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Großziffern
wuerg, 28.02.2005 12:40
Stellt man eine Zahl nicht zur Basis 10, sondern 1000 dar, so benötigt man nicht nur zehn Ziffern, sondern tausend sog. Großziffern. Rechenkünstler verbinden mit jeder dieser Großziffern eine anschauliche Vorstellung und kennen im Idealfall das zugehörige (kleine) Einmaleins aus tausend mal tausend Produkten auswendig. Sieht man die Großziffern aber als drei normale Ziffern, so unterscheidet die Darstellung in Großziffern sich nicht von der normalen Dezimalschreibweise, wenn man bei der führenden Großziffer auf die führenden Nullen verzichtet. So würde die Zahl 10203040506070809 in Großziffern 010.203.040.506.070.809 lauten. An den Menschen angepaßt auch 10.203.040.506.070.809, wodurch der Eindruck einer gegliederte Dezimalzahl entsteht. Wer sich an die Unart von IP‑Adressen gewöhnt hat, mag auch 10.203.40.506.70.809 schreiben.
Auf diesen Großziffern oder der Gliederung in Dreierblöcken baut unsere Zahlbenennung auf. Jede Zahlwortreform wird darauf Rücksicht nehmen müssen. Da die Menschen der ganzen Welt auch nicht von der Bennennung der Ziffernpositionen abweichen werden, ist die obige Zahl 10203040506070809 also in der Form 10‑t5-203-t4-040-‑t3-506-t2-070-t1-809‑t0 auszusprechen, wobei es der jeweiligen Sprache überlassen bleibt, wie die Dreierblöcke und die Positionsangaben t0, t1, t2, … auszusprechen sind. Dank der Übereinstimmung mit den englischen Zahlwörtern wird eine deutsche Zahlwortreform weiterhin t2 mit Million und t1 mit Tausend bezeichnen und auf t0 völlig verzichten. Ab t3 aber entsteht ein gewisses Problem.
Zahlsprech | Zahlreform
Auf diesen Großziffern oder der Gliederung in Dreierblöcken baut unsere Zahlbenennung auf. Jede Zahlwortreform wird darauf Rücksicht nehmen müssen. Da die Menschen der ganzen Welt auch nicht von der Bennennung der Ziffernpositionen abweichen werden, ist die obige Zahl 10203040506070809 also in der Form 10‑t5-203-t4-040-‑t3-506-t2-070-t1-809‑t0 auszusprechen, wobei es der jeweiligen Sprache überlassen bleibt, wie die Dreierblöcke und die Positionsangaben t0, t1, t2, … auszusprechen sind. Dank der Übereinstimmung mit den englischen Zahlwörtern wird eine deutsche Zahlwortreform weiterhin t2 mit Million und t1 mit Tausend bezeichnen und auf t0 völlig verzichten. Ab t3 aber entsteht ein gewisses Problem.
Zahlsprech | Zahlreform
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Zahlsprech
wuerg, 27.02.2005 22:59
Solange Zahlen in der uns bekannten Weise geschrieben werden, halte ich zwei Positionen für deren Aussprache und ihre Schreibung als Zahlwörter für vernünftig. Die eine besteht einfach darin, es der Sprachevolution zu überlassen, an der sich Reformer und Kritiker durchaus offensiv bis aggressiv beteiligen können. So machen es ja auch die Jugendlichen (Alder), die Aktiengläubigen (aufstellen), die Christen (Zeitansage), die Informatiker (matchen), die Berater (handeln), die Internetspinner (dotcom) und auch das gemeine Volk (Navi). Meinetwegen können alle Sprachverbesserer gerne auch dreizigeins statt einunddreißig sprechen und schreiben, bis sich ihre Ausdrucksweise durchgesetzt hat und die heutige als veraltet gilt. Über die Jahrhunderte gesehen wäre das keine sehr gravierende Änderung.
