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Summenfolge
wuerg, 18.06.2005 00:28
Zu jeder Zahlenfolge a₁, a₂, a₃, … kann man eine Summenfolge s₁, s₁, s₁, … bilden, deren n‑tes Glied sₙ die ersten n Glieder der Folge a addiert:
sn = a1+a2+…+an , rekursiv s1=a1, sn=sn-1+an für n>1
Definierte man die Differenzenfolge als dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0, so wäre die Summenfolge s der Differenzenfolge d wieder die Ausgangsfolge a:
sn = d1+dn+…+dn = (a1−a0)+(a2−a1)+…+(an−an−1) = an−a0 = an
Gleiches gälte auch für die Differenzenfolge d der Summenfolge s:
dn = sn − sn−1 = (a1+a2+…+an) − (a1+a2+…+an−1) = an
Definiert man dagegen wie üblich dₙ=aₙ₊₁−aₙ, so ist die Differenzenfolge d der Summenfolge s leider die um eine Position verschobene Ausgangsfolge a, denn
dn = sn+1 − sn = (a1+a2+…+an+1) − (a1+a2+…+an) = an+1
Bei der Summenfolge s der Differenzenfolge d wird zudem noch das erste Folgeglied a₁ abgezogen:
sn = d1+d2+…+dn = (a2−a1)+…+(an+1−an) = an+1−a1
Auf den ersten Blick scheint daher die erste Variante die bessere zu sein. Es gibt aber gute Gründe, weshalb man normalerweise die zweite wählt. Das hatte ich in meinem Beitrag zur Differenzenfolge in einer Fußnote erläutert. [1]
Summenfolgen sind im allgemeinen interessanter als die der Differenzen, was man schon daran erkennt, daß vornehmlich mit ihrer Betrachtung gerne von Reihen gesprochen wird. Das hebt sprachlich die grundlegende Folge als Gesamtheit hervor, deren Glieder zugunsten der Partialsummen in den Hintergrund treten. Insbesondere dann, wenn es vor allem um die Gesamtsumme geht. [2] Ein Beispiel: Die Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, … ist recht schlicht und ihre Summenfolge 1, 3/2, 7/4, 15/8, … eigentlich auch nur interessant, um abzuleiten, daß die Reihe 1+1/2+1/4+1/8+… gegen 2 konvergiert. [3]
[1] Oberschüler mögen sich daran erinnern, daß grob gesprochen die Integration die Ableitung und die Ableitung die Integration umkehrt. Wer deshalb die erste Definition der Differenzenfolge für die natürliche hält, möge beachten, daß mit dem Übergang von 1 nach dx der Unterschied verschwindet und die zweite Definition mehr der üblichen Darstellung des Differentialquotienten entspricht.
[2] Manchmal ist es auch umgekehrt, wenn man beeindruckt davon ist, welche Folgeglieder sich zu einer beliebten Zahl addieren, wie das bei der Leibniz-Reihe π/4=1−1/3+1/5−1/7+… der Fall ist. [3]
[3] Falls hier mitten im Bruch häßlich die Zeile gewechselt wird, so liegt das daran, daß <nobr> aus welchem Grunde auch immer rausgefiltert wird und ich auf das nicht umbrechende Geteiltzeichen (∕) verzichtet habe, weil es oftmals häßlich dargestellt wird. Zur Überprüfung: 1/3 (Schrägstrich) und 1∕3 (Geteiltstrich).
