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Ulam-Spirale
wuerg, 09.10.2005 15:57
So mancher hat vielleicht schon aus Langeweile die Zahlen auf kariertem Papier in der Form einer rechtwinkligen Spirale
[Die Primzahlen hätten einen gelben und die zusammengesetzen Zahlen ein grauen Hintergrund, wenn hier bgcolor gehen würde. So mußte ich die Primzahlen zusätzlich blau machen.]
Die Zahlen in der Hauptdiagonalen sind grün geschrieben. Es sind die Recheckzahlen R(n)=n(n+1), das Doppelte der Dreieckszahlen. Die mit geradem n gehen vom Zentrum nach rechts oben, die mit ungeradem n nach links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die rot geschriebenen Quadratzahlen an. Die geraden gehen nach links oben von der 0 aus, die ungeraden nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus, aber auch durch die Ecken der Spirale.
Jede von der Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus den Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also für n=0,1,2,... eine aufsteigende quadratische Progression. So ist zum Beispiel die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,... von der Form 2n(2n+6)+7. Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als ein Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen.
Goddard | Primzahlkreuz
15--14--13--12
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4---3---2 11
| | |
5 0---1 10
| |
6---7---9---9
aufgemalt. Auch Stanislav Ulam fand neben dem Bau der Atombombe Zeit dazu. Und vielleicht war er wirklich der erste, der eine Klumpung der Primzahlen entlang der Diagonalen bemerkte. Man kann sie schon unter den ersten 100 Zahlen deutlich erkennen. Hier sind sie durch einen gelben Hintergrund hervorgehoben.[Die Primzahlen hätten einen gelben und die zusammengesetzen Zahlen ein grauen Hintergrund, wenn hier bgcolor gehen würde. So mußte ich die Primzahlen zusätzlich blau machen.]
| 99 | 98 | 97 | 96 | 95 | 94 | 93 | 92 | 91 | 90| 64
| 63
| 62
| 61
| 60
| 59
| 58
| 57
| 56
| 89 | 65
| 36
| 35
| 34
| 33
| 32
| 31
| 30
| 55
| 88 | 66
| 37
| 16
| 15
| 14
| 13
| 12
| 29
| 54
| 87 | 67
| 38
| 17
| 4
| 3
| 2
| 11
| 28
| 53
| 86 | 68
| 39
| 18
| 5
| 0
| 1
| 10
| 27
| 52
| 85 | 69
| 40
| 19
| 6
| 7
| 8
| 9
| 26
| 51
| 84 | 70
| 41
| 20
| 21
| 22
| 23
| 24
| 25
| 50
| 83 | 71
| 42
| 43
| 44
| 45
| 46
| 47
| 48
| 49
| 82 | 72
| 73
| 74
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| 81 | |
Die Zahlen in der Hauptdiagonalen sind grün geschrieben. Es sind die Recheckzahlen R(n)=n(n+1), das Doppelte der Dreieckszahlen. Die mit geradem n gehen vom Zentrum nach rechts oben, die mit ungeradem n nach links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die rot geschriebenen Quadratzahlen an. Die geraden gehen nach links oben von der 0 aus, die ungeraden nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus, aber auch durch die Ecken der Spirale.
Jede von der Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus den Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also für n=0,1,2,... eine aufsteigende quadratische Progression. So ist zum Beispiel die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,... von der Form 2n(2n+6)+7. Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als ein Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen.
Goddard | Primzahlkreuz
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gemeinsame Nenner
wuerg, 06.10.2005 23:43
Nachdem alle Parteien sich "gut aufgestellt" hatten, wechselten sie von der geblähten Sprache der Ökonomie zu Versatzstücken aus der Mathematik. Sie suchten nach den gemeinsamen "Schnittmengen", die auf einmal mächtiger waren als im Wahlkampf dargestellt, gleichwohl es zu einer regierungsfähigen Vereinigungsmenge noch nicht reicht. Den Schnittmengen folgten die "gemeinsamen Nenner", von denen sich der kleinste gegenüber dem größten durchgesetzt hat. Nur Sigmar Gabriel sollte von Angela Merkel noch einmal gesagt bekommen, daß beispielsweise bei der Addition
Eine Beziehung zwischen der Schnittmenge und dem kleinsten gemeinsamen Nenner kann man wie folgt herstellen: Besteht die Menge jeder Partei aus den Vielfachen ihres Nenners
CDU + SPD = 7/20 + 12/35 = 49/140 + 48/140 = 97/140die Zahl 140 den kleinsten gemeinsame Nenner bildet, weil 140 das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 35 ist.
