Zahlwort

Für 50.000 Euro mußten gestern Reinhold Beckmann und eine mir unbekannte Frau im ersten Qualitätsfernsehen beim Star Quiz mit Jörg Pilawa die Frage beantworten, wieviele Ecken ein Oktaeder hat, der vom Moderator zunächst Oktäder genannt wurde. Alle Gäste bekannten in bewährter Bildungsbürgermanier sofort, in Mathematik nichts zustande gebracht zu haben. Und so wurden sie auch spontan geholfen mit dem Hinweis, daß ein Oktaeder aus zwei Pyramiden besteht, die an der Grundfläche zusammengefügt sind. Da hat wenigstens Beckmann räumliches Vorstellungsvermögen bewiesen und konnte die Ecken nachzählen.

Da 39 und 38 sich als nicht völlig uninteressant erwiesen haben und die Zahlen 37 und 36 von herausragender Bedeutung sind, wäre 35 ein Kandidat für die kleinste uninteressante Zahl. Das aber kann nicht sein. Für mich war 35 immer die zweistellige Beispielzahl, so wie es 4711 im vierstelligen Bereich ist. Hinter der 35 wird meine Vorstellung vom Zahlraum dunkler, bis 35 muß ich nicht rechnen. Und so habe ich die 35 zu meiner Lieblingszahl gemacht, ohne darüber nachzudenken, mit welchen objektiven Eigenschaften sie die anderen überragen könnte.

Eine schöne und wider Erwarten kaum ausgeschlachtete Eigenschaft ist 35=5*7. Einmal wegen der heiligen 7 und zum zweiten wegen der beiden Primfaktoren. Damit ist 35 das kleinste Produkt von Primzahlzwillingen, denn 6=2*3 und 15=3*5 zählen nicht mit. Es kommen nur Zahlen n=(6k-1)(6k+1)=(6k)^2-1 infrage. Nach 35=5*7 sind es 143=11*13, 323=17*19 und 899=29*31.

Würden wir nicht zur Basis 10 rechnen und nicht an der Endziffer 5 sofort die Teilbarkeit durch 5 erkennen, könnte 35 als die kleinste Zahl durchgehen, die zusammengesetzt ist, dennoch aber wie eine Primzahl aussieht. Wie alle zusammengesetzten Zahlen der Form n=(2k)^2-1 ist 35 (k=3) tatsächlich eine solche Pseudoprimzahl in einem mathematisch präzisierten Sinne.

Zu jeder Zahl lohnt sich ein Blick in die Liste der figurierten Zahlen. Nicht bei jeder wird man fündig, bei 35 jedoch mehrfach. Zunächst ist 35 die 5. Fünfeckzahl F(5)=Q(5)+D(4)=25+10=35

    5
   4 5
  3 4 5
 2 3 4 5
1 2 3 4 5                                                 1
2 2 3 4 5                                    1           2 2
3 3 3 4 5                         1         2 2         3 3 3
4 4 4 4 5               1        2 2       3 3 3       4 4 4 4
5 5 5 5 5        1  +  2 2  +   3 3 3  +  4 4 4 4  +  5 5 5 5 5

die ich hier in Form eines Hauses dargestellt habe. Sie ist auch die 5. Tetraederzahl, also die Zahl der Punkte in einem Tetraeder mit fünf Punkten auf jeder Kante. Da man den Tetraeder aus Dreiecken aufschichten kann, ist das die Summe der ersten 5 Dreieckszahlen

T(5) = D(1)+D(2)+D(3)+D(4)+D(5) = 1+3+6+10+15 = 35

Doch damit nicht genug. Die Zahl 35 ist nicht nur Summe zweier Kubikzahlen 8 und 27, sie folgen auch noch aufeinander. Damit ist 35 die dritte zentrierte Kubikzahl. Die dritte normale Kubikzahl 27=3^3 kann als Würfel mit drei Punkten auf jeder Kante der Länge 2 vorgestellt werden. Bringt man in der Mitte der 8=2^3 enthaltenen Einheitswürfeln mit Kantenlänge 1 einen weiteren Punkt unter, so erhält man die Darstellung der dritten zentrierten Kubikzahl 3^3+2^3=27+8=35.