Differenzenfolge | Reihe
sn = a1+a2+…+an , rekursiv s1=a1, sn=sn-1+an für n>1
Definierte man die Differenzenfolge als dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0, so wäre die Summenfolge s der Differenzenfolge d wieder die Ausgangsfolge a:
sn = d1+dn+…+dn = (a1−a0)+(a2−a1)+…+(an−an−1) = an−a0 = an
Gleiches gälte auch für die Differenzenfolge d der Summenfolge s:
dn = sn − sn−1 = (a1+a2+…+an) − (a1+a2+…+an−1) = an
Definiert man dagegen wie üblich dₙ=aₙ₊₁−aₙ, so ist die Differenzenfolge d der Summenfolge s leider die um eine Position verschobene Ausgangsfolge a, denn
dn = sn+1 − sn = (a1+a2+…+an+1) − (a1+a2+…+an) = an+1
Bei der Summenfolge s der Differenzenfolge d wird zudem noch das erste Folgeglied a₁ abgezogen:
sn = d1+d2+…+dn = (a2−a1)+…+(an+1−an) = an+1−a1
Auf den ersten Blick scheint daher die erste Variante die bessere zu sein. Es gibt aber gute Gründe, weshalb man normalerweise die zweite wählt. Das hatte ich in meinem Beitrag zur Differenzenfolge in einer Fußnote erläutert. [1]
Summenfolgen sind im allgemeinen interessanter als die der Differenzen, was man schon daran erkennt, daß vornehmlich mit ihrer Betrachtung gerne von Reihen gesprochen wird. Das hebt sprachlich die grundlegende Folge als Gesamtheit hervor, deren Glieder zugunsten der Partialsummen in den Hintergrund treten. Insbesondere dann, wenn es vor allem um die Gesamtsumme geht. [2] Ein Beispiel: Die Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, … ist recht schlicht und ihre Summenfolge 1, 3/2, 7/4, 15/8, … eigentlich auch nur interessant, um abzuleiten, daß die Reihe 1+1/2+1/4+1/8+… gegen 2 konvergiert. [3]
[1] Oberschüler mögen sich daran erinnern, daß grob gesprochen die Integration die Ableitung und die Ableitung die Integration umkehrt. Wer deshalb die erste Definition der Differenzenfolge für die natürliche hält, möge beachten, daß mit dem Übergang von 1 nach dx der Unterschied verschwindet und die zweite Definition mehr der üblichen Darstellung des Differentialquotienten entspricht.
[2] Manchmal ist es auch umgekehrt, wenn man beeindruckt davon ist, welche Folgeglieder sich zu einer beliebten Zahl addieren, wie das bei der Leibniz-Reihe π/4=1−1/3+1/5−1/7+… der Fall ist. [3]
[3] Falls hier mitten im Bruch häßlich die Zeile gewechselt wird, so liegt das daran, daß <nobr> aus welchem Grunde auch immer rausgefiltert wird und ich auf das nicht umbrechende Geteiltzeichen (∕) verzichtet habe, weil es oftmals häßlich dargestellt wird. Zur Überprüfung: 1/3 (Schrägstrich) und 1∕3 (Geteiltstrich).
Differenzenfolge | Reihe
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Differenzenfolge
wuerg, 17.06.2005 01:52
Zu jeder Zahlenfolge a₁, a₂, a₃, … kann man die Folge der Differenzen d₁, d₂, d₃, … betrachten, die durch dₙ=aₙ₊₁−aₙ definiert ist. [1] Diese Differenzen sind oftmals nützlich, um auf das in einer Folge steckende Bildungsgesetz zu schließen. Hat man zum Beispiel das Anfangsstück 1, 7, 19, 37, 61, 91, ... vorliegen und sucht eine geschlossene Formel, so kann man die Differenzen bilden und ggf. auch davon abermals die Differenzen
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
an = a0 + n·d0 + C(n,2)·d20 + C(n,3)·d30 + … (1)
Darin ist dᵏ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a₀=1, d₀=6, d²₀=6 und dᵏ₀=0 für k>2 als Ergebnis
an = 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n−1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch manchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigeren mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, …, für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d₁=a₁ ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn a₀=0 keine gute Fortsetzung ins Negative ist. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
Index n 1 2 3 4 5 6 ... Folge an 1 7 19 37 61 91 ... Differenzen dn=an+1-an 6 12 18 24 30 36 ... Differenzen 2. Ordnung 6 6 6 6 6 6 ... Differenzen 3. Ordnung 0 0 0 0 0 0 ...Man erkennt sofort, daß die Differenzen zweiter Ordnung konstant sind, die Differenzen erster Ordnung also linear anwachsen und die Originalfolge damit quadratisch. Ein Ansatz aₙ=x·n²+y·n+z sollte also zum Erfolg führen. Man pickt sich einfach drei Werte heraus und erhält drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Der Einfachheit halber für die ersten drei:
n=1: x + y + z = 1 n=2: 4x + 2y + z = 7 n=3: 9x + 3y + z = 19Die Lösung x=3, y=−3, z=1 führt auf aₙ=3n²−3n+1=1+3n(n-1). Das sind die zentrierten Sechseckzahlen.
