Zahlwort

Wenn man zu einer Dezimalzahl die in umgekehr­ter Ziffern­folge addiert und diesen Vorgang mit der Summe immer und immer wieder­holt, so entsteht irgend­wann ein Palin­drom, also eine Zahl, die mit ihrer Umkeh­rung iden­tisch ist, oder auch nicht. Die erste Zahl, bei der es nach heutigem Wissens­stand zumin­dest sehr, sehr lange dauert, ist 196:

 0.        1 9 6
 1.        8 8 7
 2.       1 6 7 5
 3.       7 4 3 6
...      .........
13.  1 1 1 5 8 9 5 1 1
14.  2 2 7 5 7 4 6 2 2
15.  4 5 4 0 5 0 3 4 4
16.  8 9 7 1 0 0 7 9 8
...  .................

Da die ersten Schritte erfolglos blieben, ist die Summe bereits recht lang gewor­den, weshalb die Addi­tion zumeist einen Über­trag auf­weisen wird und nur schwer zu einem Palin­drom führt. Eine gewisse Chance bestand aber nach drei­zehn Schritten, denn es waren fünf Einsen ent­standen, die dreimal ohne Über­trag addier­bar sind.

13.  1 1 1 5 8 9 5 1 1
  +  1 1 5 9 8 5 1 1 1
---------------------
14.  2 2 7 5 7 4 6 2 2
  +  2 2 6 4 7 5 7 2 2
----------------------
15.  4 5 4 0 5 0 3 4 4

Doch die in der Mitte verblie­bende Folge 5895 tat uns den Gefal­len nicht und fraß zwei der fünf Einsen auf deren Über­gang über die 2 zur 4 weg. Trotzdem sieht es immer noch gut aus, da keine Ziffer ober­halb von 5 vorkommt.

15.  4 5 4 0 5 0 3 4 4
  +  4 4 3 0 5 0 4 5 4
----------------------
16.  8 9 7 1 0 0 7 9 8

Doch leider ist nun binnen eines einzigen Schrittes mit Hilfe der Fünfen eine 89 am Anfang und 98 am Schluß entstanden. Ausge­rechnet die beiden, die stolze 24 Schritte bis zu einem Palin­drom benö­tigen. Und so führt der Prozeß für die Zahl 196 auch nach vielen Milli­onen Schrit­ten zu keinem Ende, wahr­schein­lich nie.

89

Michael Schumacher hält seinen Rück­stand von 29 Punkten nicht für hoff­nungslos: „Dafür gibt es noch keinen Grund. Es gibt mathe­matisch noch zu viele Möglich­keiten, und wer mich kennt, weiß, dass die Mathe­matik mir sehr wichtig ist.“ Doch Mathe­matik ist glück­licher­weise mehr als Rechnen oder Zählen.

Heute lese ich nur von zwei Milliarden Fernseh-​Zuschau­ern der Live-8-​Kon­zerte, vor Tagen wurden noch sechs erwartet. Das stimmt mich versöhn­lich, gleich ob man mich als Nach­richten­seher schon dazu zählt oder nicht. Bei sechs Milli­arden hätte ich gesagt: Ihr Armen, verkauft Eure Fern­seher! Aber bei zweien gehe ich davon aus, daß es sich doch mehr um die Bewohner der Caipi-​Welt [1] handelt, mehr um Drogen­konsu­menten, denn -produ­zenten. Die Dritte Welt hat sich mit mir solida­risch gezeigt und das Spek­takel vorüber­ziehen lassen, dessen Echo umge­hend verhallt ist und mich an den zwei Milli­arden stark zweifeln läßt.

[1] Ulf Lippitz: Caipi trinken für Aprika. Spiegel, 03.07.2005.

Vor ein paar Tagen hielt ich mich zu 1tr8 Frankfurt noch mit Lästerungen über Sprachverhunzungen wie be8lich, gute n8, es ist vollbr8 oder interpol8 zurück. Heute bin ich von der Realität überholt. Da wird Live Aid zu Live 8, in einen Gitarrenhals wird ein 8er-Knoten geschlungen wie früher in Penisse und Kanonen­rohre. Noch einen drauf setzt das ‚deut­sche‘ Bühnenbild mit zwei fetten Zusatz-​Achten: 88 für HH, Hansestadt Hamburg oder Heil Hitler.

Wer mit Glatze oder numerierten T-Shirts durch die Gegend stolziert, wird zumeist einen rechts­radikalen Zusammen­hang von sich weisen, nimmt ihn oftmals aber billi­gend in Kauf, wenn dieser erste Eindruck nicht sofort durch weitere Merkmale ent­kräftet wird. So verwun­derten mich anfangs Jacken mit dickem HH, bis ich irgend­wann ganz klein Helly Hansen las. Als Rechts­radi­kaler würde ich mir sofort eine solche Jacke zulegen.

