... newer stories
120
wuerg, 10.05.2005 01:23
Eine Zahl heißt k‑fach vollkommen, wenn ihre Teilersumme genau k mal so groß ist wie sie selbst. Die einzige einfach vollkommene Zahl ist die 1. Die zweifach vollkommenen Zahlen wie 6, 28 und 496 heißen schlicht vollkommen. Die kleinste dreifach vollkommene ist 120, denn
1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3·120
und es gibt keine kleineren. [1] Man kann den Ergebnissen anderer vertrauen oder zum Beweis alle Zahlen bis 119 durchprobieren. Nicht unbedingt schneller, doch lehrreicher geht es wie folgt: Der Faktor k(n)=σ(n)/n mit dem die Teilersumme σ(n) die Zahl n übersteigt ist multiplikativ. [2] Deshalb reicht es, seine Werte für die Primzahpotenzen zu kennen:
k(pm) = (1+p+p2+…+pm)/pm = ((pm+1−1)/(p−1))/pm < p/(p−1)
Sie bleiben unter einer oberen Schranke von p/(p−1). Die beiden größten zu p=2,3 multiplizieren sich zu (2/1)·(3/2)=3, weshalb k=3 nicht mit zwei Primzahlpotenzen allein möglich ist. Somit kommen in einer Zahl n<120 mit k(n)=3 wegen 119/(3·5)<8 nur 2 und 4 als Zweierpotenzen infrage, wegen 119/(2·5)<12 auch nur die Dreierpotenzen 3 und 9. Und da 119/(2·3)<20, sind größere Primzahlen allenfalls unpotenziert möglich, ab 23 scheiden sie gänzlich aus. Das führt auf eine übersichtliche Palette möglicher Primpotenzteiler:
So einfach geht es jedoch nicht weiter, auch wenn man in analoger Weise mit etwas mehr Geduld den Bereich bis 1000 ausschöpfen kann und noch 672 findet. Insgesamt sind nur sechs dreifach vollkommene Zahlen bekannt. Weitere gibt es wohl nicht.
Natürlich ist 120 als dreifach vollkommene Zahl ein Teilerprotz [3] und erwartungsgemäß auch eine superabundant und sogar colossally abundant number. Zudem ist sie largely, highly und sogar superior highly composite. Sie ist auch eine praktische Zahl, weil bis zur Teilersumme sich jede Zahl als Summe ausgewählter Teiler darstellen läßt. [4] Alles nicht verwunderlich für die fünfte Fakultät 120=5!=1·2·3·4·5.
Natürlich kommt die 120 auch in der Bibel vor. So soll Moses mit 120 Jahren gestorben sein. Und zur Ausgießung des Heiligen Geistes seien irgendwann einmal etwa 120 versammelt gewesen. Das ist zu mager für fromme Zahlakrobaten. Doch glücklicherweise gibt es neben 3·40 noch die 12 und die 10, aus denen man 120, 600, 42360, 144000, 600000 und andere mehr zaubern kann.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Teilersummen A000203 und dreifach vollkommene Zahlen A005820.
[2] Eine zahlentheoretische Funktion f heißt multiplikativ, wenn f(ab)=f(a)f(b) für teilerfremde a und b gilt.
[3] Zahlen n mit einer Teilersumme σ(n)=2n heißen (zweifach) vollkommen, darunter defizient, darüber abundant. Wenigstens für letztere gibt es auch die schöne deutsche Bezeichnung Teilerprotz.
[4] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Abundant A005101, superabundant (SA) A00439, colossally abundant (CA) A004490 numbers. Largely composite numbers A067128, highly composite numbers (HCN), stark zusammengesetzte Zahlen A002182, superior highly composite (SHCN) numbers A002201, practical numbers, praktische Zahlen A002201.