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
an = a0 + n·d0 + C(n,2)·d20 + C(n,3)·d30 + … (1)
Darin ist dᵏ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a₀=1, d₀=6, d²₀=6 und dᵏ₀=0 für k>2 als Ergebnis
an = 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n−1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch manchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigeren mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, …, für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
Index n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... Folge an 1 3 4 8 10 16 20 29 35 ... Differenzen dn=an+1-an 2 1 4 2 6 4 9 6 12 ... Differenzen 2. Ordnung -1 3 -2 4 -2 5 -3 7 -4 ...Betrachtet man aber nur die ungeraden Folgeglieder, so sieht die Welt schon besser aus:
Index n 1 3 5 7 9 11 13 ... Folge an 1 4 10 20 35 56 84 ... Differenzen dn=an+1-an 3 6 10 15 21 28 36 ... Differenzen 2. Ordnung 3 4 5 6 7 8 9 ...Das führt auf die für ungerade n vermutlich richtigen Tetraederzahlen aₙ=(n+1)(n+3)(n+5)/48. Für gerade n muß man jedoch Korrekturen anbringen. Wieder hilft der gleiche Trick. Für gerade, doch nicht durch 4 teilbare (einfach gerade) n ergibt sich ein Zuschlag von (9n+21)/48. Wird er für alle geraden Indizes berücksichtigt, bleibt nur noch für alle durch 4 teilbaren (doppelt geraden) n ein Rest von 1/4. Die vermutete Formel lautet also
an = (n+1)(n+3)(n+5)/48 + (9n+21)/48 falls n gerade + 12/48 falls n doppelt geradeEin Beispiel für n=8:
a8 = [(8+1)(8+3)(8+5) + (9·8+21) + 12] / 48 = [9·11·13+72+21+12]/48 = 1392/48 = 29 (stimmt!)Natürlich müßte diese vermutete Formel noch als wirklich für alle n gültig überprüft werden. Aber das kann man nur, wenn man sie auch kennt.
In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d₁=a₁ ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn a₀=0 keine gute Fortsetzung ins Negative ist. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
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DIN-A4-Papier
wuerg, 15.06.2005 01:06
Unsere normalen Papierformate haben sich glücklicherweise nicht am goldenen Schnitt ausgerichtet, sondern an der einfachen Teilbarkeit. Ohne diese starke Eigenschaft hätten die DIN-Formate in mehr als 20 Jahren mit zahlreichen Druckerproblemen der Vormacht von 8×12 Zoll großem Endlospapier nicht widerstanden. Ich erinnere mich noch gerne an meine ersten ordentlich formatierten Adressen auf handelsüblichen Aufklebern mit sieben mal drei Stück pro DIN‑A4-Blatt. Doch fünfzehn Jahre später gibt immer noch Behörden und Reisebüros, die um einen Zentimeter zu lange Papierbögen bevorzugen.
Wie groß ist aber ein DIN‑A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h≥b die Beziehung „b zu h wie h/2 zu b“, also h=b·√2 im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN‑A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, womit neben h=b·√2 auch b·h=1m² gelten muß. Damit ist h in Metern gemessen die vierte Wurzel aus 2, die Breite b in Metern der Kehrwert davon. Da auf Millimeter gerundet wird ist ein DIN‑A0-Blatt 1,189 Meter hoch und 0,841 Meter breit. Ein DIN‑Ai-Blatt entsteht daraus durch i‑fache Halbierung samt Abrundung auf Millimeter. Es ist also
hi = ⌊1189/2i⌋ mm ≈ 2−i/2+1/4 Meter hoch und
bi = ⌊841/2i⌋ mm ≈ 2−i/2−1/4 Meter breit.
Das allseits bekannte DIN‑A4-Blatt mißt somit 297×210 Millimeter.
Für die Fläche Fᵢ=bᵢ·hᵢ eines DIN‑Ai-Blattes gilt die einfachere Formel Fᵢ=(1/2ⁱ)m². Damit hat ein DIN‑A4-Blatt 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.
Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen √2=1,4142… ungefähr 140 Prozent beträgt und umgekehrt eine Verkleinerung auf 70 Prozent reduziert. Dann macht die Anweisung des Chefs „100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug“ nicht nervös, weil sie sogleich in „bitte 100 Kopien auf 65% verkleinert, so schnell es Ihnen möglich ist“ übersetzt werden kann.
