Zahlwort

Zahlen, die sich als ein Produkt schreiben lassen, dessen Faktoren genau aus den Ziffern dieser Zahl bestehen, heißen Vampir­zahlen. [1] Die ersten sind

 126 = 6⋅21
 153 = 3⋅51
 688 = 8⋅86
1206 = 6⋅201
1255 = 5⋅251
1260 = 6⋅210 = 21⋅60
1395 = 15⋅93 = 5⋅9⋅31

Die Faktoren nennt man auch Zähne, gar Reißzähne (fangs). Die von Clifford A. Pickover einge­führten Vampir­zahlen im engeren Sinne (true vampire numbers) sind solche mit genau zwei gleich­langen Zähnen, die nicht beide auf 0 enden und natürlich auch keine führenden Nullen haben dürfen. [2] Dann bleiben bis 999 nur sieben:

1260 = 21⋅60
1395 = 15⋅93
1435 = 35⋅41
1530 = 30⋅51
1827 = 21⋅87
2187 = 27⋅81
6880 = 80⋅86

Leider ist 153 keine Vampirzahl im engeren Sinne mehr und muß sich als 1530 rein­mogeln. Aber 153 kommt allent­halben vor, besser gesagt die Ziffern 1, 5 und 3. Das liegt nicht nur an 153=3⋅51, sondern auch an 3⋅5=15 und 3⋅351=1053.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. (Entstellte) Vampir­zahlen A020342, darunter die (wahren, echten, normalen, eigent­lichen) Vampir­zahlen A014575 im engeren Sinne .

[2] Die On-Line Encyclopedia of Integer Sequences erwähnt in A014575 das Verbot zweier Nullen nicht, listet aber 126000=600⋅210 nicht als Vampir­zahl im engeren Sinne, während Pickover in seiner Vorstel­lung der Vampir­zahlen noch ein solches Beispiel nennt.

153 | Pickover | Friedmanzahlen

Unter den Bedeutsamkeiten der Zahl 153 bleibt gele­gent­lich 153=3⋅51 nicht uner­wähnt. Es ist also möglich, aus den Ziffern der Zahl 153 einen arith­meti­schen Ausdruck zu bilden, der wieder diese Zahl ergibt. Das mag zunächst als Aller­welts­eigen­schaft ange­sehen werden, weil man doch aus drei oder gar noch mehr Ziffern sehr viele Aus­drücke bilden kann, von denen mit ansehn­licher Wahr­schein­lich­keit einer treffen sollte.

Genauer gesagt heißt eine Zahl Friedman­zahl, wenn man aus ihren Ziffern zwei oder mehr neue Zahlen bildet und diese unter Verwen­dung von Addition, Subtrak­tion, Multipli­kation, Divi­sion, Poten­zie­rung und Klammer­set­zung zu einem Ausdruck ver­bindet, dessen Wert wieder die Ausgangs­zahl ist. [1] Die Friedman­zahlen unter­halb von 1000 lauten:

 25 = 5²
121 = 11²
125 = 5¹⁺²
126 = 6⋅21
127 = 2⁷−1
128 = 2⁸⁻¹
153 = 3⋅51
216 = 6¹⁺²
289 = (8+9)²
343 = (3+4)³
347 = 7³+4
625 = 5⁶⁻²
688 = 8⋅86
736 = 7+3⁶

Es sind weniger als ich zunächst erwartet habe, doch die Anfangs­vermutung, es sei eine Aller­welts­eigen­schaft wurde 2013 bestätigt. Nicht alle Zahlen, aber 100% sind Friedman­zah­len. [2]

Unter den Friedman­zahlen bis 1000 sind nur drei, nämlich 126, 153 und 688, die auf das Poten­zieren verzich­ten können. [3] Und nur 127, 343 und 736 heißen nice, orderly, good oder gar deutsch geord­net, weil der Ausdruck die Ziffern in der richtigen Reihen­folge ent­halten kann, wobei ich 127=−1+2⁷ eigentlich nicht mit­zählen möchte, denn ein nega­tives Vorzei­chen ist keine Sub­traktion.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Friedman­zahlen A036057, darunter A080035 geord­nete in der korrek­ten Reihen­folge.

[2] Michael Brand: Friedman numbers have density 1. Discrete Applied Mathe­matics 161(16-17), S. 2389-2395, 2003.