Auf der Suche zur Zahl 38 stieß ich auf die Möglichkeit, unsere Vorfahren hätten vor 5000 Jahren in unseren Breitengraden Kreise aus Steinen der Breite b einem Umfang von 120b und einem Durchmesser von 38b gebildet. Jeder dieser Steine erschiene dann vom Mittelpunkt aus gesehen unter einem Winkel von 3,015 Grad. Die Steine hätten also etwas geklemmt, doch deckte ein einzelner Stein der Breite b in einer Entfernung von 19b betrachtet ziemlich genau drei Grad des Himmels ab. Zehn solcher Steine der Breite b auf dem Rand eines Kreises mit Durchmesser 38b bilden damit einen Winkel von 30 Grad. Doch geht es noch einfacher: Steckt man 11b auf der Tangente ab, bildet also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 19b und 11b, dann liegt die Hypotenuse mit 21,95b sehr genau bei 22b. Es handelt sich also näherungsweise um ein 30-60-90-Grad-Dreieck. Genauer sind es 30,07 Grad.

Mit Seilen geht es natürlich einfacher: Man knotet einfach drei der Längen 11, 19 und 22 zu einem geschlossenen Band zusammen und zieht dies an den Knoten straff. Es ist nicht ganz rechtwinklig (90,3°), doch ist der kleine Winkel mit 29,9996 Grad sehr genau. Sofern die Menschen damals Seile hatten, waren sie in der Länge sicherlich ungenau und unbeständig. Sie waren also gut beraten, präzise Stäbe zu verwenden. Und es kann durchaus angenommen werden, daß die Länge der Stäbe auch damals einer Norm unterlagen, wie wir uns lange Zeit nach einem Urmeter gerichtet haben, den wir für den vierzigtausendsten Teil des Erdumfanges hielten. Statistische Untersuchungen von Steinabständen durch Alexander Thom haben ergeben, haben ein Rastermaß von 0,829 Meter ergeben. Das ist der megalithic yard.

Unsere Vorfahren haben sicherlich wie wir über eine Urlänge gegrübelt, konnten in der Natur aber nichts von konstanter Länge finden. Nur Zeiten wie die Länge des Tages und des Jahres waren vorgegeben. So blieb ihnen zur Ableitung einer Länge aus der Zeit nur die Schwingung eines Pendels. Wenn also der megalithic yard nicht willkürlich festgelegt wurde, dann muß er etwas mit dem Pendel zu tun haben. Ein Fadenpendel der Länge l von einem halben megalithischen Yard benötigt für eine (halbe) Schwingung eine Zeit t von t=π*sqrt(l/g)=0,64577 Sekunden. Das ist der 133794-te Teil eines Tages, und 133784 ist das Quadrat von 365,8.

Wenn ich Christhoper Knight und Robert Lomas glauben darf, die diese Idee ausarbeiteten, teilte man damals den Kreis in 366 Grade. Es könnte also sein, daß der Tag in 366 Teile und diese wieder in 366 geteilt wurden, man also 366*366=133956 megalithische Sekunden pro Tag zählte. Auch wenn der Tag damals etwas länger als 86400 Sekunden gewesen sein mag, so ist eine solche megalithische Sekunde also 0,645 unserer Sekunden lang. Das ist eine sehr gute Übereinstimmung mit der Pendelzeit von 0,646 Sekunden, wenn man die damaligen Möglichkeiten und den gerundeten Wert der Erdbeschleunigung g von 9,81 Meter pro Quadratsekunde zwischen dem 50. und 60. Breitengrad berücksichtigt.

Thom | Lomas

Nachdem ich berichtete, daß die Zahl 39 wegen 39*39=1521 nebst 15+21=36 und 15*15+21*21=666 nicht die kleinste uninteressante Zahl sein kann, kam in mir die Frage auf, warum sie mit 38 nicht noch kleiner ist. Ich habe nach einem ähnlichen Mätzchen wie zur Zahl 39 gesucht, doch für die 38 nur

38*38=1444 nebst 14*44=616

gefunden. Damit steht die 38 mit der alternativen Zahl des Tieres, nämlich 616 in Beziehung. Das aber reicht nicht, um die Zahl 38 wirklich interessant zu machen.