Die andere (zweite!) Position ist eine in allen Aspekten systematische Benennung der Zahlen, deren Verwendung zumindest dann angebracht ist, wenn Verwechselungen ausgeschlossen werden sollen. So war es auf Schecks üblich, den Betrag nochmals zweifelsfrei auszuschreiben (eins-zwei-drei-vier bei 1234 DM). Auch sind wir daran gewöhnt, Nachkommastellen einfach aufzulisten und nur ausnahmsweise die Positionen (er lief in 9 Sekunden und 95 Hundertstel) zu benennen. Trotzdem werden wir nicht eine reine Aufzählung (eins-zwei-drei-vier) oder gar eine wissenschaftliche Notation (1.234e+3 oder eins-Komma-zwei-drei-vier-Tausend) sprechen wollen. An der Benennung der Ziffernposition (Hundert, Tausend, Million) wird also festzuhalten sein, wodurch der weitgehende Wegfall der Null und der Eins in der Zahlaussprache weiterhin möglich bliebe. Auch auf die Gliederung in Dreiergruppen (Großziffern) wird ein neues System Rücksicht zu nehmen haben.
Zwanzigeins | Großziffern | Zahlreform
Die andere (zweite!) Position ist eine in allen Aspekten systematische Benennung der Zahlen, deren Verwendung zumindest dann angebracht ist, wenn Verwechselungen ausgeschlossen werden sollen. So war es auf Schecks üblich, den Betrag nochmals zweifelsfrei auszuschreiben (eins-zwei-drei-vier bei 1234 DM). Auch sind wir daran gewöhnt, Nachkommastellen einfach aufzulisten und nur ausnahmsweise die Positionen (er lief in 9 Sekunden und 95 Hundertstel) zu benennen. Trotzdem werden wir nicht eine reine Aufzählung (eins-zwei-drei-vier) oder gar eine wissenschaftliche Notation (1.234e+3 oder eins-Komma-zwei-drei-vier-Tausend) sprechen wollen. An der Benennung der Ziffernposition (Hundert, Tausend, Million) wird also festzuhalten sein, wodurch der weitgehende Wegfall der Null und der Eins in der Zahlaussprache weiterhin möglich bliebe. Auch auf die Gliederung in Dreiergruppen (Großziffern) wird ein neues System Rücksicht zu nehmen haben.
Zwanzigeins | Großziffern | Zahlreform
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14
wuerg, 21.02.2005 16:45
Die Bedeutung der 14 besteht vor allem darin, das Doppelte der 7 zu sein, fällt jedoch hinter anderen Vielfachen zurück: 4·7=28 ist vollkommen, 6·7=42 erklärt die ganze Welt und 70 mal 7 mal soll man vergeben. Zwar umfassen zwei Wochen 14 Tage, ein halber Monat ist aber gut 15 Tage lang, und zur gleichen Zeit Hochwasser gibt es ebenfalls fast alle 15 Tage. Im Gegensatz zu Ostern wird Passah immer ab dem 14. Nisan gefeiert, was aber nur ein Vorteil ist, wenn alle nach dem jüdischen Kalender leben. Modernen Nazis steht die 14 für die schwachsinnigen 14 Wörter eines Spruches von David Eden Lane.
So bleibt im wesentlichen die aus Daleth+Waw+Daleth=4+6+4=14 abgeleitete Davidszahl. Sie findet sich in den 14 Geschlechtern von Abraham bis David und den gemauschelten zweimal 14 bis Jesus. Die gleiche Denkweise gilt für Johann Sebastian Bach, in dessen Musik B+A+C+H=2+1+3+8=14 nicht zufällig vorkommt.
Mathematisch gibt die 14 ebenfalls wenig her. Sie ist aber dritte quadratische Pyramidenzahl, also 1·1+2·2+3·3=14. Festkörperphysiker werden wissen, daß es 14 Bravais-Gitter gibt. Würfel und Oktaeder haben jeweils 12 Kanten und somit 12+2=14 Ecken und Flächen. Durch Absägen der Ecken eines Würfels bzw. Oktaeders entstehen 8 Dreiecke und 6 Quadrate. Der entstande Kuboktaeder hat also 14 Flächen.
Und noch eine kleine Spielerei: Eine k‑stellige Zahl n heißt Keith-Zahl, wenn man ihre Ziffern als die ersten k Glieder einer Folge nimmt, in Fibonacci-Manier immer k Folgeglieder addiert und n in dieser Folge vorkommt. [1] Unter den nicht trivialen mehrstelligen Keith-Zahlen ist 14 die kleinste.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Keith-Zahlen A130010.
