Zahlwort

Für 50.000 Euro mußten gestern Reinhold Beckmann und eine mir unbekannte Frau im ersten Qualitätsfernsehen beim Star Quiz mit Jörg Pilawa die Frage beantworten, wieviele Ecken ein Oktaeder hat, der vom Moderator zunächst Oktäder genannt wurde. Alle Gäste bekannten in bewährter Bildungsbürgermanier sofort, in Mathematik nichts zustande gebracht zu haben. Und so wurden sie auch spontan geholfen mit dem Hinweis, daß ein Oktaeder aus zwei Pyramiden besteht, die an der Grundfläche zusammengefügt sind. Da hat wenigstens Beckmann räumliches Vorstellungsvermögen bewiesen und konnte die Ecken nachzählen.

Da 39 und 38 sich als nicht völlig uninter­essant erwiesen und die Zahlen 37 und 36 von heraus­ragender Bedeu­tung sind, wäre 35 ein Kandidat für die kleinste uninter­essante Zahl. Das aber kann nicht sein. Für mich war 35 immer die zwei­stel­lige Beispiel­zahl, so wie es 4711 im vier­stel­ligen Bereich ist. Hinter der 35 wird meine Vorstel­lung vom Zahl­raum dunkler, bis 35 muß ich nicht rechnen. Und so habe ich die 35 zu meiner Lieb­lings­zahl gemacht, ohne darüber nach­zudenken, mit welchen objek­tiven Eigen­schaften sie die anderen über­ragen könnte.

Eine schöne und wider Erwarten kaum ausge­schlach­tete Eigen­schaft ist 35=5⋅7. Einmal wegen der hei­ligen 7 und zum anderen wegen der beiden Prim­faktoren. Damit ist für mich 35 das kleinste Produkt von Primzahl­zwil­lingen, weil ich 6=2⋅3 und 15=3⋅5 nicht mit­zähle, da ihre Faktoren nicht vom Typ 6n±1 sind. [1] Nach 35=5⋅7 kommen 143=11⋅13, 323=17⋅19 und 899=29⋅31.

Würden wir nicht zur Basis 10 rechnen und nicht an der End­zif­fer 5 sofort die Teil­barkeit durch 5 erken­nen, könnte 35 als die kleinste Zahl durch­gehen, die zusammen­gesetzt ist, aber dennoch wie eine Prim­zahl aus­sieht. Sie ist Produkt zweier ver­schie­dener unge­rader Primzahlen und damit Semi­prim­zahl. [2] Klei­nere sind 15=3⋅5, 21=3⋅7 und 33=3⋅11, die auch nicht primer aus­sehen. Allen­falls 51=3⋅17 könnte als Primzahl durch­gehen.

Zu jeder Zahl lohnt sich ein Blick in die Liste der figu­rierten Zahlen. Nicht bei jeder wird man fündig, bei 35 jedoch mehr­fach. Zunächst ist 35 die 5. Fünf­eckzahl F₅=Q₅+D₄=25+10=35

    5
   4 5
  3 4 5
 2 3 4 5
1 2 3 4 5                                              1
2 2 3 4 5                                 1           2 2
3 3 3 4 5                      1         2 2         3 3 3
4 4 4 4 5            1        2 2       3 3 3       4 4 4 4
5 5 5 5 5     1  +  2 2  +   3 3 3  +  4 4 4 4  +  5 5 5 5 5

die ich im vorstehenden Bild links in Form eines Hauses dar­gestellt habe. Rechts sind die 5 Ebe­nen eines Tetra­eders zu sehen, der längs jeder Kante 5 Punk­te auf­weist. Insge­samt sind es

T₅ = D₁+D₂+D₃+D₄+D₅ = 1+3+6+10+15 = 35

Doch damit nicht genug. Die Zahl 35 ist nicht nur Summe zweier Kubik­zahlen 8 und 27, sie folgen auch noch aufein­ander. Damit ist 35 nach 1 und 9 die dritte zen­trierte Kubik­zahl. Die dritte normale Kubik­zahl 27=3³ kann als Würfel mit drei Punkten auf jeder Kante der Länge 2 vorge­stellt werden. Bringt man in der Mitte der 8=2³ enthal­tenen Einheits­würfel einen wei­teren Punkt unter, so erhält man die Darstel­lung der dritten zen­trierten Kubik­zahl 35.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. In A037074 gehört zwar 15 zu den Produk­ten von Prim­zahl­zwil­lingen, nicht aber die 6. Es zählen sozu­sagen nur die zwei­eiigen Zwil­linge im Ab­stand 2, nicht 2 und 3 direkt neben­einander.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A046388 nennt diese Semi­prim­zahlen aus­drück­lich unge­rade und qua­drat­frei.