Glücklicherweise führt die Suche unter den figurierten Zahlen zu einem halbwegs guten Ergebnis: Eine quadratische Pyramide mit vier Punkten an jeder Kante hat 1+4+9+16=30 Punkte, die mit dreien nur 1+4+9=14. Da ist zunächst wieder die Zahl 14. Und die 44=14+30 entsteht, wenn man die beiden Pyramiden an der quadratischen Grundflächen zu einem Oktaeder zusammenfügt. Entfernt man die sechs Eckpunkte, so entsteht der kleinste an den Ecken beschnittene Oktaeder, der aus acht Sechsecken und sechs Quadraten besteht, die jeweils zwei Punkte auf jeder Kante haben. Die Gesamtzahl der Punkte ist 44-6=38.

Doch auch das wirkt etwas konstruiert, denn irgendwo findet man jede Zahl, zumindest die kleinen. Einzigartig macht die Zahl 38 aber das einzige magische Sechseck

  15 13 10
 14 8  4  12
9  6  5  2  16
 11 1  7  19
  18 17 3

In allen sechs Richtungen addieren sich die Zahlen zu 38. Die Gesamtsumme aller 19 Zahlen ist die 19. Dreieckszahl D(19)=19*20/2=190. Auf fünf Spalten verteilt, muß deshalb die Summe jeder dieser Spalten 190/5=38 sein.

19

Auf der Suche nach der Zahl 666 bin ich auf einen Zusammenhang zur Zahl 39 gestoßen, der von Eli Eshoh gefunden oder konstruiert wurde, weil ihm eine Bemerkung von David Wells in "The Penguin Dictionary of Interesting and Curious Numbers" nicht gefiel, 39 sei die kleinste uninteressante Zahl.

Er bemerkt, daß 39*39=1521 aus 15 und 21 zusammengesetzt ist, die in einer außerordentlichen Beziehung zu 36 und 666 stehen:

15 + 21 = 36   und   15*15 + 21*21 =666

Ist das nicht nur bedeutend für die Zahl 39, sondern eine weitere seltsame Eigenschaft der Zahl 666 den vielen anderen? Nein, es ist eine Folge der allgemein bekannten Tatsache, daß 666 die 36. Dreieckszahl ist und 36 dazu eine Quadratzahl.

Ist D(n)=n(n+1)/2 die n-te Dreieckszahl, dann gilt für alle natürlichen Zahlen

D(k-1)+D(k)=k^2 und D(k-1)^2+D(k)^2=D(k^2)

was für die ersten k auf die Beziehungen

k=2:  1+ 3= 4=2*2  1* 1+ 3* 3=  10=D(4)
k=3:  3+ 6= 9=3*3  3* 3+ 6* 6=  45=D(9)
k=4:  6+10=16=4*4  6* 6+10*10= 136=D(16)
k=5: 10+15=25=5*5 10*10+15*15= 325=D(25)
k=6: 15+21=36=6*6 15*15+21*21= 666=D(36)
k=7: 21+28=49=7*7 21*21+28*28=1225=D(49)

Für n=6 ergibt sich die Beziehung von 15 und 21 zu 36 und 666. Daß neben 666 auch 15 und 21 Dreieckszahlen sind, läßt Eli Eshoh unbemerkt. Möglicherweise mit Absicht, um die Beziehung merkwürdiger erscheinen zu lassen. Das Verdienst, die Besonderheit der Zahl 39 gefunden zu haben, aber verbleibt ihm.