13 | 15 | 7 | 28 | 42
So bleibt im wesentlichen die aus Daleth+Waw+Daleth=4+6+4=14 abgeleitete Davidszahl. Sie findet sich in den 14 Geschlechtern von Abraham bis David und den gemauschelten zweimal 14 bis Jesus. Die gleiche Denkweise gilt für Johann Sebastian Bach, in dessen Musik B+A+C+H=2+1+3+8=14 nicht zufällig vorkommt.
Mathematisch gibt die 14 ebenfalls wenig her. Sie ist aber dritte quadratische Pyramidenzahl, also 1·1+2·2+3·3=14. Festkörperphysiker werden wissen, daß es 14 Bravais-Gitter gibt. Würfel und Oktaeder haben jeweils 12 Kanten und somit 12+2=14 Ecken und Flächen. Durch Absägen der Ecken eines Würfels bzw. Oktaeders entstehen 8 Dreiecke und 6 Quadrate. Der entstande Kuboktaeder hat also 14 Flächen.
Und noch eine kleine Spielerei: Eine k‑stellige Zahl n heißt Keith-Zahl, wenn man ihre Ziffern als die ersten k Glieder einer Folge nimmt, in Fibonacci-Manier immer k Folgeglieder addiert und n in dieser Folge vorkommt. [1] Unter den nicht trivialen mehrstelligen Keith-Zahlen ist 14 die kleinste.
1,4,5,9,14 (1+4=5, 4+5=9, 5+9=14) 1,9,10,19 (1+9=10, 9+10=19) 2,8,10,18,28 4,7,11,18,29,47 6,1,7,8,15,23,38,61 7,5,12,17,29,46,75 1,9,7,17,33,57,107,197 (1+9+7=17, ...)
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Keith-Zahlen A130010.
13 | 15 | 7 | 28 | 42
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13
wuerg, 13.02.2005 00:56
Die 13 gilt gemeinhin als Unglückszahl, von vielen wird sie gemieden, in amerikanischen Hochhäusern fehlt oftmals das 13. Stockwerk, Freitag der 13. gilt als besonderer Unglückstag. Bis zwölf haben wir eigenständige Zahlwörter, die ausgeschrieben werden sollten, ab 13 werden sie zusammengesetzt. Offensichtlich ist 13 einer zuviel. Dabei könnte 13 auch als Erhöhung der Zahl 12 gesehen werden, etwa Jesus und seine 12 Jünger. Welche positive Bedeutung die Freimaurer der 13 zumessen, möchte ich gar nicht wissen. [1] Das Bäckerdutzend umfaßt 13 Brötchen, um nicht Gefahr zu laufen, aus Versehen nur 11 einzupacken. Gott soll 13 Eigenschaften haben, Paulus hat sich selbst zum 13. Apostel ernannt. Für die 13. Fee reichte das Geld nicht. Hinter jeder 12 kann eine geheime, möglicherweise gefährliche 13 vermutet werden. Das unterstrichene M von McDonald's ergibt um 90 Grad gedreht eine 13 und weist auf deren Schlechtigkeit hin.
Der Kalender der Mayas kennt einen Zyklus von 13 Jahren. Im Lunisolarkalender muß ab und zu ein 13. Monat eingeschoben werden. Und weil ein Monat etwas mehr als vier Wochen umfaßt, fällt in jedem Quartal eine 13. Woche an, weshalb Fernsehserien oftmals 13 Folgen haben. Die zweite zentrierte Zwölfeckzahl ist trivialerweise 13=1+12 und wird hier nur erwähnt, weil sie deshalb zugleich zweite sechseckige Sternzahl ist, auch wenn die Zacken wie auf dem amerikanischen Dollarschein nur aus einem Punkt bestehen. Mirp-Zahlen sind Primzahlen, die ziffernvertauscht eine andere Primzahl ergeben. [2] Damit scheiden 2, 3, 5, 7 und 11 aus und die 13 mit ihrer Umkehrung 31 ist die kleinste Mirp-Zahl. [3] Die beiden Ziffern sind wie bei 12 und 21 so klein, daß 13·13=169 und 31·31=961 ebenfalls ziffernvertauscht sind. Die 13. Mersenne-Zahl 2¹³−1=8191 ist prim, die 13 ist Teil des pythagoreischen Tripels 12²+5²=13² und kommt in der Folge der Fibonaccizahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … an siebter Stelle vor. Und was die Teilbarkeit durch 13 betrifft, so gilt wegen 1001=7·11·13 die gleiche Regel wie für die 7: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn man die alternierende Quersumme von Dreierblöcken durch 13 teilen kann.
