Zahlwort

Zu jeder Zahl kann ermittelt werden, auf wieviele Arten sie als Summe aufein­ander­folgender Prim­zahlen geschrieben werden kann. Und es liegt die Frage auf der Hand, welche die kleinste Zahl zu einer vorge­gebenen Anzahl von Zerle­gungen ist. [1] So kann die 41 auf drei­fache Art als Summe von Prim­zahlen in Folge geschrie­ben werden, nämlich als 3+5+7+11+13, als 11+13+17 und als 41 allein. Und 41 ist die kleinste Zahl mit dieser Eigen­schaft. Für exakt 1, 2, 3, 4 und 5 Sum­manden erhält man als kleinste Summe 2, 5, 41, 1151 und 311:

1    2    3              4                      5                   
2    5    41             1151                   311
     2+3  11+13+17       379+383+389            101+103+107
          2+3+5+7+11+13  223+227+229+233+239    53+59+61+67+71
                         7+11+13+...+89+97+101  31+37+41+43+47+53+59
                                                11+13+17...+41+43+47

Darunter ist die Zahl 311 deshalb bemer­kenswert, weil sie mit fünf Zerle­gungen deut­lich kleiner ist als 1151 mit nur vieren.

Das ist zwar keine Eigenschaft mit irgend­einem prak­tischen Nutzen, dennoch aber eine von allge­meiner Bedeutung, daß sie Besuchern aus dem Welt­raum zwar nicht geläufig, aber bekannt sein wird. Das unter­scheidet von irdi­schen Belie­big­keiten: Der 311 als ameri­kanische Nicht-​Notruf-​Nummer im Gegen­satz zur 911. Dem Anschlag in Madrid (3/11/2004) im Gegen­satz zu dem in New York (9/11/2001). Oder der Verdrei­fachung des 11. Buch­stabens K zu KKK, nicht für „Kinder, Küche, Kirche“ sondern für den Ku Klux Klan.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Anzahl der Zer­legun­gen A054845 einer Zahl als Summe aufein­ander­fol­gender Prim­zahlen und klein­ste Zahl A054859 einer vorge­gebenen Anzahl von Zerle­gungen.

Ich bin kein Mathematikgenie, nein das nicht. Aber sowas ist schön zu lesen.

Viele werden sich weigern, eine Summe aus nur einem Sum­manden als solche anzu­erkennen. Nicht nur für sie gibt es natür­lich auch eine Aufstel­lung [1] der klein­sten Zahlen mit einer vorge­gebener Anzahl echter Zerle­gungen [2]:

1   2         3                       4               5                      
5   36        240                     311             16277
2+3 17+19     113+127                 101+103+107     2297+2309+...+2339+2341
    5+7+11+13 53+59+61+67             53+59+61+67+71  1451+1453+...+1499+1511
              17+19+23+29+31+37+41+43 31+37+...+53+59 1231+1237+...+1303+1307
                                      11+13+...+43+47 359+367+373+...+571+577
                                                      331+337+347+...+557+563

Wieder ist 311 dabei, weil diese Primzahl ja gut auf ihre triviale Zerle­gung ver­zichten kann. Sie hat dann zwar nur noch vier echte Zer­legun­gen statt fünf insge­samt, doch wissen wir bereits, daß alle Zahlen unter­halb von 311 maximal drei Zerle­gungen auf­weisen, also keine vier und schon gar keine echten.

Anders steht es um die 41. Als Prim­zahl bleiben ihr von den drei Zerle­gungen nur zwei echte. Dadurch erhalten klei­nere Zahlen die Chance auf eben­falls zwei, die als kleinste von der 36 wahr­genom­men wird. Das gleiche Schick­sal erlei­det die 1151. Von den vier Zerle­gungen bleiben drei echte. Aber das schafft die klei­nere 240 auch.

[1] Wie auch im Hauptbeitrag ehemals als eine schöne Tabelle mit Umran­dung. Doch eines Tages wurde aus welchem Grunde auch immer <table> einfach entfernt, sobald man nach­edi­tierte.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Anzahl der echten Zer­legun­gen A084143 einer Zahl als Summe aufein­ander­fol­gender Prim­zahlen und klein­ste Zahl A067376 einer vorge­gebenen Anzahl von Zerle­gungen.