Wie groß ist aber ein DIN‑A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h≥b die Beziehung „b zu h wie h/2 zu b“, also h=b·√2 im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN‑A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, womit neben h=b·√2 auch b·h=1m² gelten muß. Damit ist h in Metern gemessen die vierte Wurzel aus 2, die Breite b in Metern der Kehrwert davon. Da auf Millimeter gerundet wird ist ein DIN‑A0-Blatt 1,189 Meter hoch und 0,841 Meter breit. Ein DIN‑Ai-Blatt entsteht daraus durch i‑fache Halbierung samt Abrundung auf Millimeter. Es ist also
hi = ⌊1189/2i⌋ mm ≈ 2−i/2+1/4 Meter hoch und
bi = ⌊841/2i⌋ mm ≈ 2−i/2−1/4 Meter breit.
Das allseits bekannte DIN‑A4-Blatt mißt somit 297×210 Millimeter.
Für die Fläche Fᵢ=bᵢ·hᵢ eines DIN‑Ai-Blattes gilt die einfachere Formel Fᵢ=(1/2ⁱ)m². Damit hat ein DIN‑A4-Blatt 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.
Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen √2=1,4142… ungefähr 140 Prozent beträgt und umgekehrt eine Verkleinerung auf 70 Prozent reduziert. Dann macht die Anweisung des Chefs „100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug“ nicht nervös, weil sie sogleich in „bitte 100 Kopien auf 65% verkleinert, so schnell es Ihnen möglich ist“ übersetzt werden kann.
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Goldener Schnitt
wuerg, 12.06.2005 00:23
Der goldene Schnitt ist die Teilung der Einheitsstrecke bei φ=(√5−1)/2≈0,618 im Verhältnis von 1 zu Φ=(√5+1)/2≈1,618 und kommt allenthalben in Natur und Kultur vor. Erstere trifft den goldenen Schnitt natürlich nur ungefähr, wo er sich als günstig und damit von evolutionären Vorteil erwiesen hat. Geometrisch ist er in der Lieblingsfigur der Griechen, dem Pentagramm zu bewundern:
Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 2·cos(36°) = 1,6180339887498948482…
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 2·sin(18°) = 0,6180339887498948482…
zu kommen, ist dank a=b+c und b=c+d nur eine quadratische Gleichung zu lösen.
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN‑A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN‑A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
__●__
____/ / \ \____
____/ / \ \____
____/ / \ \____
____/ / \ c \____
____/ / \ \____
____/ / \ \____
/ c / d \ c \
● -- -- -- -- -- -- -- -- ●- -- -- -- -- -● -- -- -- -- -- -- -- -- ●
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\ \____ a / \ ____/ /
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Einem Fünfeck einbeschriebenes Pentagramm (png)Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 2·cos(36°) = 1,6180339887498948482…
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 2·sin(18°) = 0,6180339887498948482…
zu kommen, ist dank a=b+c und b=c+d nur eine quadratische Gleichung zu lösen.
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN‑A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN‑A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
+-------------------------+---------------+ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | +---+-+---------+ | | | | | | +---+-+ | | | | | | | | | +-------------------------+-----+---------+Während die Kultur sich auf das goldene Rechteck als schön geeinigt hat, hält sich die Natur an den goldenen Winkel, der bei etwa 137,5° den Vollkreis im Verhältnis 1 zu Φ teilt. Ihn findet man näherungsweise an vielen Pflanzen.
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Fibonacci-Zahlen
wuerg, 11.06.2005 01:24
Nach den Prim- und den Polygonalzahlen sind die Fibonacci-Zahlen von weitreichendem Interesse. Die erste und zweite Fibonacci-Zahl lauten einfach F₁=F₂=1, jede weitere entsteht durch Addition der beiden vorangehenden, also Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂. Das ergibt die Fibonacci-Folge [1]
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Sehr gerne wird die Entstehung dieser Folge mit Kaninchen verdeutlicht. Werfen sie an ihrem zweiten, dritten, vierten und jedem weiteren Geburtstag ein kleines Häschen [2], vermehren sie sich wie folgt:
Obwohl die Fibonacci-Zahlen gerne in der Natur vorkommen, ist mir ein zutreffenderes Beispiel aus dem Baubereich doch lieber: Es ist eine 20 cm hohe Mauer mit Ziegelsteinen der Größe 10 mal 20 cm zu verkleiden. Diese Steine können waagerecht oder senkrecht verbaut werden. Wieviele Muster aₙ für eine Mauer von n Dezimetern Länge sind möglich? Offensichtlich gibt es 1, 2 und 3 Muster für Mauern der bescheidenen Länge von 10, 20 und 30 Zentimetern.