Und wenn Frauen ihre Möpse mit 28 verzieren, dann möchte ich gerne an diese voll­kommene Zahl denken, doch leider steht 28=BH nicht für Büsten­halter, sondern für Blood and Honour. Die 18=AH für Adolf Hitler bleibt mehr den plumpen Rechten und ihren Kneipen­namen vorbe­halten. Sicher­lich ist es auch nicht jeder­manns Sache, bei 14 auf die 14 Wör­ter einer rassisti­schen Äuße­rung von David Lane zu kommen oder in 311 drei­mal 11, also KKK für Ku Klux Klan und nicht Kinder, Küche, Kirche zu erkennen.

Wenn ich mein(en) Blog nicht Zahlwort, sondern „Der Meister s8“ genannt hätte, würde ich ihn nunmehr umbe­nennen. Bisher wäre ich nicht darauf gekommen, daß s8 nicht nur als Abkür­zung einer Verhun­zung sacht des Wortes sagt inter­pre­tierbar ist, sondern wie 198 (S=19 und H=8) auch als Sieg Heil! Das soll keine Angst vor Zahlen wie 1347 (MDG, Mit deut­schen Gruß) machen, auch gibt es an Zahlen wie 14 (BACH=2+1+3+8=14, DAVID=Daleth+Waw+Daleth=4+6+4=14) ältere Rechte. Es schadet aber nicht, kurz nachzu­denken, bevor man sie mit der Kleidung zur Schau stellt.

[1] Blogtum. Kompetenzteam, 21.06.2005. gebr8, ob8.

[2] Thomas Jahn: Huszti und die "beschissene" Seite 88. Spox, 17.09.2012

18 | 28 | 4/20 | 14

Die Zahl 89 ist als 100−10−1 nicht irgend­eine. Sie steht im Zusammen­hang mit den Fibo­nacci-​Zahlen. Wer nach ihr googelt, wird aber eher auf IXC als unzu­lässig gebil­dete römi­sche Zahl stoßen. Nicht breit erläu­tern will ich, wie man aus einer üblichen in arabi­schen Ziffern geschrie­benen Zahl eine römi­sche bildet, denn die Ziffern sind stur in Zeichen­ketten umsetz­bar. In die andere Rich­tung ist es etwas undurch­sich­tiger, doch im Prinzip das gleiche, sofern die römi­sche Zahl korrekt geschrie­ben ist.

Als ich las, daß unzu­lässig geschrie­bene römi­sche Zahlen in Einzel­fällen wie IC=99 und VC=95 zwar eine direkte Inter­preta­tion zulassen, dies aber schon bei IXC zu Doppel­deutig­keiten (91 oder 89) führe, regte sich in mir spontan Wider­spruch, denn auf den ersten Blick würde ich den Wert einer Zeichen­kette aus den Buchstaben MDCLXVI einfach rekursiv bilden: Einer römischen Zahl­zeichen­kette

z = s₁ M s₂ M s₃ M ... s_n M t

würde ich schlicht und ergrei­fend den Wert

w(z) = (1000−w(s1)) + (1000−w(s2)) + ... + (1000−w(sn) + w(t)
     = 1000·n − w(s1) − w(s2) − ... − w(sn) + w(t)

zuordnen, wobei in den Zeichen­ketten s₁ bis sₙ und t kein M mehr vorkommt. Die Werte w(s₁) bis w(sₙ) und w(t) werden in analoger Weise auf die wei­terer Zeichen­ketten zurück­geführt, die neben M auch kein D mehr ent­halten. So fährt man fort, bis nur noch lauter I bleiben, denen man ihre Länge als Wert zuordnet. Ein Bei­spiel:

w(MILLILIDL)
= 1000 + w(ILLILIDL)
= 1000 + 500 − w(ILLILI) + w(L)
= 1500 − (50·3−w(I)−w(I)+w(I)) + 50
= 1400 + 1 + 1 − 1 = 1401

Abstrus und auch wenig erfolg­reich, denn das nach dieser Methode übersetzte

IXC = − IX + C = − (−I+X) + C = − (−1+10) + 100 = 91

befriedigt nicht. Spontan würde doch jeder IXC=89 sagen. Außerdem gibt es für 91 keinen Abkür­zungs­bedarf, denn 91=XCI ist kor­rekt und auch nicht länger. Deshalb die nächste Idee, aufstei­gende Ketten wie IXCD voll­ständig sub­traktiv auszu­werten, also alles vor dem letzten Buch­staben von ihm abzu­ziehen. Damit das nicht in Rech­nerei aus­artet, verfahre ich wie folgt:

In aufsteigenden Ketten werden alle Zeichen bis auf das letzte zur Kenn­zeich­nung der Subtrak­tion in Klein­buch­staben gewan­delt. Anschlie­ßend können große gegen kleine Buch­staben gekürzt werden. Die verblei­benden Groß­buch­staben MDCLXVI werden zu einer Zahl addiert, ebenso die Kleinbuchstaben dclxvi (666!). Die Diffe­renz ist das hoffent­lich positive Ergebnis. Ein Beispiel:

  MILLIXLIDLXMILLI
= MiLLixLiDLxMiLLI
= MMDLLLLLLIxxiiii
= MMDLLLLLLxxiii
= 2800−23 = 2777

Das befriedigt für die Zahl IXC=ixC=Cxi=100−11=89, macht aber auch deutlich, daß es keinen Sinn hat, ein klei­neres Zeichen sowohl links als auch rechts von einem größeren aufzu­führen. So ist VIXI=ViXI=XVIi=XV=15 und (leider) nicht nach der rekur­siven Auffas­sung VIXI=X−(VI)+I=5 und schon gar nicht VIXI=VXII=17.

