Mathematik und Rechnen
Michael Schumacher hält seinen Rückstand von 29 Punkten nicht für hoffnungslos: Dafür gibt es noch keinen Grund. Es gibt mathematisch noch zu viele Möglichkeiten, und wer mich kennt, weiß, dass die Mathematik mir sehr wichtig ist. Doch Mathematik ist glücklicherweise mehr als Rechnen oder Zählen.

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Live 8
Heute lese ich nur von zwei Milliarden Fernseh-Zuschauern der Live-8-Konzerte, vor Tagen wurden noch sechs erwartet. Das stimmt mich versöhnlich, gleich ob man mich als Nachrichtenseher schon dazu zählt oder nicht. Bei sechs Milliarden hätte ich gesagt: Ihr Armen, verkauft Eure Fernseher! Aber bei zweien gehe ich davon aus, daß es sich doch mehr um die Bewohner der Caipi-Welt handelt, mehr um Drogenkonsumenten, denn -produzenten. Die Dritte Welt hat sich mit mir solidarisch gezeigt und das Spektakel vorüberziehen lassen, dessen Echo umgehend verhallt ist und mich an den zwei Milliarden stark zweifeln läßt.

Caipi

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88
Vor ein paar Tagen hielt ich mich mit "1tr8 Frankfurt" noch mit Lästerungen über Sprachverhunzungen wie "be8lich", "gute n8", "es ist vollbr8" oder "interpol8" zurück. Heute bin ich von der Realität überholt. Da wird "Live Aid" zu "Live 8", in einen Gitarrenhals wird ein 8er-Knoten geschlungen wie früher in Penisse und Kanonenrohre. Noch einen drauf setzt das deutsche Bühnenbild mit zwei fetten Zusatz-Achten: "88" für "HH", "Hansestadt Hamburg" oder "Heil Hitler".

Blogtum, Kompetenzteam, 21.06.2005: gebr8, ob8
Thomas Jahn, Huszti und die "beschissene" Seite 88, Spox, 17.09.2012



Wer mit Glatze oder numerierten T-Shirts durch die Gegend stolziert, wird zumeist einen rechtsradikalen Zusammenhang von sich weisen, nimmt ihn oftmals aber billigend in Kauf, wenn dieser erste Eindruck nicht sofort durch weitere Merkmale entkräftet wird. So verwunderten mich anfangs Jacken mit dickem HH, bis ich irgendwann ganz klein Helly Hansen las. Als Rechtsradikaler würde ich mir sofort eine solche Jacke zulegen.

Und wenn Frauen ihre Möpse mit 28 verzieren, dann möchte ich gerne an diese vollkommene Zahl denken, doch leider steht 28=BH nicht für Büstenhalter, sondern für Blood and Honor. Die 18=AH für Adolf Hitler bleibt mehr den plumpen Rechten und ihren Kneipennamen vorbehalten. Sicherlich ist es auch nicht jedermanns Sache, bei 14 auf die 14 Wörter einer rassistischen Äußerung von David Lane zu kommen oder in 311 dreimal 11, also KKK für Ku Klux Klan und nicht Kinder, Küche, Kirche zu erkennen. So vorbereitet will ich 198 als Knobelaufgabe stehen lassen.

18 | 28 | 4/20



Wenn ich mein Blog nicht Zahlwort, sondern "Der Meister s8" genannt hätte, würde ich ihn nunmehr umbenennen. Bisher wäre ich nicht darauf gekommen, daß s8 nicht nur als Abkürzung einer Verhunzung "sacht" des Wortes "sagt" interpretierbar ist, sondern in Analogie zu 198 auch als S=19 und H=8: Sieg Heil! Das soll keine Angst vor Zahlen wie 1347 (MDG, Mit deutschen Gruß) machen, auch gibt es an Zahlen wie 14 (BACH=2+1+3+8=14, DAVID= Daleth+Waw+Daleth=4+6+4=14 ) ältere Rechte. Es schadet aber nicht, kurz nachzudenken, bevor man sie mit der Kleidung zur Schau stellt.