Eine Beziehung zwischen der Schnittmenge und dem kleinsten gemeinsamen Nenner kann man wie folgt herstellen: Besteht die Menge jeder Partei aus den Vielfachen ihres Nenners
CDU = {20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,240,160,280,...}
SPD = {35,70,105,140,175,210,245,280,315,350,385,420,...}
dann sind in der
Schnittmenge von CDU und SPD = {140,280,420,560,...}
genau die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Nenners enthalten.... link (0 Kommentare) ... comment
besurfed
wuerg, 03.10.2005 17:35
Wenn des öfteren im Leben aus mehreren Richtungen ähnliche Hinweise kommen, dann ist das keine den Zufall austricksende höhere Macht. Am Werke sind vielmehr unbekannte Zusammenhänge und das Bedürfnis des Menschen, durch Zusammenfassung das Gehirn zu entlasten. So wird es wohl auch mit den drei Kleinigkeiten der letzten Woche sein, die mich auf die sog. Blogroll aufmerksam machten:
1. Alpha-Blogger Donalphons wendet sich gegen die These eines Prof. Dr. Neuberger, der die Auffassung vetrete, es gäbe nur wenige A-List-Blogger, die vornehmlich auf sich selbst verwiesen und um die herum die übrigen Blogger vegetierten. Donalphons hält entgegen, daß nur wenige diesen Links folgen würden und auch er nur in einem Prozent aller Fälle über eine sog. Blogroll erreicht würde. Beide werden halbwegs recht haben: Blogrolls sind für den Erstkontakt von hoher Bedeutung, danach nicht mehr. In dieser Beziehung sind Blogs wie Poesiealben: Man registriert durchaus, wie voll sie sind und in welcher Reihenfolge wer darin zu finden ist. Man fragt aber später keinen: Wo wohnt denn der, wo in Dein Poesiealbum In meinem Zimmer rußt der Ofen, in meinem Herzen ruhst nur Du geschrieben hat?
2. Die wenigen Leser meiner Beiträge kommen vornehmlich über Suchanfragen bei Google. In letzter Zeit wollen sie alle wissen, was eine Quadratzahl ist. Um ihnen und letztlich auch mir einen Überblick über interessantere Einlassungen zu geben, habe ich ein paar Übersichtsseiten erstellt. Und im nächsten Schritt habe ich Links auf diese Übersichten unter Favorite Items eingetragen, wo sich jahrelang nur Werbung tummelte und in letzter Zeit ein Hinweis auf Serverüberlastung. Bisher bin ich in meinem Blog-Layout keinen Zentimeter vom Standard abgewichen. Das geschah aus Faulheit und der Lebenserfahrung, daß verbogene Software nur schlecht zu pflegen ist.
3. Den wenigen sog. Backlinks, die nicht auf Suchanfragen zurückgehen und auch nicht von der Blogger-de-Startseite kommen, folge ich gelegentlich. Zumeist sehe ich dort auf mich einen kleinen Hinweis, und sei er von mir selbst. Doch gestern fand ich keinen im Text, daß ich auch einmal links und rechts davon schaute. Und tatsächlich hatte mich Herr Kid37 in sein Stationendrama aufgenommen, nachdem ich mich schon bei Herrn Mark793 unter Goethes letzten Worten gesehen hatte. Deshalb gehe ich nun einen Schritt weiter, verweise nicht nur auf mich selbst, sondern nehme auch andere auf: Damit folge ich dem im normalen Leben so erfolgreichen Vitamin-B-Prinzip und berücksichtige eine aus der menschlichen Liebe übertragene Erkenntnis: Surfen ist nicht so wichtig wie gesurft zu werden.
Donalphons
1. Alpha-Blogger Donalphons wendet sich gegen die These eines Prof. Dr. Neuberger, der die Auffassung vetrete, es gäbe nur wenige A-List-Blogger, die vornehmlich auf sich selbst verwiesen und um die herum die übrigen Blogger vegetierten. Donalphons hält entgegen, daß nur wenige diesen Links folgen würden und auch er nur in einem Prozent aller Fälle über eine sog. Blogroll erreicht würde. Beide werden halbwegs recht haben: Blogrolls sind für den Erstkontakt von hoher Bedeutung, danach nicht mehr. In dieser Beziehung sind Blogs wie Poesiealben: Man registriert durchaus, wie voll sie sind und in welcher Reihenfolge wer darin zu finden ist. Man fragt aber später keinen: Wo wohnt denn der, wo in Dein Poesiealbum In meinem Zimmer rußt der Ofen, in meinem Herzen ruhst nur Du geschrieben hat?