[3] Die nächsten sind 1206=6⋅201, 1255=5⋅251 und 1260=6⋅210. Alle drei Vampir­zahlen mit zwei ungleich großen Zähnen. Erst 1395=15⋅93 ist eine Vampir­zahl im engeren Sinne mit zwei gleich­großen Zähnen. Und 11439=9⋅31⋅41 ist die erste mit dreien. So geht es eine Weile weiter, doch nicht alle Friedman­zahlen ohne Poten­zierung sind auch Vampir­zahlen. So ist 1288957=(9+8)⋅75821 keine.

153 | Vampirzahlen

Neben der heraus­ragenden Eigen­schaft der Zahl 153, Summe der dritten Potenzen ihrer Ziffer, also Arm­strong­zahl zu sein, wird auch stets erwähnt, daß 153 durch die eigene Quer­summe teilbar ist. Solche Zahlen heißen Harshad­zahlen. Alle einstel­ligen Zahlen sind tri­vialer­weise Harshad­zahlen. Die zweistelligen Harshad­zahlen sind die Viel­fachen von 9 und 10 sowie die Zahlen 12, 21, 24, 42, 48 und 84, also genau dieje­nigen, die ich in meinem Beitrag zur Zahl 18 als einzige ermittelt habe, die das Zwei- bis Zehn­fache ihrer Quer­summe sind. Die Zahl 18 war die kleinste Zahl als das Doppelte der Quersumme. In diesem Zusammenhang erwähnte ich auch, daß die mehr als Zehn­fachen der Quer­summe minde­stens drei­stellig sein müssen und die Harshad­zahl 198=11⋅(1+9+8) die kleinste Zahl als das Elf­fache ihrer Quersumme ist.

Ein- bis Neunfache von Zehner­potenzen sind immer Harshad­zahlen, ebenso Zahlen mit Quer­summe 3 oder 9. Die Zahl 7 ist die größte Primzahl unter den Harshad­zahlen. Mehr­stellige Prim­zahlen scheiden aus, denn die Quer­summe liegt echt zwischen 1 und dieser Primzahl, den ein­zigen beiden Teilern. Die trivi­alen Arm­strong­zahlen 1 bis 9 und die nächste 153 sind zugleich Harshad­zahlen, doch geht es so nicht weiter. Zur Freude der 37‑Fana­tiker ist zwar 407=37⋅(4+0+7) und 370=37⋅(3+7+0), doch teilt 11=3+7+1 nicht die Arm­strong­zahl 371.

Harshadzahlen gibt es wie Sand am Meer, weshalb es interes­santer ist, nach der klein­sten Harshadzahl aₙ zu fragen, die das n‑fache ihrer Quer­summe ist. Trivialer­weise ist a₁=1. Es folgen 18=2⋅9, 27=3⋅9, 12=4⋅3 (nicht 36=4⋅9), 45=5⋅9, 54=6⋅9, 21=7⋅3 (nicht 63=7⋅9), 72=8⋅9 und 81=9⋅9. Die Zahlen wachsen nicht bestän­dig an, denn es folgt a₁₀=10=10⋅1. Die 11 ziert sich mit a₁₁=198=11⋅18. Und danach geht es weiter mit 108=12⋅9, 117=13⋅9, 126=14⋅9, 135=15⋅9, 144=16⋅9, 153=17⋅9, 162=18⋅9, 114=19⋅6 (nicht 171=19⋅9) und 180=20⋅9. Die 21 ziert sich wieder mit a₂₁=378=21⋅18.

Nun fragt sich der aufmerk­same Leser natür­lich, ob es denn für jede Zahl n über­haupt ein aₙ gibt. Und die Antwort lautet: Nein, schon für n=62 gibt es das nicht (a₆₂=0). Das kann leicht mit einem Computer bestä­tigt werden, denn für k‑stel­lige Zahlen ist die Quer­summe maximal 9k, weshalb a₆₂ nicht über 9kn=558k liegen kann. Für k>4 ist das kleiner als jede k‑stel­lige Zahl. Man muß also nur Zahlen bis 9999 über­prüfen, sogar nur bis 2232, 1736 oder noch weniger.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Harshad­zahlen A005349, die Viel­fachen A113315 ihrer Quer­summe, die klein­sten Harshad­zahlen A003634 zu gege­benem Viel­fachen und die unmög­lichen Viel­fachen A003635.

