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Neun
wuerg, 01.02.2005 14:39
Will man der Neun eine Bedeutung zumessen, so ergeben sich sofort zwei in die gleiche Richtung weisende Möglichkeiten. Die Erhöhung der schon vollkommenen Acht und als Verdreifachung der schon heiligen Drei. Deshalb steht sie für die höchste Vollkommenheit, als ungerade und damit männliche Zahl für den aufrechten Mann. Auf den Kopf gedreht ergibt 9 die eher mit Hexerei in Verbindung stehende 6, weshalb nicht lange geraten werden muß, wem in 69 welche Rolle zugedacht wird. Gleichberechtigter wäre das Zeichen ♋ des Krebses.
Sprachlich soll neun etwas mit neu zu tun haben, da man früher ohne Daumen gezählt habe und bei neun neu beginnen mußte. Nur frage ich mich, weshalb wir dann mit Dezimal- und nicht mit Oktalzahlen rechnen. Ich vermute, daß man die Achtfingermethode nur dort angewendet hat, wo fortwärend halbiert und verdoppelt wurde, bei den Maßen und Gewichten. [1] Sicherlich neuzeitlich ist die Interpretation der Neun als „nein, ich will hier nichts machen und schnell wieder weg“ wegen der lautlichen Übereinstimmung mit dem englischen nine. So hielten es manche Programmierer bei der Gestaltung von Bildschirm-Menus der Siebziger Jahre. Heute wird ihnen sowas von Designern vorgegeben.
Recht willkürlich ist die Bedeutung der Neun als größte einstellige Zahl des Dezimalsystems, weshalb jede Zahl bei der Division durch 9 den gleichen Rest läßt wie ihre Quersumme. Und so führt die Vorgehensweise der Numerologen, aus Zahlen und aus in Zahlen umgesetzten Buchstaben durch fortwährende Addition der Ziffern alles auf eine Zahl von 1 bis 9 zu reduzieren, immer auf den Rest der Division durch 9, sofern man statt der 0 eine 9 nimmt. Allem und jedem Zahlen oder Ziffern zuzuordnen und dann diese digital root [2] zu bilden, ist also primitives Abzählen in Neuner-Blöcken, verschleiert durch mehrstufiges Brimborium. Nähme man statt 9 die 10, entschiede einfach die Endziffer und keiner würde in Ehrfurcht erstarren. Mein Geburtsdatum kommt auf eine bescheidene 6, doch erst im zweiten Schritt nach der 33!
Da Zahl und Quersumme durch 9 geteilt den gleichen Rest lassen, kann nicht nur die Teilbarkeit durch 9 leicht geprüft werden. Es ist auch Grundlage der Neunerprobe: Man wiederholt Addition und Multiplikation einfach mit den iterierten Quersummen und kann die 9 sogar durch 0 ersetzen (streichen). Stimmt die so vereinfachte Rechnung nicht, ist irgendetwas nicht in Ordnung. [3]
Neun ist als Quadratzahl natürlich eine figurierte Zahl. Und aus den Zahlen 1 bis 9 kann man das kleinste aller magischen Quadrate bilden. Moderne Esoteriker weisen es dem höchsten aller Planeten, dem die römische Woche anführenden Saturn zu. Neben den Zahlen 3 und 9 stehen für ihn auch die Gesamtsumme 45 und die magische Zahl 15 der Zeilen-, Spalten- und Diagonalsummen. Bis auf Drehung und Spiegelung gibt es nur ein solches magisches Quadrat: Steht in der Mitte die Zahl n, so müssen die Randfelder sich zu 45−n addieren, weil von der Gesamtsumme 45 nur n fehlt. Andererseits addiert sich jedes der vier gegenüberliegenden Randpaare zu 15−n. Zusammen bilden sie den Rand mit 4(15−n)=45−n, was n=5 erzwingt. Stünde die 1 in einer Ecke, blieben für 2, 3 und 4 nur die mit einem X markierten Felder. Das sind zuwenige. Also steht 1 an einer Kantenmitte, im Bild oBdA oben. Unten muß dann die 9 stehen, weshalb in der obersten Zeile nur noch 6 und 8 möglich sind. Der Rest ist erzwungen und liefert das bis auf Drehung und Spiegelung einzige magische Quadrat der Größe 3×3.