28
1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3·120
und es gibt keine kleineren. [1] Man kann den Ergebnissen anderer vertrauen oder zum Beweis alle Zahlen bis 119 durchprobieren. Nicht unbedingt schneller, doch lehrreicher geht es wie folgt: Der Faktor k(n)=σ(n)/n mit dem die Teilersumme σ(n) die Zahl n übersteigt ist multiplikativ. [2] Deshalb reicht es, seine Werte für die Primzahpotenzen zu kennen:
k(pm) = (1+p+p2+…+pm)/pm = ((pm+1−1)/(p−1))/pm < p/(p−1)
Sie bleiben unter einer oberen Schranke von p/(p−1). Die beiden größten zu p=2,3 multiplizieren sich zu (2/1)·(3/2)=3, weshalb k=3 nicht mit zwei Primzahlpotenzen allein möglich ist. Somit kommen in einer Zahl n<120 mit k(n)=3 wegen 119/(3·5)<8 nur 2 und 4 als Zweierpotenzen infrage, wegen 119/(2·5)<12 auch nur die Dreierpotenzen 3 und 9. Und da 119/(2·3)<20, sind größere Primzahlen allenfalls unpotenziert möglich, ab 23 scheiden sie gänzlich aus. Das führt auf eine übersichtliche Palette möglicher Primpotenzteiler:
p m pm σ(pm) k(pm) 2 1 2 3 3/2 2 2 4 7 7/2·2 3 1 3 4 2·2/3 3 2 9 13 13/3·3 5 1 5 6 2·3/5 7 1 7 8 2·2·2/7 11 1 11 12 2·2·3/11 13 1 13 14 2·7/13 17 1 17 18 2·3·3/17 19 1 19 20 2·2·5/19In den Brüchen für k(pm) tauchen die Primfaktoren 11, 17 und 19 nur in Nennern auf. Sie können deshalb nicht zu einem Produkt k(n)=3 einer Zahl n<120 beitragen, und scheiden deshalb aus. Es bleiben:
p m pm σ(pm) k(pm) 2 1 2 3 3/2 2 2 4 7 7/2·2k 3 1 3 4 2·2/3 3 2 9 13 13/3·3 5 1 5 6 2·3/5 7 1 7 8 2·2·2/7 13 1 13 14 2·7/13Aus dem gleichen Grund entfällt nun auch die 5. Zudem kommt die 13 nur im Nenner zu sich selbst und im Zähler zur 9 vor. Beide können also nur gemeinsam auftreten und gestatten wegen 9·13>119/2 keinen weiteren Primfaktor:
p m pm σ(pm) k(pm) 2 1 2 3 3/2 2 2 4 7 7/2·2 3 1 3 4 2·2/3 7 1 7 8 2·2·2/7Damit ist maximal k(4·3·7)=k(4)·k(3)·k(7)=(7/4)·(4/3)·(8/7)=8/3<3 zu erzielen. Somit gibt es keine dreifach vollkommene Zahl unter 120.
So einfach geht es jedoch nicht weiter, auch wenn man in analoger Weise mit etwas mehr Geduld den Bereich bis 1000 ausschöpfen kann und noch 672 findet. Insgesamt sind nur sechs dreifach vollkommene Zahlen bekannt. Weitere gibt es wohl nicht.
Natürlich ist 120 als dreifach vollkommene Zahl ein Teilerprotz [3] und erwartungsgemäß auch eine superabundant und sogar colossally abundant number. Zudem ist sie largely, highly und sogar superior highly composite. Sie ist auch eine praktische Zahl, weil bis zur Teilersumme sich jede Zahl als Summe ausgewählter Teiler darstellen läßt. [4] Alles nicht verwunderlich für die fünfte Fakultät 120=5!=1·2·3·4·5.
Natürlich kommt die 120 auch in der Bibel vor. So soll Moses mit 120 Jahren gestorben sein. Und zur Ausgießung des Heiligen Geistes seien irgendwann einmal etwa 120 versammelt gewesen. Das ist zu mager für fromme Zahlakrobaten. Doch glücklicherweise gibt es neben 3·40 noch die 12 und die 10, aus denen man 120, 600, 42360, 144000, 600000 und andere mehr zaubern kann.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Teilersummen A000203 und dreifach vollkommene Zahlen A005820.
[2] Eine zahlentheoretische Funktion f heißt multiplikativ, wenn f(ab)=f(a)f(b) für teilerfremde a und b gilt.
[3] Zahlen n mit einer Teilersumme σ(n)=2n heißen (zweifach) vollkommen, darunter defizient, darüber abundant. Wenigstens für letztere gibt es auch die schöne deutsche Bezeichnung Teilerprotz.
[4] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Abundant A005101, superabundant (SA) A00439, colossally abundant (CA) A004490 numbers. Largely composite numbers A067128, highly composite numbers (HCN), stark zusammengesetzte Zahlen A002182, superior highly composite (SHCN) numbers A002201, practical numbers, praktische Zahlen A002201.
28
... link (1 Kommentar) ... comment
60 Jahre
wuerg, 08.05.2005 18:04
Am 8. Mai 1945 wurde die Gesamtkapitulation unterzeichnet. Das ist nun 60 Jahre her. Für die Babylonier wären diese 60 Jahre ein „Jahrhundert“ ohne Krieg gewesen, wenn man den Blick nur auf unser Heimatland richtet. Für die ganze Welt soll das letzte kriegsfreie Jahr 1776 gewesen sein.
Die Babylonier haben zur Basis 60 gerechnet. Noch heute sehen wir das in den 60 Sekunden einer Minute und den 60 Minuten einer Stunde. Der Kreis wird in 360 Grad geteilt, die sich in 60 Minuten und diese wieder in 60 Sekunden teilen. Die „neue Teilung“ in 400 Neugrad zu 100 Neuminuten [1] hat sich nicht durchgesetzt, auch nicht die Industrieminute zu 36 Sekunden. Die 60 paßt zur Basis 10, in der man auch im Altertum schon rechnete, aber auch auf die damals ebenso beliebte 12, die Zahl der Monate im Jahr. Und so fügt es sich gut, daß ein Jahr mit seinen 365 Tagen mit 6 mal 60 passabel genähert ist. Rechnen Geldinstitute eigentlich auch im Computerzeitalter noch immer mit 360 Zinstagen?