2. Die wenigen Leser meiner Beiträge kommen vornehmlich über Suchanfragen bei Google. In letzter Zeit wollen sie alle wissen, was eine Quadratzahl ist. Um ihnen und letztlich auch mir einen Überblick über interessantere Einlassungen zu geben, habe ich ein paar Übersichtsseiten erstellt. Und im nächsten Schritt habe ich Links auf diese Übersichten unter Favorite Items eingetragen, wo sich jahrelang nur Werbung tummelte und in letzter Zeit ein Hinweis auf Serverüberlastung. Bisher bin ich in meinem Blog-Layout keinen Zentimeter vom Standard abgewichen. Das geschah aus Faulheit und der Lebenserfahrung, daß verbogene Software nur schlecht zu pflegen ist.
3. Den wenigen sog. Backlinks, die nicht auf Suchanfragen zurückgehen und auch nicht von der Blogger-de-Startseite kommen, folge ich gelegentlich. Zumeist sehe ich dort auf mich einen kleinen Hinweis, und sei er von mir selbst. Doch gestern fand ich keinen im Text, daß ich auch einmal links und rechts davon schaute. Und tatsächlich hatte mich Herr Kid37 in sein Stationendrama aufgenommen, nachdem ich mich schon bei Herrn Mark793 unter Goethes letzten Worten gesehen hatte. Deshalb gehe ich nun einen Schritt weiter, verweise nicht nur auf mich selbst, sondern nehme auch andere auf: Damit folge ich dem im normalen Leben so erfolgreichen Vitamin-B-Prinzip und berücksichtige eine aus der menschlichen Liebe übertragene Erkenntnis: Surfen ist nicht so wichtig wie gesurft zu werden.
Donalphons
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Treueherzen
wuerg, 01.10.2005 16:42
Heute ist der letzte Tag, um meine 40 Treueherzen bei Tengelmann einzulösen. Dafür bekomme ich eine Müslischale oder unter Zuzahlung von 9,99 Euro ein fünfteiliges Gedeck. Stünde mir der Sinn nach mehr Geschirr, könnte ich zusätzlich eine Müslischale für 9,99 Euro und ein Gedeck für 39,99 Euro erwerben. Was soll ich tun? Das ist die einfachere von zwei Fragen. Da mir ein einzelnes Gedeck keine 9,99 Euro wert ist, zwei nicht 49,98 Euro und erst recht nicht zwölf 449,88 Euro, ist die Entscheidung klar: Ich werde heute die Müslischale abholen. Eigentlich wollte ich das schon gestern tun, doch gab es natürlich keine mehr.
Die zweite Frage treibt mich schon eine Weile um und muß nun endlich beantwortet werden. Wie kalkuliert Tengelmann den Wert der Punkte, um wieviel Prozent Rabatt handelt es sich da eigentlich? In meiner Kindheit gab es einfach 3 Prozent auf jede Mark. Ein Rabattmarkenbuch zu 50 DM erbrachte eins-fuffzig. Heutzutage geht es nicht mehr ohne Verwirrung: Es gibt nur für vollständige 5 Euro ein Herz und auch kein direkt verrechenbares Geld zurück, sondern irgendwelche überbewerteten Sachen. Der Wert ist unklar, überzählige Herzen verfallen, und es wird der Eindruck erweckt, man könne durch Zuzahlung ein Schnäppchen machen. Vielen Kunden ist das zu blöd. Sie nehmen keine Herzen mit oder holen die Prämien nicht ab.
Nun aber zurück zu einer hypothetischen Kalkulation im Falle der Tengelmann-Treueherzen, die heute noch eingelöst werden können. Es gibt:
Die Lösung ist letztlich einfach: Die fünf genannten Fakten führen auf drei Gleichungen, in die ich drei Unbekannte einfließen lassen kann. Als vernünftige Wahl dieser drei Unbekannten erweisen sich die wahren Werte t des Treueherzens, m der Müslischale und g des Gedecks.
In jedem Fall sollte man seine Herzen einlösen, zuzahlen aber nur, wenn einem die Sachen mehr als die Hälfte des Kaufpreises wert sind, weil man sie benötigt oder teurer weiterverkaufen kann. Vollkauf wird sich kaum lohnen, auch wenn man ganz scharf auf das Geschirr ist, denn woanders wird es nicht unbedingt teurer sein. Am liebsten wäre mir ein Handel mit Treueherzen an der Börse. Es würde mich nicht wundern, wenn sie dort mit 15 Cent über den Tresen gingen, ab 5 Cent würde ich verkaufen und auf Geschirr verzichten. Dann hätte ich 2,50 Euro für alle meine 50 Herzen.