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005898.

34 | 36

Auf der Suche zur Zahl 38 stieß ich auf die Möglichkeit, unsere Vorfahren hätten vor 5000 Jahren in unseren Breitengraden Kreise aus Steinen der Breite b einem Umfang von 120b und einem Durchmesser von 38b gebildet. Jeder dieser Steine erschiene dann vom Mittelpunkt aus gesehen unter einem Winkel von 3,015 Grad. Die Steine hätten also etwas geklemmt, doch deckte ein einzelner Stein der Breite b in einer Entfernung von 19b betrachtet ziemlich genau drei Grad des Himmels ab. Zehn solcher Steine der Breite b auf dem Rand eines Kreises mit Durchmesser 38b bilden damit einen Winkel von 30 Grad. Doch geht es noch einfacher: Steckt man 11b auf der Tangente ab, bildet also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 19b und 11b, dann liegt die Hypotenuse mit 21,95b sehr genau bei 22b. Es handelt sich also näherungsweise um ein 30-60-90-Grad-Dreieck. Genauer sind es 30,07 Grad.

Mit Seilen geht es natürlich einfacher: Man knotet einfach drei der Längen 11, 19 und 22 zu einem geschlossenen Band zusammen und zieht dies an den Knoten straff. Es ist nicht ganz rechtwinklig (90,3°), doch ist der kleine Winkel mit 29,9996 Grad sehr genau. Sofern die Menschen damals Seile hatten, waren sie in der Länge sicherlich ungenau und unbeständig. Sie waren also gut beraten, präzise Stäbe zu verwenden. Und es kann durchaus angenommen werden, daß die Länge der Stäbe auch damals einer Norm unterlagen, wie wir uns lange Zeit nach einem Urmeter gerichtet haben, den wir für den vierzigtausendsten Teil des Erdumfanges hielten. Statistische Untersuchungen von Steinabständen durch Alexander Thom haben ergeben, haben ein Rastermaß von 0,829 Meter ergeben. Das ist der megalithic yard.

Unsere Vorfahren haben sicherlich wie wir über eine Urlänge gegrübelt, konnten in der Natur aber nichts von konstanter Länge finden. Nur Zeiten wie die Länge des Tages und des Jahres waren vorgegeben. So blieb ihnen zur Ableitung einer Länge aus der Zeit nur die Schwingung eines Pendels. Wenn also der megalithic yard nicht willkürlich festgelegt wurde, dann muß er etwas mit dem Pendel zu tun haben. Ein Fadenpendel der Länge l von einem halben megalithischen Yard benötigt für eine (halbe) Schwingung eine Zeit t von t=π*sqrt(l/g)=0,64577 Sekunden. Das ist der 133794-te Teil eines Tages, und 133784 ist das Quadrat von 365,8.

Wenn ich Christhoper Knight und Robert Lomas glauben darf, die diese Idee ausarbeiteten, teilte man damals den Kreis in 366 Grade. Es könnte also sein, daß der Tag in 366 Teile und diese wieder in 366 geteilt wurden, man also 366*366=133956 megalithische Sekunden pro Tag zählte. Auch wenn der Tag damals etwas länger als 86400 Sekunden gewesen sein mag, so ist eine solche megalithische Sekunde also 0,645 unserer Sekunden lang. Das ist eine sehr gute Übereinstimmung mit der Pendelzeit von 0,646 Sekunden, wenn man die damaligen Möglichkeiten und den gerundeten Wert der Erdbeschleunigung g von 9,81 Meter pro Quadratsekunde zwischen dem 50. und 60. Breitengrad berücksichtigt.

Thom | Lomas

Nachdem ich berichtete, daß die Zahl 39 wegen 39⋅39=1521 nebst 15+21=36 und 15⋅15+21⋅21=666 nicht die kleinste uninter­essante Zahl ist, kam in mir die Frage auf, warum sie mit 38 nicht noch kleiner sein könnte. Ich habe nach einem ähnlichen Mätz­chen wie zur Zahl 39 gesucht, doch für die 38 nur

38⋅38=1444   nebst   14⋅44=616

gefunden. Damit steht die 38 mit der alternativen Zahl des Tieres, näm­lich 616 in Bezie­hung. Das aber reicht nicht, um die Zahl 38 wirklich inter­essant zu machen.