18 | 153

In einer stillen Stunde hatte ich einmal ermittelt, welche Zahlen Summe der k-ten Potenzen ihrer Ziffern sind. Mit k=7 habe ich aufgehört, und er ergab sich das folgende Ergebnis:

­	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5	n=6	n=7	n=8
k=1	1-9	­	­	­	­	­	­	­
k=2	1	­	­	­	­	­	­	­
k=3	1	­	153 370 371 407	­	­	­	­	­
k=4	1	­	­	1634 8208 9474	­	­	­	­
k=5	1	­	­	4150 4151	54748 92727 93084	194979	­	­
k=6	1	­	­	­	­	548834	­	­
k=7	1	­	­	­	­	­	1741725 4210818 9800817 9926315	14459929

Wenn man einmal die trivialen einstelligen Zahlen (n=1) wegläßt, dann sind es vor allem die k-stelligen Zahlen, die Summe der k-ten Potenzen ihrer Ziffern sind. Maximal ist n=k+1 möglich, da für mehr selbst lauter Neuner nicht ausreichen. Auch Zahlen mit weniger Ziffern (n<k) sind dünn gesät. Das Gros aller Zahlen scheint auf der Diagonalen (n=k) zu liegen. Solche Zahlen heißen Armstrongzahlen.

Eine n-stellige Zahl heißt Armstrongzahl, wenn sie gleich der Summe der n-ten Potenzen ihrer Ziffern ist. Es gibt nur 88 solcher Armstrongzahlen, denn irgendwann kann selbst mit lauter Neunen keine genügend große Potenzsumme mehr erzielt werden. Hier eine Auszug aus der Liste:

...
153
370
371
407
1634
8208
9474
54748
92727
93084
548834
1741725
4210818
9800817
9926315
24678050
........
115132219018763992565095597973971522400
115132219018763992565095597973971522401

Die größte Armstrongzahl hat 39 Stellen, und die kleinste nicht-triviale lautet 153, denn zweistellige gibt es nicht und einstellige sind bedeutungslos.

Armstrongzahlen kann man natürlich auch zu anderen Zahldarstellungen in anderen Basen betrachten. Bis zur Basis 16 sind sie alle in einer Liste im Internet ausgeführt.

Liste

Die Zahl 666 hält sicherlich den ersten Rang unter den Samm­lern von allen mögli­chen Bezie­hungen und ist weit­gehend bekannt. Im Gegen­satz zur 153, die zumin­dest unter den drei­stel­ligen Zahlen den zweiten Platz hält, gleich­wohl sie in der Öffent­lich­keit ein unauf­fäl­liges Leben führt. Dennoch ist auch zur 153 viel gesam­melt worden.

Seinen Lauf nahm alles mit der Zahl der Fische, die sieben Jün­gern ins Netz gingen, nach­dem sie den Rat­schlag Jesu annah­men. Johan­nes 21, Vers 11 lautet bei Luther: „Simon Petrus steig hin ein vnd zoch das Netze auff das land vol grosser Fische hundert und drey vnd funffzist. Vnd wievol jr so viel waren zureis doch das Netze nicht.“ Soviel zur Recht­schreib­reform der letzten Jahr­hun­derte.

Das gab Anlaß zu einer ganzen Reihe von bibli­schen Inter­preta­tionen, die zuneh­mend numero­logi­scher Natur wurden und sich auf die engli­sche Sprache und Erleb­nis­welt des modernen auser­wählten Volkes beziehen. Doch das wäre eine Übung geblie­ben, wie sie zu fast jeder Zahl ange­stellt wurde, wären da nicht ein paar sehr schöne mathe­mati­sche Bezie­hungen, die sich nicht nur auf die Dezimal­zif­fern 1, 5 und 3 bezie­hen.

Zunächst ist 153 die 17. Drei­ecks­zahl, also 153=1+2+3+...+16+17. Und diese 17 hat es natür­lich auch den bibli­schen Inter­preten angetan, zumal 153=9·17 auch durch 17 teilbar ist. Das aber ist keine unab­hängige Beson­der­heit, denn jede unge­rade Zahl n ist Teiler der n-ten Drei­ecks­zahl. Direkte Folge ist auch, daß 153 zugleich die 9. Sechs­eck­zahl ist und die 9 den ande­ren Faktor bildet. Nichts damit zu tun hat und deshalb eigen­stän­dig ist 153=1!+2!+3!+4!+5!, ausge­schrie­ben:

1+1·2+1·2·3+1·2·3·4+1·2·3·4·5
= 1+2+6+24+120 = 153

Die Summe dreier Kubik­zahlen zu sein, ist keine so seltene Eigen­schaft, doch 153 ist die kleinste aller drei­stel­ligen Zahlen, die Summe der dritten Poten­zen ihrer Zif­fern ist, denn