Weitgehend bekannt ist das sich der goldenen Zahl nähernde Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen:
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 1,6180339887498948482...
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 0,6180339887498948482...
Mit diesen beiden an vielen Stellen vorkommenden Zahlen, lautet die Binetsche Formel [4] für die Fibonacci-Zahlen:
Fₙ = ( Φn − (−φ)n ) / √5
Im wesentlichen wächst also Fₙ in jedem Schritt um den Faktor Φ. Von der damit gegebenen Mittellinie Φⁿ/√5 weicht Fₙ um den immer kleiner werdenden Betrag φⁿ/√5 ab. [5]
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. A000203
[2] Ich weiß, Has*innen sind keine Kaninchen, und auch die gebärenden unter ihnen werfen nicht beliebig lange genau ein Häschen/elein pro Jahr. Hauptsache es entstehen die Fibonacci-Zahlen und die Fibonacci-Folge. Man kann die Zibben auch schon im ersten Jahr werfen und dafür mit der Geburt eines zweiten Zibbeleins sterben lassen. So habe ich es in meinem Beitrag zur Zahl 13 geschehen lassen.
[3] Der aufmerksame Leser wird nun einwenden können, die Überlegung sei unvollständig, weil immer nur geradlinig abschließende Mauern verlängert würden. Doch habe ich dies stillschweigend vorausgesetzt, da ja gradlinig begonnen wird und auch nur gradlinig fortgesetzt werden kann. Ein Ziegelversatz wie an Hauswänden ist also nicht möglich. Aber tatsächlich steckt in der Ungradlinigkeit die Herausforderung, wenn man die Mauer höher als zwei Einheiten anlegt.
[4] Die Binetsche Formel ergibt sich aus folgender Überlegung: Da Φ und −φ Wurzeln der Gleichung x²=x+1 sind, erfüllen nicht nur die beiden Folgen der Potenzen von Φ und −φ die Rekursionsgleichung der Fibonacci-Folge, sondern auch alle Linearkombinationen αΦⁿ+β(−φ)ⁿ. Aus den Gleichungen αΦ−βφ=F₁=1 und αΦ²+βφ²=F₂=1 ergeben sich für die Fibonacci-Folge die beiden Gewichte α=1/√5 und β=−1/√5.
[5] Mit dem Taschenrechner berechnet sich zum Beispiel die 12. Fibonacci-Zahl wie folgt: 1+√5=/2=^12=/√5 ergibt 144,001…, gerundet F₁₂=144.
Goldener Schnitt
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Sehr gerne wird die Entstehung dieser Folge mit Kaninchen verdeutlicht. Werfen sie an ihrem zweiten, dritten, vierten und jedem weiteren Geburtstag ein kleines Häschen [2], vermehren sie sich wie folgt:
Beginn des 1. Jahres: 0
|
Beginn des 2. Jahres: 1--------------+
| |
Beginn des 3. Jahres: 1--------+ 0
| | |
Beginn des 4. Jahres: 1-----+ 0 1-----+
| | | | |
Beginn des 5. Jahres: 1--+ 0 1--+ 1--+ 0
| | | | | | | |
Beginn des 6. Jahres: 1 0 1 1 0 1 0 1
Darin bezeichnet 0 einen neugeborenen Hasen und 1 einen nach seinem ersten Geburtstag. Ordnen sie sich wie dargestellt an, entsteht die Fibonacci-Folge 10110101…, für die man keine Kaninchen benötigt: Mit 0 beginnend wird schrittweise 0 durch 1 und 1 durch 10 ersetzt.Obwohl die Fibonacci-Zahlen gerne in der Natur vorkommen, ist mir ein zutreffenderes Beispiel aus dem Baubereich doch lieber: Es ist eine 20 cm hohe Mauer mit Ziegelsteinen der Größe 10 mal 20 cm zu verkleiden. Diese Steine können waagerecht oder senkrecht verbaut werden. Wieviele Muster aₙ für eine Mauer von n Dezimetern Länge sind möglich? Offensichtlich gibt es 1, 2 und 3 Muster für Mauern der bescheidenen Länge von 10, 20 und 30 Zentimetern.