Es ist mir keine Anwendung bekannt, in der mit Vorteil zur Basis 13 gerechnet werden kann, außer „Per Anhalter durch die Galaxis“ von Douglas Adams, der zwar selbst gesagt hat, er mache keine Scherze zur Basis 13, doch sich gefallen lassen muß, daß „Six by Nine. Forty two.“ als 6·9=42 zur Basis 13 interpretiert korrekt ist und mit „4 und 2“ (nicht 42) auch die Zahl 4·13+2=54=6·9 gemeint sein könnte. Ich bin wahrscheinlich nicht der erste, der diesen Gedanken weitergesponnen hat: Sehe ich auch 54 als eine Tredezimalzahl, dann steht sie für 5·13+4=69. Und da sind sie wieder, 6 und 9! Deshalb habe ich mir den Spaß erlaubt, dieses Prinzip nach vorne und hinten fortzusetzen und kam so auf die Reihe 12, 15, 18, 21, 27, 33, 42, 54, 69, 87, 111, 183, 276, 435, 720, … mit den genannten Zahlen 42, 54 und 69, aber auch der beliebten 111=3·37 und der 23. Dreieckszahl 276 der Bibel. Schön wäre 666 gewesen. Des ungeachtet meine ich, mit „4 und 2“ sei vielleicht 24 gemeint, die eher etwas mit dem Universum und allem zu tun haben könnte.
Und wenn ich schon die biblische 276 erwähne: Nachdem Gerdhard Kringe im Internet die Zahl 12 gepriesen hat, stimmt er nicht ein in eine Verdammung der 13 als Unglückszahl. [5] Er unterstützt die andere Sicht von der Erhöhung der 12 um eins. Was jedem sofort einfällt, sind Jesus und seine Jünger, die zusammen (die wilde) 13 bilden. Das läßt er aus, schreibt aber: „Die Zahl der herausgerufenen Erstlingsgemeinde ist die "13". Für diese Herausgerufene steht der 13. Apostel, Paulus. In dieser Zahl verbirgt sich nicht mehr die Zahl des Kosmos. 13 ist auch die Zahl der Liebe (1.Kor.13).“ Doch Ableitungen aus Versnummern sind den meisten Menschen so fremd wie konstruierte Additionen: „13 ist auch 10+3; 10 = die Vollzahl, die Fülle, die Verantwortung und das Ziel. 3 = die Ganzheit, die Dreieinigkeit, die Gottesoffenbarung. Ohne diese Zahlen überstrapazieren zu wollen …“ Und das will auch ich nicht.
[1] Manche sehen nicht nur auf dem Dollarschein eine Unterwanderung der USA durch die Freimaurer. Da passen die 13 Gründungsstaaten gut ins Bild.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mirp-Zahlen (emirps) A006567.
[3] Diese Bezeichnung erinnert an die Spaßfrage: Was macht eine Biene im Rückwärtsgang? Mus, mus!
[4] Eine junge Zibbe (0) gebiert eine weitere (0) und wird alt (1). Eine alte Zibbe (1) gebiert eine weitere Nachkommin (0) und stirbt. Die Übergangsregeln zur nächsten Generation lauten also 0→01 und 1→0. Man beginnt in der ersten Generation mit einer einzigen alten Zibbe 1, die in 0 übergeht, die wiederum in 01, gefolgt von 010 und so weiter. Die n‑te Generation besteht aus F(n) Zibben, davon F(n−1) jung und F(n−2) alt.