14

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IXC
Die Zahl 89 ist als 100-10-1 nicht irgendeine. Sie hat einen Zusammenhang zu den Fibonaccizahlen. Doch wer nach ihr googelt, wird zunächst auf ICX als unzulässig gebildete römische Zahlen geführt. Nicht breit erläutern will ich, wie man aus einer üblichen in arabischen Ziffern geschriebnen Zahl eine römische bildet, denn die Ziffern sind stur in Zeichenketten umsetzbar. In die andere Richtung ist es etwas undurchsichtiger, doch im Prinzip das gleiche, sofern die römische Zahl korrekt geschrieben ist.

Als ich las, daß unzulässig geschriebene römische Zahlen in Einzelfällen wie IC=99 und VC=95 zwar eine direkte Interpretation zulassen, dies aber schon bei IXC zu Doppeldeutigkeiten (91 oder 89) führe, regte sich in mir spontan Widerspruch, denn auf den ersten Blick würde ich den Wert einer Zeichenkette aus den Buchstaben MDCLXVI einfach rekursiv bilden: Einer römischen Zahlzeichenkette z der Form
s(1) M s(2) M s(3) M ... s(n) M t
würde ich schlicht und ergreifend den Wert
w(z) = (1000-w(s(1)) + ... + (1000-w(s(n)) + w(t)
     = 1000n + w(t) - w(s(1)) - ... - w(s(n))
zuordnen, wobei in den Zeichenketten s(1),...,s(n) und t kein M mehr vorkommt. Deren Werte w(s(1)),...,w(s(n)) und w(t) werden in analoger Weise auf die weiterer Zeichenketten zurückgeführt, die neben M auch kein D mehr enthalten. So fährt man fort, bis nur noch Zeichenketten aus lauter I bleiben, denen man ihre Länge als Wert zuordnet. Ein Beispiel:
  MILLILIDL
= M + ILLILIDL
= 1000 + (-ILLILI+D+L)
= 1000 + 500 + L - ILLILI
= 1500 + L - (-I+L+L-I+L+I)
= 1500 + 50 - (150+I-I-I)
= 1400 + I + I - I
= 1401
Abstrus und auch wenig erfolgreich, denn das nach dieser Methode übersetzte
IXC = -IX + C = -(-I+X) + C = -9 +100 = 91
befriedigt nicht. Spontan würde doch jeder IXC=89 sagen. Außerdem gibt es für 91 kein Abkürzungsbedarf, denn 91=XCI ist korrekt und auch nicht länger. Deshalb die nächste Idee, aufsteigende Ketten wie IXCD subtraktiv zu bewerten und dann einfach alles zu addieren. Damit das nicht in Rechnerei ausartet, verfährt man wie folgt:

In aufsteigenden Ketten werden alle Zeichen bis auf das letzte zur Kennzeichnung der Subtraktion in Kleinbuchstaben gewandelt, dann können große gegen kleine Buchstaben gekürzt werden. Die verbleibenden Großbuchstaben MDCLXVI werden zu einer Zahl addiert, ebenso die Kleinbuchstaben dclxvi (666!). Die Differenz ist das Ergebnis. Ein Beispiel:
  MILLIXLIDLXMILLI
= MiLLixLiDLxMiLLI
= MMDLLLLLLIxxiiii
= MMDLLLLLLxxiii
= 2800-23
= 2777
Das befriedigt für die Zahl IXC=ixC=Cxi=100-11=89, macht aber auch deutlich, daß es keinen Sinn hat, ein kleineres Zeichen sowohl links als auch rechts von einem größeren aufzuführen, da sie gegeneinander gekürzt werden können. So ist VIXI=ViXI=XVIi=XV=15 und (leider) nicht nach der rekursiven Auffassung VIXI=-(VI)+X+I=5 und schon gar nicht VIXI=VXII=17.

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Confed-Zahlen
Es ist wieder einmal Zeit, über Zahlen des sehr alltäglichen Lebens zu schreiben: Heute schalte ich den Fernseher ein, um möglicherweise Tatort zu sehen, da erblicke ich die Gebührenverschwender vor einer Aufstellung von Confed-Zahlen.