Hier noch einmal eine Zusammen­stellung der kleinsten Zahlen mit vorge­gebener Anzahl von Zerle­gungen:

 k    kleinste Zahl mit genau k Zerlegungen
      alle Zerleg echte Zerleg     Faktoren
 0              1            1    1,0   
 1              2            5    2,5   3,2     
 2              5           36    7,2   4,2
 3             41          240    5,9   7,4
 4           1151          311    0,3   6,0
 5            311        16277   52,3   3,8
 6          34421       130638    3,8  29,8
 7         218918       218918    1,0   3,3
 8        3634531      9186778    2,5  26,4
 9       48205429    556259425   11,5  28,3
10     1798467197    611108324    2,6  17,6
11    12941709050  12941709050    1,0   4,5
12   166400805323                      12,9
13  6123584726269                      36,8

Im Mittel sind die kleinsten Zahlen zu echten Zerlegungen etwa dreimal so groß wie die zu allen (1. Fak­tor), und mit jeder Zeile weisen sie eine Stelle mehr auf (2. Fak­tor). Ob ersteres so bleibt, weiß ich nicht. Letz­teres aber sicher­lich nicht. Daß gelegent­lich neben­einander zwei gleiche Zahlen wie 218918 stehen, ist durch­aus zu erwarten. Ist die kleinste Zahl mit genau k Zerle­gungen näm­lich zusam­men­gesetzt, ist sie auch die kleinste mit genau k echten Zerle­gungen. Ebenso normal sind zwei gleiche Zahlen wie 5 und 311 längs der Diago­nalen. Möglicher­weise gibt es auch in den unbe­kannten Tiefen der Fort­setzung der Tabelle noch eine zweite Zahl wie 311, deren Vor­gänger sogar größer ist.

Eine naheliegende Frage lautet: In welchen Maße wächst die kleinste Zahl mit der Anzahl der vorge­gebe­nen Zerle­gungen? Dazu habe ich einmal die Treffer­dichte über­schlagen. Um die Zahl n herum haben die Prim­zahlen einen mitt­leren Abstand von lnn=1⋅ln(n/1), für die Summen zweier Prim­zahlen ist er 2⋅ln(n/2), für die aus dreien 3⋅ln(n/3) usw. Summiert man deren Kehr­werte, ergibt sich eine mit wach­sendem n gegen ln2=0,693 gehende Treffer­dichte. [1] Die Verhält­nisse liegen zumin­dest für große n wie folgt:

r    = ln2       = 69% Trefferdichte
p(0) = e−r = 1/2 = 50% haben keine Zerlegung
p(1) = r⋅p(0)    = 35% haben eine Zerlegung
p(2) = r⋅p(1)/2  = 12% haben zwei Zerlegungen
p(3) = r⋅p(2)/3  =  3% haben drei Zerlegungen

Das sind die Ergebnisse einer Überschlags­rechnung, die unbe­rück­sichtigt läßt, daß die Treffer nicht wirklich unab­hängig fallen. Es ist deshalb nicht selbstver­ständlich, daß schon bei kleinen Zahlen die errech­neten Werte einiger­maßen getroffen werden:



Treffer r und Anzahlen p(k) in hundert Hunderter­blöcken bis 10.000 (png)

Wenn dieses Dia­gramm und meine Berech­nungen mich nicht täuschen, sollte die Wahr­schein­lichkeit, daß die kleinste Zahl mit k Zerle­gungen kleiner ist als die mit k−1 etwa 1/k sein. Unter­halb von 12 liegt mit 311 bei k=5 die einzig bekannte Umkehr der Reihen­folge. Im Bereich von 12 bis 100 ist mit zwei weiteren zu rechnen. Vielleicht werden leistungs­fähige Rechner in Haus­halten von Fanatikern bald eine davon finden.

