Zahlwort

Weitgehend bekannt ist, wie sich die Dreiecks­zah­len Dₙ aus Drei­ecken und die Qua­drat­zah­len Qₙ aus Qua­dra­ten erge­ben. Dieses Ver­fah­ren kann auf Fünf­ecke, Sechs­ecke, Sieben­ecke usw. wie folgt fort­ge­setzt werden:

    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
   k=3        4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
   n=4        k=4           k=5              4   4
                                               4   k=6

Die vierten Dreiecks-, Quadrat-, Fünfeck-, Sechseck­zahlen [1]

Man sieht, daß für k>4 die geome­trische Schön­heit zuneh­mend ver­loren geht und für große n rie­sige Löcher ent­stehen, sofern man die Poly­gone nicht stark ver­biegt. Dennoch werden Punkt­zahlen dieser Gebilde normale, einfache, gewöhn­liche oder schlicht die Poly­gonal­zahlen genannt. Oft heißen sie auch unzen­triert oder dezen­tral, wodurch sie zumin­dest sprach­lich hinter die eben­mäßi­geren, runder und symme­tri­scher aus­sehen­den zen­trier­ten Poly­gonal­zahlen zurück­fallen. [2]

Die Bildung der Figuren beginnt für n=1 mit einem Punkt (1). Für n=2 ist es ein k‑Eck mit 2 Punk­ten pro Kante. Dem Anfangs­punkt und seinen beiden Kanten (1–2) über­lagert man sodann für n=3 ein k‑Eck mit 3 Punk­ten pro Kante. Das geht so weiter bis zu einem über­lagern­den k‑Eck mit n Punk­ten auf jeder Kante. Die Gesamt­zahl der Punkte ist die n‑te k‑Eck­zahl

P^k_n = n((k−2)n−(k−4))/2 = n+(k−2)D_n−1 = D_n+(k−3)D_n−1 = n²+(k−4)D_n−1

worin Dₙ=P³ₙ=n(n+1)/2 die n‑te Drei­ecks­zahl ist.

 n  1 2  3  4  5  6   7   8   9  10  11  12
P3n 1 3  6 10 15 21  28  36  45  55  66  78 Dreieckszahlen   Dn=n(n+1)/2
P4n 1 4  9 16 25 36  49  64  81 100 121 144 Quadratzahlen    Qn=n2
P5n 1 5 12 22 35 51  70  92 117 145 176 210 Pentagonalzahlen Fn=n(3n−1)/2
P6n 1 6 15 28 45 66  91 120 153 190 231 276 Hexagonalzahlen  Hn=n(2n−1)
P7n 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 Heptagonalzahlen Sn=n(5n−3)/2
P8n 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 Oktagonalzahlen  An=n(3n−2)

Die Formel für diese Polygonal­zahlen läßt auf alle k,n aus ℕ, ja ℤ, ℝ oder mehr fort­setzen. Für festes n sind es Geraden mit Stei­gung Dₙ₋₁, für festes k≠2 Para­beln. Inter­essant sind die Zwei­eck­zahlen Zₙ=n, die Eineck­zahlen Eₙ=n(3−n)/2 und die Nulleck­zahlen Nₙ=n(2−n).

[1] Aus lautlichen Gründen gestatte ich mir nur bei den Dreiecks­zahlen ein Fugen‑S, zumal ich Qua­drats­zahlen nie hörte und mich an Dreieck­zahlen nicht erin­nern kann. Es ist wie mit dreißig und vierzig.

[2] Das liegt wohl an den alten Griechen, die sich für die zen­trier­ten Poly­gonal­zahlen vermutvlich weniger inter­essier­ten. Immer wieder erschei­nen derart holprige Attri­bute. So ist die Zahl  zwar nicht zusammen­gesetzt, gilt aber dennoch als stark zusammen­gesetzt, da alle klei­neren Zahlen weniger Teiler haben. Auch sind alle Körper Schief­körper, obwohl sie kommu­tativ, also nicht schief sind. Und im Jahre 2026 werden Ein­heimi­sche zu Nicht-​Migran­ten. Dem­nächst sind wir alle Migran­ten, nur die Ein­wande­rer keine Nicht-​Migran­ten, also von diesem Makel befreit.

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Dreiecks­zahlen A000217, Quadrat­zahlen A000290, Fünkf­eck­zahlen A000326, Sechs­eck­zahlen A000384, alle Polygonalzahlen mit k,n>2 A090466.

[4] Jutta Gut: Figurierte Zahlen.

[5] Wolfram Mathworld. Figurate Number.

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