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Reihe
Bisher habe ich alle Zahlenfolgen wie die der Primzahlen 2,3,5,7,11,13,... nicht Sequenz oder Serie genannt, nur einmal Progression und niemals Reihe. Mit Wörtern wie series, sequence, progression ist auch der englische Sprachgebrauch schwankend. Das führt gelegentlich zu Verwirrungen, doch dient die Vielfalt der Bezeichnungen eigentlich der Verdeutlichung für den Menschen, denn die mathematischen Inhalte ändern sich durch die Bezeichnungen nicht.

Hardy und Wrigth überschreiben mehrere Kapitel ihres Zahlentheorie-Buches mit "The Series of Primes", darunter auch ein Abschnitt "The sequence of primes". Sie unterscheiden also zwischen einer aufzählenden Abfolge (sequence) und der Gesamtheit (series), gleichwohl damit nicht einfach die Menge der Primzahlen (set of primes) gemeint ist. Die Übersetzungen sind nun nicht einfach Sequenz (sequence) und Serie (series) oder gar Reihe. Die Wörter Sequenz und Serie erinnern mich zu sehr an eine endlich Abfolge, wie eine Ton-Sequenz oder eine Gewinn-Serie.

Das Wort Reihe ist ganz gefährlich. Von einer Reihe sollte man im Zusammenhang mit Folgen nur sprechen, wenn man die einzelnen Folgeglieder nicht einfach mit Kommas getrennt aufzählt, sondern anders verbindet. Es gibt eine Unzahl von solchen Reihenbildunden, jede hat einen eigenen Namen und nicht in allen kommt das Wort Reihe vor. Die naheliegenste Verknüpfung ist die Addition wie in
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...
Ein solcher Ausdruck heißt einfach Reihe ohne irgendwelche Namenszusätze. Zu jeder Zahlenfolge A kann man eine Summenfolge S und auch eine Reihe R bilden, zu der möglicherweise ein Wert W gehört:
A: a(1),a(2),a(3),a(4),...  1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...
S: s(1),s(2),s(3),s(4),...  1, 3/2, 7/4, 15/8, 31/16, ...
R: a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+...  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
W: w                        2
Man nennt R die Reihe zur Folge A und W den Wert der Reihe R. Umgekehrt heißen R und auch A Reihendarstellung des Wertes W. Dieser Wert W ist der Grenzwert, dem die Summenfolge S zustrebt, wenn man sozusagen die unendlich vielen Additionen ausführt. Das ist natürlich nicht immer der Fall, und es bedürfte einer ordentlichen Definition des Grenzwertes einer Folge. Ich belasse es einmal bei der Sprechweise "sich dem Grenzwert nähern". Beschränkt man sich auf endlich viele Additionen, so erhält man natürlich immer einen Wert s(n)=a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n). Dann spricht man auch von einer endlichen Reihe.

Reihen erfreuen sich aus mindestens zwei Gründen einer großen Beliebtheit und füllen wie Integrale viele Seiten von Formelsammlungen. Zum einen hat man oftmals die Glieder einer unendliche Folge zu addieren. Zum anderen gestattet die Reihendarstellung R bzw. A eines Wertes W dessen näherungsweise Berechnung. Im vorangehenden Beispiel ist es zwar interessant die 2 als den Wert der Reihe zu erkennen, die umgekehrte Betrachtung, nämlich die Zerlegung der Zahl 2 in diese Reihe, ist aber von wenig Nutzen, zumal keiner zur Näherung der Zahl 2 diese Reihe benötigt. Für andere Zahlen wie die Eulersche Zahl e=2,718... aber ist eine Zerlegung wie
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + ...
  = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 + ...
von mehr Interesse und könnte der näherungsweisen Berechnung der Zahl e dienen. Für die Zahl Pi gibt es ebenfalls eine Unzahl von solchen Reihendarstellungen, und viele Menschenleben sind allein in das Bemühen geflossen, immer schneller der Zahl Pi zustrebende Reihenentwicklungen zu finden, um möglichst schnell möglichst viele Stellen der Zahl Pi berechnen zu können.

