120
Eine Zahl heißt k-fach vollkommen, wenn ihre Teilersumme genau k mal so groß ist wie sie selbst. Eine die einzige einfach vollkommene Zahl ist die 1. Die zweifach vollkommenen Zahlen wie 6, 28 und 496 heißen schlicht vollkommen. Es gibt aber auch dreifach vollkommene Zahlen. Die kleinste ist 120, denn
1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120=360=3*120
Und es gibt keine kleineren. Die könnte man alle durchprobieren. Es geht aber auch mit Überlegung, wenn man ein paar Grundlagen kennt. Die Primfaktoren leisten nämlich immer den gleichen Beitrag zum Verhältnis von Teilersumme und Zahl (Index k):
Platz 1:  1. Primfaktor 2 bringt  3/2   log(2) davon ist 0,585
Platz 2:  1. Primfaktor 3 bringt  4/3   log(3) davon ist 0,262
Platz 3:  2. Primfaktor 2 bringt  7/6   log(2) davon ist 0,222
Platz 4:  1. Primfaktor 5 bringt  6/5   log(5) davon ist 0,113
Platz 5:  3. Primfaktor 2 bringt 15/14  log(2) davon ist 0,099
Damit hat Platz1*Platz2=2*3=6 den Index (3/2)*(4/3)=2 und alle kleineren Zahlen müssen darunter bleiben. Im nächsten Schritt hat 6*Platz3=6*2=12 den Index 2*(7/6)=7/3. Alle kleineren Zahlen bleiben wieder darunter. Es folgen 5*Platz4=60 mit Index (7/3)*(6/5)=14/5 und 2*Platz5=120 mit Index (14/5)*(15/14)=3. Das mit der 3 wußten wir schon, doch müssen wieder alle vorangehenden Indizes kleiner sein.

So einfach aber geht es nicht weiter. Und insgesamt sind nur sechs dreifach vollkommene Zahlen bekannt: 120, 672, 523.776, 459.818.240, 1.476.304.896 und 31.001.180.160.

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120 ist sowohl 8. Sechseckzahl als auch 15. Dreieckszahl
S8=S7+29=91+29=1+5+9+13+17+21+25+29=120

       8 8 8 8 8 8 8 8
      7 7 7 7 7 7 7   8
     6 6 6 6 6 6   7   8
    5 5 5 5 5   6   7   8
   4 4 4 4   5   6   7   8
  3 3 3   4   5   6   7   8
 2 2   3   4   5   6   7   8
1   2   3   4   5   6   7   8
 2 2   3   4   5   6   7   8
  3 3 3   4   5   6   7   8
   4 4 4 4   5   6   7   8
    5 5 5 5 5   6   7   8
     6 6 6 6 6 6   7   8
      7 7 7 7 7 7 7   8
       8 8 8 8 8 8 8 8
S8=Q8+2D7=82+2*28=64+56=120

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S8=D15=D8+3D7=36+3*28=36+84=120

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