Es ist wieder einmal Zeit, über Zahlen des sehr alltäg­lichen Lebens zu schrei­ben: Heute schalte ich den Fern­seher ein, um mög­licher­weise Tatort zu sehen, da erblicke ich die Gebüh­renver­schwender vor einer Auf­stellung von Confed-​Zahlen.

Ich nenne Zahlenfolgen normalerweise nicht Sequenz oder Serie, nur unter gewissen Umständen Pro­gres­sion und niemals Reihe. Doch ist der Sprach­gebrauch schwan­kend. Mit Wör­tern wie series, sequence, pro­gres­sion auch der engli­sche. Das führt gele­gent­lich zu Verwir­rungen, doch dient die Viel­falt der Bezeich­nungen eigent­lich nur der Einord­nung oder Bedeu­tung für den Menschen, mathe­matische Inhalte ändern sich dadurch nicht.

Hardy und Wright über­schreiben mehrere Kapitel ihres berühm­ten Zahlen­theorie-​Buches [1] mit „The Series of Primes“, darun­ter auch ein Abschnitt „The sequence of primes“. Sie unter­scheiden also zwischen einer aufzäh­lenden Abfolge (sequence) und der Gesamt­heit (series), womit jedoch nicht einfach die Menge der Prim­zahlen (set of primes) gemeint ist. Die Über­setz­ungen sind für mich nicht einfach Sequenz (sequence) und Serie (series), denn diese Wörter erinnern mich zu sehr an eine endlich Abfolge, wie eine Ton-​Sequenz oder eine Gewinn-​Serie.

Von einer Reihe sollte man im Zusam­men­hang mit Folgen nur spre­chen, wenn man nicht nur die einzel­nen Folge­glieder aufzählt, sondern sie irgend­wie ver­bindet. Es gibt eine Unzahl von solchen Reihen­bil­dunden, viele haben einen eige­nen Namen und nicht in allen kommt das Wort Reihe vor. Die nahe­liegend­ste Verknüp­fung ist die Addition wie in

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …

Das ist die harmo­nische Reihe. Diese Bezeich­nung soll verdeut­lichen, daß es nicht einfach nur um die Folge der Summan­den oder die Partial­summen geht, sondern um ein irgend­wie gear­tetes Gesamt­kunst­werk. Viel­leicht kann man sich die Unter­schiede wie folgt verdeut­lichen:

Folge a:          a1,a2,a3,a4,...  1,  1/2,  1/4,  1/8,  1/16,  ...
Partialsummen s:  s1,s2,s3,s4,...  1,  3/2,  7/4, 15/8, 31/16,  ... → 2
Reihe R:          a1+a2+a3+a4+...  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2

Zu jeder Zahlen­folge a kann man eine Summen­folge s (Folge der Partial­summen) und auch eine Reihe R bilden. Wenn die Summen­folge gegen einen Grenz­wert (hier 2) konver­giert, heißt er auch einfach Wert der Reihe. Der Grenz­wert der Aus­gangs­folge a inter­essiert nicht, zumal er bei konver­gie­render Reihe so und so 0 ist. Läge der Schwer­punkt des Inter­esses auf der Folge a und betrach­tete man die zuge­hörige Reihe R nur nebenbei oder gar nicht, würde ich sie schlicht und ergrei­fend Summen­folge nennen. Reihe ist sozu­sagen ein Ehren­titel.

Reihen erfreuen sich aus minde­stens zwei Gründen einer großen Beliebt­heit und füllen wie Inte­grale viele Seiten von Formel­samm­lungen. Zum einen hat man oft­mals die Glieder einer unend­lichen Folge zu addie­ren, bildet also eine Reihe. Zum anderen gestat­tet eine Reihen­darstel­lung eines Grenz­wertes dessen nähe­rungs­weise Berech­nung. Im voran­gehen­den Beispiel ist es zwar inter­essant, die 2 als den Wert der Reihe zu erkennen, die umge­kehrte Betrach­tung, nämlich die Zerlegung der Zahl 2 in diese Reihe, ist jedoch von wenig Nutzen, zumal keiner zur Nähe­rung der Zahl 2 diese Reihe benö­tigt. Für andere Zahlen wie die Euler­sche Zahl e=2,718... aber ist eine Zerle­gung wie

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + ...
  = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 + ...

von mehr Inter­esse und könnte der nähe­rungs­weisen Berech­nung der Zahl e dienen. Für π gibt es eben­falls eine Unzahl solcher Reihen­darstel­lungen, und viele Men­schen­leben sind allein in das Bemü­hen geflos­sen, immer schneller konver­gie­rende Reihen zu finden, um mög­lichst schnell mög­lichst viele Stellen von π berech­nen zu können.

[1] Hardy, Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford Uni­ver­sity Press, London, 4. Auf­lage, 1968.

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