666 | Dreieckszahlen | Eshoh

Am sechshundertsechsundsechzigsten Tage von Zahlwort muß es endlich eingestanden werden. Die Zahl des Tieres aus der Offenbarung des Johannes, Kapitel 13, Vers 18 hat auch mich erwischt:

N Nun    50    H 107    K  66    a  97    Z 90
E              I 108    I  54    l 108    @ 64
R Resh  200    T 119    S 114       32    H 72
O Waw     6    L 111    S 114    g 103    L 76
N Nun    50    E 104    I  54    o 111      32
               R 117    N  84    r 114    W 87
C Qoph  100      ---    G  42    e 101    O 79
A                666    E  30      ---    R 82
E                ===    R 108      666    T 84
S Samekh 60               ---      ===     ---
A                         666              666
R Resh  200               ===              ===
        ---
        666
        ===

Jahrhunderte hat man sich abgequält mit Erklärungen wie NRWN CSR für Kaiser Nero. Dabei ist die Lösung so einfach. Oder stand die 666 schon immer für die Gesamtheit der schlechten Menschen (6, Kopf nach unten) im Gegensatz zu den guten (999, Kopf nach oben), Gott (777) und Jesus (888)? Haben die Römer bei der Aufzählung ihrer Zahlzeichen MDCLXVI=1666 nur das M vergessen, oder gingen drei Sechsen beim Würfeln auch damals schon mit dem Teufel zu? Fragen über Fragen.

Vor 2000 Jahren war es einfach. Da waren den Buchstaben noch Zahlen bis 900 zugeordnet. So hatte man gute Chancen, den einen oder anderen Namen auf 666 zu addieren. Später zählten die Numerologen die Buchstaben einfach durch. So kamen sie allenfalls auf 111, wozu kurzerhand alle Werte versechsfacht wurden (KISSINGER). Geht das nicht, dann bleiben immer noch andere Zählweisen. Beginnt man bei A mit 100, erhält man so schöne Treffer wie HITLER. Wahlweise kann man das J in der Zählung auslassen, alle Vokale aus dem Wort streichen oder nur Buchstaben herausziehen, die römischen Zahlzeichen entsprechen (VICarIUs fILII DeI).

Manchmal aber geht es noch einfacher. Man zählt einfach die Buchstaben (Ronald Wilson Reagan) oder wird zu www nicht nur im lateinischen Alphabet mit dreimal 23=W, sondern auch im hebräischen mit dreimal 6=Waw fündig. So breitet sich das Unheil über das Internet und andere moderne Errungenschaften wie VISA-Karte und Barcode aus. Bis vor kurzem konnte keiner wissen, daß sich die Heilsgeschichte in der englischen Sprache und im ASCII-Code fortsetzt, der schon nach wenigen Buchstaben in die Nähe von 666 führt, große und kleine Buchstaben unterscheidet und wahlweise auch Sonderzeichen und Ziffern zur Verfügung stellt.

37

Da sich 153 als Produkt 3*51 der eigenen Ziffern schreiben läßt, handelt es sich um eine Friedmanzahl, für die Potenzieren nicht erforderlich ist. Die ersten sind

 126 = 6*21
 153 = 3*51
 688 = 8*86
1206 = 6*201
1255 = 5*251
1260 = 6*210 = 21*60
1395 = 15*93 = 5*9*31

Offensichtlich wird auch von Addition, Subtraktion und Division kein Gebrauch gemacht. Verzichtet man nämlich auf das Potenzieren, werden alle Ziffern für Multiplikationen benötigt, um überhaupt die erforderlich Stellenzahl zu erreichen.

Solche Friedmanzahlen ohne Potenzierung, also nur mit Multiplikation werden von Erich Friedman Vampirzahlen genannt. Andere bezeichnen dagegen nur solche als Vampirzahlen, die sich als Produkt zweier gleich langer Faktoren darstellen lassen. Dann bleiben bis 9999 nur sieben Vampirzahlen

1260 = 21*60
1395 = 15*93
1435 = 35*41
1530 = 30*51
1827 = 21*87
2187 = 27*81
6880 = 80*86

Unschön an dieser verschärften Definition ist, daß 153 keine Vampirzahl mehr ist und sich als 1530 reinmogeln muß. In jedem Falle kommt aber 153 allenthalben vor, besser gesagt die Ziffern 1, 5 und 3. Das liegt nicht nur an 153=3*51, sondern auch an 3*5=15 und 3*351=1053.

Andersen