[5] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
12 | 14 | 31 | 42 | Fr, 13. | Fibonacci-Zahlen | Teilbarkeitsregeln
Der Kalender der Mayas kennt einen Zyklus von 13 Jahren. Im Lunisolarkalender muß ab und zu ein 13. Monat eingeschoben werden. Und weil ein Monat etwas mehr als vier Wochen umfaßt, fällt in jedem Quartal eine 13. Woche an, weshalb Fernsehserien oftmals 13 Folgen haben. Die zweite zentrierte Zwölfeckzahl ist trivialerweise 13=1+12 und wird hier nur erwähnt, weil sie deshalb zugleich zweite sechseckige Sternzahl ist, auch wenn die Zacken wie auf dem amerikanischen Dollarschein nur aus einem Punkt bestehen. Mirp-Zahlen sind Primzahlen, die ziffernvertauscht eine andere Primzahl ergeben. [2] Damit scheiden 2, 3, 5, 7 und 11 aus und die 13 mit ihrer Umkehrung 31 ist die kleinste Mirp-Zahl. [3] Die beiden Ziffern sind wie bei 12 und 21 so klein, daß 13·13=169 und 31·31=961 ebenfalls ziffernvertauscht sind. Die 13. Mersenne-Zahl 2¹³−1=8191 ist prim, die 13 ist Teil des pythagoreischen Tripels 12²+5²=13² und kommt in der Folge der Fibonaccizahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … an siebter Stelle vor. Und was die Teilbarkeit durch 13 betrifft, so gilt wegen 1001=7·11·13 die gleiche Regel wie für die 7: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn man die alternierende Quersumme von Dreierblöcken durch 13 teilen kann.
● 3. Generation: 0 + 1 2=1+1 ● ● ● ● 4. Generation: 0 1 + 0 3=2+1 ● ● ● 5. Generation: 0 1 0 + 0 1 5=3+2 ● ● ● ● 6. Generation: 0 1 0 0 1 + 0 1 0 8=5+3 ● 7. Generation: 01 0 01 01 0 + 0 1 0 0 1 13=8+5Sternzahl, Kaninchenvermehrung [4] und Bitketten (png)
Es ist mir keine Anwendung bekannt, in der mit Vorteil zur Basis 13 gerechnet werden kann, außer „Per Anhalter durch die Galaxis“ von Douglas Adams, der zwar selbst gesagt hat, er mache keine Scherze zur Basis 13, doch sich gefallen lassen muß, daß „Six by Nine. Forty two.“ als 6·9=42 zur Basis 13 interpretiert korrekt ist und mit „4 und 2“ (nicht 42) auch die Zahl 4·13+2=54=6·9 gemeint sein könnte. Ich bin wahrscheinlich nicht der erste, der diesen Gedanken weitergesponnen hat: Sehe ich auch 54 als eine Tredezimalzahl, dann steht sie für 5·13+4=69. Und da sind sie wieder, 6 und 9! Deshalb habe ich mir den Spaß erlaubt, dieses Prinzip nach vorne und hinten fortzusetzen und kam so auf die Reihe 12, 15, 18, 21, 27, 33, 42, 54, 69, 87, 111, 183, 276, 435, 720, … mit den genannten Zahlen 42, 54 und 69, aber auch der beliebten 111=3·37 und der 23. Dreieckszahl 276 der Bibel. Schön wäre 666 gewesen. Des ungeachtet meine ich, mit „4 und 2“ sei vielleicht 24 gemeint, die eher etwas mit dem Universum und allem zu tun haben könnte.
Und wenn ich schon die biblische 276 erwähne: Nachdem Gerdhard Kringe im Internet die Zahl 12 gepriesen hat, stimmt er nicht ein in eine Verdammung der 13 als Unglückszahl. [5] Er unterstützt die andere Sicht von der Erhöhung der 12 um eins. Was jedem sofort einfällt, sind Jesus und seine Jünger, die zusammen (die wilde) 13 bilden. Das läßt er aus, schreibt aber: „Die Zahl der herausgerufenen Erstlingsgemeinde ist die "13". Für diese Herausgerufene steht der 13. Apostel, Paulus. In dieser Zahl verbirgt sich nicht mehr die Zahl des Kosmos. 13 ist auch die Zahl der Liebe (1.Kor.13).“ Doch Ableitungen aus Versnummern sind den meisten Menschen so fremd wie konstruierte Additionen: „13 ist auch 10+3; 10 = die Vollzahl, die Fülle, die Verantwortung und das Ziel. 3 = die Ganzheit, die Dreieinigkeit, die Gottesoffenbarung. Ohne diese Zahlen überstrapazieren zu wollen …“ Und das will auch ich nicht.
[1] Manche sehen nicht nur auf dem Dollarschein eine Unterwanderung der USA durch die Freimaurer. Da passen die 13 Gründungsstaaten gut ins Bild.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mirp-Zahlen (emirps) A006567.
[3] Diese Bezeichnung erinnert an die Spaßfrage: Was macht eine Biene im Rückwärtsgang? Mus, mus!