+---+ +---+---+ +-------+ | | | | | | | | | | | | +-------+ | | | | | | | +---+ +---+---+ +-------+ +---+---+---+ +---+-------+ +-------+---+ | | | | | | | | | | | | | | | +-------+ +-------+ | | | | | | | | | | | +---+---+---+ +---+-------+ +-------+---+Für größere n wähle ich eine kompaktere Darstellung mit | für einen senkrechten und == für zwei waagerechte Ziegel:
n=4: |||| ||== |==| ==|| ====
n=5: ||||| |||== ||==| |==||
==||| |==== ==|== ====|
Damit ist Verdacht auf Fibonacci gegeben, und tatsächlich führt die folgende Überlegung auf aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂: Mauern der Länge n mit einem senkrechten Ziegel am Ende gibt es soviele wie Mauern der Länge n−1, und Mauern der Länge n mit zwei waagerechten Ziegeln am Ende soviele wie von der Länge n−2. Mit senkrechtem Ziegel am Ende sind es demnach aₙ₋₁ und mit waagerechten aₙ₋₂, insgesamt also aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂. Da zudem a₁=1=F₂ und a₂=2=F₃ ist, muß aₙ=Fₙ₊₁ sein. [3]Weitgehend bekannt ist das sich der goldenen Zahl nähernde Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen:
3/2 = 1,500000 5/3 = 1,666667 8/5 = 1,600000 13/8 = 1,625000 21/13 = 1,615385 34/21 = 1,619048 55/34 = 1,617647 89/55 = 1,618182Die Darstellung in zwei Spalten soll verdeutlichen, daß die Näherungen abwechselnd unter und über der goldenen Zahl Φ≈1,618 liegen. Mit einem kleinen Phi wird der goldene Schnitt φ≈0,618 bezeichnet. Es gilt:
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 1,6180339887498948482...
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 0,6180339887498948482...
Mit diesen beiden an vielen Stellen vorkommenden Zahlen, lautet die Binetsche Formel [4] für die Fibonacci-Zahlen:
Fₙ = ( Φn − (−φ)n ) / √5
Im wesentlichen wächst also Fₙ in jedem Schritt um den Faktor Φ. Von der damit gegebenen Mittellinie Φⁿ/√5 weicht Fₙ um den immer kleiner werdenden Betrag φⁿ/√5 ab. [5]
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. A000203
[2] Ich weiß, Has*innen sind keine Kaninchen, und auch die gebärenden unter ihnen werfen nicht beliebig lange genau ein Häschen/elein pro Jahr. Hauptsache es entstehen die Fibonacci-Zahlen und die Fibonacci-Folge. Man kann die Zibben auch schon im ersten Jahr werfen und dafür mit der Geburt eines zweiten Zibbeleins sterben lassen. So habe ich es in meinem Beitrag zur Zahl 13 geschehen lassen.
[3] Der aufmerksame Leser wird nun einwenden können, die Überlegung sei unvollständig, weil immer nur geradlinig abschließende Mauern verlängert würden. Doch habe ich dies stillschweigend vorausgesetzt, da ja gradlinig begonnen wird und auch nur gradlinig fortgesetzt werden kann. Ein Ziegelversatz wie an Hauswänden ist also nicht möglich. Aber tatsächlich steckt in der Ungradlinigkeit die Herausforderung, wenn man die Mauer höher als zwei Einheiten anlegt.
[4] Die Binetsche Formel ergibt sich aus folgender Überlegung: Da Φ und −φ Wurzeln der Gleichung x²=x+1 sind, erfüllen nicht nur die beiden Folgen der Potenzen von Φ und −φ die Rekursionsgleichung der Fibonacci-Folge, sondern auch alle Linearkombinationen αΦⁿ+β(−φ)ⁿ. Aus den Gleichungen αΦ−βφ=F₁=1 und αΦ²+βφ²=F₂=1 ergeben sich für die Fibonacci-Folge die beiden Gewichte α=1/√5 und β=−1/√5.