Die zweite Frage treibt mich schon eine Weile um und muß nun endlich beantwortet werden. Wie kalkuliert Tengelmann den Wert der Punkte, um wieviel Prozent Rabatt handelt es sich da eigentlich? In meiner Kindheit gab es einfach 3 Prozent auf jede Mark. Ein Rabattmarkenbuch zu 50 DM erbrachte eins-fuffzig. Heutzutage geht es nicht mehr ohne Verwirrung: Es gibt nur für vollständige 5 Euro ein Herz und auch kein direkt verrechenbares Geld zurück, sondern irgendwelche überbewerteten Sachen. Der Wert ist unklar, überzählige Herzen verfallen, und es wird der Eindruck erweckt, man könne durch Zuzahlung ein Schnäppchen machen. Vielen Kunden ist das zu blöd. Sie nehmen keine Herzen mit oder holen die Prämien nicht ab.
Nun aber zurück zu einer hypothetischen Kalkulation im Falle der Tengelmann-Treueherzen, die heute noch eingelöst werden können. Es gibt:
- Eine Müslischale zu 9,99 Euro
- Eine Müslischale für 40 Herzen
- Ein Gedeck für 39,99 Euro
- Ein Gedeck für 40 Herzen und 9,99 Euro
- Ein Gedeck für 120 Herzen
Die Lösung ist letztlich einfach: Die fünf genannten Fakten führen auf drei Gleichungen, in die ich drei Unbekannte einfließen lassen kann. Als vernünftige Wahl dieser drei Unbekannten erweisen sich die wahren Werte t des Treueherzens, m der Müslischale und g des Gedecks.
- Aus 1 und 2 ergibt sich: m = 40t
- Aus 3 und 4 ergibt sich: g = 40t + 10
- Aus 3 und 5 ergibt sich: g = 120t
In jedem Fall sollte man seine Herzen einlösen, zuzahlen aber nur, wenn einem die Sachen mehr als die Hälfte des Kaufpreises wert sind, weil man sie benötigt oder teurer weiterverkaufen kann. Vollkauf wird sich kaum lohnen, auch wenn man ganz scharf auf das Geschirr ist, denn woanders wird es nicht unbedingt teurer sein. Am liebsten wäre mir ein Handel mit Treueherzen an der Börse. Es würde mich nicht wundern, wenn sie dort mit 15 Cent über den Tresen gingen, ab 5 Cent würde ich verkaufen und auf Geschirr verzichten. Dann hätte ich 2,50 Euro für alle meine 50 Herzen.
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Fortpflanzung
wuerg, 29.09.2005 19:38
Gerade den kleinen Zahlen werden gerne menschliche Eigenschaften zugeordnet. So gelten die geraden als weiblich, die ungeraden als männlich. Und wie Menschen sich mehr oder minder stark fortpflanzen, so ist es mit den Zahlen. Die Ziffer 5 pflanzt sich mit 50% fort, weil jedes zweite Vielfache einer auf 5 endenden Zahl wieder eine 5 am Schluß aufweist. Besser ist nur noch die triviale 0 mit 100% Fortpflanzungsrate. Mit 20% mäßig breiten sich die geraden Ziffern 2, 4, 6 und 8 aus. Ganz schlecht sind die verbleibenden vier Ziffern 1, 3, 7 und 9, die es nur auf 10% bringen. Im zweistelligen Bereich haben 25 und 75 eine Rate von 25%, denn
Daraus sollte man nicht vorschnell eine Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, da andere Zahlen sich in anderen Basen ebenso gut fortpflanzen könnten. Man überlegt sich leicht, daß zur Basis b die n-stellige Fortpflanzungsrate r(b,n,a) einer Zahl a kleiner als b^n (zur Basis b maximal n Stellen) sich gemäß
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen mit hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100-prozentige Fortpflanzung muß a=0 (mod b^n) sein. Damit ist a=0 die einzige Zahl, die sich zu 100% fortpflanzt, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht? Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=b^n/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die 5 ist als nichts besonderes. Die zweistelligen sind 2,8,18,32,50,72,... zu den Basen 2,4,6,8,10,12,...