Die Babylonier waren den Griechen im Rechnen ganz klar überlegen. Indem sie die 60=2·2·3·5 wählten, konnten sie ohne Schwierigkeiten durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilen. Durch ihre für die damalige Zeit einigermaßen vernünftige Zahldarstellung, konnten sie deutlich besser rechnen. Die griechische Methode, für Zahlen von 1 bis 999 die 27=3·9 Buchstaben des erweiterten Alphabetes zu nutzen, war äußerst ungeschickt. Wenn sie sich vom Bildermalen erhoben, nicht nur zählten, sondern auch rechneten, dann übersetzten sie erst ins babylonische System und hinterher wieder zurück. Das lag nicht nur an der Zahl 60, sondern auch an den Reziprokentafeln der Babylonier, mit denen man die Division leicht erschlagen konnte.
Die Zahl 60 hat ausgesprochen viele Teiler, nämlich 12. Keine kleinere Zahl hat soviele. Deshalb heißt 60 auch stark zusammengesetzte Zahl. Es gibt dennoch kleinere stark zusammengesetzte Zahlen: 4, 6, 12, 24, 36 und 48 mit 3, 4, 6, 8, 9 bzw. 10 Teilern. [2] Die 1 mit einem Teiler und die 2 mit zweien habe ich ausgelassen, gleichwohl Mathematiker sich nicht daran stoßen, daß diese beiden zwar nicht zusammengesetzt sind, aber dennoch als stark zusammengesetzt gelten. Die Teilersumme der 60 liegt mit 168 um den Faktor 2,8 über der Zahl 60 selbst. Damit ist sie ein deutlicher Teilerprotz, doch 3‑vollkommen (Faktor 3) ist erst die 120.
[1] deg=π/180=1°=60'=3600", gon=π/200=1g=100c=10000cc
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stark zusammengesetze Zahlen A002182 und ihre Teileranzahlen A002183
120 | Altgrad
Die Babylonier haben zur Basis 60 gerechnet. Noch heute sehen wir das in den 60 Sekunden einer Minute und den 60 Minuten einer Stunde. Der Kreis wird in 360 Grad geteilt, die sich in 60 Minuten und diese wieder in 60 Sekunden teilen. Die „neue Teilung“ in 400 Neugrad zu 100 Neuminuten [1] hat sich nicht durchgesetzt, auch nicht die Industrieminute zu 36 Sekunden. Die 60 paßt zur Basis 10, in der man auch im Altertum schon rechnete, aber auch auf die damals ebenso beliebte 12, die Zahl der Monate im Jahr. Und so fügt es sich gut, daß ein Jahr mit seinen 365 Tagen mit 6 mal 60 passabel genähert ist. Rechnen Geldinstitute eigentlich auch im Computerzeitalter noch immer mit 360 Zinstagen?
Die Babylonier waren den Griechen im Rechnen ganz klar überlegen. Indem sie die 60=2·2·3·5 wählten, konnten sie ohne Schwierigkeiten durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilen. Durch ihre für die damalige Zeit einigermaßen vernünftige Zahldarstellung, konnten sie deutlich besser rechnen. Die griechische Methode, für Zahlen von 1 bis 999 die 27=3·9 Buchstaben des erweiterten Alphabetes zu nutzen, war äußerst ungeschickt. Wenn sie sich vom Bildermalen erhoben, nicht nur zählten, sondern auch rechneten, dann übersetzten sie erst ins babylonische System und hinterher wieder zurück. Das lag nicht nur an der Zahl 60, sondern auch an den Reziprokentafeln der Babylonier, mit denen man die Division leicht erschlagen konnte.
Die Zahl 60 hat ausgesprochen viele Teiler, nämlich 12. Keine kleinere Zahl hat soviele. Deshalb heißt 60 auch stark zusammengesetzte Zahl. Es gibt dennoch kleinere stark zusammengesetzte Zahlen: 4, 6, 12, 24, 36 und 48 mit 3, 4, 6, 8, 9 bzw. 10 Teilern. [2] Die 1 mit einem Teiler und die 2 mit zweien habe ich ausgelassen, gleichwohl Mathematiker sich nicht daran stoßen, daß diese beiden zwar nicht zusammengesetzt sind, aber dennoch als stark zusammengesetzt gelten. Die Teilersumme der 60 liegt mit 168 um den Faktor 2,8 über der Zahl 60 selbst. Damit ist sie ein deutlicher Teilerprotz, doch 3‑vollkommen (Faktor 3) ist erst die 120.
