Zahlwort

Da sich 153 als Produkt 3*51 der eigenen Ziffern schreiben läßt, handelt es sich um eine Friedmanzahl, für die Potenzieren nicht erforderlich ist. Die ersten sind

 126 = 6*21
 153 = 3*51
 688 = 8*86
1206 = 6*201
1255 = 5*251
1260 = 6*210 = 21*60
1395 = 15*93 = 5*9*31

Offensichtlich wird auch von Addition, Subtraktion und Division kein Gebrauch gemacht. Verzichtet man nämlich auf das Potenzieren, werden alle Ziffern für Multiplikationen benötigt, um überhaupt die erforderlich Stellenzahl zu erreichen.

Solche Friedmanzahlen ohne Potenzierung, also nur mit Multiplikation werden von Erich Friedman Vampirzahlen genannt. Andere bezeichnen dagegen nur solche als Vampirzahlen, die sich als Produkt zweier gleich langer Faktoren darstellen lassen. Dann bleiben bis 9999 nur sieben Vampirzahlen

1260 = 21*60
1395 = 15*93
1435 = 35*41
1530 = 30*51
1827 = 21*87
2187 = 27*81
6880 = 80*86

Unschön an dieser verschärften Definition ist, daß 153 keine Vampirzahl mehr ist und sich als 1530 reinmogeln muß. In jedem Falle kommt aber 153 allenthalben vor, besser gesagt die Ziffern 1, 5 und 3. Das liegt nicht nur an 153=3*51, sondern auch an 3*5=15 und 3*351=1053.

Andersen

Unter den Bedeutsamkeiten der Zahl 153 bleibt gelegentlich 153=3*51 nicht unerwähnt. Es ist also möglich, aus den Ziffern der Zahl 153 einen arithmetischen Ausdruck zu bilden, der wieder diese Zahl ergibt. Das mag zunächst als Allerweltseigenschaft angesehen werden, weil man doch aus drei oder gar noch mehr Ziffern sehr viele Ausdrücke bilden kann, von denen mit ansehnlicher Wahrscheinlichkeit einer treffen sollte.

Eine Zahl heißt Friedmanzahl, wenn man aus ihren Ziffern zwei oder mehr neue Zahlen bildet und diese unter einmaliger Verwendung durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung zu einem Ausdruck verbindet, dessen Wert wieder die Ausgangszahl ist. Die Friedmanzahlen unterhalb von 1000 sind:

 25 = 5^2 (5 hoch 2)
121 = 11^2
125 = 5^(1+2)
126 = 6*21
127 = (2^7)-1
128 = 2^(8-1)
153 = 3*51
216 = 6^(1+2)
289 = (8+9)^2
343 = (3+4)^3
347 = (7^3)+4
625 = 5^(6-2)
688 = 8*86
736 = 7+(3^6)

Es sind weniger als ich zunächst erwarten würde. Darunter sind nur drei, nämlich 126, 153 und 688, die auf das Potenzieren verzichten können. Und nur 127, 128, 343, 736 heißen "nice", weil der Ausdruck die Ziffern in der richtigen Reihenfolge enthalten kann, wobei ich 127=-1+2^7 eigentlich nicht mitzählen möchte, denn ein negatives Vorzeichen ist keine Subtraktion.

Neben der herausragenden Eigenschaft der Zahl 153, Summe der dritten Potenzen ihrer Ziffer, also Armstrongzahl zu sein, wird auch stets erwähnt, daß 153 durch die eigene Quersumme teilbar ist. Solche Zahlen heißen Harshadzahlen. Die ersten lauten:

1-9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, ...

Einstellige sind sehr trivial. Die zweistelligen Harshadzahlen sind die Vielfachen von 9 und 10 sowie die Zahlen 12, 21, 24, 42, 48 und 84, also genau diejenigen, die ich in meinem Beitrag zur Zahl 18 als einzige Zahlen ermittelt habe, die das Zwei- bis Zehnfache ihrer Quersumme sind. Die Zahl 18 war die kleinste Zahl als das Doppelte der Quersumme. In diesem Zusammenhang erwähnte ich auch, daß die mehr als Zehnfachen der Quersumme mindestens dreistellig sein müssen und die Harshadzahl 198=(1+9+8)*11 die kleinste Zahl als das Elffache ihrer Quersumme ist.

Ein- bis Neunfache von Zehnerpotenzen sind immer Harshadzahlen, ebenso Zahlen mit Quersumme 3 oder 9. Die Zahl 7 ist die größte Primzahl unter den Harshadzahlen. Mehrstellige Primzahlen scheiden aus, denn die Quersumme liegt zwischen 1 und dieser Primzahl, den einzigen beiden Teilern. Die trivialen Armstrongzahlen 1 bis 9 und die nächste 153 sind auch Harshadzahlen, doch geht es so nicht weiter. Zur Freude der 37-Fanatiker ist zwar 407=(4+0+7)*37 und 370=(3+7+0)*37, doch teilt 11=3+7+1 nicht die Zahl 371.