Aber zurück zur Eingangs­frage, in welchem Maße die kleinsten Zahlen mit wach­sender Treffer­zahl größer werden. Die Tabelle

k    Zahlen mit genau k Zerlegungen
           kleinste    alle wieviel
0                 1               2
1                 2               3
2                 5               8
3                41              36
4             1.151             200
5               311           1.500
6            34.421          13.000
7           218.918         130.000
8         3.634.531       1.500.000
9        48.205.429      20.000.000
10    1.798.467.197     280.000.000
11   12.941.709.050   4.500.000.000
12  166.400.805.323  78.000.000.000

gibt die bekannten kleinsten Zahlen und dahinter die zu erwar­tenden Abstände zwischen Zahlen mit der vorge­gebe­nen Treffer­zahl n an. Die Tabelle und mein Dia­gramm legen statt ln2=0,693 eine etwas kleinere Treffer­rate von etwa 0,65 nahe. Und so ent­stehen aus einer Antwort wieder einmal fünf Fragen: Führt genau­ere Rech­nung für kleine n auf eine fallende Treffer­rate r unterhalb von ln2? Warum sind die treffer­losen Zahlen zunächst häufiger als gemäß der Treffer­rate zu erwarten? Warum fällt ihr Anteil trotz gerin­gerer Treffer­rate? Warum ist sind die Einzeltreffer zunächst seltener als zu erwarten? Warum steigt ihr Anteil gegen die Erwartung? [2]

[1] Das hatte ich so lax hinge­schrie­ben. Der auf­merk­same Leser wird bemerkt haben, daß späte­sten mit k=n der Nenner 0 wird. Natür­lich soll nur für solche k summiert werden, für die die Summe der ersten k Prim­zahlen n nicht über­steigt. In  [3] ist bewiesen, in welchem Sinne ln2 tatsäch­lich korrekt ist.

[2] Eine genauere Rechnung sollte natür­lich auf anfäng­lich fallende Treffer­raten führen, da mein Diagramm bis 10.000 das nahelegt und ein Programm die Summe der 1/(k⋅ln(n/k)) bis etwa 500 Millionen tatsächlich auf 0,6444 fallen läßt. Erst danach ziehen sie wieder an. Die gegen die Erwar­tung verlau­fenden Entwick­lungen der Anzahlen ohne bzw. mit einfa­cher Zerle­gung mag man als eine Anglei­chung einer anfäng­lichen Abwei­chung an die großen Zahlen sehen, doch schießen beide schon bald über das Ziel hinaus.

[3] L. Moser: On The Sum of Conse­cutive Primes. Cana­dian Mathe­matical Bulle­tin 6/2, 2018. Ist aₙ=A054845(n) die Anzahl der Zerle­gungen von n als Summe aufein­ander­fol­gender Prim­zahlen, so konver­giert (a₁+a₁+…+aₙ)/n gegen ln2.

das prinzip der primzahlen
eine minimalisierung in der wiederholung und eine maximalisierung in der streuung von elementen abzählbar unendlicher welten (mengen)

ich habe mich mit primzahlen ein wenig beschäftigt
obige philosophische (arbeitshypo-)these ist mehr oder weniger intuitiver natur

Die erste Schlußfrage meines voran­gehenden Kommen­tares lautete: Warum bleibt die Treffer­rate zumin­dest unterhalb von 10000 deutlich hinter ln2=0,693 zurück und fällt zu Beginn sogar ab?

Zur Antwort muß etwas genauer gerechnet werden. Gehe ich weiter­hin davon aus, daß um die Zahl n herum die Summen aus k Prim­zahlen in Folge einen mitt­leren Abstand von k⋅ln(n/k) haben, ergibt sich eine Gesamt­treffer­quote von

r(n) = 1/(1⋅ln(n/1)) + + … + 1/(m·ln(n/m))

worin m so gewählt wird, daß die Summe der ersten m Primzahlen gerade noch unter n bleibt. Das ist ungefähr bei

n = (m/2)⋅lnm   oder   m = 2⋅√(n/lnn)

der Fall und führt letztlich auf die Näherung

r(n) = ln2 + (2−lnlnn)/lnn

Bis n um 1600 (e hoch e hoch 2) liegt r(n) oberhalb von ln2=0,693 und fällt bis etwa 500 Millionen (e hoch e hoch 3) ganz langsam auf etwa 0,643 ab. Erst danach steigt r(n) wieder gegen den Ziel­wert ln2=0,693. Das steht im Einklang mit dem Verlauf der von mir bis n=10000 gezählten Treffer und auch einem Programm, daß bis 10 hoch 18 die Summe der 1/(k⋅ln(n/k)) berechnet.