Daß 9 als Potenz der Drei so knapp an der Zweierpotenz 8 liegt, führte zu der Frage, ob es noch andere Zusammentreffen von Zweier- und Dreierpotenzen im Abstand von eins gibt. Das war auch von theoretischem Interesse für die pythagoreische Teilung der Oktave. Eine enharmonische Verwechselung von 9/8 ist viel zu grob, schöner wäre (n+1)/n für ein größeres n. Das Gefühl winkt sofort ab, und tatsächlich konnte Levi ben Gershon schon im 14. Jahrhundert beweisen, daß 9 und 8 die beiden einzigen sind. Catalan vermutete 1844, dies gelte für alle Potenzen, doch erst im Jahre 2002 konnte Preda Mihailescu beweisen: Von allen Potenzen natürlicher Zahlen sind 8 und 9 die einzigen im Abstand 1.
Die Kreiszahl π sei rational, sogar ein in der 761. Stelle mit 5 endender Dezimalbruch, weil die Berechnung in der Folge nur noch Neunen liefere. Das wollten Richard Feynman und Douglas R. Hofstadter angeblich den Leuten weismachen, indem sie ab der 762. Stelle „nine nine nine nine nine nine and so on“ zu sagen planten. Doch beide schafften es nie, π derart weit auswendig zu lernen. So blieb es dabei, daß die 762. Stelle, ab der sechsmal hintereinander eine 9 erscheint, Feynman-Punkt heißt. Natürlich ist es sehr unwahrscheinlich, daß so früh eine Folge von sechs Neunen auftritt. Doch gibt es eine Reihe von Besonderheiten, nach denen man in den Nachkommastellen suchen kann. Und dann ist die Wahrscheinlichkeit für irgendeinen auffälligen Furz gar nicht mehr so gering. Es bleibt aber bemerkenswert. [4]
Was gibt es sonst noch? Neun ist Quadrat einer Dreieckszahl und damit Summe 1+8=9 von ersten Kubikzahlen. [5] Und wie jede Zahl Summe von 4 Quadratzahlen ist, so auch von 9 nichtnegativen Kubikzahlen. [6] Es gab einmal neun Planeten. [7] Eine Katze hat neun Leben, der Bahai-Stern neun Zacken. Wegen „Revolution No. 9“ bei den Beatles nach Neunen zu suchen, ist wenig ergiebig, hält manche aber nicht ab. Ein Enneagramm ist für Esoteriker nicht einfach ein Neuneck oder ein neunzackiger Stern, sondern verwurstelt die Periode 142857 von 1/7 mit dem dreieckigen Rest 3, 6, 9. Psychologische Preise enden gerne mit mindestens einer Neun, besonders penetrant an Tankstellen mit ihren Millieuro. Ein Standard-Sudoku erfordert neunmal jede Ziffer von 1 bis 9 in einem 9×9‑Quadrat gemäß den hoffentlich bekannten Regeln. Neun-Live gibt es leider nicht mehr.
[1] Vier Finger (digit, etwa 2 cm) bilden eine Handbreite ohne Daumen (palm) und zwei solcher Hände eine Spanne (shaftment). Und wenn man mit den Fingern etwas abmessen wollte, dann war der Daumen einfach im Wege.
[2] Ein schönes deutsches Wort dafür fällt mir nicht ein. Zahlen-, Ziffern- oder digitale Wurzel scheiden für mein Ohr aus. Manche sprechen von einer einstelligen Quersumme, ich bevorzuge iterierte Quersumme.
[3] Die Neunerprobe ist in etwas mehr als zehn Prozent der fehlerhaften Rechnungen falsch positiv. Ein 15 Jahre später dank Corona und PCR‑Test jedem bekannter Begriff. Auch falsch negativ ist möglich, wenn man sich bei der Probe selbst verrechnet hat. Wer sicherer sein will, macht zusätzlich die Elferprobe.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Neunerfolgen A048940 in den Dezimalstellen vom π.
[5] 1+8+27=36, 1+8+27+64=100, allgemein 13+23+…+n3=Dn2.
[6] Nur 23=8+8+1+1+1+1+1+1+1 und 239=125+27+27+27+8+8+8+8+1 erfordern volle neun Summanden. Wer nun 16 für vierte Potenzen vermutet, liegt falsch. Es sind 19.
[7] Mein Vater Erklärt Mir Jeden Sonntag Unsere Neun Planeten.