1³ + 5³ + 3³ = 1+125+27 = 153

Außer der trivialen 1 gibt es mit dieser Eigen­schaft nur noch 370, 371 und 407, was wiederum ein gefun­denes Fres­sen für die 37-Fana­tiker ist:

3·3·3 + 7·7·7 = 370

Die Quersumme 9 führt natür­lich auf eine Palette von Bezie­hungen, die nicht so verblüf­fend sind. So teilt 1+5+3=9 natür­lich die Zahl 153, und die Summe der drei Rotati­onen muß 999 ergeben. Also 153+315+531=999, was schon der 666 ver­dächtig auf den Pelz rückt und andere Taschen­spieler­tricks ermög­licht, denn bekannt­lich ist 1/999=0,001001… und damit 0,153153…=153/999=102/666. „Suchet, so werdet ihr finden“ ist deshalb das Motto vieler Beiträge im Internet.

[1] 153 fishes. Bible et Nombres

Nachdem jemand über den Suchbegriff Moslem­versteher auf meinen Blog kam, habe ich das bei Google über­prüft und war entsetzt zu sehen, daß nur ich gefunden wurde, wenn­gleich es heute schon zwei Treffer gibt. Bisher ging ich davon aus, daß dieser Begriff stark ver­breitet ist und Menschen bezeich­net, die analog zu den Frauen­verste­hern sich aus durch­sich­tigen Gründen anbie­dern. Während jahre­lang kaum einer den Funda­men­tali­sten Aufmerk­sam­keit schenkte, haben die welt­weiten Anschläge dazu geführt, sich inten­siver mit der Welt des Islam zu beschäf­tigen.

So sehr es angebracht ist, daß Schüler Moscheen besuchen, die es nunmehr in Deutsch­land zahl­reich gibt, und so sehr das Inter­esse der Bevöl­kerung für die Lebens­welt der Moslems hier und in der Welt sich ver­stärkt hat, so ist das Motiv doch großen­teils einfach Angst. Es wird Ver­ständ­nis gezeigt und versucht, sich aus den Weltkon­flikten heraus­zuhalten, um selbst von gewalt­tätigen Über­griffen verschont zu bleiben. Bis eines Tages diese Rech­nung nicht mehr aufgeht.

Wenn man zu einer Dezimalzahl die in umgekehr­ter Ziffern­folge addiert und diesen Vorgang mit der Summe immer und immer wieder­holt, so entsteht irgend­wann ein Palin­drom, also eine Zahl, die mit ihrer Umkeh­rung iden­tisch ist, oder auch nicht. Die erste Zahl, bei der es nach heutigem Wissens­stand zumin­dest sehr, sehr lange dauert, ist 196:

 0.        1 9 6
 1.        8 8 7
 2.       1 6 7 5
 3.       7 4 3 6
...      .........
13.  1 1 1 5 8 9 5 1 1
14.  2 2 7 5 7 4 6 2 2
15.  4 5 4 0 5 0 3 4 4
16.  8 9 7 1 0 0 7 9 8
...  .................

Da die ersten Schritte erfolglos blieben, ist die Summe bereits recht lang gewor­den, weshalb die Addi­tion zumeist einen Über­trag auf­weisen wird und nur schwer zu einem Palin­drom führt. Eine gewisse Chance bestand aber nach drei­zehn Schritten, denn es waren fünf Einsen ent­standen, die dreimal ohne Über­trag addier­bar sind.

13.  1 1 1 5 8 9 5 1 1
  +  1 1 5 9 8 5 1 1 1
---------------------
14.  2 2 7 5 7 4 6 2 2
  +  2 2 6 4 7 5 7 2 2
----------------------
15.  4 5 4 0 5 0 3 4 4

Doch die in der Mitte verblie­bende Folge 5895 tat uns den Gefal­len nicht und fraß zwei der fünf Einsen auf deren Über­gang über die 2 zur 4 weg. Trotzdem sieht es immer noch gut aus, da keine Ziffer ober­halb von 5 vorkommt.

15.  4 5 4 0 5 0 3 4 4
  +  4 4 3 0 5 0 4 5 4
----------------------
16.  8 9 7 1 0 0 7 9 8

Doch leider ist nun binnen eines einzigen Schrittes mit Hilfe der Fünfen eine 89 am Anfang und 98 am Schluß entstanden. Ausge­rechnet die beiden, die stolze 24 Schritte bis zu einem Palin­drom benö­tigen. Und so führt der Prozeß für die Zahl 196 auch nach vielen Milli­onen Schrit­ten zu keinem Ende, wahr­schein­lich nie.

89