18 | 153

In einer stillen Stunde hatte ich einmal ermittelt, welche Zahlen Summe der k-ten Potenzen ihrer Ziffern sind. Mit k=7 habe ich aufgehört, und er ergab sich das folgende Ergebnis:

­	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5	n=6	n=7	n=8
k=1	1-9	­	­	­	­	­	­	­
k=2	1	­	­	­	­	­	­	­
k=3	1	­	153 370 371 407	­	­	­	­	­
k=4	1	­	­	1634 8208 9474	­	­	­	­
k=5	1	­	­	4150 4151	54748 92727 93084	194979	­	­
k=6	1	­	­	­	­	548834	­	­
k=7	1	­	­	­	­	­	1741725 4210818 9800817 9926315	14459929

Wenn man einmal die trivialen einstelligen Zahlen (n=1) wegläßt, dann sind es vor allem die k-stelligen Zahlen, die Summe der k-ten Potenzen ihrer Ziffern sind. Maximal ist n=k+1 möglich, da für mehr selbst lauter Neuner nicht ausreichen. Auch Zahlen mit weniger Ziffern (n<k) sind dünn gesät. Das Gros aller Zahlen scheint auf der Diagonalen (n=k) zu liegen. Solche Zahlen heißen Armstrongzahlen.

Eine n-stellige Zahl heißt Armstrongzahl, wenn sie gleich der Summe der n-ten Potenzen ihrer Ziffern ist. Es gibt nur 88 solcher Armstrongzahlen, denn irgendwann kann selbst mit lauter Neunen keine genügend große Potenzsumme mehr erzielt werden. Hier eine Auszug aus der Liste:

...
153
370
371
407
1634
8208
9474
54748
92727
93084
548834
1741725
4210818
9800817
9926315
24678050
........
115132219018763992565095597973971522400
115132219018763992565095597973971522401

Die größte Armstrongzahl hat 39 Stellen, und die kleinste nicht-triviale lautet 153, denn zweistellige gibt es nicht und einstellige sind bedeutungslos.

Armstrongzahlen kann man natürlich auch zu anderen Zahldarstellungen in anderen Basen betrachten. Bis zur Basis 16 sind sie alle in einer Liste im Internet ausgeführt.

Liste

Die Zahl 666 hält sicherlich den ersten Rang unter den Sammlern von allen möglichen Beziehungen und ist weitgehend bekannt. Im Gegensatz zur Zahl 153, die zumindest unter den dreistelligen Zahlen den zweiten Platz hält, gleichwohl sie in der Öffentlichkeit ein unauffälliges Leben führt. Doch ist auch zur 153 soviel gesammelt worden, daß ich kaum weiß, wo ich anfangen soll.

Seinen Lauf nahm alles mit der Zahl der Fische, die sieben Jüngern ins Netz gingen, nachdem sie den Ratschlag Jesu annahmen. Johannes 21, Vers 11 lautet: Simon Petrus steig hin ein / vnd zoch das Netze auff das land / vol grosser Fische / hundert und drey vnd funffzist. Vnd wievol jr so viel waren / zureis doch das Netze nicht. Soviel zur Rechtschreibreform der letzten Jahrhunderte."

Das gab Anlaß zu einer ganzen Reihe von biblischen Interpretationen, die zunehmend numerologischer Natur wurden und sich auf die englische Sprache und Erlebniswelt des modernen auserwählten Volkes beziehen. Doch das wäre eine Übung geblieben, wie sie zu fast jeder Zahl angestellt wurde, wären da nicht ein paar sehr schöne mathematische Beziehungen, die sich nicht nur auf die Dezimalziffern 1, 5 und 3 beziehen.

Zunächst ist 153 die 17. Dreieckszahl, also 153=1+2+3...+16+17. Und diese 17 hat es natürlich auch den biblischen Interpreten angetan, zumal 153=9*17 auch durch 17 teilbar ist. Das aber ist keine unabhängige Besonderheit mehr, denn jede ungerade Zahl n ist Teiler der n-ten Dreieckszahl. Direkte Folge ist auch, daß 153 zugleich die 9. Sechseckzahl ist und die 9 den anderen Faktor bildet. Nichts damit zu tun hat und deshalb eigenständig ist 153=1!+2!+3!+4!+5!, ausgeschrieben:

1 + 1*2 + 1*2*3 + 1*2*3*4 + 1*2*3*4*5
= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153

Die Summe dreier Kubikzahlen zu sein, ist keine so seltene Eigenschaft, doch 153 ist die kleinste aller dreistelligen Zahlen, die Summe der dritten Potenzen ihrer Ziffern ist, denn 1*1*1+5*5*5+3*3*3=1+125+27=153. Außer der trivialen 1 gibt es unter allen natürlichen Zahlen mit dieser Eigenschaft nur noch 370, 371 und 407, was wieder ein gefundenes Fressen für die 37-Fanatiker ist:

3*3*3+7*7*7=370.