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%). Sie wird bei 3a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur durch 3 teilbare Basen b erlauben eine Rate von 1/3. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=b^n/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen nämlich in der Basis b, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht unbedingt durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=b^n/4 und das Dreifache davon. Damit sind 1 und 3 zur Basis 2, 4 und 12 zur Basis 4, 9 und 27 zur Basis 6, 16 und 48 zur Basis 8, 25 und 75 zur Basis 10, 36 und 108 zur Basis 12 usw. die zweistelligen Fortpflanzungen mit 25%. Die drei- und mehrstelligen liefern wieder nichts grundlegend neues: Dezimal sind es 250 und 750, 2500 und 7500 usw.
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x*x und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, aber die übrigen 1,3,4,9,12,16,... nicht mit 1%,3%,4%,9%,12%,16%,..., ist eine unzulässige Eigenschaft, da mit "Prozenten" die 100 reingesteckt wird und dadurch die Basis 10 herauskommt. So wie die 25 in der Basis 10 eine Rate von 25/100 (25 Prozent) hat, so erreicht zum Beispiel 9 in der Basis 6 eine Rate von 9/36 (9 Pro36). Für die Suche nach Besonderheiten sollte man sich deshalb die Zahlen a in der zugehörigen Basis b dargestellt ansehen:
5*25=125, 9*25=225, 13*25=325, 17*25=425, ... 5*75=375, 9*75=675, 13*75=975, 17*75=1275, ...Besser sind mit 100% bzw. 50% nur die trivialen Fälle 00 und 50. Nicht tiefschürfender sind 20, 40, 60 und 80 mit 20% Fortpflanzungsrate und 10, 30, 70 und 90 mit 10%. Es verbleiben 5% für 05, 15, 35, ..., 4% für 04, 08, 12, 16, 24, ..., 2% für 02, 06, 14, 18, 22, ... und 1% für den Rest. Damit sind 25 und 75 die sich am besten fortpflanzenden, nicht-trivialen zweistelligen Endungen, so wie es die 5 im einstelligen Bereich ist.
Daraus sollte man nicht vorschnell eine Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, da andere Zahlen sich in anderen Basen ebenso gut fortpflanzen könnten. Man überlegt sich leicht, daß zur Basis b die n-stellige Fortpflanzungsrate r(b,n,a) einer Zahl a kleiner als b^n (zur Basis b maximal n Stellen) sich gemäß
r(b,n,a) = ggT(a,bn) / bn = a / kgV(a,bn)bestimmen läßt. Darin ist ggT der größte gemeinsame Teiler und kgV das kleinste gemeinsame Vielfache. Für den Paradefall a=25, b=10 und n=2 ergibt sich ggT(25,100)=25 und kgV(25,100)=100, also r=25/100=25%. Ein komplizierteres Beispiel zur Basis 60, in der Menschen wegen der Uhrzeit noch einigermaßen rechnen können: Für a=126, b=60 und n=2 ergibt sich ggT(126,3600)=18, also r=18/3600=1/200=0,5%. Zur Kontrolle die Vielfachen von a=126=2:06 (126 Sekunden sind 2 Minuten und 6 Sekunden):
2a=00:04:12, 3a=00:06:18, ..., 10a=00:21:00, 11a=00:23:06 12a=00:25:12, 13a=00:27:18, ..., 20a=00:42:00, 21a=00:44:06 22a=00:46:12, 23a=00:48:18, ..., 30a=01:03:00, 31a=01:05:06 ............ 92a=03:03:12, 93a=03:05:18, ..., 100a=03:30:00, 101a=03:32:06 ............ 192a=06:33:12, 193a=06:35:18, ..., 200a=07:00:00, 201a=07:02:06nach 200 Schritten endet 201a wieder mit 02:06. Vorher ist das nicht der Fall. Hinter den Punkten versteckt sich kein Treffer. Alle 10 Schritte wird **:06 erreicht, 10 mal 10 Schritte sind für *2:06 erforderlich und 200 dann für 02:06.
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen mit hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100-prozentige Fortpflanzung muß a=0 (mod b^n) sein. Damit ist a=0 die einzige Zahl, die sich zu 100% fortpflanzt, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht? Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=b^n/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die 5 ist als nichts besonderes. Die zweistelligen sind 2,8,18,32,50,72,... zu den Basen 2,4,6,8,10,12,...