[4] Eine junge Zibbe (0) gebiert eine weitere (0) und wird alt (1). Eine alte Zibbe (1) gebiert eine weitere Nachkommin (0) und stirbt. Die Übergangsregeln zur nächsten Generation lauten also 0→01 und 1→0. Man beginnt in der ersten Generation mit einer einzigen alten Zibbe 1, die in 0 übergeht, die wiederum in 01, gefolgt von 010 und so weiter. Die n‑te Generation besteht aus F(n) Zibben, davon F(n−1) jung und F(n−2) alt.
[5] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
12 | 14 | 31 | 42 | Fr, 13. | Fibonacci-Zahlen | Teilbarkeitsregeln
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Terz
wuerg, 11.02.2005 12:10
So wie die Oktave (2:1) aus sieben, die Quinte (3:2) aus vier und die Quarte (4:3) aus drei Schritten einer Tonleiter oder im Notenliniensystem besteht, so sind es bei der Terz zwei. Während erstere nur selten von 12, 7 bzw. 5 Halbtönen abweichen, tritt die Terz regelmäßig in zwei Ausprägungen auf, was die Unvorteilhaftigkeit der herkömmlichen Intervall-Bezeichnungen deutlich macht. Und leider liegt die natürliche große Terz (5:4) mit 386 Cent deutlich unterhalb von 4 chromatischen Halbtönen und die kleine natürliche Terz (6:5) mit 316 deutlich über 3 derselben.
Auf die Frage, wie man die Oktave gleichmäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Kettenbruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,…] die Antwort. Es ist günstig in 3,28,59,146,… Intervalle zu teilen, wovon 1,9,19,47,… eine große Terz nähern. Die 9 im Kettenbruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also ein Drittel der Oktave die große Terz einigermaßen trifft. Die gleiche Überlegung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,…], was 4,19,422,… Intervalle mit 1,5,111,… für die kleine Terz bedeutet. Die 4 im Kettenbruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also ein Viertel der Oktave die kleine Terz einigermaßen gut trifft. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Kettenbruch.
Welche Teilungen sind also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natürlich die Teilung in 12 Intervalle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegenüber der Zwölftonleiter nicht verschlechtern, so kommt die 53‑Tonleiter mit Intervall-Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natürlich sehr genau. Und glücklicherweise sind 17 und 14 Intervalle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.
Die gleichstufige 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53‑Tonleiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbessern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19‑Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Intervalle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz dargestellt. Die kleine Terz stimmt natürlich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompromiß, der auch nur eine musikalische Nische ausfüllt.
19 | Quinte | Oktave
Auf die Frage, wie man die Oktave gleichmäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Kettenbruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,…] die Antwort. Es ist günstig in 3,28,59,146,… Intervalle zu teilen, wovon 1,9,19,47,… eine große Terz nähern. Die 9 im Kettenbruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also ein Drittel der Oktave die große Terz einigermaßen trifft. Die gleiche Überlegung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,…], was 4,19,422,… Intervalle mit 1,5,111,… für die kleine Terz bedeutet. Die 4 im Kettenbruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also ein Viertel der Oktave die kleine Terz einigermaßen gut trifft. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Kettenbruch.
Welche Teilungen sind also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natürlich die Teilung in 12 Intervalle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegenüber der Zwölftonleiter nicht verschlechtern, so kommt die 53‑Tonleiter mit Intervall-Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natürlich sehr genau. Und glücklicherweise sind 17 und 14 Intervalle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.
Die gleichstufige 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53‑Tonleiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbessern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19‑Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Intervalle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz dargestellt. Die kleine Terz stimmt natürlich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompromiß, der auch nur eine musikalische Nische ausfüllt.
19 | Quinte | Oktave
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Quinte
wuerg, 10.02.2005 17:06
So wie die Oktave aus sieben Schritten einer Tonleiter oder im Notenliniensystem besteht, so sind es bei der Quinte vier. Die reine Quinte hat das Schwingungsverhältnis 3:2 und ist mit 702 Cent nur wenig größer als sieben Halbtöne. Es wäre sinnvoll gewesen, die in der Nähe von 700 liegenden Intervalle mit einem Namen zu belegen, der auf sieben hindeutet.
Wenn man wie die alten Griechen nur Intervalle als harmonisch sieht, die sich aus Oktaven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasteninstrumenten das Problem, nicht alle so entstehenden Töne vorsehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Oktaven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.
Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Intervalle wird den Griechen einigermaßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstellung von ld(3/2)=[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Kettenbruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,41,53,306,665,… Intervalle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,31,179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] entschieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgenden 5 im Kettenbruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).
5 | 7 | 12 | 31 | 53 | Oktave
Wenn man wie die alten Griechen nur Intervalle als harmonisch sieht, die sich aus Oktaven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasteninstrumenten das Problem, nicht alle so entstehenden Töne vorsehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Oktaven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.
Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Intervalle wird den Griechen einigermaßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstellung von ld(3/2)=[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Kettenbruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,41,53,306,665,… Intervalle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,31,179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] entschieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgenden 5 im Kettenbruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).
5 | 7 | 12 | 31 | 53 | Oktave
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Oktave
wuerg, 09.02.2005 14:06
Oktave hat natürlich etwas mit acht zu tun und bezeichnet (ursprünglich) das von zwei Tönen einer Tonleiter gebildete Intervall, wenn es acht Töne umfaßt, so man beide Randtöne voll mitzählt. In den gängigen Tonleitern führt das immer auf ein Schwingungsverhältnis von 2:1, was sicherheitshalber als reine Oktave bezeichnet wird, denn es sind Abweichungen davon möglich. Zum einen könnten die Oktaven absichtlich verstimmt werden, etwa zur Anpassung an die Quinte oder das menschliche Gehör. Zum anderen könnten sieben Tonschritte durchaus weit neben 2:1 liegen. Das geht aber nicht soweit, daß sieben Halbtonschritte der Zwölftonleiter als Oktave bezeichnet werden, denn heutzutage orientiert man sich an der gängigen Notation. Eine Oktave ist immer das, was vier Notenlinien und vier Zwischenräume umfaßt.
Langer Rede kurzer Sinn: Jeder weiß, was eine Oktave sein soll, doch der Name ist nicht sehr günstig und seine Verwendung für weit von der reinen Oktave abweichende Intervalle auch. Besser wäre eine Bezeichnung auf der Basis der eingeschlossenen Halbtonschritte, für die halbwegs bei 2:1 liegenden Intervalle also irgendwas mit zwölf. Und unsere Urväter können sich nicht damit entschuldigen, die Zwölftonmusik nicht gekannt zu haben, denn sie wußten besser als wir heute, wie groß die einzelnen Intervalle sind und daß man sich das Leben mit additionstauglichen Namen erleichtert. Da Strafe sein muß, ist es lustig zu sehen, wenn zur Versetzung um zwei Oktaven eine 16 über oder unter dem Notenschlüssel steht, obwohl 15 richtig wäre. Mit den Wochen ist es umgekehrt, da sagen wir in 8 bzw. 14 Tagen. Zur Übung: Ein 10‑bändiges Lexikon mit 1000 Seiten pro Band steht im Regal. Ein Bücherwurm frißt sich von der ersten Seite des ersten Bandes auf die letzte Seite des letzten durch. Wieviele Seiten hat er durchlöchert?
7 | 8 | 12
Langer Rede kurzer Sinn: Jeder weiß, was eine Oktave sein soll, doch der Name ist nicht sehr günstig und seine Verwendung für weit von der reinen Oktave abweichende Intervalle auch. Besser wäre eine Bezeichnung auf der Basis der eingeschlossenen Halbtonschritte, für die halbwegs bei 2:1 liegenden Intervalle also irgendwas mit zwölf. Und unsere Urväter können sich nicht damit entschuldigen, die Zwölftonmusik nicht gekannt zu haben, denn sie wußten besser als wir heute, wie groß die einzelnen Intervalle sind und daß man sich das Leben mit additionstauglichen Namen erleichtert. Da Strafe sein muß, ist es lustig zu sehen, wenn zur Versetzung um zwei Oktaven eine 16 über oder unter dem Notenschlüssel steht, obwohl 15 richtig wäre. Mit den Wochen ist es umgekehrt, da sagen wir in 8 bzw. 14 Tagen. Zur Übung: Ein 10‑bändiges Lexikon mit 1000 Seiten pro Band steht im Regal. Ein Bücherwurm frißt sich von der ersten Seite des ersten Bandes auf die letzte Seite des letzten durch. Wieviele Seiten hat er durchlöchert?
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