Die Quersumme 9 führt natürlich auf eine Palette von Beziehungen, die nicht so verblüffend sind. So teilt die Quersumme 1+5+3 natürlich die Zahl 153, und die Summe der drei Rotationen muß 999 ergeben. Also 153+315+531=999, was schon der 666 verdächtig auf den Pelz rückt und andere Taschenspielertricks ermöglicht, denn bekanntlich ist 1/999=0,001001001... und damit 0,153153153...=153/999=17/111=102/666. Suchet, so werdet ihr finden ist deshalb das Motto vieler Beiträge im Internet, von denen ich nur auf einen verweisen will.

englisch | französisch ( 1.Teil und 2.Teil)

Nachdem jemand über den Suchbegriff Moslem­versteher auf meinen Blog kam, habe ich das bei Google über­prüft und war entsetzt zu sehen, daß nur ich gefunden wurde, wenn­gleich es heute schon zwei Treffer gibt. Bisher ging ich davon aus, daß dieser Begriff stark ver­breitet ist und Menschen bezeich­net, die analog zu den Frauen­verste­hern sich aus durch­sich­tigen Gründen anbie­dern. Während jahre­lang kaum einer den Funda­men­tali­sten Aufmerk­sam­keit schenkte, haben die welt­weiten Anschläge dazu geführt, sich inten­siver mit der Welt des Islam zu beschäf­tigen.

So sehr es angebracht ist, daß Schüler Moscheen besuchen, die es nunmehr in Deutsch­land zahl­reich gibt, und so sehr das Inter­esse der Bevöl­kerung für die Lebens­welt der Moslems hier und in der Welt sich ver­stärkt hat, so ist das Motiv doch großen­teils einfach Angst. Es wird Ver­ständ­nis gezeigt und versucht, sich aus den Weltkon­flikten heraus­zuhalten, um selbst von gewalt­tätigen Über­griffen verschont zu bleiben. Bis eines Tages diese Rech­nung nicht mehr aufgeht.

Wenn man zu einer Dezimalzahl die in umgekehr­ter Ziffern­folge addiert und diesen Vorgang mit der Summe immer und immer wieder­holt, so entsteht irgend­wann ein Palin­drom, also eine Zahl, die mit ihrer Umkeh­rung iden­tisch ist, oder eben auch nicht. Die erste Zahl, bei der es nach heutigem Wissens­stand zumin­dest sehr, sehr lange dauert, ist 196:

 0.        1 9 6
 1.        8 8 7
 2.       1 6 7 5
 3.       7 4 3 6
...      .........
13.  1 1 1 5 8 9 5 1 1
14.  2 2 7 5 7 4 6 2 2
15.  4 5 4 0 5 0 3 4 4
16.  8 9 7 1 0 0 7 9 8
...  .................

Da die ersten Schritte erfolglos blieben, ist die Summe bereits recht lang gewor­den, weshalb die Addi­tion zumeist einen Über­trag auf­weisen wird und nur schwer zu einem Palin­drom führt. Eine gewisse Chance bestand aber nach drei­zehn Schritten, denn es waren fünf Einsen ent­standen, die dreimal ohne Über­trag addier­bar sind.

13.  1 1 1 5 8 9 5 1 1
  +  1 1 5 9 8 5 1 1 1
---------------------
14.  2 2 7 5 7 4 6 2 2
  +  2 2 6 4 7 5 7 2 2
----------------------
15.  4 5 4 0 5 0 3 4 4

Doch die in der Mitte verblie­bende Folge 5895 tat uns den Gefal­len nicht und fraß zwei der fünf Einsen auf deren Über­gang über die 2 zur 4 weg. Trotzdem sah es immer noch gut aus, da keine Ziffer ober­halb von 5 vorkam.

15.  4 5 4 0 5 0 3 4 4
  +  4 4 3 0 5 0 4 5 4
----------------------
16.  8 9 7 1 0 0 7 9 8

Doch leider entstand mit Hilfe der Fünfen eine 89 am Anfang und 98 am Schluß. Ausge­rechnet die beiden, die stolze 24 Schritte bis zu einem Palin­drom benö­tigen. Und so führt der Prozeß für die Zahl 196 auch nach vielen Milli­onen Schrit­ten zu keinem Ende, wahr­schein­lich nie.