Zahlwort

Eine Zahl heißt k-fach vollkommen, wenn ihre Teiler­summe genau k mal so groß ist wie sie selbst. Die einzige einfach voll­kommene Zahl ist die 1. Die zweifach voll­kommenen Zahlen wie 6, 28 und 496 heißen schlicht voll­kommen. Die kleinste dreifach voll­kommene ist 120, denn

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3·120

und es gibt keine kleine­ren. [1] Man kann den Ergeb­nissen anderer ver­trauen oder zum Beweis alle Zahlen bis 119 durch­pro­bieren. Nicht unbe­dingt schneller, doch lehr­reicher geht es wie folgt: Der Faktor k(n)=σ(n)/n mit dem die Teiler­summe σ(n) die Zahl n über­steigt ist multi­plika­tiv. [2] Deshalb reicht es, die Teiler­summen

σ(p^m) = 1+p+p²+...+p^m = (p^m+1)/(p-1)/p^m < p/(p-1)

der Primzahl­potenzen zu kennen. Sie bleiben unter einer oberen Schranke von p/(p-1). Die beiden größten zu p=2,3 multi­pli­zieren sich zu (2/1)·(3/2)=3, weshalb k=3 nicht mit zwei Primzahl­potenzen allein möglich ist. Somit kommen wegen 119/(3·5)<8 nur 2 und 4 als Zweier­poten­zen infrage, wegen 119/(2·5)<12 auch nur die Dreier­potenzen 3 und 9. Und da 119/(2·3)<20, sind größere Prim­zahlen allen­falls unpoten­ziert möglich, ab 23 scheiden sie gänz­lich aus. Das führt auf eine über­sicht­liche Palette mög­licher Prim­potenz­teiler:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2
 3  1   3   4    2·2/3
 3  2   9  13     13/3·3
 5  1   5   6    2·3/5
 7  1   7   8  2·2·2/7
11  1  11  12  2·2·3/11
13  1  13  14    2·7/13
17  1  17  18  2·3·3/17
19  1  19  20  2·2·5/19

Die Primfaktoren 5, 11, 13, 17 und 19 tauchen nur in Nennern auf und scheiden deshalb aus. Es bleiben:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2
 3  1   3   4    2·2/3
 3  2   9  13     13/3·3
 7  1   7   8  2·2·2/7
13  1  13  14    2·7/13

Die 13 kommt nur im Nenner zu sich selbst und im Zähler zur 9 vor. Beide können also nur gemein­sam auf­treten und wegen 9·13=117>119 entfernt werden:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2
 3  1   3   4    2·2/3
 7  1   7   8  2·2·2/7

Damit ist maximal k(4·3·7)=k(4)·k(3)·k(7)=(7/4)·(4/3)·(8/7)=8/3<3 zu erzielen. Somit gibt es keine dreifach voll­kommene Zahl unter 120.

So einfach geht es jedoch nicht weiter, auch wenn man in analoger Weise mit etwas mehr Geduld den Bereich bis 1000 ausschöpfen kann und noch 672 findet. Ins­gesamt sind nur sechs drei­fach voll­kommene Zahlen bekannt. Weitere gibt es wohl nicht.

Natürlich ist 120 als dreifach voll­kommene Zahl ein Teiler­protz [3] und erwar­tungs­gemäß auch eine super­abun­dant und sogar colos­sally abun­dant number. Zudem ist sie largely, highly und sogar supe­rior highly compo­site. Sie ist auch eine prak­tische Zahl, weil bis zur Teiler­summe sich jede Zahl als Summe ausge­wählter Teiler dar­stellen läßt. [4] Alles nicht ver­wunder­lich für die fünfte Fakul­tät 120=5!=1·2·3·4·5.

Natürlich kommt die 120 auch in der Bibel vor. So soll Moses mit 120 Jah­ren gestor­ben sein. Und zur Ausgie­ßung des Hei­ligen Geistes seien irgen­wann einmal etwa 120 versam­melt gewesen. Das ist zu mager für fromme Zah­lakro­baten. Doch glück­licher­weise gibt es neben 3·40 noch die 12 und die 10, aus denen man 120, 600, 42360, 144000, 600000 und andere mehr zau­bern kann.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Teiler­summen A000203 und drei­fach voll­kommene Zahlen A005820.
[2] Eine zahlentheoretische Funktion f heißt multi­plikativ, wenn f(ab)=f(a)f(b) für teiler­fremde a und b gilt.
[3] Zahlen n mit einer Teiler­summe σ(n)=2n heißen (zweifach) voll­kommen, darunter defi­zient, darüber abun­dant. Wenig­stens für letztere gibt es auch die schöne deut­sche Bezeich­nung Teiler­protz.
[4] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Abundant A005101, super­abun­dant (SA) A00439, colos­sally abun­dant (CA) A004490 numbers. Largely compo­site numbers A067128, highly compo­site num­bers (HCN), stark zusam­menge­setzte Zahlen A002182, supe­rior highly compo­site (SHCN) numbers A002201, prac­tical numbers, prak­tische Zahlen A002201.

28

120 ist sowohl 8. Sechseckzahl als auch 15. Dreieckszahl:

       8 8 8 8 8 8 8 8
      7 7 7 7 7 7 7   8
     6 6 6 6 6 6   7   8
    5 5 5 5 5   6   7   8
   4 4 4 4   5   6   7   8
  3 3 3   4   5   6   7   8
 2 2   3   4   5   6   7   8
1   2   3   4   5   6   7   8
 2 2   3   4   5   6   7   8
  3 3 3   4   5   6   7   8
   4 4 4 4   5   6   7   8
    5 5 5 5 5   6   7   8
     6 6 6 6 6 6   7   8
      7 7 7 7 7 7 7   8
       8 8 8 8 8 8 8 8

S₈ = 1+5+9+13+17+21+25+29 = 120

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    o o o o
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       o

S₈ = Q₈+2D₇ = 8²+2·28 = 64+56 = 120

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             o o
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           o o o o
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   o o o o x x x x o o o o
  o o o o o x x x o o o o o
 o o o o o o x x o o o o o o
o o o o o o o x o o o o o o o 

D₁₅ = D₈+3D₇ = 36+3·28 = 36+84 = 120