Eineck
wuerg, 10.06.2005 01:42
Wie ein Eineck aussehen sollte, ob es eine Kante hat, wie lang und gerade sie sein muß und ob sie eine Fläche umschließt, habe ich unter dem Titel Zweieck diskutiert. Hier soll es nur um die Fortsetzung der Frage gehen, aus wievielen Punkten denn ein Zweieck oder ein Eineck analog zu den zentrierten Dreieckszahlen, Viereckzahlen usw. gebildet werden, was also zentrierte Zwei- und Eineckzahlen sind.
Aus der Formel P(k,n)=n·[(k-2)n-(k-4)]/2 für die normalen k-Eckzahlen ergeben sich:
Eine vielleicht bessere, aber mit ASCII-Zeichen schlecht darstellbare Veranschaulichung der n-ten k-Eckzahl ist ein Mittelpunkt, um den n-1 Kreise gezeichnet werden, wobei auf dem i-ten Kreis von innen genau i Punkte liegen.
einfache und zentrierte Polygonalzahlen | Zweieck
Aus der Formel P(k,n)=n·[(k-2)n-(k-4)]/2 für die normalen k-Eckzahlen ergeben sich:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Zweieck Z(n): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dreieck D(n): 1 3 6 10 15 21 28 36 45 Viereck Q(n): 1 4 9 16 25 36 49 64 81 Fünfeck F(n): 1 5 12 22 35 51 70 92 117Normale Eineckzahlen machen wenig Sinn, denn sie würden nach der Formel n(3-n)/2 bereits negativ. Wie aber steht es um die zentrierten Zwei- und Eineckzahlen? Eine Formel für die zentrierten k-Eckzahlen lautet p(k,n)=1+k·D(n-1). Damit ergibt sich folgende Tabelle:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Eineck e(n): 1 2 4 7 11 16 22 29 37 Zweieck z(n): 1 3 7 13 21 31 43 57 73 Dreieck d(n): 1 4 10 19 31 46 64 85 109 Viereck q(n): 1 5 13 25 41 61 85 113 145 Fünfeck f(n): 1 6 16 31 51 76 106 141 181Die zentrierten Zwei- und sogar die Eineckzahlen wachsen mit zunehmenden n wie die übrigen ebenfalls quadratisch an. Erst die Nulleckzahlen stagnieren bei 1. Sie bestehen nur aus dem Mittenpunkt mit 0 Dreiecken drumherum. Die Vorstellung
/2--4--6--8\ 1--2--3--4--5--6 und nicht 1 10 \3--5--7--9/von den normalen Zweieckzahlen läßt sich offensichtlich nicht übertragen. Man kommt auf ein Bild wie das linke
A C C C C A B A C C C A A B A A C C B A A A B B A A C B A A A A O B B A A O B B A A O A A B B A D B B A A A B A D D B B A A B D D D B A D D D D Bim dem vom Viereck in der Mitte zwei der vier Flügel fehlen. Für das Eineck bleibt wie im rechten Bild nur ein Flügel mit einem Zusatzpunkt, insgesamt also e(n)=1+D(n-1). Das sind die sog. Pizzazahlen 1+D(n)=e(n+1), die Maximalzahl der Pizzastücke, die durch n gerade Schnitte möglich sind.
Eine vielleicht bessere, aber mit ASCII-Zeichen schlecht darstellbare Veranschaulichung der n-ten k-Eckzahl ist ein Mittelpunkt, um den n-1 Kreise gezeichnet werden, wobei auf dem i-ten Kreis von innen genau i Punkte liegen.
einfache und zentrierte Polygonalzahlen | Zweieck
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