[1] deg=π/180=1°=60'=3600", gon=π/200=1g=100c=10000cc
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stark zusammengesetze Zahlen A002182 und ihre Teileranzahlen A002183
120 | Altgrad
... link (4 Kommentare) ... comment
Rene Ammann
wuerg, 08.05.2005 00:47
Ich gehöre nicht zu denen, die bei Hugeldubel tagelang sitzen, ein Buch lesen und es dann zurücklegen. Ich mache es leider umgekehrt und kaufe in wenigen Minuten fünf Stück. Das dritte im Bunde ist „Ammanns wunderbare Welt in Zahlen“ von Rene Ammann. Es handelt sich um eine Ansammlung von Fragen, die mit Zahlen beantwortet werden, mehr oder minder alle aus dem täglichen Leben und für meinen Blog ungeeignet, da es sich zumeist um Geldmengen, gerundete Zahlen, Prozente oder Verhältnisse handelt. Oftmals besteht der Witz auch in der Gegenüberstellung. Zwei Beispiele wird mir der Autor erlauben: Viele meinen, Frauen würden nach dem Aussehen behandelt. Das stimmt, denn gut aussehende Britinnen verdienen 11% mehr als die schlecht aussehenden. Doch bei Männern sind es 15%! Anteil der Amerikaner, die meinen, zumindest bald zum obersten Prozent der Einkommensverteilung zu gehören: 42 Prozent!
... link (0 Kommentare) ... comment
Zweieck
wuerg, 06.05.2005 16:05
Es soll immer noch arme Leute geben, die noch nie ein Zweieck gesehen haben. Dabei kommen sie sogar im täglichen Leben vor. Schneidet man aus der Erdoberfläche eine Zeitzone, wie sie einmal gedacht waren, also ohne willkürliche, geographische oder politische Verhunzungen, dann entsteht ein Zweieck, das am Äquator immerhin 1670 Kilometer breit ist und die beiden Pole als Ecken besitzt. Aber auch der gesamte Rest der Erdoberfläche, der nicht in dieser Zeitzone liegt, bildet ein Zweieck, wenn es auch nicht so aussieht. Es hat die gleichen Ecken und Kanten, nur eben eine andere, viel größere Fläche.
Beim Dreieck ist es nicht anders. Male ich eines auf ein Blatt Papier, so entstehen zwei Gebiete. Das konvexe, endliche ist das Innere, der Rest das Äußere. Wenn ich vom Papierrand abstrahiere, ist es unendlich groß. Das Dreieck Frankfurt–Berlin–Hamburg mag einem ebenso vorkommen. Das Innere liegt innerhalb Deutschlands, der Rest der Welt bildet das Äußere. Warum eigentlich? Was passiert, wenn ich die Hamburg‐Ecke zum Nordpol, die Frankfurt‐Ecke zum Südpol und dann die Berlin‐Ecke Richtung Osten über Tokio nach New York verschiebe?
Zurück zu den Zweiecken. Die idealen Zeitzonen sind gute Beispiele für solche Zweiecke. Sie sehen wie eine Sichel oder Nudel aus und können auf flachem Papier auch so gemalt werden. Vom Dogma der geradlinigen Verbindung zweier Punkte als die kürzeste muß man dazu natürlich abrücken. Aber wir erkennen ja auch Dreiecke als solche, wenn die Kanten ausgebeult sind, wie im Inneren eines Wankelmotors. Beim Rechteck heißt es tonnenförmige Verzerrung.
Neunmalkluge meinen, es dürfe nicht Dreieck und Viereck, sondern müsse Dreiseit bzw. Vierseit heißen, denn in drei Dimensionen nenne man einen Würfel ja auch Sechsflächner oder gar Sechsflach und nicht Zwölfkant oder Achtpunkt. Grundsätzlich haben sie Recht. Man kann sich einen Polyeder als ein Gerüst aus Ecken und Kanten vorstellen, in das Flächen eingesetzt sind. Sinnvoller mag die Vorstellung sein, wie ein Schreiner vom Gesamtraum mehrfach etwas abzuschleifen, bis ein k‑Flächner übrig bleibt. Analog entsteht ein ebenes k‑Seit auch durch mehrfache Beschneidung mit der Schere, nicht nur durch Verbindung von Punkten.
Hilft uns diese Vorstellung beim Zweieck oder Zweiseit? Bei ausschließlich geraden Schnitten offensichtlich nicht. Und ich möchte mir nicht vorstellen, welche Anforderungen an gekrümmte Schnittlinien zu stellen wären. So hat sich der menschliche Sprachgebrauch wohl doch für die sinnhaftere Bezeichnung entschieden und zieht das k‑Eck dem k‑Seit vor. Deshalb ist ein Zweiseit nichts anderes als ein Zweieck, und das besteht aus zwei Punkten, die kreuzungsfrei durch zwei Linien verbunden sind, die sich evtl. überlagern, im Extremfall identisch sind.
