Zahlwort

Setzt man in die Eulersche Formel n(n+1)+41 eine Zahl nach der anderen ein, so erhält man lauter Primzahlen:

n:          0  1  2  3  4  5  6  7   8   9  10  11  12  13  14  15
n(n+1)+41: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281

Das geht so weiter bis n=39, denn für n=40 kommt wegen n(n+1)+41=40*41+41=41*41 eine Quadratzahl raus. Wie findet man solche Zahlen wie 41 ohne Computer?

Die Rechteckzahlen R(n)=n(n+1) sind allesamt gerade und lassen bei Division durch eine ungerade Primzahl p nur (p+1)/2 verschiedene Reste. Für p=3 sind die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen, alle anderen n(n+1)+a aber regelmäßig. Für p=5 sind es die Reste 0, 1 und 2, was auf die Folgen n(n+1)+30k+11 und n(n+1)+30k+17 führt, deren Glieder weder durch 2, noch durch 3 oder 5 teilbar sind. Die gleiche Argumentation für p=7 mit Resten 0, 2, 5 und 6 führt auf die Folgen n(n+1)+210k+a für a=11,41,101,17,137,167, deren Glieder nicht durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar sind.

Diese Argumentation könnte für p=11 fortgesetzt werden, um alle 30 Zahlen a zu bestimmen, für die alle Folgen n(n+1)+2310k+a nur aus Zahlen bestehen, die nicht durch 2, 3, 5, 7 oder 11 teilbar sind. Wenn man sich aber nur für a unterhalb von 210 interessiert, ist es besser, die sechs Kandidaten a=11,41,101,17,137,167 zu überprüfen. Den Test mit p=11 bestehen nur a=17 und a=41. Und tatsächlich beginnt n(n+1)+17 mit 16 und n(n+1)+41 mit 40 Primzahlen.

Ulam-Spirale