Summenfolge | Serienmörder

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Summenfolge
Zu jeder Zahlenfolge a(1),a(2),a(3),... kann man eine Summenfolge s(1),s(2),s(3),... bilden, deren n-tes Glied s(n) die ersten n Glieder der Folge a addiert. Die Definition ist einfach:
s(1)=a(1) und s(n)=s(n-1)+a(n) für n>1
Die Folge der Dreieckszahlen 1,3,6,10,15,21,... ist Summenfolge einer viel einfacheren, nämlich 1,2,3,4,5,6,..., die umgekehrt natürlich die Differenzenfolge der Dreieckszahlen ist. Ganz allgemein ist jede Folge von Zahlen die Summenfolge ihrer Differenzenfolge und auch umgekehrt Differenzenfolge ihrer Summenfolge. Der Begriff Differenzenfolge ist aber mehr oder minder erfunden, denn im allgemeinen betrachtet man allenfalls die Differenzen, ohne sie gleich als Folge zu benennen. Mit den Summenfolgen verhält es sich anders. Sie sind bedeutender, denn sie schaffen zumeist aus einfachen Folgen schwierigere und führen über
s(n) = a(1) + a(2) + ... + a(n)
möglicherweise zu interessanten Zerlegungen von Zahlen oder Ausdrücken s(n) bis hin zu dem Versuch, alle Folgeglieder zu
s = a(1) + a(2) + a(3) + ...
zu addieren, womit möglicherweise eine gute Vorschrift gegeben ist, wie man durch fortwährende Addition von Folgegliedern a(n) sich einer Zahl s nähert. Doch um dieses weite Gebiet soll es hier nicht gehen.

Zunächst sollen die bereits vor Tagen betrachteten Polygonalzahlen p(k,n) und P(k,n) als Summenfolgen von recht einfachen Differenzenfolgen erkannt werden. Es gilt ja
p(k,n) = 1+kn(n+1)/2 = 1 + k*D(n-1)   und
P(k,n) = n[(k-2)n-(k-4)]/2 = n + (k-2)*D(n-1)
weshalb die Folge der zentrierten k-Eckzahlen p(k,1),p(k,2),p(k,3),... Summenfolge von
1, k, 2k, 3k, 4k, 5k, ...
und die Folge der normalen k-Eckzahlen P(k,1),P(k,2),P(k,3),... Summenfolge von
1, 1+(k-2), 1+2(k-2), 1+3(k-2), ...
ist. Die zweite Folge sieht zwar wegen "k-2" und "1+" komplizierter aus als die erste, dafür weist sie aber zwischen allen Folgeliedern die gleiche Differenz k-2 auf. In der ersten Folge ist dies nicht der Fall, denn vom ersten zum zweiten Folgeglied ist es nur k-1 statt k. Deshalb sind die normalen k-Eckzahlen Summenfolge einer ganz normalen arithmetschen Progression, die zentrierten aber nicht. Sie liegen um 1 höher. Arithmetische Progression heißen Folgen
a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...
die in gleichmäßigen Abständen d voranschreiten. Das n-te Gliede der Folge ist also a(n)=a*(n-1)d. Die Glieder s(n) der zugehörigen Summenfolge berechnen sich leicht:
2*s(n) =  a+  0*d  +  a+   1*d + ...  a+(n-2)d +  a+(n-1)d
       +  a+(n-1)d +  a+(n-2)d + ...  a+   1*d +  a+   0*d
       = 2a+(n-1)d + 2a+(n-1)d + ... 2a+(n-1)d + 2a+(n-1)d
       = n*2*a + n(n-1)d      und somit
  s(n) = n*(a+(n-1)d/2) = n*a + d*D(n-1)
Mit den Dreieckszahlen hat man also nicht nur die Polygonalzahlen, sondern sogar die Summen aller arithmetischen Progressionen im Griff.

Dreieckszahlen | normale Polygonalzahlen | zentrierte Polygonalzahlen | Differenzenfolge

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