Beim Dreieck ist es nicht anders. Male ich eines auf ein Blatt Papier, so entstehen zwei Gebiete. Das konvexe, endliche ist das Innere, der Rest das Äußere. Wenn ich vom Papierrand abstrahiere, ist es unendlich groß. Das Dreieck Frankfurt–Berlin–Hamburg mag einem ebenso vorkommen. Das Innere liegt innerhalb Deutschlands, der Rest der Welt bildet das Äußere. Warum eigentlich? Was passiert, wenn ich die Hamburg‐Ecke zum Nordpol, die Frankfurt‐Ecke zum Südpol und dann die Berlin‐Ecke Richtung Osten über Tokio nach New York verschiebe?
Zurück zu den Zweiecken. Die idealen Zeitzonen sind gute Beispiele für solche Zweiecke. Sie sehen wie eine Sichel oder Nudel aus und können auf flachem Papier auch so gemalt werden. Vom Dogma der geradlinigen Verbindung zweier Punkte als die kürzeste muß man dazu natürlich abrücken. Aber wir erkennen ja auch Dreiecke als solche, wenn die Kanten ausgebeult sind, wie im Inneren eines Wankelmotors. Beim Rechteck heißt es tonnenförmige Verzerrung.
Neunmalkluge meinen, es dürfe nicht Dreieck und Viereck, sondern müsse Dreiseit bzw. Vierseit heißen, denn in drei Dimensionen nenne man einen Würfel ja auch Sechsflächner oder gar Sechsflach und nicht Zwölfkant oder Achtpunkt. Grundsätzlich haben sie Recht. Man kann sich einen Polyeder als ein Gerüst aus Ecken und Kanten vorstellen, in das Flächen eingesetzt sind. Sinnvoller mag die Vorstellung sein, wie ein Schreiner vom Gesamtraum mehrfach etwas abzuschleifen, bis ein k‑Flächner übrig bleibt. Analog entsteht ein ebenes k‑Seit auch durch mehrfache Beschneidung mit der Schere, nicht nur durch Verbindung von Punkten.
Hilft uns diese Vorstellung beim Zweieck oder Zweiseit? Bei ausschließlich geraden Schnitten offensichtlich nicht. Und ich möchte mir nicht vorstellen, welche Anforderungen an gekrümmte Schnittlinien zu stellen wären. So hat sich der menschliche Sprachgebrauch wohl doch für die sinnhaftere Bezeichnung entschieden und zieht das k‑Eck dem k‑Seit vor. Deshalb ist ein Zweiseit nichts anderes als ein Zweieck, und das besteht aus zwei Punkten, die kreuzungsfrei durch zwei Linien verbunden sind, die sich evtl. überlagern, im Extremfall identisch sind.
... link (5 Kommentare) ... comment
Fünfeckzahlen
wuerg, 06.05.2005 01:56
Wie die Dreieckszahlen D(n) sich aus den Dreiecken und die Quadratzahlen Q(n) aus den Quadraten ergeben, so leiten sich die Fünfeckzahlen F(n) aus den Fünfecken ab. Mit Sechs-, Sieben und weiteren -ecken ist es nicht anders:
Wenn man nicht in der Lage ist, den Abbildungen das Bildungsgesetz für die Fünfeckzahlen F(n) oder gar das der K-Eckzahlen, den Polygonalzahlen oder polygonal numbers P(k,n) abzulesen und aus der arithmetischen Reihe das Bildungsgesetz zu finden, dann hilft eine Aufstellung der ersten Zahlen, die man notfalls durch Abzählen ermitteln kann.P(k,n)=P(k-1,n)+D(n-1) ist. Für k=4 ist das die bekannte Beziehung Q(n)=D(n)+D(n-1).
Der obenstehenden Abbildung kann man entnehmen, wie man von der Fünfeckzahl F(n-1) zur Fünfeckzahl F(n) aufsteigt, indem man 3 Kanten mit n Punkten hinzunimmt und bedenkt, daß in 2 Ecken diese Punkte aufeinander fallen. Zusammen sind es also 3n-2 Punkte. Damit ist(n)=F(n-1)+3n-2 und somit
P(k,n)=P(k,n)+(k-2)n-(k-3) und somit
Sloane | Figurierte Zahlen
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
4 4 4 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 2 3 4
4 3 4 4 3 3 3 4 4 3 3 4
4 4 4 4 4 3 3 4
4 4 4 4 4 4 3 4
4 4
4 4
4
Man sieht schon, daß ab 5 keine vernünftige geometrische Grundlage mehr vorhanden ist. Das nehme ich einmal als Grund, von Fünfeckzahlen und nicht von Fünfeckszahlen zu sprechen. Dreieckszahlen sind sozusagen die Zahlen des(!) Dreiecks, während Funkeckzahlen nur solche sind, die vom(!) Fünfeck abgeleitet werden, denn aus rein lautlichen Gründen müßte es ja immer K-eckszahlen oder immer K-eckzahlen heißen. Doch spielt auch die innere Einstellung eine Rolle, ebenso die Häufigkeit der Benutzung. Und außerdem schreibt man doch auch dreißig nicht mit Z, gleichwohl es wie fünfzig klingt.Wenn man nicht in der Lage ist, den Abbildungen das Bildungsgesetz für die Fünfeckzahlen F(n) oder gar das der K-Eckzahlen, den Polygonalzahlen oder polygonal numbers P(k,n) abzulesen und aus der arithmetischen Reihe das Bildungsgesetz zu finden, dann hilft eine Aufstellung der ersten Zahlen, die man notfalls durch Abzählen ermitteln kann.