[5] Mit dem Taschenrechner berechnet sich zum Beispiel die 12. Fibonacci-Zahl wie folgt: 1+√5=/2=^12=/√5 ergibt 144,001…, gerundet F₁₂=144.
Goldener Schnitt
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Eineck
wuerg, 10.06.2005 01:42
Wie ein Eineck aussehen sollte, ob es eine Kante hat, wie lang und gerade sie sein muß und ob sie eine Fläche umschließt, habe ich unter dem Titel Zweieck diskutiert. Hier soll es nur um die Fortsetzung der Frage gehen, aus wievielen Punkten denn ein Zweieck oder ein Eineck analog zu den zentrierten Dreieckszahlen, Viereckzahlen usw. gebildet werden, was also zentrierte Zwei- und Eineckzahlen sind.
Aus der Formel Pᵏₙ=n·[(k−2)n−(k−4)]/2 für die normalen k‑Eckzahlen ergeben sich:
einfache und zentrierte Polygonalzahlen | Zweieck
Aus der Formel Pᵏₙ=n·[(k−2)n−(k−4)]/2 für die normalen k‑Eckzahlen ergeben sich:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Zweieck Zn: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dreieck Dn: 1 3 6 10 15 21 28 36 45
Viereck Qn: 1 4 9 16 25 36 49 64 81
Fünfeck Fn: 1 5 12 22 35 51 70 92 117
Normale Eineckzahlen machen wenig Sinn, denn sie würden nach der Formel n(3−n)/2 bereits negativ. Wie aber steht es um die zentrierten Zwei- und Eineckzahlen? Eine Formel für die zentrierten k-Eckzahlen lautet pᵏₙ=1+k·Dₙ₋₁. Damit ergibt sich folgende Tabelle:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Eineck en: 1 2 4 7 11 16 22 29 37
Zweieck zn: 1 3 7 13 21 31 43 57 73
Dreieck an: 1 4 10 19 31 46 64 85 109
Viereck qn: 1 5 13 25 41 61 85 113 145
Fünfeck fn: 1 6 16 31 51 76 106 141 181
Die zentrierten Zwei- und sogar die Eineckzahlen wachsen mit zunehmenden n wie die übrigen ebenfalls quadratisch an. Erst die Nulleckzahlen stagnieren bei 1. Sie bestehen nur aus dem Mittenpunkt mit 0 Dreiecken drumherum. Die Vorstellung
/2--4--6--8\
1--2--3--4--5--6 und nicht 1 10
\3--5--7--9/
von den normalen Zweieckzahlen läßt sich offensichtlich nicht auf zentrierte übertragen. Man kommt auf ein Bild wie das linke
A C C C C
A B A C C C A
A B A A C C B A
A A B B A A C B A A
A A O B B A A O B B A A O
A A B B A D B B A A
A B A D D B B A
A B D D D B A
D D D D B
im dem vom Viereck in der Mitte zwei der vier Flügel fehlen. Für das Eineck bleibt wie im rechten Bild nur ein Flügel samt Mittenpunkt, insgesamt also eₙ=1+Dₙ₋₁. Das sind die sog. Pizzazahlen pₙ=1+Dₙ=eₙ₊₁, die Maximalzahl der Pizzastücke, die durch n gerade Schnitte möglich sind.einfache und zentrierte Polygonalzahlen | Zweieck
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Zentrierte Polygonalzahlen
wuerg, 08.06.2005 10:57
Die Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckzahlen, Sechseckzahlen usw. werden nach griechischen Vorstellungen gebildet, indem man stets ein größeres Polygon hinzunimmt:
Die den Griechen so wichtige einfache Fünfeckzahl Fₙ=P⁵ₙ=n(3n−1)/2 kann wie in der mittleren Figur der drittletzten Abbildung als halbes zentriertes Sechseck gesehen werden. Das bedeutet hₙ=2·Fₙ−(2n−1), eine von vielen Beziehungen, die ich hier nicht ausbreiten kann und will.