Damit ist wenigstens eine Frage einiger­maßen beant­wortet, und ich will diesmal nur eine weitere Folge­frage erwähnen: Warum bleiben die ermit­telten Werte dennoch hinter den errech­neten zurück? Von 1001 bis 2000 zähle ich 676 Treffer, das sind 19 weniger als r(1500)=0,695 erwarten läßt. Von 8001 bis 9000 sind es 659 und damit 12 weniger. Die Abweichung scheint abzunehmen. Doch ist das wirklich der Fall? Ein mir bekanntes Ergebnis [1] spricht dagegen: Bis 260 Milliarden gibt es 5722 Neunfach-​Treffer, was nach der Beziehung

5722 / 260.000.000.000 = (r⁹/9!)⋅e^−r

auf eine Trefferrate von r=0,628 schließen läßt. Das sind fast drei Prozent weniger als mit der Näherungs­formel zu erwarten.

Und für den einen, der wirklich nachrechnet, sage ich es gleich: Die 2 aus dem Korrek­tur­term (2−lnlnn)/lnn ist von mir groß­zügig gerundet. Sie steht für c(n)+2log2 worin c(n) aus­gleicht, was bei der Erset­zung der Summe durch ein Integral ver­schlap­pert wird. Naturgemäß liegt dieser Wert für große n in der Nähe der Euler-​Mascheroni-​Kon­stanten. Ich habe ihn großzügig mit 0,614 statt 0,577 angesetzt, um auf 2 zu kommen.

[1] Carlos Rivera: Puzzle 46.- Primes expres­sible as sum of conse­cutive primes in K ways.

In meinem letzten Kommentar blieb ich eine Antwort auf die Frage schuldig, warum die wahre Treffer­rate hinter der von mir errech­neten um einige Pro­zente zurück­bleibt. Neben falscher oder unge­nauer Rech­nerei, kommen mir zwei Ursachen in den Sinn. Zum einen liegen die Prim­zahlen und ihre Summen nicht zufäl­lig. Zum anderen sind meine Ausgangs­annahmen über ihre Dichte nicht hinrei­chend genau.

Für den mittleren Abstand der Zahlen aus k Summan­den setzte ich k⋅ln(n/k) an, was von k etwa gleich­großen Summan­den der Größen­ordnung n/k ausgeht, in deren Nähe die Prim­zahlen den Abstand ln(n/k) aufweisen. Die unter­schied­liche Größe der Summan­den wirkt sich nur minimal und nach meinen Über­legungen auch in die andere Richtung aus.

Anders steht es um die wahre Dichte der Prim­zahlen [1]. Um 10.000 ist sie immer noch ein Prozent geringer als angesetzt. Doch im Bereich von 8001 bis 9000 sind zwei Prozent zu erklären. Dazu ist genauer hinzusehen: Bei n=8500 kommt man auf die maxi­male Summan­den­zahl von etwa m=2√(n/lnn)=61. Im Mittel sind es k=m/lnm=15, womit ein normaler Summand bei n/k=570 liegt, wo die wahre Dichte der Prim­zahlen durchaus die ange­setzte um zwei Prozent unter­schreitet.

Liegt n im Milliarden­bereich, bleibt von diesem Effekt nur noch wenig übrig. Es muß also einen anderen Grund geben, weshalb bis 260 Milli­arden nur 5722 Neun­fach­treffer gezählt wurden, was einer Treffer­rate von 62,8 statt der vorher­gesagten 64,5 Prozent entspräche. Die verwen­dete Formel setzt Zufäl­ligkeit voraus, von der man nicht unbedingt ausgehen kann, wenn die Zahl der infrage kommenden Objekte nicht sehr groß ist.