Glücklicherweise führt die Suche unter den figu­rierten Zahlen zu einem halbwegs guten Ergebnis: Eine quadra­tische Pyra­mide mit vier Punkten an jeder Kante hat 1+4+9+16=30 Punkte, die mit dreien nur 1+4+9=14. Da ist zunächst wieder die Zahl 14. Und die 44=14+30 entsteht, wenn man die beiden Pyra­miden an der quadrat­ischen Grund­flächen zu einem Okta­eder zusammen­fügt. Entfernt man die sechs Eck­punkte, so entsteht der kleinste an den Ecken beschnit­tene Oktaeder, der aus acht Sechs­ecken und sechs Qua­draten besteht, die jeweils zwei Punkte auf jeder Kante haben. Die Gesamt­zahl der Punkte ist 44−6=38.

Doch auch das wirkt etwas konstru­iert, denn irgendwo findet man jede Zahl, zumin­dest die kleinen. Einzig­artig macht die Zahl 38 aber das einzige mögliche magische Sechseck

  15 13 10
 14 8  4  12
9  6  5  2  16
 11 1  7  19
  18 17  3

In allen sechs Richtungen addieren sich die Zahlen zu 38. Die Gesamt­summe aller 19 Zah­len ist die 19. Drei­ecks­zahl D₁₉=19⋅20/2=190. Auf fünf Spalten verteilt, muß deshalb die Summe jeder dieser Spalten 190/5=38 sein.

37 | 39 | 19 | 44

Auf der Suche nach der Zahl 666 bin ich auf einen Zusammen­hang zur Zahl 39 gestoßen, der von Eli Eshoh [1] gefunden oder kon­stru­iert wurde, weil ihm eine Bemer­kung von David Wells [2] nicht gefiel, 39 sei die kleinste uninter­essante Zahl. Er bemerkt, daß 39⋅39=1521 aus 15 und 21 zusammen­gesetzt ist, die in einer außer­ordent­lichen Beziehung zu 36 und 666 stehen:

15 + 21 = 36   und   15⋅15 + 21⋅21 =666

Ist das wirklich ein heraus­ragender Zusammen­hang? Ja und nein. Zunächst ist es eine Folge der allge­mein bekannten Tatsache, daß 666 die 36. Drei­ecks­zahl ist und 36 dazu eine Quadrat­zahl, denn für Dreiecks­zahlen Dₙ=n(n+1)/2 gilt

D_n−1 + D_n = n²   und   D_n−1² + D_n² = D_n²

was für die ersten n auf die Beziehungen

n=2:   1+3  =  4 = 2⋅2    1⋅1  +  3⋅3  =   10 = D4
n=3:   3+6  =  9 = 3⋅3    3⋅3  +  6⋅6  =   45 = D9
n=4:   6+10 = 16 = 4⋅4    6⋅6  + 10⋅10 =  136 = D16
n=5:  10+15 = 25 = 5⋅5   10⋅10 + 15⋅15 =  325 = D25
n=6:  15+21 = 36 = 6⋅6   15⋅15 + 21⋅21 =  666 = D36
n=7:  21+28 = 49 = 7⋅7   21⋅21 + 28⋅28 = 1225 = D49

führt. Für n=6 ergibt sich die Verbin­dung von 15 und 21 zu 36 und 666. Daß neben 666 auch 15 und 21 Dreiecks­zahlen sind, läßt Eli Eshoh unbe­merkt. Aber man muß ihm zuge­stehen, die Konka­tena­tion von 15 und 21 als Quadrat von 39 erkannt zu haben.

[1] Eli Eshoh: An Investi­gation into the Mystical Number 666. 1998.

[2] Wells: The Penguin Dictionary of Inter­esting and Curious Numbers.