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%). Sie wird bei 3a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur durch 3 teilbare Basen b erlauben eine Rate von 1/3. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=b^n/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen nämlich in der Basis b, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
01:00:00/2=30:00 mit Rate 1/2 (3*30:00=01:30:00, 5*30:00=02:30:00) 01:00:00/3=20:00 mit Rate 1/3 (4*20:00=01:20:00, 7*20:00=02:20:00) 2*20:00=40:00 mit Rate 1/3 (4*40:00=02:40:00, 7*40:00=04:40:00) 01:00:00/5=12:00 mit Rate 1/5 (6*12:00=01:12:00,11*12:00=02:12:00) 2*12:00=24:00 mit Rate 1/5 (6*24:00=02:24:00,11*24:00=04:24:00) 3*12:00=36:00 mit Rate 1/5 (6*36:00=03:36:00,11*36:00=06:36:00) 4*12:00=48:00 mit Rate 1/5 (6*48:00=04:48:00,11*48:00=08:48:00)Die mehrstelligen Fortpflanzungen mit Raten 1/p sind also nichts anderes als mit Nullen aufgeblähte einstellige. Interessant sind nur Zahlen a mit nicht-trivialer Fortpflanzung bei hoher Rate. Die sind zunächst bei 25% zu suchen. Dafür muß 4a=0 (mod b^n) sein, nicht aber schon 2a=0 (mod b^n). Für eine einstellige Fortpflanzung muß die Basis b durch 4 teilbar sein. Und dann sind a=b/4 und das Dreifache davon die einzigen Zahlen mit 25-prozentiger Fortpflanzung. Zur Basis 10 gibt es sie deshalb nicht, wohl aber wieder zur Basis 60, nämlich 15 und 45.
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht unbedingt durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=b^n/4 und das Dreifache davon. Damit sind 1 und 3 zur Basis 2, 4 und 12 zur Basis 4, 9 und 27 zur Basis 6, 16 und 48 zur Basis 8, 25 und 75 zur Basis 10, 36 und 108 zur Basis 12 usw. die zweistelligen Fortpflanzungen mit 25%. Die drei- und mehrstelligen liefern wieder nichts grundlegend neues: Dezimal sind es 250 und 750, 2500 und 7500 usw.
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x*x und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, aber die übrigen 1,3,4,9,12,16,... nicht mit 1%,3%,4%,9%,12%,16%,..., ist eine unzulässige Eigenschaft, da mit "Prozenten" die 100 reingesteckt wird und dadurch die Basis 10 herauskommt. So wie die 25 in der Basis 10 eine Rate von 25/100 (25 Prozent) hat, so erreicht zum Beispiel 9 in der Basis 6 eine Rate von 9/36 (9 Pro36). Für die Suche nach Besonderheiten sollte man sich deshalb die Zahlen a in der zugehörigen Basis b dargestellt ansehen:
Basis Zahlen mit Rate 25% b dezimal Basis b --------------------------- 2 1 3 01 11 4 4 12 10 30 6 9 27 13 43 8 16 48 20 60 10 25 75 25 75 12 36 108 30 90 14 49 147 37 A7 16 64 192 40 C0 18 81 243 49 D7Ist die Basis b durch 4 teilbar, so ist die Einerstelle 0. Das sind also auch triviale Fälle, die man außen vor lassen kann. In den übrigen Basen b=4k+2 für k=0,1,2,... ist die Einerstelle 2k+1 und die "Zehnerstelle" k bzw. 3k+1. Das Produkt (2k+1)k bzw. (2k+1)(3k+1) aus Zehner- und Einerstelle ergibt die Basis b=4k+2 nur im ersten Falle und nur für k=2. Damit ist die Basis b=4k+2=10 ausgezeichnet. Die Einerstelle ist 2k+1=5, die Zehnerstelle k=2. Das ist die Zahl 25. Sie ist eine der Zahlen mit der größten nicht-trivialen Fortpflanzungsrate (nämlich 25%) und unter diesen die einzige, deren Einer- und Zehnerstelle in der zugehörigen Basis multipliziert eben diese Basis ergeben.
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24
wuerg, 27.09.2005 17:53
Zunächst ist 24=1·2·3·4=4! die vierte Fakultät. Wärend 3!=6 nur eine vollkommende Zahl ist, sind alle größeren Fakultäten Teilerprotze. So auch 24 mit der Teilersumme 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Zudem ist 24 die kleinste Zahl mit acht Teilern und die größte, die durch alle Zahlen bis zu ihrer Wurzel teilbar ist, hier 1, 2, 3 und 4. Es ist leicht, noch belanglosere Besonderheiten zu finden. Ein Beispiel: 24 ist die größte Fakultät ohne 0 am Ende.
Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheitsquadraten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durchmesser eins ein, dann bleibt an den Ecken noch Platz für kleinere Kreise mit Durchmesser √d-1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleichgroße und 2ᵈ=4 kleinere. Macht man das gleiche mit Würfeln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durchmesser eins 2d=6 gleichgroße und 2ᵈ=8 kleinere an den Ecken des Würfels vom Durchmesser √d-1=0,732. In vier Dimensionen (d=4) sind es 2d=8 in den benachbarten Hyperwürfeln und 2ᵈ=16 an den Ecken, die wegen √d-1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht.¹
Diese sog. Kußzahlen sind weitgehend unbekannt, doch für 24 Dimensionen kennt man sie, nämlich 196560. Das kommt nicht von ungefähr und steht im Zusammenhang mit dem Kanonenkugelproblem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat auslegen und auch als quadratische Pyramide stapeln kann. Abgesehen von der trivialen 1 geht es nur mit 4900, weil die ersten 24 Quadratzahlen sich zu 70·70 addieren. Das ist Grundlage einer Stringtheorie in 24+2 Dimensionen, die man ebenso für Spielerei halten mag.
Eine wirkliche Spielerei ist das 24-Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:
Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, ein Karat ist 1/24, 24!≈6·10²³ ist ungefähr die Avogadro-Konstante, aus 24 Oktaedern kann ein raumfüllender vierdimensionaler Polyeder mit vielen Namen wie Octaplex gebildet werden, Filme haben normalerweise 24 Bilder pro Sekunde, die 12 Stämme Israel und die 12 Apostel addieren sich zu 24, es gibt 24 Älteste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neuneckzahl, die alles erklärende Ziffernfolge 4 und 2 könnte auch 24 bedeuten, das griechische Alphabet hat 24 Buchstaben, 24=11+13 ist Summe eines Primzahlzwillings, zu Dur und moll samt den 12 Halbtonschritten gibt es 24 Tonarten. Und dergleichen mehr.
1 Vorsicht, schon für d=5 versagt die Methode. Die zu großen Eckkugeln überschneiden sich gegenseitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durchmesser eins verkleinert und an die Zentralkugel heranführt. Tatsächlich weiß man nicht, ob wirklich 10+32=42 möglich sind.
23 | 25 | 196560
Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheitsquadraten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durchmesser eins ein, dann bleibt an den Ecken noch Platz für kleinere Kreise mit Durchmesser √d-1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleichgroße und 2ᵈ=4 kleinere. Macht man das gleiche mit Würfeln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durchmesser eins 2d=6 gleichgroße und 2ᵈ=8 kleinere an den Ecken des Würfels vom Durchmesser √d-1=0,732. In vier Dimensionen (d=4) sind es 2d=8 in den benachbarten Hyperwürfeln und 2ᵈ=16 an den Ecken, die wegen √d-1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht.¹
Diese sog. Kußzahlen sind weitgehend unbekannt, doch für 24 Dimensionen kennt man sie, nämlich 196560. Das kommt nicht von ungefähr und steht im Zusammenhang mit dem Kanonenkugelproblem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat auslegen und auch als quadratische Pyramide stapeln kann. Abgesehen von der trivialen 1 geht es nur mit 4900, weil die ersten 24 Quadratzahlen sich zu 70·70 addieren. Das ist Grundlage einer Stringtheorie in 24+2 Dimensionen, die man ebenso für Spielerei halten mag.
Eine wirkliche Spielerei ist das 24-Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:
1 1 3 2 (3+2-1·1)! 9 4 8 7 (4+8)(9-7) 6 7 2 3 6·7/2+3 1 8 5 7 8·(7-5+1) 3 2 9 2 (9-3)(2+2) 1 1 7 8 17+8-1 5 9 1 6 1·6·(9-5) 7 4 7 6 4·6·7/7 5 4 6 8 8·(4+5-6) 3 6 9 3 3·9-6+3 2 1 9 8 8·9/(1+2) 3 8 7 4 (4·7-3·8)!Dreimal habe ich nichts gefunden und mußte zur Fakultät (!) bzw. Ziffernzusammensetzung (17) greifen. Ein interessanter Fall ist (1,3,4,6) mit 24=6/(1-3/4).