P(3,n): 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 P(4,n): 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 P(5,n): 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 P(6,n): 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190Die konstanten Zuwächse 0,1,3,6,10,15,... in den Spalten sind Dreieckszahlen, so daß die sich als richtig erweisende Vermutung naheliegt, daß
Der obenstehenden Abbildung kann man entnehmen, wie man von der Fünfeckzahl F(n-1) zur Fünfeckzahl F(n) aufsteigt, indem man 3 Kanten mit n Punkten hinzunimmt und bedenkt, daß in 2 Ecken diese Punkte aufeinander fallen. Zusammen sind es also 3n-2 Punkte. Damit ist
F(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n-2) = n*(3n-1)/2Das ist nicht schwierig zu errechnen, weil es sich um eine arithmetische Reihe handelt. Schnell verallgemeinert sich für das k-Eck wie folgt: Es kommen k-2 Kanten zu n Punkten hinzu und an k-3 Ecken fallen die Punkte aufeinander. Damit ist
P(k,n) = 1 + 2(k-2)-(k-3) + 3(k-2)-(k-3) + ... + n(k-2)-(k-3)
= n((k-2)n-(k-4))/2
weil es sich wieder um eine arithmetische Reihe handelt. Tatsächlich erhalten wir für die ersten Spezialfälle:
D(n) = P(3,n) = n(1n+1)/2 = n(n+1)/2 Q(n) = P(4,n) = n(2n+0)/2 = n*n F(n) = P(5,n) = n(3n-1)/2 S(n) = P(6,n) = n(4n-2)/2 = n(2n-1)Dem kann man S(n)=D(2n-1) entnehmen. Damit ist jede zweite Dreieckszahl eine Sechseckzahl, die man aber nicht verwechseln sollte mit der Zahl der Punkte in einem voll ausgefüllten sechseckigen Muster.
Sloane | Figurierte Zahlen
... link (2 Kommentare) ... comment
Dreieckszahlen
wuerg, 04.05.2005 21:29
Wie man die n‑te Quadratzahl Qₙ von der Zahl der Punkte einer quadratischen Anordnung von n mal n Punkten ableitet, ergibt sich die n‑te Dreieckszahl Dₙ aus einer ebensolchen dreieckigen.
Ich schreibe auch Dₙ für Dreiecks- und Qₙ für Quadratzahlen, nicht nach amerikanischer Sitte Tₙ und Sₙ, was sich von trigonal bzw. square ableitet, gleichwohl ich bei allen Vorbehalten gegen das amerikanische Wesen im allgemeinen die in der Mathematik üblichen internationalen Bezeichnungen bevorzuge. [2] Glücklicherweise sind die Formeln für diese Zahlen so einfach, daß man sie abseits von Erläuterungen zumeist direkt hinschreibt und so D, Q, T und S vermeidet.
Die Formel für Quadratzahlen Qₙ=n⋅n=n² ist einfach. Die n‑te Quadratzahl ist die zweite Potenz (Quadrat) des Argumentes. Für Dreieckszahlen [3] lautet die Formel Dₙ=n(n+1)/2 .Sie ist nicht ganz so einfach zu merken, gleichwohl es dafür auch Bezeichnungen wie n+1 über 2 gibt. Doch wenn man die nicht kennt, nütz einem das auch nichts.
Die Anschauung führt auf die Definition Dₙ=1+2+…+n. Zwar liegen die Verhältnisse hier so einfach, daß man auch direkt aus Abbildungen wie
Aus der Definition Dₙ=1+2+…+n die Formel Dₙ=n(n+1)/2 abzuleiten, ist sehr leicht, wenn man sie schon kennt. Man muß sich lediglich davon überzeugen, daß D₁=1 und Dₙ−Dₙ₋₁=n ist. Oder man sieht die arithmetische Reihe und erinnert sich an die sechste Klasse: Anzahl der Summanden n mal Mittelwert. Für letzteren reicht die halbe Summe aus erstem und letztem Glied, also (1+n)/2.
Gerne wird erzählt, daß der Lehrer von Gauß [4] die Schüler beschäftigen wollte und sie deshalb die Zahlen von 1 bis 100 addieren, also D₁₀₀ bilden ließ. Gauß antwortete sofort 5050, weil er wie fast jeder Mathematiker vorging, der keine Formel für die arithmetische Reihe auswendig gelernt hat, sondern sich einfach fragt, wieviele Summanden (hier 100) es sind und wie groß der Mittelwert (hier 50,5) ist. Das Produkt 100⋅50,5=5050 ist offensichtlich das Ergebnis.