Dreieckszahlen | Quadratzahlen
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
4 4 4 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 2 3 4
4 3 4 4 3 3 3 4 4 3 3 4
4 4 4 4 4 3 3 4
4 4 4 4 4 4 3 4
4 4
4 4
4
Doch ab den Fünfeckzahlen werden die Bilder löchrig, und schon bei den Sechseckzahlen fragt man sich, warum sie nicht wie folgt aussehen:
4 4 4 4
3 3 3 4 3 3 3 4
2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
1 2 1 2 3 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4
2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
3 3 3 4 3 3 3 4
4 4 4 4
Dieses Schema kann auf alle k‑Ecke ausgedehnt werden, sieht jedoch nur für Quadrate, Fünf- und Sechsecke gut aus:
4 4---4---4---4 4 4 4 4 4
/3\ | 3---3---3 | 4 3 4 4 3 3 3 4
4/2\4 4 | 2---2 | 4 4 3 2 3 4 4 3 2 2 3 4
/3/1\3\ | 3 | 1 | 3 | 4 3 2 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4
4/2---2\4 4 | 2---2 | 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
/3---3---3\ | 3---3---3 | 4 3 3 3 4 4 3 3 3 4
4---4---4---4 4---4---4---4 4 4 4 4 4 4 4 4
Die solchen Gebilden zugeordneten Punktezahlen heißen zentrierte Polygonalzahlen, die ich mit pᵏₙ für das k‑Eck mit jeweils n Punkten auf der äußeren Kante abkürzen will. Sie lassen sich dank
pkn = 1 + k + 2k +3k + ... + (n-1)k
= 1 + k·(1+2+3+...+(n-1))
= 1 + k·D(n-1)
= 1 + k·n(n-1)/2
leichter berechnen als die (unzentrierten, gewöhnlichen, einfachen, normalen) Polygonalzahlen
Pkn = 1 + (1+(k-2)) + (1+2(k-2) + (1+3(k-2)) + ... + (1+(n-1)(k-2))
= n + (1+2+3+...+(n-1))·(k-2)
= n + D(n-1)·(k-2)
= n + (n(n-1)/2)·(k-2)
= n·[(k-2)n-(k-4)]/2
In beiden Formeln ist Dₙ₋₁=P³ₙ₋₁=n(n−1)/2 die (n−1)‑te Dreieckszahl. Wie man in geeigneten Darstellungen der einfachen Polygonalzahlen
B B B B A B B B B A B B B B A
B B B A A C B B B A A C B B B A A
B B A A A C C B B A A A C C B B A A A
B A A A A C C C B A A A A C C C B A A A A
1 2 3 4 5 C C C C 1 2 3 4 5 C C C C 1 2 3 4 5
D D D D
k=4 k=5 D D D k=6
D D
in allen drei Bildern: n=5 D
die Formel Pᵏₙ=n+(k−2)·Dₙ₋₁ erkennen kann, ist dies auch bei den zentrierten
k=3: C k=4: D---C---C---C k=5: D k=6: E D D D
/C\ | D---C---C | D D C E E D D C
C/C\B D | D---C | B D D D C C E E E D C C
/C/o\B\ | D | o | B | E E E o C C C F F F o C C C
C/A---B\B D | A---B | B E E A B B B F F A B B B
/A---A---B\ | A---A---B | E A A B B F A A B B
A---A---A---B A---A---A---B A A A B n=4 A A A B
mit der Formel pᵏₙ=1+k·Dₙ₋₁ der Fall. Andere Figuren verdeutlichen weitere Beziehungen. So lassen sich Quadrate gemäß
4---4---4---4 4---4---4---4
3---3---3 | | | 3---3---3 |
| | 4 2---2 4 4 | 2---2 | 4
3 1 3 + | | | | = | 3 | 1 | 3 |
| | 4 2---2 4 4 | 2---2 | 4
3---3---3 | | | 3---3---3 |
4---4---4---4 4---4---4---4
zusammensetzen. Deshalb ist qₙ=Qₙ+Qₙ₋₁=n²+(n−1)², worin qₙ=p⁴ₙ die n-te zentrierte Quadratzahl und Qₙ=P⁴ₙ die normale Quadratzahl ist.Die den Griechen so wichtige einfache Fünfeckzahl Fₙ=P⁵ₙ=n(3n−1)/2 kann wie in der mittleren Figur der drittletzten Abbildung als halbes zentriertes Sechseck gesehen werden. Das bedeutet hₙ=2·Fₙ−(2n−1), eine von vielen Beziehungen, die ich hier nicht ausbreiten kann und will.
Dreieckszahlen | Quadratzahlen
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