38 | 40 | 666 | Dreiecks­zahlen

Am sechshundertsechsund­sechzig­sten Tage von Zahl­wort muß es endlich einge­standen werden: Die Zahl des Tieres aus der Offen­barung des Johannes, Kapi­tel 13, Vers 18 hat auch mich erwischt:

N Nun    50    H 107    K  66    a  97    Z 90
E              I 108    I  54    l 108    @ 64
R Resh  200    T 119    S 114       32    H 72
O Waw     6    L 111    S 114    g 103    L 76
N Nun    50    E 104    I  54    o 111      32
               R 117    N  84    r 114    W 87
C Qoph  100      ---    G  42    e 101    O 79
A                666    E  30      ---    R 82
E                ===    R 108      666    T 84
S Samekh 60               ---      ===     ---
A                         666              666
R Resh  200               ===              ===
        ---
        666
        ===

Jahrhunderte hat man sich abge­quält mit Erklä­rungen wie NRWN CSR für Kaiser Nero. Dabei ist die Lösung möglicher­weise ganz einfach. Stand die 666 schon immer für die Gesamt­heit der schlechten Menschen (6, Kopf nach unten) im Gegensatz zu den guten (999, Kopf nach oben), Gott (777) und Jesus (888)? Haben die Römer bei der Aufzäh­lung ihrer Zahl­zeichen MDCLXVI=1666 nur das M vergessen, oder gingen drei Sechsen beim Würfeln auch damals schon mit dem Teufel zu? Fragen über Fragen.

Vor 2000 Jahren standen Buch­staben noch für Zahlen bis 900. So hatte man gute Chancen, den einen oder anderen Namen auf 666 zu addieren. Später zählten die Numero­logen die Buch­staben einfach durch. So kamen sie allen­falls auf 111, wozu kurzer­hand alle Werte versechs­facht wurden (KISSINGER). Geht das nicht, dann bleiben immer noch andere Zähl­weisen. Beginnt man bei A mit 100, erhält man so schöne Treffer wie HITLER. Wahlweise kann man das J in der Zählung auslassen, alle Vokale aus dem Wort streichen oder nur Buch­staben heraus­ziehen, die römi­schen Zahl­zeichen ent­spre­chen (VICarIUs fILII DeI).

Manchmal geht es noch einfacher. Man zählt einfach die Buch­staben (Ronald Wilson Reagan) oder wird zu www nicht nur im latei­nischen Alphabet mit dreimal 23=W, sondern auch im hebräischen mit dreimal 6=Waw fündig. So breitet sich das Unheil über das Inter­net und andere moderne Errungen­schaften wie VISA-​Karte und Barcode aus. Bis vor kurzem konnte keiner wissen, daß sich die Heils­geschichte in der engli­schen Sprache und im ASCII-​Code fort­setzt, der schon nach wenigen Buch­staben in die Nähe von 666 führt, große und kleine Buch­staben unter­scheidet und wahl­weise auch Sonder­zeichen und Ziffern zur Verfü­gung stellt.

37 | 777 | 888 | 999

Zahlen, die sich als ein Produkt schreiben lassen, dessen Faktoren genau aus den Ziffern dieser Zahl bestehen, heißen Vampir­zahlen. [1] Die ersten sind

 126 = 6⋅21
 153 = 3⋅51
 688 = 8⋅86
1206 = 6⋅201
1255 = 5⋅251
1260 = 6⋅210 = 21⋅60
1395 = 15⋅93 = 5⋅9⋅31

Die Faktoren nennt man auch Zähne, gar Reißzähne (fangs). Die von Clifford A. Pickover einge­führten Vampir­zahlen im engeren Sinne (true vampire numbers) sind solche mit genau zwei gleich­langen Zähnen, die nicht beide auf 0 enden und natürlich auch keine führenden Nullen haben dürfen. [2] Dann bleiben bis 999 nur sieben:

1260 = 21⋅60
1395 = 15⋅93
1435 = 35⋅41
1530 = 30⋅51
1827 = 21⋅87
2187 = 27⋅81
6880 = 80⋅86

Leider ist 153 keine Vampirzahl im engeren Sinne mehr und muß sich als 1530 rein­mogeln. Aber 153 kommt allent­halben vor, besser gesagt die Ziffern 1, 5 und 3. Das liegt nicht nur an 153=3⋅51, sondern auch an 3⋅5=15 und 3⋅351=1053.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. (Entstellte) Vampir­zahlen A020342, darunter die (wahren, echten, normalen, eigent­lichen) Vampir­zahlen A014575 im engeren Sinne .

[2] Die On-Line Encyclopedia of Integer Sequences erwähnt in A014575 das Verbot zweier Nullen nicht, listet aber 126000=600⋅210 nicht als Vampir­zahl im engeren Sinne, während Pickover in seiner Vorstel­lung der Vampir­zahlen noch ein solches Beispiel nennt.

153 | Pickover | Friedmanzahlen