Zwei der drei meiner Leser werden sich nun fragen, warum das offensichtlich sei. Weil die arithmetische Reihe so leicht zu durchschauen ist, daß keine Formel memoriert werden muß. Sie wird jedesmal vom Kleinhirn mühelos abgeleitet oder hochgespült. Es mag selbst Bildungsbürgern, die sich in der Schule vergeblich an Formeln mühten, merkwürdig vorkommen, was Mathematiker alles für klar wie Kloßbrühe, folkloristisch, evident oder gar trivial halten. Zum Verständnis sollten sie einfach daran denken, daß sie selbst auch kaum Vokabeln lernen mußten, weil ihre Eltern französisch parlierten.
[1] Fugen‑S. Kompetenzteam, 01.11.2004.
[2] Bei allem Lobpreis der sowjetischen mathematischen Literatur zu Zeiten der DDR, muß ich dennoch eingestehen, daß sie schon wegen der von westlichen Gepflogenheiten abweichenden Darstellung Schwierigkeiten bereitet. Im Original so und so, doch auch in der Übersetzung. Nicht selten sind dann i und j verwechselt.
[3] The On-line Encyclopedia of Integer Sequences. A000217.
[4] Ich las einmal DER GAUSZSCHE BEWEIS in einer Überschrift. Auf der Schreibmaschine müßte der Lehrer von Gauß DER GAUSZSCHE LEHRER sein. Neuerdings gibt es auch ein großes Eszett.
Quadratzahlen
Q4=16 1 2 3 4 D4=10 1
2 2 3 4 2 2
3 3 3 4 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4
Ich schreibe mit Fugen‑S [1], gleichwohl manche geneigt sind, von Dreieckzahlen oder sogar von einer Dreieckzahl zu sprechen, weil es ja auch nicht Quadratszahl heiße. Doch beim Fugen‑S gewinnen neben Üblichkeit nicht fadenscheinige formale Gründe, sondern lautliche.Ich schreibe auch Dₙ für Dreiecks- und Qₙ für Quadratzahlen, nicht nach amerikanischer Sitte Tₙ und Sₙ, was sich von trigonal bzw. square ableitet, gleichwohl ich bei allen Vorbehalten gegen das amerikanische Wesen im allgemeinen die in der Mathematik üblichen internationalen Bezeichnungen bevorzuge. [2] Glücklicherweise sind die Formeln für diese Zahlen so einfach, daß man sie abseits von Erläuterungen zumeist direkt hinschreibt und so D, Q, T und S vermeidet.
Die Formel für Quadratzahlen Qₙ=n⋅n=n² ist einfach. Die n‑te Quadratzahl ist die zweite Potenz (Quadrat) des Argumentes. Für Dreieckszahlen [3] lautet die Formel Dₙ=n(n+1)/2 .Sie ist nicht ganz so einfach zu merken, gleichwohl es dafür auch Bezeichnungen wie n+1 über 2 gibt. Doch wenn man die nicht kennt, nütz einem das auch nichts.
Die Anschauung führt auf die Definition Dₙ=1+2+…+n. Zwar liegen die Verhältnisse hier so einfach, daß man auch direkt aus Abbildungen wie
o o o o o x D(5) mal o o o o o x x D(5) mal x o o o x x x o o x x x x 5 Zeilen o x x x x x 6 Spaltendie Beziehung 2⋅Dₙ=n(n+1) und damit Dₙ=n(n+1)/2 ableiten könnte, doch bezieht der Mathematiker sich letztlich nicht auf Bilder. Sie sind ihm nur Anregung und Hilfe. Dadurch werden Mathematiker nicht zu reinen Formalisten. Sie sind im allgemeinen nur besser in der Lage, Anschauung zu formalisieren, um ihre intuitiven Ideen abzusichern. Heute reicht es nicht mehr, ein Bild zu malen und „siehe“ darunter zu schreiben. Ab der vierten Dimension versagt diese Vorgehensweise so und so.
Aus der Definition Dₙ=1+2+…+n die Formel Dₙ=n(n+1)/2 abzuleiten, ist sehr leicht, wenn man sie schon kennt. Man muß sich lediglich davon überzeugen, daß D₁=1 und Dₙ−Dₙ₋₁=n ist. Oder man sieht die arithmetische Reihe und erinnert sich an die sechste Klasse: Anzahl der Summanden n mal Mittelwert. Für letzteren reicht die halbe Summe aus erstem und letztem Glied, also (1+n)/2.
Gerne wird erzählt, daß der Lehrer von Gauß [4] die Schüler beschäftigen wollte und sie deshalb die Zahlen von 1 bis 100 addieren, also D₁₀₀ bilden ließ. Gauß antwortete sofort 5050, weil er wie fast jeder Mathematiker vorging, der keine Formel für die arithmetische Reihe auswendig gelernt hat, sondern sich einfach fragt, wieviele Summanden (hier 100) es sind und wie groß der Mittelwert (hier 50,5) ist. Das Produkt 100⋅50,5=5050 ist offensichtlich das Ergebnis.