Tref. 70Proz.  7aus10  3Salven mit Abstand
  0    49,6%    47,8%    44,8%    45,8%
  1    34,8%    37,2%    41,6%    40,9%
  2    12,2%    12,4%    12,4%    12,5%
  3    2,84%    2,30%    1,20%    1,36%
  4    0,50%    0,26%    keine    keine
  5    0,07%    0,02%    keine    keine
  6    81ppm    6,3ppm   keine    keine
  7    8,1ppm   0,1ppm   keine    keine
  8    0,7ppm   keine    keine    keine

Die zweite Spalte der vorstehenden Tabelle zeigt einfach die Wahr­schein­lich­keiten für Trefferzahlen der ersten, wenn in eine sehr große Zahl n von Objekten 0,7n mal völlig zufäl­lig geschos­sen wird. In der drit­ten Spalte sind es nur n=10 Objekte und 7 Schuß. Natur­gemäß sind Achtfach­treffer nicht mehr möglich und die Wahr­schein­lich­keiten für hohe Treffer­zahlen geringer. Aber auch die Über­lebens­chance (t=0) fällt etwas ab, wäh­rend im Gegen­zuge die Rate der Einzel­treffer steigt. Insge­samt ist der Effekt aber nicht berau­schend, obwohl n=10 doch so klein ist.

Feuert man nicht zufällig, sondern in einer einzigen Salve von 7 Schuß, so fallen auch 7 tot um. Die Wahr­schein­lich­keit für 0 Treffer wäre 30 Prozent. Die in die Nähe einer Zahl treffenden Primzahl­summen entsprechen mehrerer solche Salven. Deshalb zeigt die vierte Spalte 3 Salven zu 3, 2 und 2 Schuß. Die Über­lebens­rate sinkt aber­mals, und mehr als dreimal kann keiner getrof­fen werden. Zum Aus­gleich steigt die Zahl der Einzel­treffer erneut an.

Doch die Primzahlsalven treffen nicht nebeneinander, sondern in ungefähr gleichenbleibenden Abständen. In meinem Beispiel habe ich für die drei Salven die Abstände 2, 4 und 4 ange­setzt. Die fünfte Spalte zeigt das Ergebnis. Der Salven­effekt wird teil­weise aufge­hoben.

Langer Rede kurzer Sinn: Das Beispiel soll deutlich machen, daß die Rate der Neun­fach­treffer bis 260 Milli­arden möglicher­weise nicht einfach berech­net werden kann, als würde völlig will­kürlich 168 Milli­arden mal hinein­geschossen. Ihr Zurück­bleiben um den Faktor zwei ist durchaus plau­sibel.

Aus einem voran­gehenden Kommentar ist noch die Frage offen, warum im klein­zahligen Bereich die Anzahl der Einzel­treffer deutlich hinter der Erwar­tung zurück­bleibt. So werden 680 Treffer im Bereich von 501 bis 1500 gezählt, was 344 bis 345 einfach getrof­fene Zahlen erwar­ten ließe. In Wirk­lich­keit sind es aber mit 306 deutlich weniger.

Tref. Zufall  Realität  u und g   p,v,g    mod 6
  0    50,7%    52,7%    50,9%    49,8%    52,1%
  1    34,4%    30,6%    34,4%    35,8%    31,6%
  2    11,7%    13,3%    11,7%    11,7%    13,1%
  3     2,6%     2,9%     2,7%     2,4%     2,6%

Die Tabelle zeigt in der zweiten Spalte die zu erwar­tenden Treffer­zahlen, wenn 680 mal völlig zufällig in den Tausender­block geschos­sen würde. Die wahren Werte stehen in Spalte drei. Die Abwei­chung muß darin begrün­det sein, daß die Prim­zahlen und ihre Summen eben doch nicht zufäl­lig fallen, was sich im klein­zahligen Bereich deut­lich bemer­kbar macht.

