die zugleich normale und zentrierte Quadratzahl sind völlig gleichbedeutend ist zu den Fragen, für welche Zahlen m^2+1=2(n^2) gilt, für welche Zahlen x^2+(x+1)^2=z^2 ist und wie die besten rationalen Näherungen p/q der Wurzel aus 2 von unten lauten. Die Newman-Shanks-Williams-Zahlen 1,7,41,239,... geben auf alle diese Fragen eine Antwort.

Weisstein | Sloane

Was gibt es sonst noch zur Zahl 41 zu sagen, wenn man einmal davon absieht, daß diese Zahl wie viele andere in Namen, Filmen, Büchern usw. vorkommt? Hexadezimal gelesen steht 41 für den ersten Großbuchstaben A (dezimal 65) im ASCII-Code. Johann Sebastian Bach kannte ihn noch nicht, fand aber die Symmetrie der Zahlen14 (B+A+C+H=2+1+3+8=14) und 41 (JS. BACH) ganz reizvoll, wozu allerdings das J bei der Buchstabenzählung auszulassen ist. Dann ist J=I=9 und S=18. Und er hat soviel komponiert, daß wohl letztlich nicht zu entscheiden ist, ob er neben der Tonfolge B-A-C-H nicht nur 12, 14 und 84, sondern auch 41 in seinen Kompositionen untergebracht hat.

Ein ähnlicher Spaß ist die Feststellung, daß 41 die Summe aller Primzahlen unterhalb von 14 ist, denn 2+3+5+7+11+13=41. Und beinahe wäre die 14. Primzahl auch 41 gewesen, doch ist es nur die 13. geworden. Betrachtet man die üblichen Operationen, so findet man im Quadrat 1681 der Zahl 41 wieder zwei Quadratzahlen, nämlich 16 und 81, weshalb 41*41=40*40+9*9 sein muß. Und das Dreifache der Zahl 41 ergibt eine schöne Reihung 123 der ersten drei Ziffern, die als Sinnbild für das Zählen insgesamt stehen könnten.