8 | 10 | 3 | 999 | 142857 | Teilbarkeitsregeln | Sudoku 1 2 3 4 5 | Neun-Live Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
Sprachlich soll neun etwas mit neu zu tun haben, da man früher ohne Daumen gezählt habe und bei neun neu beginnen mußte. Nur frage ich mich, weshalb wir dann mit Dezimal- und nicht mit Oktalzahlen rechnen. Ich vermute, daß man die Achtfingermethode nur dort angewendet hat, wo fortwärend halbiert und verdoppelt wurde, bei den Maßen und Gewichten. [1] Sicherlich neuzeitlich ist die Interpretation der Neun als „nein, ich will hier nichts machen und schnell wieder weg“ wegen der lautlichen Übereinstimmung mit dem englischen nine. So hielten es manche Programmierer bei der Gestaltung von Bildschirm-Menus der Siebziger Jahre. Heute wird ihnen sowas von Designern vorgegeben.
Recht willkürlich ist die Bedeutung der Neun als größte einstellige Zahl des Dezimalsystems, weshalb jede Zahl bei der Division durch 9 den gleichen Rest läßt wie ihre Quersumme. Und so führt die Vorgehensweise der Numerologen, aus Zahlen und aus in Zahlen umgesetzten Buchstaben durch fortwährende Addition der Ziffern alles auf eine Zahl von 1 bis 9 zu reduzieren, immer auf den Rest der Division durch 9, sofern man statt der 0 eine 9 nimmt. Allem und jedem Zahlen oder Ziffern zuzuordnen und dann diese digital root [2] zu bilden, ist also primitives Abzählen in Neuner-Blöcken, verschleiert durch mehrstufiges Brimborium. Nähme man statt 9 die 10, entschiede einfach die Endziffer und keiner würde in Ehrfurcht erstarren. Mein Geburtsdatum kommt auf eine bescheidene 6, doch erst im zweiten Schritt nach der 33!
Da Zahl und Quersumme durch 9 geteilt den gleichen Rest lassen, kann nicht nur die Teilbarkeit durch 9 leicht geprüft werden. Es ist auch Grundlage der Neunerprobe: Man wiederholt Addition und Multiplikation einfach mit den iterierten Quersummen und kann die 9 sogar durch 0 ersetzen (streichen). Stimmt die so vereinfachte Rechnung nicht, ist irgendetwas nicht in Ordnung. [3]
● ● ● 1 • • • 1 • 8 1 6 8 1 6 ● ● ● • 5 X • 5 • • 5 • 3 5 7 ● ● ● • X 9 • 9 • • 9 • 4 9 2Neun als Quadratzahl und das kleinste magische Quadrat (png)
Neun ist als Quadratzahl natürlich eine figurierte Zahl. Und aus den Zahlen 1 bis 9 kann man das kleinste aller magischen Quadrate bilden. Moderne Esoteriker weisen es dem höchsten aller Planeten, dem die römische Woche anführenden Saturn zu. Neben den Zahlen 3 und 9 stehen für ihn auch die Gesamtsumme 45 und die magische Zahl 15 der Zeilen-, Spalten- und Diagonalsummen. Bis auf Drehung und Spiegelung gibt es nur ein solches magisches Quadrat: Steht in der Mitte die Zahl n, so müssen die Randfelder sich zu 45−n addieren, weil von der Gesamtsumme 45 nur n fehlt. Andererseits addiert sich jedes der vier gegenüberliegenden Randpaare zu 15−n. Zusammen bilden sie den Rand mit 4(15−n)=45−n, was n=5 erzwingt. Stünde die 1 in einer Ecke, blieben für 2, 3 und 4 nur die mit einem X markierten Felder. Das sind zuwenige. Also steht 1 an einer Kantenmitte, im Bild oBdA oben. Unten muß dann die 9 stehen, weshalb in der obersten Zeile nur noch 6 und 8 möglich sind. Der Rest ist erzwungen und liefert das bis auf Drehung und Spiegelung einzige magische Quadrat der Größe 3×3.