Von der 2 abgesehen sind alle Prim­zahlen ungerade. Somit bilden gerade Sum­man­den­zahlen fast immer gerade und ungerade immer ungerade Summen. Naturgemäß werden die geraden Zahlen (g) nicht so häufig getroffen wie die ungeraden (u):

g(n) ≈ r(n) − ln2/lnn
u(n) ≈ r(n) + ln2/lnn

Für n=1000 ist der Zu- bzw. Abschlag 0,1 in sehr guter Übereinstimmung mit den 292 geraden und den 388 ungeraden Treffern im Bereich von 501 bis 1500. Fielen sie in diesen beiden Zahl­bereichen zufällig, so ergäben sich die Anteile der vierten Tabellen­spalte. Das ist kein berau­schender Schritt Richtung Realität. Deshalb die nächste Idee, auch noch die Prim­zahlen (p) von den übrigen ungeraden Zahlen (v) zu trennen. Das führt auf die Quoten der fünften Spalte, die sich von der Realität sogar noch etwas ent­fernen.

Viel stärker ist ein anderer Zusammen­hang: Die Summen dreier Prim­zahlen treffen gerne wieder auf solche. Weil alle Prim­zahlen vom Typ 6k±1 sind, trifft dies auch für drei­viertel aller Summen aus drei Prim­zahlen zu. Die Drei­fach­sum­men treffen also dreimal häufiger eine Primzahl wie der reine Zufall. Sehr oft führt die Summe dreier Prim­zahlen so zu keinen Einzel­treffern, sondern macht aus einem einzelnen einen doppelten. Normaler­weise ergibt das zwei Einzel­treffer weniger. Zum Ausgleich sind es ein Doppel­treffer und eine nicht getrof­fene Zahl mehr.

Im Bereich von 501 bis 1500 gibt es 144 Primzahlen und 57 Dreifach­summen. Es wären also nur 8 Doppel­treffer aus beiden zu erwarten. Tatsächlich sind es mit 22 fast dreimal soviele. Gehe ich von 22−8=14 Dop­pel­treffern und Nicht­treffern mehr sowie 14+14=28 Ein­fach­treffern weniger aus als der reine Zufall der Spalte zwei vorgibt, so komme ich auf die Wahr­schein­lich­keiten der sechsten Spalte.

Das kommt der Reali­tät schon recht nahe. Und es kommen ähnliche, wenn auch bescheidenere Effekte modulo größerer Zahlen als 6 hinzu, denen ich gerne den Rest zuschiebe. Sie genauer zu quanti­fizieren, erspare ich mir, denn diese Zusammen­hänge sind nicht so wichtig wie eine Landung auf dem Mond, für dessen Bahn­berech­nung hunderte von Störungen zu berück­sich­tigen sind.

Nach 16 Jahren habe ich einiges, was ich hier anläßlich der Zahl 311 schrieb, nicht mehr so richtig ver­standen. Bei der Überar­beitung mußte ich auf die alten Tabellen ver­zichten, da sie zwischen­zeitlich von blogger.de munter igno­riert werden. Aber ich habe noch meine Zählung der Treffer bis 1.000.000 gefunden:



Treffer r und Anzahlen p(k) in hundert Zehn­tausender­blöcken bis 1.000.000 (png)

Das sieht schon viel eben­mäßiger aus als das Bild bis 10.000. Nur bleiben darin die Treffer­raten trotz allem hinter ln2=0,693 zurück und fallen sogar leicht. Am rechten Rand, also im letzten Zehn­tausender­block bis 1.000.000 stimmen die ermit­telten 6481 Tref­fer sehr gut mit der geschätz­ten Rate von

r(n) = ln2 + (2−lnlnn)/lnn = 0,6931+0,1448−0,1901 = 0,6478

für n=995.000 überein. Bis etwa 500 Mil­li­onen wird r auf 0,643 noch etwas fallen. Danach geht es ganz, ganz langsam nach oben Rich­tung ln2=0,693. Bei einem Gogool (10 hoch 100) wird 0,678 erreicht.