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24
wuerg, 27.09.2005 17:53
Zunächst ist 24=1·2·3·4=4! die vierte Fakultät. Wärend 3!=6 nur eine vollkommende Zahl ist, sind alle größeren Fakultäten Teilerprotze. So auch 24 mit der Teilersumme 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Zudem ist 24 die kleinste Zahl mit acht Teilern und die größte, die durch alle Zahlen bis zu ihrer Wurzel teilbar ist, hier 1, 2, 3 und 4. Es ist leicht, noch belanglosere Besonderheiten zu finden. Ein Beispiel: 24 ist die größte Fakultät ohne 0 am Ende.
Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheitsquadraten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durchmesser eins ein, dann bleibt an den Ecken noch Platz für kleinere Kreise mit Durchmesser √d-1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleichgroße und 2ᵈ=4 kleinere. Macht man das gleiche mit Würfeln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durchmesser eins 2d=6 gleichgroße und 2ᵈ=8 kleinere an den Ecken des Würfels vom Durchmesser √d-1=0,732. In vier Dimensionen (d=4) sind es 2d=8 in den benachbarten Hyperwürfeln und 2ᵈ=16 an den Ecken, die wegen √d-1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht.¹
Diese sog. Kußzahlen sind weitgehend unbekannt, doch für 24 Dimensionen kennt man sie, nämlich 196560. Das kommt nicht von ungefähr und steht im Zusammenhang mit dem Kanonenkugelproblem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat auslegen und auch als quadratische Pyramide stapeln kann. Abgesehen von der trivialen 1 geht es nur mit 4900, weil die ersten 24 Quadratzahlen sich zu 70·70 addieren. Das ist Grundlage einer Stringtheorie in 24+2 Dimensionen, die man ebenso für Spielerei halten mag.
Eine wirkliche Spielerei ist das 24-Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:
Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, ein Karat ist 1/24, 24!≈6·10²³ ist ungefähr die Avogadro-Konstante, aus 24 Oktaedern kann ein raumfüllender vierdimensionaler Polyeder mit vielen Namen wie Octaplex gebildet werden, Filme haben normalerweise 24 Bilder pro Sekunde, die 12 Stämme Israel und die 12 Apostel addieren sich zu 24, es gibt 24 Älteste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neuneckzahl, die alles erklärende Ziffernfolge 4 und 2 könnte auch 24 bedeuten, das griechische Alphabet hat 24 Buchstaben, 24=11+13 ist Summe eines Primzahlzwillings, zu Dur und moll samt den 12 Halbtonschritten gibt es 24 Tonarten. Und dergleichen mehr.
1 Vorsicht, schon für d=5 versagt die Methode. Die zu großen Eckkugeln überschneiden sich gegenseitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durchmesser eins verkleinert und an die Zentralkugel heranführt. Tatsächlich weiß man nicht, ob wirklich 10+32=42 möglich sind.
23 | 25 | 196560
Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheitsquadraten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durchmesser eins ein, dann bleibt an den Ecken noch Platz für kleinere Kreise mit Durchmesser √d-1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleichgroße und 2ᵈ=4 kleinere. Macht man das gleiche mit Würfeln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durchmesser eins 2d=6 gleichgroße und 2ᵈ=8 kleinere an den Ecken des Würfels vom Durchmesser √d-1=0,732. In vier Dimensionen (d=4) sind es 2d=8 in den benachbarten Hyperwürfeln und 2ᵈ=16 an den Ecken, die wegen √d-1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht.¹
Diese sog. Kußzahlen sind weitgehend unbekannt, doch für 24 Dimensionen kennt man sie, nämlich 196560. Das kommt nicht von ungefähr und steht im Zusammenhang mit dem Kanonenkugelproblem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat auslegen und auch als quadratische Pyramide stapeln kann. Abgesehen von der trivialen 1 geht es nur mit 4900, weil die ersten 24 Quadratzahlen sich zu 70·70 addieren. Das ist Grundlage einer Stringtheorie in 24+2 Dimensionen, die man ebenso für Spielerei halten mag.
Eine wirkliche Spielerei ist das 24-Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:
1 1 3 2 (3+2-1·1)! 9 4 8 7 (4+8)(9-7) 6 7 2 3 6·7/2+3 1 8 5 7 8·(7-5+1) 3 2 9 2 (9-3)(2+2) 1 1 7 8 17+8-1 5 9 1 6 1·6·(9-5) 7 4 7 6 4·6·7/7 5 4 6 8 8·(4+5-6) 3 6 9 3 3·9-6+3 2 1 9 8 8·9/(1+2) 3 8 7 4 (4·7-3·8)!Dreimal habe ich nichts gefunden und mußte zur Fakultät (!) bzw. Ziffernzusammensetzung (17) greifen. Ein interessanter Fall ist (1,3,4,6) mit 24=6/(1-3/4).
● ● ● ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ○ ● ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ● ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ● ● ● ○ ○ ○Dritte Neuneckzahl 24=E3=1+8+15=D3+3R2 (png)
Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, ein Karat ist 1/24, 24!≈6·10²³ ist ungefähr die Avogadro-Konstante, aus 24 Oktaedern kann ein raumfüllender vierdimensionaler Polyeder mit vielen Namen wie Octaplex gebildet werden, Filme haben normalerweise 24 Bilder pro Sekunde, die 12 Stämme Israel und die 12 Apostel addieren sich zu 24, es gibt 24 Älteste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neuneckzahl, die alles erklärende Ziffernfolge 4 und 2 könnte auch 24 bedeuten, das griechische Alphabet hat 24 Buchstaben, 24=11+13 ist Summe eines Primzahlzwillings, zu Dur und moll samt den 12 Halbtonschritten gibt es 24 Tonarten. Und dergleichen mehr.
1 Vorsicht, schon für d=5 versagt die Methode. Die zu großen Eckkugeln überschneiden sich gegenseitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durchmesser eins verkleinert und an die Zentralkugel heranführt. Tatsächlich weiß man nicht, ob wirklich 10+32=42 möglich sind.
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