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Dritte Neuneckzahl 24=E3=1+8+15=D3+3R2 (png)Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, ein Karat ist 1/24, 24!≈6·10²³ ist ungefähr die Avogadro-Konstante, aus 24 Oktaedern kann ein raumfüllender vierdimensionaler Polyeder mit vielen Namen wie Octaplex gebildet werden, Filme haben normalerweise 24 Bilder pro Sekunde, die 12 Stämme Israel und die 12 Apostel addieren sich zu 24, es gibt 24 Älteste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neuneckzahl, die alles erklärende Ziffernfolge 4 und 2 könnte auch 24 bedeuten, das griechische Alphabet hat 24 Buchstaben, 24=11+13 ist Summe eines Primzahlzwillings, zu Dur und moll samt den 12 Halbtonschritten gibt es 24 Tonarten. Und dergleichen mehr.
1 Vorsicht, schon für d=5 versagt die Methode. Die zu großen Eckkugeln überschneiden sich gegenseitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durchmesser eins verkleinert und an die Zentralkugel heranführt. Tatsächlich weiß man nicht, ob wirklich 10+32=42 möglich sind.
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Zergliederung
wuerg, 23.09.2005 20:25
Fragt man sich, wie stark eine mittlere zum Bundestag kandidierende Partei ist, hat es keinen Sinn, die 100% einfach durch die Anzahl der Parteien zu teilen. Eine solche Angabe ist wertlos, weil sie zu sehr vom Auftreten kleiner Parteien abhängt. Daran ändert sich auch nichts, wenn man nur solche Parteien zählt, die im Bundestag vertreten sind oder die Fünf-Prozent-Hürde übersprungen haben. Es kann nicht sein, daß ein Passieren dieser Grenze die mittlere Stärke der Parteien wesentlich ändert. Auch die Aufspaltung einer kleinen Partei in zwei noch kleinere sollte kaum Einfluß auf die mittlere Größe haben. Deshalb halte ich es für sinnvoller, zu jedem Wähler die Stärke der von ihm gewählten Partei aufzuschreiben, alle Zahlen zu addieren und dann durch die Gesamtzahl der Wähler zu teilen.
Dieser Unterschied zur naiven arithmetischen Mittelung der Parteistärkena(1), a(2), ..., a(n) durch die Formel
Die Bundestagswahl vom vergangenen Sonntag ergab für a(*) die Promille-Werte 352, 343, 98, 87, 81, ..., was auf
Was passiert, wenn der modernen Auffassung der SPD gefolgt und die Union in CDU und CSU geteilt wird? Dann ergeben sich Werte a(*) von 343, 278, 98, 87, 81, 74, ..., was auf
Dieser Unterschied zur naiven arithmetischen Mittelung der Parteistärken
a = [ a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n) ] / nbesteht darin, daß man nicht jeder Partei das gleiche Gewicht verleiht, sondern ihren eigenen Stimmanteil als Gewicht verwendet. So kommt das quadratische Mittel
q = [a(1)*a(1)+a(2)*a(2) +...+a(n)*a(n)] / [a(1)+a(2)+...+a(n)]zustande, das unempfindlicher gegen Veränderungen im Bereich kleiner Parteien ist und nicht einen Wert a in der Größenordnung von 5 Prozent, sondern einen deutlich höheres q über 20 Prozent liefern sollte.
Die Bundestagswahl vom vergangenen Sonntag ergab für a(*) die Promille-Werte 352, 343, 98, 87, 81, ..., was auf
q = [352*352 + 343*343 + 98*98 + 87*87 + 81*81 + ...] / 1000 = 266führt. Hinter den Punkten versteckt sich ein Wert zwischen 0 und 39*39=1521 für die Splitterparteien, der die mittlere Parteigröße von 266 Promille nur noch im Bereich eines Promilles beeinflußt. Da 1009/266=3,8 ist, meine ich, daß 4 die ungefähre Zergliederung Deutschlands in Parteien ist.
Was passiert, wenn der modernen Auffassung der SPD gefolgt und die Union in CDU und CSU geteilt wird? Dann ergeben sich Werte a(*) von 343, 278, 98, 87, 81, 74, ..., was auf
q = [343*343+278*278+98*98+87*87+81*81+74*74+...] / 1000 = 225führt. Die mittlere Parteigröße sinkt dadurch also nur um 4 Prozent. Und das auch weniger wegen einer zusätzlichen Partei, sondern durch die Verkleinerung der größten. Wegen1000/22,5=4,4 ist die Zergliederung in Parteien durch die Aufspaltung der Union nicht um 1, sondern nur um 0,6 gestiegen. Zusammenfassend kann man sagen, daß die Zergliederung des Bundestages in Parteien in jedem Falle ungefähr bei 4 liegt, weil die mittlere Stärke einer Partei etwa 25% beträgt.
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