Daß 9 als Potenz der Drei so knapp an der Zweierpotenz 8 liegt, führte zu der Frage, ob es noch andere Zusammentreffen von Zweier- und Dreierpotenzen im Abstand von eins gibt. Das war auch von theoretischem Interesse für die pythagoreische Teilung der Oktave. Eine enharmonische Verwechselung von 9/8 ist viel zu grob, schöner wäre (n+1)/n für ein größeres n. Das Gefühl winkt sofort ab, und tatsächlich konnte Levi ben Gershon schon im 14. Jahrhundert beweisen, daß 9 und 8 die beiden einzigen sind. Catalan vermutete 1844, dies gelte für alle Potenzen, doch erst im Jahre 2002 konnte Preda Mihailescu beweisen: Von allen Potenzen natürlicher Zahlen sind 8 und 9 die einzigen im Abstand 1.
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164 0628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172 5359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975 6659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482 1339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436 7892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953 0921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381 8301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277 0539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342 7577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999...Feynman-Punkt an der 762. Nachkommastelle
Die Kreiszahl π sei rational, sogar ein in der 761. Stelle mit 5 endender Dezimalbruch, weil die Berechnung in der Folge nur noch Neunen liefere. Das wollten Richard Feynman und Douglas R. Hofstadter angeblich den Leuten weismachen, indem sie ab der 762. Stelle „nine nine nine nine nine nine and so on“ zu sagen planten. Doch beide schafften es nie, π derart weit auswendig zu lernen. So blieb es dabei, daß die 762. Stelle, ab der sechsmal hintereinander eine 9 erscheint, Feynman-Punkt heißt. Natürlich ist es sehr unwahrscheinlich, daß so früh eine Folge von sechs Neunen auftritt. Doch gibt es eine Reihe von Besonderheiten, nach denen man in den Nachkommastellen suchen kann. Und dann ist die Wahrscheinlichkeit für irgendeinen auffälligen Furz gar nicht mehr so gering. Es bleibt aber bemerkenswert. [4]
Was gibt es sonst noch? Neun ist Quadrat einer Dreieckszahl und damit Summe 1+8=9 von ersten Kubikzahlen. [5] Und wie jede Zahl Summe von 4 Quadratzahlen ist, so auch von 9 nichtnegativen Kubikzahlen. [6] Es gab einmal neun Planeten. [7] Eine Katze hat neun Leben, der Bahai-Stern neun Zacken. Wegen „Revolution No. 9“ bei den Beatles nach Neunen zu suchen, ist wenig ergiebig, hält manche aber nicht ab. Ein Enneagramm ist für Esoteriker nicht einfach ein Neuneck oder ein neunzackiger Stern, sondern verwurstelt die Periode 142857 von 1/7 mit dem dreieckigen Rest 3, 6, 9. Psychologische Preise enden gerne mit mindestens einer Neun, besonders penetrant an Tankstellen mit ihren Millieuro. Ein Standard-Sudoku erfordert neunmal jede Ziffer von 1 bis 9 in einem 9×9‑Quadrat gemäß den hoffentlich bekannten Regeln. Neun-Live gibt es leider nicht mehr.
[1] Vier Finger (digit, etwa 2 cm) bilden eine Handbreite ohne Daumen (palm) und zwei solcher Hände eine Spanne (shaftment). Und wenn man mit den Fingern etwas abmessen wollte, dann war der Daumen einfach im Wege.
[2] Ein schönes deutsches Wort dafür fällt mir nicht ein. Zahlen-, Ziffern- oder digitale Wurzel scheiden für mein Ohr aus. Manche sprechen von einer einstelligen Quersumme, ich bevorzuge iterierte Quersumme.
[3] Die Neunerprobe ist in etwas mehr als zehn Prozent der fehlerhaften Rechnungen falsch positiv. Ein 15 Jahre später dank Corona und PCR‑Test jedem bekannter Begriff. Auch falsch negativ ist möglich, wenn man sich bei der Probe selbst verrechnet hat. Wer sicherer sein will, macht zusätzlich die Elferprobe.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Neunerfolgen A048940 in den Dezimalstellen vom π.
[5] 1+8+27=36, 1+8+27+64=100, allgemein 13+23+…+n3=Dn2.
[6] Nur 23=8+8+1+1+1+1+1+1+1 und 239=125+27+27+27+8+8+8+8+1 erfordern volle neun Summanden. Wer nun 16 für vierte Potenzen vermutet, liegt falsch. Es sind 19.
[7] Mein Vater Erklärt Mir Jeden Sonntag Unsere Neun Planeten.
8 | 10 | 3 | 999 | 142857 | Teilbarkeitsregeln | Sudoku 1 2 3 4 5 | Neun-Live Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
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