Zwei der drei meiner Leser werden sich nun fragen, warum das offensichtlich sei. Weil die arithmetische Reihe so leicht zu durchschauen ist, daß keine Formel memoriert werden muß. Sie wird jedesmal vom Kleinhirn mühelos abgeleitet oder hochgespült. Es mag selbst Bildungsbürgern, die sich in der Schule vergeblich an Formeln mühten, merkwürdig vorkommen, was Mathematiker alles für klar wie Kloßbrühe, folkloristisch, evident oder gar trivial halten. Zum Verständnis sollten sie einfach daran denken, daß sie selbst auch kaum Vokabeln lernen mußten, weil ihre Eltern französisch parlierten.
[1] Fugen‑S. Kompetenzteam, 01.11.2004.
[2] Bei allem Lobpreis der sowjetischen mathematischen Literatur zu Zeiten der DDR, muß ich dennoch eingestehen, daß sie schon wegen der von westlichen Gepflogenheiten abweichenden Darstellung Schwierigkeiten bereitet. Im Original so und so, doch auch in der Übersetzung. Nicht selten sind dann i und j verwechselt.
[3] The On-line Encyclopedia of Integer Sequences. A000217.
[4] Ich las einmal DER GAUSZSCHE BEWEIS in einer Überschrift. Auf der Schreibmaschine müßte der Lehrer von Gauß DER GAUSZSCHE LEHRER sein. Neuerdings gibt es auch ein großes Eszett.
Quadratzahlen
... link (8 Kommentare) ... comment
Epogdoon
wuerg, 03.05.2005 12:21
Die Pythagoräer hielten das Tetraktys genannte Dreieck aus 10 Punkten in der Formation der Bowling‐Pins für heilig.
Das nächste in den Kram passende Intervall ist der große Ganzton (8:9), der auch als „Differenz“ zwischen Quinte und Quarte erkannt und Epogdoon genannt wurde. In religiöser Überhöhung wurden den Vielfachen von 8 die um ein Achtel größeren Epogdoon‐Partner zugeordnet. Zur 8 gehört die direkt auf sie folgende 9, zwischen der 16 und der 18 aber liegt die 17, die als Barriere dem Pythagoras verhaßt war.
Immer wieder sind auch große Geister von religiöser Verblendung getroffen worden. Wie sehr hätte Pythagoras die 17 verehrt, wenn er um die Konstruierbarkeit des 17‑Ecks gewußt hätte? Obwohl er grundlos von dieser Zahl nichts hielt, hätte er zumindest seine Freude an der Snooker‐Weltmeisterschaft der letzten Wochen haben können. Nicht nur wegen der 1+2+3+4+5=15 roten Kugeln, sondern auch wegen des Ergebnisses: Shaun Murphy schlug Matthew Stevens mit 18:16.
17 | Quinte
O O O O O O O O O OEin Grund ist natürlich die Basis 10 des Dezimalsystems, das auch die Griechen benutzten, wenn auch in einer holprigen Darstellung mit Buchstaben. Ein anderer Grund wird darin liegen, daß im Gegensatz zum amerikanischen Bowlingdreieck das deutsche Kegelviereck
O O O O O O O O Ovom gemeinen Volk zu leicht zu durchschauen ist und nicht als Grundlage einer Sekte taugt. Neben der Zerlegung 1+2+3+4=10 waren auch die Verhältnisse 1:2:3:4 wichtig, die Grundlage der Harmonie nach griechischer Vorstellung. Es sind die Oktave (1:2), die Quinte (2:3) und die Quarte (3:4). Die dann folgende Terz (4:5) mit einem weiteren Primfaktor 5 hat schon gestört, sonst hätte Pythagoras möglicherweise ein größeres Dreieck mit 15 Punkten in der Form der roten Snooker‐Kugeln gewählt.
Das nächste in den Kram passende Intervall ist der große Ganzton (8:9), der auch als „Differenz“ zwischen Quinte und Quarte erkannt und Epogdoon genannt wurde. In religiöser Überhöhung wurden den Vielfachen von 8 die um ein Achtel größeren Epogdoon‐Partner zugeordnet. Zur 8 gehört die direkt auf sie folgende 9, zwischen der 16 und der 18 aber liegt die 17, die als Barriere dem Pythagoras verhaßt war.
Immer wieder sind auch große Geister von religiöser Verblendung getroffen worden. Wie sehr hätte Pythagoras die 17 verehrt, wenn er um die Konstruierbarkeit des 17‑Ecks gewußt hätte? Obwohl er grundlos von dieser Zahl nichts hielt, hätte er zumindest seine Freude an der Snooker‐Weltmeisterschaft der letzten Wochen haben können. Nicht nur wegen der 1+2+3+4+5=15 roten Kugeln, sondern auch wegen des Ergebnisses: Shaun Murphy schlug Matthew Stevens mit 18:16.
17 | Quinte
... link (4 Kommentare) ... comment
... older stories
