Eineck
Wie ein Eineck aussehen sollte, ob es eine Kante hat, wie lang und gerade sie sein muß und ob sie eine Fläche umschließt, habe ich schon unter dem Titel Zweieck diskutiert. Hier soll es nur um die Fortsetzung der Frage gehen, aus wievielen Punkten denn ein Zweieck oder ein Eineck analog zu den zentrierten Dreieckszahlen, Viereckzahlen usw. gebildet werden, was also Zweieck- und Eineckzahlen sind.

Aus der Formel für die normalen k-Eckzahlen ergab sich Z(n)=n als die n-te Zweieckzahl.
Zweieck Z(n):  1  2  3   4   5   6   7   8   9
Dreieck D(n):  1  3  6  10  15  21  28  36  45
Viereck Q(n):  1  4  9  16  25  36  49  64  81
Fünfeck F(n):  1  5 12  22  35  51  70  92 117
Normale Eineckzahlen machen wenig Sinn, denn sie würden nach der Formel n(3-n)/2 bereits negativ. Wie aber steht es um die zentrierten Zweieck- und Eineckzahlen? Die Formel für die zentrierten k-Eckzahlen lautet ja p(k,n)=1+k*D(n-1). Damit ergibt sich folgende Tabelle
Eineck  e(n):  1  2   4   7  11  16  22  29  37
Zweieck z(n):  1  3   7  13  21  31  43  57  73
Dreieck d(n):  1  4  10  19  31  46  64  85 109
Viereck q(n):  1  5  13  25  41  61  85 113 145
Fünfeck f(n):  1  6  16  31  51  76 106 141 181
Die zentrierten Zweieck- und sogar die Eineckzahlen wachsen mit zunehmenden n wie die übrigen ebenfalls quadratisch an. Die Vorstellung
                                /2--4--6--8\
1--2--3--4--5--6   und nicht   1            10
                                \3--5--7--9/
von den normalen Zweieckzahlen läßt sich also nicht übertragen. Man muß sich wieder den Bildungsprozeß
                        4---4---4---4   4---4---4---4
            3---3---3   |           |   | 3---3---3 |
    2---2   |       |   4           4   4 | 2---2 | 4
1 + |   | + 3       3 + |           | = | 3 | 1 | 3 |
    2---2   |       |   4           4   4 | 2---2 | 4
            3---3---3   |           |   | 3---3---3 | 
                        4---4---4---4   4---4---4---4
ansehen, der für Zweiecke wie folgt aussieht:
                        4---4---4---+   4---4---4---+
            3---3---+   |           |   | 3---3---+ |
    2---+   |       |   |           |   | | 2---+ | |
1 + |   | + |       | + |           | = | | | 1 | | |
    +---2   |       |   |           |   | | +---2 | |
            +---3---3   |           |   | +---3---3 | 
                        +---4---4---4   +---4---4---4
Darin stehen die Pluszeichen nicht für Ecken, sondern für abknickend dargestellte Seiten. Die in den Ecken stehenden Ziffern stehen für zu zählende Punkte an den Ecken. Die Ziffern geben auch an, wieviele Punkte auf einer Seite liegen. Zur Verdeutlichung noch einmal die beiden Seiten mit jeweils drei Punkten:
3---3---+    3            3---3---+
        |    |            |       |
        | +  |         =  |       |
        |    |            |       |
        3    +---3---3    +---3---3
Auf dem Gesamtumfang befinden sich immer k(n-1) Punkte. Hier ist k=2 und n=3, und es sind wirklich 3(3-1)=4 Punkte. Für das Eineck ist das nicht anders
                        4---4---4---+   4---4---4---+
            3---3---+   |           |   | 3---3---+ |
    2---+   |       |   |           |   | | 2---+ | |
1 + |   | + |       | + |           | = | | | 1 | | |
    +---+   |       |   |           |   | | +---+ | |
            +-------+   |           |   | +-------+ | 
                        +-----------+   +-----------+
Auch hier befinden sich k(n-1) Punkte auf dem Gesamtumfang. Wegen k=1 ist das mit n-1 immer einer weniger als die Ziffer angibt. So gibt es korrekterweise nur eine 2 auf dem Gesamtumfang und damit auch nur eine 2 auf der einzigen Seite. Das ist ein Unterschied zum Fall k>1.

Aus diesem Grunde wäre es vielleicht besser gewesen, die Zahl der Verbindungslinien zwischen den Punkten zu zählen, was zum gleichen Ergebnis führt, denn jede Verbindungslinie verbindet zwei Punkte und jeder Punkt gehört zu zwei Verbindungslinien. Dann wäre klar, daß einer Seite soviele Punkte zugeordnet werden wie sie Verbindungslinien enthält, da die beiden Endpunkte nur halb zählen. Im Falle des Eineckes rühren dann die beiden Hälften vom gleichen Punkt her.

Es läge deshalb nahe, zumindest die zentrierten k-Eckzahlen nicht nach der Zahl der Punkte auf der Seite, sondern nach der um eins geringeren Seitenlänge zu indizieren. Dann wäre die n-te k-Eckzahl das, was normalerweise die (n+1)-te ist. Auch für die normalen k-Eckzahlen könnte man dieser Auffassung zuneigen. Dann würde sich die allgemeine Formel für die k-Eckzahlen zu (n+1)[(k-2)n+2]/2 vereinfachen. Leider auch mit Nachteilen: Die n-te Quadratzahl wäre dann (n+1)(n+1) und die n-te Dreieckszahl die Anzahl der Kombinationen von zwei Elementen aus n+1 statt aus n. Die Griechen waren also gar nicht so dumm.

Zweieck

... comment